108 年 國立成功大學光電科學與工程研究所甲組《近代物理》

(a) 愛因斯坦狹義相對論兩大假設

1. 相對性原理（Principle of Relativity）：所有物理定律在所有慣性參考系中皆具有相同的數學形式。
2. 光速不變原理（Constancy of Light Speed）：真空中光速 $c$ 在所有慣性參考系中皆為常數，與光源或觀察者的相對運動狀態無關。

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(b) 粒子的相對論總能量

粒子動量與能量關係中，相對論因子 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，其總相對論能量 $E$ 為：
$E = \gamma m_0 c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

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(c) 相對論質量中心速度推導

在實驗室參考系（Laboratory Frame）中：

• 粒子 1 靜止，總能量 $E_1$，相對論質量 $m_1 = \frac{E_1}{c^2}$，動量 $p_1 = 0$。

核心觀念

本題考查黑體輻射（Blackbody Radiation）演進史中的三大關鍵突破：

1. 普朗克能量量子化假說（Planck's Postulate）：突破古典物理能量連續性的傳統觀念，奠定早期量子力學基礎。
2. 波茲曼統計與平均能量推導（Boltzmann Statistics & Average Energy）：利用離散分布的熱平衡統計模型，計算電磁振子的平均能量 $\langle \epsilon \rangle$。
3. 黑體輻射光譜極限近似（Spectral Distribution & Approximations）：理解普朗克公式在短波長區退化為維恩定律（Wien's Law），以及在長波長區退化為雷利-金斯定律（Rayleigh-Jeans Law）的物理意義。

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解題方法與推導

(a) 普朗克能量量子化假說 (Planck's Postulate)

1. 基本假設：
   黑體腔壁中發射與吸收電磁輻射的微觀原子振子（Atomic Oscillators），其能量不能連續變化，只能取離散的特定數值（Discrete Energy Levels）：
   $\epsilon_n = n h \nu, \quad n = 0, 1, 2, 3, \dots$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck's constant），$\nu$ 為振子的振動頻率，$n$ 為量子數（Quantum number）。

2. 輻射與吸收機制：
   振子在不同能階間發生躍遷時，所吸收或輻射的能量也是不連續的，必須以整數倍的能量量子（Energy Quanta）形式進行交換：
   $\Delta \epsilon = h \nu$

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(b) 依據波茲曼分布推導熱平衡平均能量 $\langle \epsilon \rangle$

1. 波茲曼概率分布與歸一化：
   根據經典統計力學，在熱平衡溫度 $T$ 下，振子處於能量狀態 $\epsilon_n = n h \nu$ 的概率為：
   $P(\epsilon_n) = A e^{-\epsilon_n / kT} = A e^{-n h \nu / kT}$
   其中 $k$ 為波茲曼常數。由概率總和歸一化條件 $\sum_{n=0}^{\infty} P(\epsilon_n) = 1$：
   $A \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n h \nu / kT} = 1$

   令無因次變數 $x = \frac{h \nu}{kT}$，利用無窮等比級數求和公式：
   $\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n x} = \frac{1}{1 - e^{-x}}$
   求得歸一化常數 $A = 1 - e^{-x}$。

2. 平均能量 $\langle \epsilon \rangle$ 之計算：
   系統在熱平衡下的平均能量定義為：
   $\langle \epsilon \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} \epsilon_n P(\epsilon_n) = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} (n h \nu) e^{-n x}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n x}} = h \nu \cdot \frac{\sum_{n=0}^{\infty} n e^{-n x}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n x}}$

3. 關鍵級數求和技巧：
   利用對變數 $x$ 微分的數學技巧：
   $\sum_{n=0}^{\infty} n e^{-n x} = -\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n x} \right) = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 - e^{-x}} \right) = \frac{e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2}$

4. 代入求得結果：
   將級數結果代回平均能量式：
   $\langle \epsilon \rangle = h \nu \cdot \frac{\frac{e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2}}{\frac{1}{1 - e^{-x}}} = h \nu \cdot \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \frac{h \nu}{e^{x} - 1}$

   將 $x = \frac{h \nu}{kT}$ 代回，即得普朗克平均能量公式：
   $\langle \epsilon \rangle = \frac{h \nu}{e^{h \nu / kT} - 1}$

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(c) 普朗克光譜圖與維恩定律、雷利-金斯定律的分區說明

普朗克黑體輻射的光譜能量密度 $u(\lambda)$ 與波長 $\lambda$ 的關係式為：
$u(\lambda) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1}$

1. 短波長區域極限近似（維恩定律區，Wien's Law Region）

• 條件：短波長 $\lambda \ll \frac{hc}{kT}$（即 $\frac{hc}{\lambda kT} \gg 1$）。
• 近似：指數項 $e^{hc/\lambda kT} \gg 1$，故分母中 $-1$ 可忽略：
  $e^{hc/\lambda kT} - 1 \approx e^{hc/\lambda kT}$

核心觀念

本題考查近代物理學發展史中量子力學的三大奠基觀念：

1. 德布羅意假說 (de Broglie's postulate)：微觀粒子的波粒二象性（Wave-particle duality）與物質波（Matter wave）概念。
2. 不確定性原理 (the uncertainty principle)：量子系統中共軛物理量（如位置與動量、能量與時間）無法同時精確測量的基本物理極限。
3. 康普頓效應 (the Compton effect)：高能光子與電子碰撞所產生的散射波長偏移現象，為光子具有動量與粒子性的直接實驗證據。

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解題方法

針對名詞解釋與說明型題目，解答應包含以下三個維度：

1. 物理定義與背景：明確給出物理概念的由來與核心論述。
2. 定量公式與數學推導：寫出核心物理公式，精確定義變數符號；若有理論推導（如康普頓波長偏移公式與德布羅意波長在玻爾軌道的應用），列出關鍵推導步驟。
3. 物理意義與實驗驗證：說明該原理在近代物理中的地位及相關實驗驗證（如戴維森-革末實驗、古典與量子理論對比等）。

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名詞分析與詳細推導

(a) 德布羅意假說 (de Broglie's postulate)

• 核心定義：
  1924 年法國物理學家德布羅意（Louis de Broglie）延伸愛因斯坦的光子假說，提出自然界具有對稱性：既然光波表現出粒子性，則微觀實體粒子（如電子、質子、原子等）亦應具有波動性，這種與實體粒子相聯繫的波稱為物質波（Matter wave）或德布羅意波。

• 定量關係：
  若一粒子的動量為 $p$、總能量為 $E$，則其對應的物質波波長 $\lambda$ 與頻率 $\nu$ 為：
  $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$
  $\nu = \frac{E}{h}$
  亦可用角頻率 $\omega = \frac{E}{\hbar}$ 與波向量 $k = \frac{p}{\hbar}$ 表示（其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$）。

• 物理應用與實驗驗證：

  1. 解釋玻爾軌道角動量量子化：
     德布羅意假說完美解釋了玻爾氫原子模型中「軌道角動量量子化」假設 $L = m v r = n \hbar$。當電子繞原子核做圓周運動時，其物質波沿軌道必須形成穩定首尾相接的駐波（Standing wave），即軌道周長必須為物質波波長的整數倍：
     $2\pi r = n \lambda = n \left(\frac{h}{p}\right) \implies m v r = n \frac{h}{2\pi} = n\hbar \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$
  2. 實驗證實：
     1927 年戴維森-革末實驗（Davisson-Germer experiment）利用加速電子束照射鎳單晶，觀察到與 X 射線極為相似的布拉格繞射（Bragg diffraction）圖樣，成功測得電子物質波波長符合 $\lambda = \frac{h}{p}$，正式證實了實體粒子的波動性。

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(b) 不確定性原理 (the uncertainty principle)

• 核心定義：
  1927 年海森堡（Werner Heisenberg）提出量子力學的基本原理：在量子力學系統中，某些對偶的**共軛物理量（Conjugate physical quantities）**無法同時被無限精確地測量。對其中一個物理量的測量越精確，另一個物理量的不確定性就越大。

• 主要定量形式：

  1. 位置與動量不確定性：
     $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$
     其中 $\Delta x$ 為粒子在 $x$ 方向位置的標準差（不確定度），$\Delta p_x$ 為其在 $x$ 方向動量的標準差。
  2. 能量與時間不確定性：
     $\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$
     其中 $\Delta E$ 為系統量子態的能量不確定度，$\Delta t$ 為系統處於該量子態的平均壽命（Lifetime）。

• 物理來源與物理意義：

  1. 波包的傅立葉性質：
     描述粒子的波包（Wave packet）由許多不同波數 $k$ 的正弦波疊加而成。古典波動學中，波包的空間範圍 $\Delta x$ 與波數範圍 $\Delta k$ 滿足傅立葉變換極限 $\Delta x \cdot \Delta k \ge \frac{1}{2}$。結合德布羅意動量關係 $p = \hbar k \implies \Delta p = \hbar \Delta k$，帶入即得：
     $\Delta x \cdot (\hbar \Delta k) \ge \hbar \cdot \frac{1}{2} \implies \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$
  2. 量子極限本質：
     不確定性原理並非源於實驗儀器的精確度限制或測量過程的干擾，而是微觀物質具備波動本質時的內建物理屬性。在算符表象中，其來自於位置算符 $\hat{x}$ 與動量算符 $\hat{p}_x$ 的不對易關係（Non-commutation relation）：$[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar \ne 0$。

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(c) 康普頓效應 (the Compton effect)

核心觀念

本題旨在考驗量子力學中**薛丁格方程式（Schrödinger Equation）的基本形式，以及在一維有限高位能障（One-Dimensional Potential Barrier）下粒子發生量子穿隧效應（Quantum Tunneling Effect）**時的本徵函數推導、波函數圖形繪製與古典/量子力學觀念對比。

1. 薛丁格方程式：
   • 含時薛丁格方程式（Time-Dependent Schrödinger Equation, TDSE）：描述量子態隨時間演化的微分方程式。
   • 不含時薛丁格方程式（Time-Independent Schrödinger Equation, TISE）：當位能不隨時間改變 $V(x,t) = V(x)$ 時，利用分離變數法將波函數的時間與空間部分解耦，得到能量本徵值方程式 $\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$。
2. 一維位能障本徵函數：
   • 粒子能量 $E < V_0$ 時，位能障內部動能為負值，波函數解呈現指數衰減形式（Evanescent wave）。
   • 物理邊界條件：波函數 $\psi(x)$ 與其一階導數 $\frac{d\psi(x)}{dx}$ 在位能交界面（$x = 0$ 及 $x = a$）必須保持連續（Continuous）與平滑（Smooth）。
3. 古典與量子力學差異：
   • 古典力學：能量不足以克服位能障時，粒子會被 $100\%$ 反射，完全無法進入或穿過位能障（$T = 0, R = 1$）。
   • 量子力學：粒子具有波粒二象性，波函數能滲透位能障並穿透至另一側，產生大於零的透射機率（$T > 0$）。

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解題方法

(a) 薛丁格方程式與不含時薛丁格方程式

1. 含時薛丁格方程式（TDSE）：
   一維系統中，自由度為位置 $x$ 與時間 $t$ 的含時薛丁格方程式為：
   $i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\Psi(x,t)$
   其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 為約化普朗克常數，$m$ 為粒子質量，$V(x,t)$ 為外加位能。

2. 不含時薛丁格方程式（TISE）：
   若位能不隨時間變化，即 $V(x,t) = V(x)$，設波函數為可分離變數形式 $\Psi(x,t) = \psi(x) e^{-iEt/\hbar}$，代入 TDSE 並兩邊同除以 $\Psi(x,t)$，即可得到不含時薛丁格方程式：
   $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$
   亦可簡寫為本徵值算符形式 $\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$，其中漢米頓算符（Hamiltonian Operator）為 $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)$。

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(b) 位能障之本徵函數推導、波函數繪製與古典/量子比較

1. 分區推導不含時薛丁格方程式之本徵函數 $\psi(x)$

將一維空間依位能 $V(x)$ 分為三個區域：

• 區域 I（$x < 0$）：$V(x) = 0$
• 區域 II（$0 < x < a$）：$V(x) = V_0$
• 區域 III（$x > a$）：$V(x) = 0$

定義區域 I 與 III 之波數（Wave number）$k$：
$k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} > 0$

定義區域 II（因 $E < V_0$）之衰減常數（Attenuation constant）$\alpha$：
$\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} > 0$

各區域的波函數通解如下：

• 區域 I（$x < 0$）：
  $\frac{d^2 \psi_I(x)}{dx^2} + k^2 \psi_I(x) = 0 \implies \psi_I(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}$
  （$A e^{ikx}$ 為向右入射波，$B e^{-ikx}$ 為向左反射波）

• 區域 II（$0 < x < a$）：
  $\frac{d^2 \psi_{II}(x)}{dx^2} - \alpha^2 \psi_{II}(x) = 0 \implies \psi_{II}(x) = C e^{\alpha x} + D e^{-\alpha x}$
  （或可表示為雙曲函數形式 $C' \cosh(\alpha x) + D' \sinh(\alpha x)$）

• 區域 III（$x > a$）：
  $\frac{d^2 \psi_{III}(x)}{dx^2} + k^2 \psi_{III}(x) = 0 \implies \psi_{III}(x) = F e^{ikx}$
  （因粒子自左側入射，區域 III 右側無反射源，故不含 $e^{-ikx}$ 項；$F e^{ikx}$ 為向右透射波）

邊界條件匹配（Boundary Conditions）：

波函數必須滿足在 $x = 0$ 與 $x = a$ 處連續且斜率連續：

1. 在 $x = 0$ 處：
   $\psi_I(0) = \psi_{II}(0) \implies A + B = C + D$
   $\psi'_I(0) = \psi'_{II}(0) \implies ik(A - B) = \alpha(C - D)$

2. 在 $x = a$ 處：
   $\psi_{II}(a) = \psi_{III}(a) \implies C e^{\alpha a} + D e^{-\alpha a} = F e^{ika}$
   $\psi'_{II}(a) = \psi'_{III}(a) \implies \alpha (C e^{\alpha a} - D e^{-\alpha a}) = ik F e^{ika}$

綜合上述方程組，即可求得各係數 $B, C, D, F$ 相對於入射振幅 $A$ 的關係式，完整本徵函數表示為：

$$\psi(x) = \begin{cases} A e^{ikx} + B e^{-ikx}, & x < 0 \\ C e^{\alpha x} + D e^{-\alpha x}, & 0 < x < a \\ F e^{ikx}, & x > a \end{cases}$$

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2. 繪製本徵函數實部 $\text{Re}[\psi(x)]$ 與特徵說明

取波函數的實部 $\text{Re}[\psi(x)]$：

• 區域 I（$x < 0$）：$\text{Re}[\psi_I(x)]$ 為入射波與反射波疊加構成的簡諧干涉波（駐波成分與行進波混合），振幅較大且週期固定（波長 $\lambda = \frac{2\pi}{k}$）。

核心觀念

本題考查原子物理與近代物理中的原子基態電子組態（Ground-state Electron Configuration）。確定多電子原子的基態電子組態時，必須遵循以下三大基本原理與規則：

1. 構築原則（Aufbau Principle）：
   電子在基態時會優先填入能量最低的軌域。軌域能量高低主要由主量子數 $n$ 與角量子數 $l$ 決定，遵守 $(n+l)$ 法則（Madelung rule）。軌域填補順序為：
   $1s \to 2s \to 2p \to 3s \to 3p \to 4s \to 3d \to 4p \to \dots$

2. 包立不相容原理（Pauli Exclusion Principle）：
   在同一個原子中，不可能有兩個電子的四個量子數 $(n, l, m_l, m_s)$ 完全相同。因此，每個副殼層（Subshell）所能容納的最大電子數為 $2(2l+1)$：

   • $s$ 軌域（$l=0$）：最多容納 $2(2(0)+1) = 2$ 個電子
   • $p$ 軌域（$l=1$）：最多容納 $2(2(1)+1) = 6$ 個電子
   • $d$ 軌域（$l=2$）：最多容納 $2(2(2)+1) = 10$ 個電子

3. 洪德規則（Hund's Rule）：
   當電子填入同能階的簡併軌域（Degenerate Orbitals，例如 $2p$ 的 $p_x, p_y, p_z$）時，電子會優先以相同的自旋方向（平行自旋 $m_s = +1/2$）分別單獨佔據不同軌域，以降低電子間的庫侖排斥力，使總自旋多重度最大化，從而達到最低能量狀態。

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解題方法

(a) 碳原子（Carbon, C）

1. 確定電子總數：
   碳原子的原子序 $Z = 6$，中性原子共有 $6$ 個電子。
2. 依構築原則填入軌域：
   • 最內層填入 $1s$ 軌域：填滿 $2$ 個電子 $\to 1s^2$（剩餘 $4$ 個電子）。
   • 接著填入 $2s$ 軌域：填滿 $2$ 個電子 $\to 2s^2$（剩餘 $2$ 個電子）。
   • 最後填入 $2p$ 軌域：剩餘 $2$ 個電子填入 $2p$ 軌域 $\to 2p^2$。
3. 基態電子組態寫法：
   $1s^2 2s^2 2p^2$
   若使用惰性氣體核心簡寫法，可寫作 $\text{[He]} 2s^2 2p^2$。

(b) 氬原子（Argon, Ar）

1. 確定電子總數：
   氬原子的原子序 $Z = 18$，中性原子共有 $18$ 個電子。
2. 依構築原則填入軌域：
   • $1s$ 軌域填滿：$2$ 個電子 $\to 1s^2$（剩餘 $16$ 個電子）。
   • $2s$ 軌域填滿：$2$ 個電子 $\to 2s^2$（剩餘 $14$ 個電子）。

核心觀念

金屬中的導電電子可視為三維自由電子費米氣體。由於金的費米能量

$$E_F=5.51\ \text{eV}$$

而室溫下的熱能 $k_BT$ 遠小於 $E_F$，因此電子處於高度簡併狀態，平均能量可用低溫費米氣體結果計算：

$$\langle E\rangle \approx \frac{3}{5}E_F$$

理想氣體分子的平均平移動能則由能量均分定理給出：

$$\langle K\rangle=\frac{3}{2}k_BT$$

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解題方法

（a）室溫下導電電子的平均能量

在 $T=0$ 時，電子填滿 $0$ 到 $E_F$ 的所有能態。三維自由電子的態密度與 $\sqrt{E}$ 成正比，因此平均能量為

$$\langle E\rangle = \frac{\displaystyle\int_0^{E_F} E\,g(E)\,dE} {\displaystyle\int_0^{E_F}g(E)\,dE}$$

其中

$$g(E)\propto \sqrt{E}$$

所以

$$\langle E\rangle = \frac{\displaystyle\int_0^{E_F}E^{3/2}\,dE} {\displaystyle\int_0^{E_F}E^{1/2}\,dE}$$

計算得

$$\langle E\rangle = \frac{\frac{2}{5}E_F^{5/2}} {\frac{2}{3}E_F^{3/2}} = \frac{3}{5}E_F$$

代入金的費米能量：

$$\langle E\rangle = \frac{3}{5}(5.51\ \text{eV}) = 3.306\ \text{eV}$$

室溫修正可由 Sommerfeld 展開寫成

$$\langle E\rangle_T = \frac{3}{5}E_F \left[ 1+\frac{5\pi^2}{12} \left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^2 \right]$$

在 $T=293\ \text{K}$ 時，

$$k_BT = (8.617\times10^{-5}\ \text{eV/K})(293\ \text{K}) \approx 0.0253\ \text{eV}$$

因此

核心觀念

1. 發光二極體（LED）的發光機制與能隙關係
   LED 發光的主要機制為半導體導帶（Conduction Band）中的電子與價帶（Valence Band）中的電洞進行直接複合（Direct Recombination），進而釋放出光子。產生的光子能量 $E$ 約等於該半導體材料的禁帶寬度／能隙（Band Gap, $E_g$）：
   $E = E_g = \frac{hc}{\lambda}$
   其中：

   • $h$ 為普朗克常數（$6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$）。
   • $c$ 為真空光速（$3.0 \times 10^8 \text{ m/s}$）。
   • $\lambda$ 為發光波長。
     在近代物理與半導體元件計算中，常取常用常數組合：
     $hc \approx 1240 \text{ eV}\cdot\text{nm}$
     （若採用精確值 $hc \approx 1242 \text{ eV}\cdot\text{nm}$ 或 $1239.8 \text{ eV}\cdot\text{nm}$，計算結果亦在極小誤差範圍內，本題以考題最常用之 $1240 \text{ eV}\cdot\text{nm}$ 計算）。

2. 合金能隙與混合比例的關係（維格定律 Vegard's Law / 線性內插）
   三元半導體合金 $\text{In}_x\text{Ga}_{1-x}\text{N}$ 的能隙可由兩端二元化合物 $\text{GaN}$ 與 $\text{InN}$ 之能隙按摩爾比例（Mole Fraction）線性內插求得：
   $E_g(\text{In}_x\text{Ga}_{1-x}\text{N}) = x \cdot E_g(\text{InN}) + (1-x) \cdot E_g(\text{GaN})$
   設 $\text{GaN}$ 的相對比例為 $y = 1-x$，則 $\text{InN}$ 的相對比例為 $(1-y)$，能隙關係可寫為：
   $E_g = y \cdot E_g(\text{GaN}) + (1-y) \cdot E_g(\text{InN})$

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解題方法與詳細推導

步驟一：建立比例與能隙之函數式

已知 $\text{GaN}$ 的能隙 $E_g(\text{GaN}) = 3.4 \text{ eV}$，$\text{InN}$ 的能隙 $E_g(\text{InN}) = 0.7 \text{ eV}$。
令 $\text{GaN}$ 的相對莫耳分率為 $x$（百分比為 $x \times 100\%$），則 $\text{InN}$ 的相對莫耳分率為 $(1-x)$。
帶入線性內插公式：
$E_g(x) = 3.4 x + 0.7 (1-x) = 2.7 x + 0.7 \text{ (eV)}$

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(a) 發射綠光（$\lambda = 550 \text{ nm}$）

1. 計算對應的光子能量（能隙 $E_g$）：
   $E_g = \frac{1240 \text{ eV}\cdot\text{nm}}{550 \text{ nm}} \approx 2.2545 \text{ eV}$

2. 求出 $\text{GaN}$ 與 $\text{InN}$ 的相對比例 $x$：
   將 $E_g = 2.2545 \text{ eV}$ 代入能隙函數式：
   $2.7 x + 0.7 = 2.2545$
   $2.7 x = 1.5545$
   $x = \frac{1.5545}{2.7} \approx 0.5757 \text{ (即 } 57.6\% \text{)}$

核心觀念

1. 費米-狄拉克分佈（Fermi-Dirac Distribution）：全同費米子（如電子）在熱平衡狀態下，佔據能量為 $E$ 之量子態的機率公式為：
   $f(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - E_F}{k_B T}\right) + 1}$
   其中 $E_F$ 為費米能階（Fermi Energy），$k_B$ 為玻爾茲曼常數（$k_B \approx 8.61733 \times 10^{-5} \text{ eV/K}$），$T$ 為絕對溫度（$\text{K}$）。

2. 本徵半導體（Intrinsic Semiconductor）之能階對稱性：

   • 能隙 $E_g = E_c - E_v = 1.1 \text{ eV}$。
   • 題目指定費米能階 $E_F$ 位於能隙中央（Mid-gap），故導帶底（Bottom of conduction band, $E_c$）與價帶頂（Top of valence band, $E_v$）相對於 $E_F$ 的能量差分別為：
     $E_c - E_F = +\frac{E_g}{2} = 0.55 \text{ eV}$
     $E_v - E_F = -\frac{E_g}{2} = -0.55 \text{ eV}$

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解題方法

步驟一：計算熱能 $k_B T$
將溫度 $T = 293 \text{ K}$ 與玻爾茲曼常數代入：
$k_B T = (8.61733 \times 10^{-5} \text{ eV/K}) \times 293 \text{ K} \approx 0.025249 \text{ eV}$

步驟二：計算指數項指數值
能量差相對於熱能的比值為：
$\frac{E_c - E_F}{k_B T} = \frac{0.55 \text{ eV}}{0.025249 \text{ eV}} \approx 21.783$

步驟三：求解 (a) 導帶底量子態之佔據機率 $f(E_c)$
將指數值代入費米-狄拉克分佈公式。因為 $21.783 \gg 1$，可精確計算或使用麥克斯韋-玻爾茲曼近似（Maxwell-Boltzmann Approximation）：
$f(E_c) = \frac{1}{\exp(21.783) + 1} \approx \exp(-21.783) \approx 3.46 \times 10^{-10}$

步驟四：求解 (b) 價帶頂量子態之佔據機率 $f(E_v)$
代入價帶頂能量 $E_v - E_F = -0.55 \text{ eV}$：
$f(E_v) = \frac{1}{\exp(-21.783) + 1}$

核心觀念

1. 光子能量與能階躍遷：
   當系統從激發態能量 $E_1$ 躍遷至基態能量 $E_0$ 時，所釋放出的光子能量 $E$ 即等於兩能階間的能量差：
   $E = \Delta E = E_1 - E_0$

2. 雷射輸出功率定義：
   雷射的輸出功率（Power output, $P$）為單位時間內雷射光束所帶有的總能量。若雷射發射光子的速率為每秒 $N$ 個，則功率等於發射速率乘以單一光子能量：
   $P = N \cdot E$

3. 光子波長與能量關係：
   根據愛因斯坦光電效應與普朗克假說，光子的能量 $E$ 與波長 $\lambda$ 之關係為：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck constant），$c$ 為真空中光速（Speed of light）。

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解題方法

(a) 計算雷射輸出功率（Power Output）

1. 求單一光子能量 $E$：
   單一光子能量為激態與基態之能量差：
   $E = 1.15\,\text{eV} - 0\,\text{eV} = 1.15\,\text{eV}$
   換算為國際單位制（SI 單位，焦耳 $\text{J}$）：
   $E = 1.15 \times 1.602 \times 10^{-19}\,\text{J} = 1.8423 \times 10^{-19}\,\text{J}$

2. 計算輸出功率 $P$：
   已知每秒發射光子數 $N = 5.50 \times 10^{18}\,\text{s}^{-1}$，代入功率公式：
   $P = N \cdot E = (5.50 \times 10^{18}\,\text{s}^{-1}) \times (1.8423 \times 10^{-19}\,\text{J})$
   $P = 1.013265\,\text{W} \approx 1.01\,\text{W}$

(b) 計算發射光波長（Wavelength）