109 年 國立成功大學光電科學與工程研究所甲組《近代物理》

核心觀念

本題考驗**愛因斯坦光電效應方程式（Einstein's Photoelectric Equation）與遏止電位（Stopping Potential, $V_s$）**的定義與數值計算。

1. 光子能量公式：
   單一入射光子的能量 $E$ 與其波長 $\lambda$ 的關係為：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
   其中 $h$ 為普朗克常數，$c$ 為真空光速。在光電效應與近代物理計算中，常用快捷換算常數 $hc \approx 1240 \text{ eV}\cdot\text{nm}$（或精確值 $1242 \text{ eV}\cdot\text{nm}$）。

2. 愛因斯坦光電效應方程式：
   當金屬內部的電子吸收一個入射光子的能量 $E$ 後，扣除克服金屬表面束縛所需的最小能量——功函數（Work Function, $W$），剩餘能量轉化為逸出電子的最大初動能 $K_{\max}$：
   $K_{\max} = E - W = \frac{hc}{\lambda} - W$

3. 遏止電位與動能之關係：
   若施加一反向電場阻止光電子到達對極，當反向電位差達到遏止電位 $V_s$ 時，電場力所作的負功剛好消耗完動能最大的光電子，使迴路光電流精確降至零：
   $e V_s = K_{\max} \implies V_s = \frac{K_{\max}}{e}$
   當最大動能 $K_{\max}$ 以電子伏特（$\text{eV}$）為單位時，其對應的遏止電位 $V_s$ 在數值上直接等於該動能數值（單位為伏特 $\text{V}$）。

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解題方法

步驟一：計算入射光子的能量 $E$
已知入射光波長 $\lambda = 290 \text{ nm}$，帶入光子能量公式：
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \text{ eV}\cdot\text{nm}}{290 \text{ nm}} \approx 4.276 \text{ eV}$

（若使用國際標準單位制 SI 進行推導：
$E = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}) \times (3.00 \times 10^8 \text{ m/s})}{290 \times 10^{-9} \text{ m}} \approx 6.854 \times 10^{-19} \text{ J}$
換算為電子伏特：
$E = \frac{6.854 \times 10^{-19} \text{ J}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV}} \approx 4.278 \text{ eV}$）

核心觀念

1. 波包的傅立葉合成（Fourier Synthesis of Wave Packets）：
   單一頻率的平面波在空間中無限延伸，無法定位粒子。若要形成侷限於有限空間區域的「波包（Wave Packet）」，必須疊加不同波數 $k$ 的平面波。空間波函數 $\psi(x, 0)$ 與波數振幅分布 $A(k)$ 構成一對傅立葉變換對（Fourier Transform Pair）：

   $$\psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) e^{ikx} dk$$

2. 海森堡不確定性原理（Heisenberg Uncertainty Principle）：
   波包在空間的擴展範圍 $\Delta x$ 與在波數空間的擴展範圍 $\Delta k$ 滿足倒數關係。對於任意波包，其位置與波數的不確定性乘積恆滿足：

   $$\Delta k \Delta x \ge \frac{1}{2}$$

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解題方法

(a) 計算 $\psi(x, 0)$

將給定的方形波數振幅 $A(k)$ 代入波包疊加積分式：

$$A(k) = \begin{cases} N & -K \le k \le K \\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases}$$

積分範圍受限於 $[-K, K]$：

$$\psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-K}^{K} N e^{ikx} dk$$

提出常數 $N$ 並進行積分：

$$\psi(x, 0) = \frac{N}{\sqrt{2\pi}} \left[ \frac{e^{ikx}}{ix} \right]_{-K}^{K} = \frac{N}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{e^{iKx} - e^{-iKx}}{ix}$$

利用歐拉公式 $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ 化簡：

$$e^{iKx} - e^{-iKx} = 2i \sin(Kx)$$

代入回式中：

$$\psi(x, 0) = \frac{N}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{2i \sin(Kx)}{ix} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} N \frac{\sin(Kx)}{x}$$

若使用 $\text{sinc}$ 函數表示，亦可寫為：

$$\psi(x, 0) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} N K \cdot \text{sinc}(Kx) \quad \left( \text{其中 } \text{sinc}(\theta) \equiv \frac{\sin\theta}{\theta} \right)$$

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(b) 驗證不確定性關係 $\Delta k \Delta x > \frac{1}{2}$

定義方式一：零點與界限半寬法（First-Zero / Boundary Half-Width）

1. 波數空間寬度 $\Delta k$：
   振幅分布 $A(k)$ 在 $[-K, K]$ 內為均勻分布，其全寬為 $2K$。定義半寬（Half-width）為：

   $$\Delta k = K$$

2. 位置空間寬度 $\Delta x$：
   波包 $\psi(x, 0) \propto \frac{\sin(Kx)}{x}$ 的主要能量集中於中央主峰（Central Main Lobe）。中央主峰第一零點（First zero）出現在 $Kx = \pi$ 處，即 $x = \frac{\pi}{K}$。
   定義波包特徵半寬為中央主峰中心至第一零點的距離：

   $$\Delta x = \frac{\pi}{K}$$

3. 計算乘積：

   $$\Delta k \Delta x = K \cdot \frac{\pi}{K} = \pi \approx 3.1416$$

   顯然滿足：

   $$\Delta k \Delta x = \pi > \frac{1}{2}$$

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(a) 計算 $P(x) = |\psi(x)|^2$ 的極值點 $x$

對於 $x > 0$，機率密度函數為：
$P(x) = |\psi(x)|^2 = \frac{4a}{\pi} x e^{-2ax}$

對 $x$ 微分並令其為零：
$\frac{dP(x)}{dx} = \frac{4a}{\pi} e^{-2ax} (1 - 2ax) = 0$

解得 $x = \frac{1}{2a}$。經由二次微分驗證 $\frac{d^2P}{dx^2}\Big|_{x=\frac{1}{2a}} < 0$，確定 $P(x)$ 在 $x = \frac{1}{2a}$ 處取得峰值。

【答案】 $x = \frac{1}{2a}$

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(b) 計算期望值 $\langle x \rangle$ 與 $\langle x^2 \rangle$

分母總歸一化積分：
$\int_0^\infty |\psi(x)|^2 dx = \frac{4a}{\pi} \int_0^\infty x e^{-2ax} dx = \frac{4a}{\pi} \cdot \frac{1!}{(2a)^2} = \frac{1}{\pi a}$

利用 Gamma 積分公式 $\int_0^\infty x^n e^{-bx} dx = \frac{n!}{b^{n+1}}$：

1. 計算 $\langle x \rangle$：
   $\langle x \rangle = \frac{\int_0^\infty x |\psi(x)|^2 dx}{\int_0^\infty |\psi(x)|^2 dx} = \pi a \cdot \frac{4a}{\pi} \int_0^\infty x^2 e^{-2ax} dx = 4a^2 \cdot \frac{2!}{(2a)^3} = \frac{1}{a}$

2. 計算 $\langle x^2 \rangle$：
   $\langle x^2 \rangle = \frac{\int_0^\infty x^2 |\psi(x)|^2 dx}{\int_0^\infty |\psi(x)|^2 dx} = \pi a \cdot \frac{4a}{\pi} \int_0^\infty x^3 e^{-2ax} dx = 4a^2 \cdot \frac{3!}{(2a)^4} = \frac{3}{2a^2}$

【答案】 $\langle x \rangle = \frac{1}{a}$，$\langle x^2 \rangle = \frac{3}{2a^2}$

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(c) 計算粒子在 $x = 0$ 至 $x = 1/a$ 之間的機率

粒子出現在區域 $x \in [0, 1/a]$ 的機率為：

核心觀念

本題考查量子力學中**機率流密度（Probability Current Density / Probability Flux）**的定義與推導。

1. 粒子流的物理意義：
   一維空間中，單一自由粒子的波函數若表示為正弦平面波 $e^{ikx}$，代表粒子以確定的動量 $p = \hbar k$ 沿 $+x$ 方向傳播，其經典速度為 $v = \frac{p}{m} = \frac{\hbar k}{m}$。同理，$e^{-ikx}$ 代表沿 $-x$ 方向傳播的粒子。

2. 機率流密度公式：
   根據量子力學機率守恆所導出的連續方程式 $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x} = 0$，一維機率流密度 $J(x,t)$ 的定義為：
   $J = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right) = \frac{\hbar}{m} \text{Im} \left( \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)$
   其中 $\psi^*$ 為波函數 $\psi$ 的複數共軛，$\text{Im}(\dots)$ 表示取該複數的虛部。

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解題方法

給定粒子的波函數為：
$\psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}$
其中 $A, B$ 為複數振幅，假設波數 $k$ 為實數。

步驟一：求波函數對 $x$ 的一階偏微分 $\frac{d\psi}{dx}$

$\frac{d\psi}{dx} = ik A e^{ikx} - ik B e^{-ikx} = ik \left( A e^{ikx} - B e^{-ikx} \right)$

步驟二：寫出共軛波函數 $\psi^*(x)$

$\psi^*(x) = A^* e^{-ikx} + B^* e^{ikx}$

步驟三：計算 $\psi^* \frac{d\psi}{dx}$ 並展開

將上述兩式相乘：
$\psi^* \frac{d\psi}{dx} = \left( A^* e^{-ikx} + B^* e^{ikx} \right) \cdot ik \left( A e^{ikx} - B e^{-ikx} \right)$
$= ik \left[ A^* A \cdot e^0 - A^* B e^{-2ikx} + B^* A e^{2ikx} - B^* B \cdot e^0 \right]$
$= ik \left[ |A|^2 - |B|^2 + \left( A B^* e^{2ikx} - A^* B e^{-2ikx} \right) \right]$

注意到中括號內的交叉項：若令複數 $Z = A B^* e^{2ikx}$，則其共軛複數為 $Z^* = A^* B e^{-2ikx}$。
任意複數與其共軛之差為純虛數：
$Z - Z^* = 2i \text{Im}(Z) = 2i \text{Im}\left( A B^* e^{2ikx} \right)$

因此：
$\psi^* \frac{d\psi}{dx} = ik \left( |A|^2 - |B|^2 \right) + ik \cdot 2i \text{Im}\left( A B^* e^{2ikx} \right)$
$= ik \left( |A|^2 - |B|^2 \right) - 2k \text{Im}\left( A B^* e^{2ikx} \right)$

(a)

依據繞射與解析度極限觀念，顯微鏡若要觀察並解析直徑約 $d = 0.10\ \mu\text{m}$ 的微粒，電子的德布羅意波長 $\lambda$ 數量級須與微粒尺寸相當（$\lambda \approx d$）。

因此，電子的德布羅意波長為：
$\lambda = 0.10\ \mu\text{m} = 1.0 \times 10^{-7}\ \text{m}$

【答案】$\lambda = 0.10\ \mu\text{m}$（或 $1.0 \times 10^{-7}\ \text{m}$）

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(b)

非相對論電子的動能 $K$ 與加速電位差 $V$ 之關係為：
$K = eV = \frac{p^2}{2m_e}$

代入德布羅意關係式 $p = \frac{h}{\lambda}$，整理得到加速電位差 $V$：
$V = \frac{h^2}{2 m_e e \lambda^2}$

核心觀念

本題考查近代物理學中的康普頓效應（Compton Effect）與光子–電子碰撞之能量與動量守恆。

1. 康普頓散射波長偏移公式（Compton Shift Equation）：
   當入射光子與靜止的自由電子發生彈性碰撞時，散射光子的波長 $\lambda'$ 會比入射光子的波長 $\lambda$ 變長，其波長偏移量 $\Delta \lambda$ 與散射角 $\theta$ 的關係為：
   $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_C (1 - \cos\theta)$
   其中 $\lambda_C = \frac{h}{m_e c} \approx 0.002426 \text{ nm} = 2.426 \times 10^{-12} \text{ m}$ 為電子的康普頓波長（Compton wavelength）。

2. 光子動量與波長關係（De Broglie / Einstein Relation）：
   光子的動量大小 $p$ 與波長 $\lambda$ 成反比：
   $p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c}$

3. 能量守恆定律（Conservation of Energy）：
   碰撞過程中總能量守恆，入射光子的能量等於散射光子能量與散射電子動能之和：
   $E = E' + K_e \implies K_e = E - E' = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'} \right)$

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解題方法

已知條件

• 入射光子波長：$\lambda = 0.02480 \text{ nm} = 2.480 \times 10^{-11} \text{ m}$
• 散射角：$\theta = 90.0^\circ$
• 普朗克常數：$h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
• 電子質量：$m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$
• 光速：$c \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$
• 能量常數組合：$hc \approx 1240 \text{ eV}\cdot\text{nm} = 1.986 \times 10^{-25} \text{ J}\cdot\text{m}$
• 基本電荷：$e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$

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(a) 散射光子的動量（Momentum of Scattered Photons）

1. 計算散射光子的波長 $\lambda'$：
   由於散射角 $\theta = 90.0^\circ$，代入波長偏移公式：
   $\Delta \lambda = \lambda_C (1 - \cos 90.0^\circ) = \lambda_C = 0.002426 \text{ nm}$
   故散射光波長 $\lambda'$ 為：
   $\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.02480 \text{ nm} + 0.002426 \text{ nm} = 0.027226 \text{ nm} = 2.7226 \times 10^{-11} \text{ m}$

2. 計算散射光子的動量 $p'$：
   代入光子動量公式 $p' = \frac{h}{\lambda'}$：
   $p' = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}}{2.7226 \times 10^{-11} \text{ m}} \approx 2.434 \times 10^{-23} \text{ kg}\cdot\text{m/s}$

   若以近代物理常用單位 $\text{eV}/c$ 表示：

(a) 動量轉移量推導

在彈性散射（Elastic scattering）中，$\alpha$ 粒子散射前後的動量大小不變，即 $|\vec{p}_i| = |\vec{p}_f| = p$。

動量轉移向量定義為 $\vec{\Delta p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$。由向量扣減幾何關係（或餘弦定理）：
$|\vec{\Delta p}|^2 = p_f^2 + p_i^2 - 2 p_f p_i \cos\theta = 2p^2 (1 - \cos\theta)$

利用半角公式 $1 - \cos\theta = 2\sin^2 \frac{\theta}{2}$ 代入：
$|\vec{\Delta p}|^2 = 4p^2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$

兩邊開平方根，即得動量轉移大小：
$\Delta p = 2p \sin \frac{\theta}{2}$

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(b) 計算 $\alpha$ 粒子的初動能

在 Rutherford 散射中，散射角為 $\theta$ 時，$\alpha$ 粒子與金原子核的最接近距離 $r_{\min}$ 為：
$r_{\min} = \frac{z Z e^2}{8 \pi \varepsilon_0 K} \left(1 + \frac{1}{\sin \frac{\theta}{2}}\right)$

核心觀念

1. 波爾氫原子模型能量公式（Bohr's Energy Levels）：
   氫原子電子在主量子數為 $n$ 的定態軌道上時，其束縛能量為：
   $E_n = -\frac{E_0}{n^2} = -\frac{13.6\text{ eV}}{n^2}$
   其中 $E_0 = \frac{m e^4}{32 \pi^2 \varepsilon_0^2 \hbar^2} \approx 13.6\text{ eV}$ 為氫原子基態能量大小。

2. 光子躍遷輻射條件（Bohr's Frequency Condition）：
   當電子從初態 $n_i$ 躍遷至終態 $n_f$ 時，釋放光子的能量 $\Delta E$ 與光子頻率 $\nu$ 滿足：
   $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = h \nu$

3. 電子軌道運動頻率（Orbital Frequency）：
   古典物理中，電子繞核做勻速圓周運動的軌道頻率 $f_{\text{orb}}$ 為電子速率 $v_n$ 除以軌道周長 $2\pi r_n$：
   $f_{\text{orb}}(n) = \frac{v_n}{2 \pi r_n} = \frac{2 |E_1|}{h n^3} = \frac{2 R_\infty c}{n^3}$
   其中 $R_\infty$ 為芮得柏常數，$c$ 為光速。

4. 波爾對應原理（Bohr Correspondence Principle）：
   古典電動力學預測加速運動的電子會輻射出等於其「軌道頻率」的電磁波；而波爾量子模型中，量子躍遷發射光子的頻率 $\nu$ 介於初始軌道頻率 $f_{\text{orb}}(n_i)$ 與最終軌道頻率 $f_{\text{orb}}(n_f)$ 之間。當量子數 $n \gg 1$ 時，躍遷頻率與軌道頻率將趨於一致。

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解題方法

(a) 計算躍遷發射輻射之能量 $\Delta E$

1. 帶入氫原子能階公式：
   初態量子數 $n_i = 3$，終態量子數 $n_f = 2$。
   $\Delta E = E_3 - E_2 = -13.6\text{ eV} \times \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6\text{ eV} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6\text{ eV} \times \frac{5}{36}$

2. 數值計算：
   $\Delta E \approx 1.8889\text{ eV} \approx 1.89\text{ eV}$
   若換算為國際標準單位（SI單位，焦耳 $\text{J}$）：
   $\Delta E = 1.8889 \times 1.602 \times 10^{-19}\text{ J} \approx 3.03 \times 10^{-19}\text{ J}$

3. 發射光子頻率 $\nu$：
   $\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3.03 \times 10^{-19}\text{ J}}{6.626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}} \approx 4.57 \times 10^{14}\text{ Hz}$

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(b) 比較發射輻射頻率與 $n=3$ 及 $n=2$ 的電子軌道運動頻率

1. 推導電子軌道運動頻率 $f_{\text{orb}}(n)$ 之符號表示式：
   由波爾角動量量化條件 $m v_n r_n = n \hbar$ 及庫侖力提供向心力 $\frac{m v_n^2}{r_n} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n^2}$，可導得：

   • 軌道半徑：$r_n = n^2 a_0$（$a_0 \approx 0.529\text{ \AA}$）
   • 電子速度：$v_n = \frac{v_1}{n}$（$v_1 = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 h} \approx 2.18 \times 10^6\text{ m/s}$）

   因此，軌道頻率為：
   $f_{\text{orb}}(n) = \frac{v_n}{2\pi r_n} = \frac{v_1 / n}{2\pi a_0 n^2} = \frac{v_1}{2\pi a_0 n^3} = \frac{2 |E_1|}{h n^3}$

2. 計算 $n = 3$ 與 $n = 2$ 之軌道運動頻率：

   • 當 $n = 3$ 時：
     $f_{\text{orb}}(3) = \frac{2 \times 13.6\text{ eV}}{h \times 3^3} = \frac{27.2\text{ eV}}{27 h} = \frac{1.0074\text{ eV}}{h} \approx 2.44 \times 10^{14}\text{ Hz}$
   • 當 $n = 2$ 時：

核心觀念

1. 正常塞曼效應（Normal Zeeman Effect）：
   在外部均勻磁場 $\vec{B} = B \hat{z}$ 中，忽略自旋（$S=0$）或僅考慮軌域角動量與磁場的相互作用。原子的能階會因磁偶極能分裂，分裂能量與磁量子數 $m_l$ 成正比：
   $\Delta E = m_l \mu_B B$
   其中 $\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}$ 為波爾磁子（Bohr magneton）。

2. 量子數與能階分裂：

   • $3\text{d}$ 能階：角量子數 $l = 2$，軌域磁量子數 $m_l = +2, +1, 0, -1, -2$（分裂為 5 個副能階）。
   • $2\text{p}$ 能階：角量子數 $l = 1$，軌域磁量子數 $m_l = +1, 0, -1$（分裂為 3 個副能階）。

3. 電雙極躍遷選擇律（Selection Rules）：
   電子在發生輻射躍遷時，磁量子數的改變量必須滿足：
   $\Delta m_l = m_{l1} - m_{l2} = 0, \pm 1$

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解題方法

(a) 繪製能階分裂圖與允許之躍遷（5%）

1. 能階分裂表示：
   設無磁場時的 $3\text{d}$ 與 $2\text{p}$ 能階能量分別為 $E(3\text{d})$ 與 $E(2\text{p})$。加磁場後：
   $E(3\text{d}, m_{l1}) = E(3\text{d}) + m_{l1} \mu_B B \quad (m_{l1} = +2, +1, 0, -1, -2)$
   $E(2\text{p}, m_{l2}) = E(2\text{p}) + m_{l2} \mu_B B \quad (m_{l2} = +1, 0, -1)$

2. 符合選擇律 $\Delta m_l = m_{l1} - m_{l2} = 0, \pm 1$ 的跃遷分組：

   • $\Delta m_l = +1$ 組（共 3 條路徑）：
     • $m_{l1} = +2 \to m_{l2} = +1$
     • $m_{l1} = +1 \to m_{l2} = 0$
     • $m_{l1} = 0 \to m_{l2} = -1$
   • $\Delta m_l = 0$ 組（共 3 條路徑）：
     • $m_{l1} = +1 \to m_{l2} = +1$
     • $m_{l1} = 0 \to m_{l2} = 0$
     • $m_{l1} = -1 \to m_{l2} = -1$
   • $\Delta m_l = -1$ 組（共 3 條路徑）：
     • $m_{l1} = 0 \to m_{l2} = +1$
     • $m_{l1} = -1 \to m_{l2} = 0$
     • $m_{l1} = -2 \to m_{l2} = -1$

3. 能階分裂與躍遷示意圖：