109 年 國立成功大學光電科學與工程研究所乙組《電子學》

核心觀念

本題考查 BJT 開關電路、Schottky 箝位二極體與 Zener 穩壓二極體的工作判斷。

• BJT 導通時，$V_B \approx V_{BE}=0.7\text{ V}$。
• 若工作於主動區，則 $I_C=\beta I_B$。
• D1 為 Schottky 二極體，導通時約有 $0.3\text{ V}$ 壓降，會限制 BJT 集極電壓不能低於基極太多。
• D2 在反向崩潰時，才會將 $V_{out}$ 箝位於 $V_Z=5.4\text{ V}$。

解題方法

先假設 Q1 工作於主動區。基極電流為

$$I_B=\frac{V_{in}-V_{BE}}{100\text{ k}\Omega} =\frac{6-0.7}{100\text{ k}\Omega} =53\ \mu\text{A}$$

因此主動區所需的集極電流為

$$I_C=\beta I_B =100(53\ \mu\text{A}) =5.3\text{ mA}$$

若 Q1 要吸收 $5.3\text{ mA}$，由 $2\text{ k}\Omega$ 電阻提供的電流將使集極電壓降為

核心觀念

本題結合 BiCMOS 放大器的：

• MOSFET 與 BJT 的直流偏壓
• 小訊號參數 $g_m$、$r_\pi$
• 中頻電壓增益
• Miller 定理
• 耦合電容造成的低頻極點
• 開路時間常數法估計高頻截止頻率

由 Fig. 2 可知：$Q_1$ 為 NMOS，源極接至 $Q_2$ 基極；$Q_2$ 為共射極 BJT。$R_G=10\ \text{M}\Omega$ 由 $Q_1$ 閘極接至輸出端。

以下採用 $V_T=25\ \text{mV}$，忽略 MOSFET 與 BJT 的 $r_o$。

---

(a) 直流偏壓與小訊號參數

直流時 $C_1$、$C_2$ 開路，且 MOSFET 閘極沒有直流電流。因此 $R_G$ 中沒有直流電流，故 $Q_1$ 的閘極電壓等於汲極電壓：

$$V_G=V_D$$

因為 $Q_1$ 源極直接接到 $Q_2$ 基極：

$$V_S=V_{BE}=0.7\ \text{V}$$

源極電阻電流為

$$I_R=\frac{0.7}{6.8\ \text{k}\Omega} =102.9\ \mu\text{A}$$

令 $I_{B2}$ 為 $Q_2$ 基極電流，則

$$I_{D1}=I_R+I_{B2}$$

又因為

$$I_{C2}=\beta I_{B2}=200I_{B2}$$

輸出節點的 $3\ \text{k}\Omega$ 電阻電流為

$$\frac{5-V_D}{3\ \text{k}\Omega} =I_{D1}+I_{C2}$$

NMOS 的汲極電流為

$$I_{D1} =\frac{1}{2}K_n'\frac WL(V_{GS}-V_t)^2 =(V_{GS}-1)^2\ \text{mA}$$

其中

$$V_{GS}=V_D-0.7$$

因此

$$I_{D1}=(V_D-1.7)^2\ \text{mA}$$

聯立上述關係，得到

$$I_{B2}\approx 4.42\ \mu\text{A}$$ $$I_{D1}=102.9+4.42 \approx 107.4\ \mu\text{A}$$ $$I_{C2}=200I_{B2} \approx 0.884\ \text{mA}$$

輸出直流電壓為

$$V_D=5-(I_{D1}+I_{C2})(3\ \text{k}\Omega) \approx 2.03\ \text{V}$$

$Q_1$ 的小訊號參數

NMOS 過驅電壓：

$$V_{OV1}=V_{GS}-V_t =2.03-0.7-1 \approx 0.327\ \text{V}$$

所以

$$g_{m1}=\frac{2I_{D1}}{V_{OV1}} =\frac{2(107.4\ \mu\text{A})}{0.327} \approx 0.656\ \text{mS}$$

題目已給定

$$C_{gs1}=C_{gd1}=1\ \text{pF}$$

$Q_2$ 的小訊號參數

$$g_{m2}=\frac{I_{C2}}{V_T} =\frac{0.884\ \text{mA}}{25\ \text{mV}} \approx 35.4\ \text{mS}$$ $$r_{\pi2}=\frac{\beta}{g_{m2}} =\frac{200}{35.4\ \text{mS}} \approx 5.65\ \text{k}\Omega$$

由 BJT 截止頻率定義：

$$f_T=\frac{g_{m2}}{2\pi(C_{\pi2}+C_{\mu2})}$$

因此

$$C_{\pi2} =\frac{g_{m2}}{2\pi f_T}-C_{\mu2}$$ $$C_{\pi2} =\frac{35.4\ \text{mS}} {2\pi(600\ \text{MHz})} -0.8\ \text{pF} \approx 8.6\ \text{pF}$$

所以

$$C_{\mu2}=0.8\ \text{pF}$$

---

(b) 中頻增益與輸入電阻

$Q_1$ 源極交流電壓

$Q_1$ 源極看到的負載為

$$R_S=6.8\ \text{k}\Omega\parallel r_{\pi2}$$ $$R_S=6.8\ \text{k}\Omega\parallel5.65\ \text{k}\Omega \approx3.08\ \text{k}\Omega$$

由源極退化關係：

$$\frac{v_s}{v_i} =\frac{g_{m1}R_S}{1+g_{m1}R_S}$$ $$\frac{v_s}{v_i} =\frac{(0.656\ \text{mS})(3.08\ \text{k}\Omega)} {1+(0.656\ \text{mS})(3.08\ \text{k}\Omega)} \approx0.668$$

中頻電壓增益

輸出端等效電阻為

$$R_o=3\ \text{k}\Omega\parallel1\ \text{k}\Omega =750\ \Omega$$

輸出電流包含 $Q_1$ 與 $Q_2$ 的小訊號電流：

$$i_o=g_{m1}(v_i-v_s)+g_{m2}v_s$$

因此

$$\frac{v_o}{v_i} =-R_o\left[ g_{m1}\left(1-\frac{v_s}{v_i}\right) +g_{m2}\frac{v_s}{v_i} \right]$$

代入數值：

$$\frac{v_o}{v_i} =-750\left[ 0.656\ \text{mS}(1-0.668) +35.4\ \text{mS}(0.668) \right]$$ $$\boxed{\frac{v_o}{v_i}\approx-17.9}$$

負號表示輸出與輸入反相。

Miller 定理與 $R_{in}$

$R_G$ 跨接輸入與輸出，輸入端等效電阻為

$$R_{G,\text{in}} =\frac{R_G}{1-A_v}$$

其中 $A_v=v_o/v_i=-17.9$，所以

$$R_{G,\text{in}} =\frac{10\ \text{M}\Omega}{1-(-17.9)} \approx529\ \text{k}\Omega$$

MOSFET 閘極本身沒有小訊號電流，因此

$$\boxed{R_{in}\approx529\ \text{k}\Omega}$$

整體電壓增益

訊號源內阻為 $100\ \text{k}\Omega$，所以

$$\frac{v_i}{v_{sig}} =\frac{R_{in}}{100\ \text{k}\Omega+R_{in}}$$

核心觀念

本題考查：

1. MOS 電流鏡的電流比例。
2. 電阻回授設定偏壓電流。
3. MOS 差動對的跨導 $g_m$。
4. 差動輸入下，兩側輸出電壓的相減。

以下假設所有 MOS 皆工作於飽和區，忽略通道長度調變，且 $M_6$、$M_7$ 為匹配的 PMOS 電流鏡。

令

$$k_n=\mu_n C_{ox}(W/L)_n$$

由圖中尺寸可得

$$k_1=2k_n,\qquad k_2=k_n,\qquad k_3=4k_n$$

且 $M_4$、$M_5$ 的跨導參數皆為 $k_n$。

---

(1) 推導 $I_{bias}$

電流鏡關係

$M_6$、$M_7$ 為尺寸相同的 PMOS 電流鏡，因此

$$I_6=I_7$$

由兩個電流鏡節點的 KCL，可得

$$I_2=I_3$$

令

$$I_2=I_3=I$$

$M_2$ 的源極接地，$M_3$ 的源極電壓為電阻上的電壓：

$$V_{S3}=IR$$

設兩個 NMOS 的共閘極電壓為 $V_G$，並令

$$V_{OV2}=V_G-V_t$$

則

$$V_{OV3}=V_G-IR-V_t=V_{OV2}-IR$$

使用 MOS 飽和區電流公式

對 $M_2$：

$$I=\frac{1}{2}k_nV_{OV2}^2$$

對 $M_3$：

$$I=\frac{1}{2}(4k_n)V_{OV3}^2$$

因為 $I_2=I_3$，所以

$$\frac{1}{2}k_nV_{OV2}^2 = \frac{1}{2}(4k_n)V_{OV3}^2$$

取正的過驅電壓：

$$V_{OV2}=2V_{OV3}$$

又因為 $V_{OV3}=V_{OV2}-IR$，因此

$$V_{OV2}=2(V_{OV2}-IR)$$

整理得

$$IR=\frac{V_{OV2}}{2}$$

亦即

$$V_{OV2}=2IR$$

代入 $M_2$ 的電流式：

$$I=\frac{1}{2}k_n(2IR)^2$$ $$I=2k_nI^2R^2$$

取非零偏壓解：

$$I=\frac{1}{2k_nR^2}$$

由於 $M_1$ 與 $M_2$ 共閘極，且

$$\frac{(W/L)_1}{(W/L)_2}=2$$

故

$$I_{bias}=I_1=2I_2=2I$$

因此

核心觀念

本題考查：

• NMOS、PMOS 的平方律電流公式
• 電流鏡的電流複製
• MOS 飽和區條件
• 小訊號跨導 $g_m$
• 共源級放大器的電壓增益

由圖可知，$M_4$ 為二極體接法 PMOS，與 $M_3$ 形成電流鏡；$M_2$ 為二極體接法 PMOS，作為輸出端的負載。

依圖中標示採用：

$$V_{TN}=1\text{ V},\qquad V_{TP}=-1\text{ V}$$

且

$$\mu_n C_{ox}\frac{W_1}{L_1} = \mu_p C_{ox}\frac{W_2}{L_2} = \mu_p C_{ox}\frac{W_3}{L_3} = \mu_p C_{ox}\frac{W_4}{L_4} =200\,\mu\text{A/V}^2$$

---

(a) 輸出直流電壓

1. 求 $M_1$ 的汲極電流

輸入直流偏壓為 $V_{in}=3$ V，因此

$$V_{GS1}=3\text{ V}$$

NMOS $M_1$ 的過驅電壓為

$$V_{OV1}=V_{GS1}-V_{TN}=3-1=2\text{ V}$$

在飽和區：

$$I_{D1} = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox}\frac{W_1}{L_1} V_{OV1}^2$$

因此

$$I_{D1} = \frac{1}{2}(200)(2)^2 =400\,\mu\text{A}$$

2. 求 $M_3$ 的電流

$M_4$ 的電流由 $I_{BIAS}$ 設定：

$$I_{D4}=I_{BIAS}=300\,\mu\text{A}$$

因為 $M_3$ 與 $M_4$ 的尺寸相同，電流鏡將電流複製至 $M_3$：

$$I_{D3}=300\,\mu\text{A}$$

3. 求 $M_2$ 的電流

在輸出節點套用直流 KCL：

$$I_{D1}=I_{D2}+I_{D3}$$

所以

$$I_{D2}=400-300=100\,\mu\text{A}$$

$M_2$ 為二極體接法 PMOS，其電流為

$$I_{D2} = \frac{1}{2} \mu_p C_{ox}\frac{W_2}{L_2} V_{OV2}^2$$

因此

$$100 = \frac{1}{2}(200)V_{OV2}^2$$

得到

$$V_{OV2}=1\text{ V}$$

PMOS 的

$$V_{SG2}=|V_{TP}|+V_{OV2}=1+1=2\text{ V}$$

由於 $M_2$ 的 source 接至 $V_{DD}$，drain 與 gate 接在輸出端：

核心觀念

本題考查 BJT 在主動區的 Early effect（厄利效應），也稱為 基極寬度調變（base-width modulation）。

理想 BJT 在主動區滿足：

$$I_C \approx I_S e^{V_{BE}/V_T}$$

因此當 $V_{BE}$ 固定時，$I_C$ 應與 $V_{CE}$ 無關。實際 BJT 則因為 $V_{CB}$ 反向偏壓增加，使集極—基極接面空乏區變寬，造成有效中性基極寬度縮短，使 $I_C$ 隨 $V_{CE}$ 增加而略微上升。

---

解題方法

在主動區中：

• 射極—基極接面為順向偏壓；
• 集極—基極接面為反向偏壓；
• 基極內的少數載子濃度由射極側的高濃度，下降至集極側的低濃度；
• 集極電流主要由基極內少數載子的擴散電流決定。

設原本中性基極寬度為 $W_B$。當 $V_{CE}$ 增加時，$V_{CB}$ 的反向偏壓增大，使集極—基極接面的空乏區向基極側擴展，因此：

$$W_B \rightarrow W_B-\Delta W_B$$

基極內的少數載子濃度差變化不大，但傳輸距離縮短，因此濃度梯度變大：

$$\left|\frac{dp_n}{dx}\right| \approx \frac{\Delta p_n}{W_B}$$

當 $W_B$ 縮小後：

$$\left|\frac{dp_n}{dx}\right| \approx \frac{\Delta p_n}{W_B-\Delta W_B} > \frac{\Delta p_n}{W_B}$$

而少數載子擴散電流與濃度梯度成正比：

$$I_C \propto D_n\left|\frac{dp_n}{dx}\right|$$

所以基極寬度變窄會使集極電流增加：

核心觀念
本題在測驗 英文單字的詞性與常用語意，特別是

• affect 為動詞（表示「影響」）
• effect 為名詞（表示「結果、效應」）
• electric 為形容詞，形容與 電 (電流、電壓…) 直接相關的事物
• electronic 為形容詞，形容與 電子 (半導體、電路…) 相關的事物

在電學與光電領域常見的術語（如 Hall effect、photoelectric effect）皆以 effect（名詞）出現，而 affect、electric、electronic 並不符合此類名詞用法。

---

解題過程

1. 判斷題目所要的語意
   • 題目只給出四個單字，未提供中文詞彙，但考試通常會出現「______ effect」這類填空，要求選出正確的英文單字作為 名詞。
   • 因此需挑選 名詞 且在電學/光電領域常見的詞。

核心觀念
本題在測驗 英文單字的詞性與常用語意，特別是

• affect 為動詞（表示「影響」）
• effect 為名詞（表示「結果、效應」）
• electric 為形容詞，形容與 電 (電流、電壓…) 直接相關的事物
• electronic 為形容詞，形容與 電子 (半導體、電路…) 相關的事物

在電學與光電領域常見的術語（如 Hall effect、photoelectric effect）皆以 effect（名詞）出現，而 affect、electric、electronic 並不符合此類名詞用法。

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解題過程

1. 判斷題目所要的語意
   • 題目只給出四個單字，未提供中文詞彙，但考試通常會出現「______ effect」這類填空，要求選出正確的英文單字作為 名詞。
   • 因此需挑選 名詞 且在電學/光電領域常見的詞。

核心觀念

本題考查 BJT 在主動區的 Early effect（厄利效應），也稱為 基極寬度調變（base-width modulation）。

理想 BJT 在主動區滿足：

$$I_C \approx I_S e^{V_{BE}/V_T}$$

因此當 $V_{BE}$ 固定時，$I_C$ 應與 $V_{CE}$ 無關。實際 BJT 則因為 $V_{CB}$ 反向偏壓增加，使集極—基極接面空乏區變寬，造成有效中性基極寬度縮短，使 $I_C$ 隨 $V_{CE}$ 增加而略微上升。

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解題方法

在主動區中：

• 射極—基極接面為順向偏壓；
• 集極—基極接面為反向偏壓；
• 基極內的少數載子濃度由射極側的高濃度，下降至集極側的低濃度；
• 集極電流主要由基極內少數載子的擴散電流決定。

設原本中性基極寬度為 $W_B$。當 $V_{CE}$ 增加時，$V_{CB}$ 的反向偏壓增大，使集極—基極接面的空乏區向基極側擴展，因此：

$$W_B \rightarrow W_B-\Delta W_B$$

基極內的少數載子濃度差變化不大，但傳輸距離縮短，因此濃度梯度變大：

$$\left|\frac{dp_n}{dx}\right| \approx \frac{\Delta p_n}{W_B}$$

當 $W_B$ 縮小後：

$$\left|\frac{dp_n}{dx}\right| \approx \frac{\Delta p_n}{W_B-\Delta W_B} > \frac{\Delta p_n}{W_B}$$

而少數載子擴散電流與濃度梯度成正比：

$$I_C \propto D_n\left|\frac{dp_n}{dx}\right|$$

所以基極寬度變窄會使集極電流增加：