109 年 國立成功大學光電科學與工程研究所乙組《工程數學》

核心觀念

1. 特徵值與特徵向量（Eigenvalues & Eigenvectors）：
   $n \times n$ 方陣 $\mathbf{A}$ 之特徵多項式為 $\det(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0$。若 $\lambda_i$ 為其根，則其重根數稱為代數重數（Algebraic Multiplicity, $m_a(\lambda_i)$）；對應特徵空間的維度 $\operatorname{nullity}(\mathbf{A} - \lambda_i\mathbf{I}) = n - \operatorname{rank}(\mathbf{A} - \lambda_i\mathbf{I})$ 稱為幾何重數（Geometric Multiplicity, $m_g(\lambda_i)$）。
2. 矩陣可對角化充要條件（Diagonalizability）：
   $n \times n$ 矩陣 $\mathbf{A}$ 可對角化的充分且必要條件為：$\mathbf{A}$ 具有 $n$ 個線性獨立的特徵向量，即對 $\mathbf{A}$ 的每一個特徵值 $\lambda_i$，其代數重數皆等於幾何重數： $$m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i)$$
3. 相似變換與對角化（Similarity Transformation）：
   若存在可逆矩陣 $\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{pmatrix}$，其中 $\mathbf{v}_i$ 為對應特徵值 $\lambda_i$ 之線性獨立特徵向量，則： $$\mathbf{D} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)$$
4. 矩陣冪次（Matrix Powers）：
   若 $\mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$，則對任意正整數 $k$： $$\mathbf{A}^k = \mathbf{P}\mathbf{D}^k\mathbf{P}^{-1}$$ 亦可利用 $\mathbf{A}$ 的最小多項式（Minimal Polynomial）或 Cayley-Hamilton 定理將高次多項式降次求解。

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解題方法

(a) 證明矩陣 $\mathbf{A}$ 可對角化

步驟 1：求 $\mathbf{A}$ 的特徵多項式與特徵值

觀察矩陣 $\mathbf{A}$ 的第二列，除主對角線元素外其餘皆為 $0$，沿第二列進行拉普拉斯展開（Laplace expansion）：

$$\det(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = \det\begin{pmatrix} -8-\lambda & -10 & 7 & -9 \\ 0 & 2-\lambda & 0 & 0 \\ -9 & -9 & 8-\lambda & -9 \\ 1 & 1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$

沿第 2 列展開得：

$$\det(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = (2-\lambda) \det\begin{pmatrix} -8-\lambda & 7 & -9 \\ -9 & 8-\lambda & -9 \\ 1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$

計算此 $3 \times 3$ 行列式，利用第 1 列減去第 2 列（$R_1 \leftarrow R_1 - R_2$）：

$$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & \lambda-1 & 0 \\ -9 & 8-\lambda & -9 \\ 1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -9 & 8-\lambda & -9 \\ 1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$

再利用第 3 列減去第 1 列（$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$）：

$$(1-\lambda)\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -9 & 8-\lambda & -9 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$

沿第 3 列展開：

$$(1-\lambda)(2-\lambda) \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -9 & 8-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)\left[(8-\lambda) - 9\right] = -(1-\lambda)(2-\lambda)(1+\lambda)$$

因此，特徵方程式為：

$$\det(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = (2-\lambda)\cdot [-(1-\lambda)(2-\lambda)(1+\lambda)] = -(\lambda-2)^2(\lambda-1)(\lambda+1) = 0$$

解得特徵值為：

• $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$（代數重數 $m_a(2) = 2$）
• $\lambda_3 = 1$（代數重數 $m_a(1) = 1$）
• $\lambda_4 = -1$（代數重數 $m_a(-1) = 1$）

步驟 2：檢驗代數重數是否等於幾何重數

• 對於相異單根特徵值 $\lambda_3 = 1$ 與 $\lambda_4 = -1$，其代數重數為 $1$，幾何重數必定為 $1$。
• 對於二重根 $\lambda = 2$，需檢驗其特徵矩陣 $\mathbf{A} - 2\mathbf{I}$ 之零空間維度：

$$\mathbf{A} - 2\mathbf{I} = \begin{pmatrix} -10 & -10 & 7 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -9 & -9 & 6 & -9 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

對其進行列簡化（Gaussian Elimination）：

1. 以第 4 列為樞紐（Pivot）：
   • $R_1 \leftarrow R_1 + 10 R_4 \implies \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 & -9 \end{pmatrix}$
   • $R_3 \leftarrow R_3 + 9 R_4 \implies \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 & -9 \end{pmatrix}$
2. $R_1$ 與 $R_3$ 相同，將第 1 列除以 $-3$ 並消去第 3 列，得到簡約列梯階形（RREF）：

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

矩陣的秩（Rank）為 $\operatorname{rank}(\mathbf{A} - 2\mathbf{I}) = 2$。
根據維度定理（Rank-Nullity Theorem）：

$$m_g(2) = \operatorname{nullity}(\mathbf{A} - 2\mathbf{I}) = 4 - \operatorname{rank}(\mathbf{A} - 2\mathbf{I}) = 4 - 2 = 2$$

因幾何重數等於代數重數（$m_g(2) = m_a(2) = 2$），矩陣 $\mathbf{A}$ 具有 4 個線性獨立的特徵向量，故 $\mathbf{A}$ 為可對角化矩陣（Diagonalizable）。

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(b) 求對角化變換矩陣 $\mathbf{P}$ 與對角矩陣 $\mathbf{D}$

求解各特徵值對應之特徵向量 $(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$：

1. 當 $\lambda = 2$：
   由其簡約列階梯形方程組：

   $$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ x_3 + 3x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_3 = -3x_4 \\ x_1 = -x_2 + x_3 = -x_2 - 3x_4 \end{cases}$$

   自由變數為 $x_2, x_4$：

   • 取 $x_2 = 1, x_4 = 0$，得 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
   • 取 $x_2 = 0, x_4 = 1$，得 $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 當 $\lambda = 1$：

   $$\mathbf{A} - \mathbf{I} = \begin{pmatrix} -9 & -10 & 7 & -9 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -9 & -9 & 7 & -9 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

   由第 2 列得 $x_2 = 0$。代入其餘各列：

   • 第 4 列：$x_1 - x_3 + x_4 = 0 \implies x_3 = x_1 + x_4$

核心觀念

本題評量向量微積分中的保守場（Conservative Vector Field）、勢能函數（Potential Function）以及線積分基本定理（Fundamental Theorem for Line Integrals）：

1. 路徑無關之充要條件：
   若向量場 $\vec{F}(x,y) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j}$ 的分量函數及其一階偏導函數在單連通區域（Simply Connected Domain）$D$ 上皆連續，則線積分 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ 在 $D$ 內與路徑無關之充要條件為 $\vec{F}$ 滿足旋度為零，即：

   $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$

2. 勢能函數（位能函數）的定義：
   當 $\vec{F}$ 為保守場時，必存在一純量場 $\varphi(x,y)$ 滿足 $\nabla \varphi = \vec{F}$，即：

   $$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = P(x,y), \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = Q(x,y)$$

3. 線積分基本定理：
   若 $\vec{F} = \nabla \varphi$，則曲線 $C$ 從起點 $A$ 到終點 $B$ 的線積分可直接由端點之勢能函數值相減求得，與連接兩點的路徑形狀無關：

   $$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \varphi(B) - \varphi(A)$$

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解題方法

(a) 證明 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ 與路徑無關

給定向量場：

$$\vec{F}(x,y) = \underbrace{(y^2 - 6xy + 6)}_{P(x,y)}\vec{i} + \underbrace{(2xy - 3x^2 - 2y)}_{Q(x,y)}\vec{j}$$

分量函數及其定義域為全平面 $\mathbb{R}^2$，為單連通區域，且各階偏導函數皆處處連續。
檢驗保守場條件：

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^2 - 6xy + 6) = 2y - 6x$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy - 3x^2 - 2y) = 2y - 6x$$

因為在全平面上皆有：

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2y - 6x$$

滿足旋度為零（$\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$）之條件，故 $\vec{F}$ 為全平面上的保守向量場。
因此，由線積分與路徑無關之判定定理可知，連接點 $(-1,0)$ 至 $(3,4)$ 的線積分 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ 與積分路徑 $C$ 無關。

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(b) 求 $\vec{F}$ 的勢能函數 $\varphi(x,y)$

依勢能函數定義，$\nabla \varphi = \vec{F}$，即：

1. $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y^2 - 6xy + 6$
2. $\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2xy - 3x^2 - 2y$

將第 1 式對 $x$ 偏積分（此時 $y$ 視為常數）：

核心觀念

本題為二階變係數非齊次常微分方程式之邊界值問題（Boundary Value Problem, BVP）。核心觀念涵蓋：

1. 柯西－尤拉方程式（Cauchy-Euler Equation）：形式為 $a_n x^n y^{(n)} + \dots + a_1 x y' + a_0 y = g(x)$，其齊次解可藉由假設 $y = x^m$ 求解特徵方程式獲得。
2. 非齊次特解求法：
   • 設 $y_p = A x^k$ 之待定係數法（Method of Undetermined Coefficients）（需留意是否與齊次解獨立）。
   • 或利用微分運算子法（令 $x = e^t$ 轉為常係數微分方程式後求解逆運算子）。
3. 通解結構與邊界條件代入：$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$，再代入混合邊界條件（Robin 邊界條件）聯立求解待定常數 $c_1, c_2$。

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解題方法

給定之微分方程式為：

$$x^2 y'' - 4xy' + 6y = x^4$$

與邊界條件：

$$y(1) - y'(1) = 0, \quad y(3) = 0$$

步驟一：求齊次解 $y_h(x)$

考慮對應之齊次方程式：

$$x^2 y'' - 4xy' + 6y = 0$$

令 $y = x^m$，代入可得特徵方程式（Auxiliary Equation）：

$$m(m-1) - 4m + 6 = 0$$

整理得：

$$m^2 - 5m + 6 = 0 \implies (m - 2)(m - 3) = 0$$

解得特徵根 $m_1 = 2, \, m_2 = 3$。
因此，齊次解為：

$$y_h(x) = c_1 x^2 + c_2 x^3$$

其中 $c_1, c_2$ 為任意實常數。

步驟二：求特解 $y_p(x)$

非齊次項為 $r(x) = x^4$。由於 $x^4$ 與齊次解基底 $x^2, x^3$ 線性獨立，故可直接假設特解形式為：

$$y_p(x) = A x^4$$

對 $x$ 微分得：

$$y_p'(x) = 4A x^3$$ $$y_p''(x) = 12A x^2$$

將 $y_p, y_p', y_p''$ 代入原方程式左式：

$$x^2(12A x^2) - 4x(4A x^3) + 6(A x^4) = (12 - 16 + 6) A x^4 = 2A x^4$$

令其等於右式 $x^4$：

$$2A x^4 = x^4 \implies A = \frac{1}{2}$$

得特解為：

$$y_p(x) = \frac{1}{2}x^4$$

步驟三：建立通解並求導數

微分方程式之通解為：

$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 x^2 + c_2 x^3 + \frac{1}{2}x^4$$

對 $x$ 微分得一階導數：

$$y'(x) = 2c_1 x + 3c_2 x^2 + 2x^3$$

步驟四：代入邊界條件求解待定常數

1. 代入第一個邊界條件 $y(1) - y'(1) = 0$： $$y(1) = c_1 + c_2 + \frac{1}{2}$$ $$y'(1) = 2c_1 + 3c_2 + 2$$ 則：

核心觀念

本題考查**傅立葉級數（Fourier Series）**的展開。
當函數 $f(x)$ 定義於區間 $(-L, L)$（週期 $T = 2L$）且滿足狄利克雷條件（Dirichlet conditions）時，其傅立葉級數形式為：

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right]$$

其中係數公式為：

• $a_0 = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx$
• $a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$
• $b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$

特別地，若 $f(x)$ 為偶函數（Even function），則其正弦項係數皆為零（$b_n = 0$），傅立葉級數退化為純餘弦級數（Fourier Cosine Series），計算時可善用對稱性簡化為半區間 $[0, L]$ 的積分。

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解題方法

題目給定 $f(x) = x^4$，$x \in (-1, 1)$。
半週期長度 $L = 1$。

1. 判斷函數奇偶性

由於 $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$，故 $f(x)$ 為偶函數。
因此正弦項係數：

$$b_n = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

2. 計算直流項係數 $a_0$

$$a_0 = \frac{1}{2(1)} \int_{-1}^{1} x^4\,dx = \int_{0}^{1} x^4\,dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$$

3. 計算餘弦項係數 $a_n$

利用偶函數對稱性：

$$a_n = \frac{1}{1}\int_{-1}^{1} x^4 \cos(n\pi x)\,dx = 2 \int_{0}^{1} x^4 \cos(n\pi x)\,dx$$

此積分採用**表格法（Tabular Integration by Parts）**求解：

微分項 $D$（微分至 0）	積分項 $I$	符號 $\pm$
$x^4$	$\cos(n\pi x)$	$+$
$4x^3$	$\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)$	$-$
$12x^2$	$-\frac{1}{(n\pi)^2}\cos(n\pi x)$	$+$
$24x$	$-\frac{1}{(n\pi)^3}\sin(n\pi x)$	$-$
$24$	$\frac{1}{(n\pi)^4}\cos(n\pi x)$	$+$
$0$	$\frac{1}{(n\pi)^5}\sin(n\pi x)$

斜向相乘並累加，得到反導函數：

$$\int x^4 \cos(n\pi x)\,dx = \left( \frac{x^4}{n\pi} - \frac{12x^2}{(n\pi)^3} + \frac{24}{(n\pi)^5} \right)\sin(n\pi x) + \left( \frac{4x^3}{(n\pi)^2} - \frac{24x}{(n\pi)^4} \right)\cos(n\pi x)$$

代入上下限 $[0, 1]$：

• 當 $x = 1$ 時：$\sin(n\pi) = 0$，$\cos(n\pi) = (-1)^n$
• 當 $x = 0$ 時：所有含 $x$ 或 $\sin(0)$ 的項皆為 $0$

核心觀念

本題為標準的二階常係數非齊次線性常微分方程式之初始值問題（Initial Value Problem, IVP）。所涵蓋的核心觀念包含：

1. 齊次解（Homogeneous Solution, $x_h(t)$）：求解特徵方程式 $\lambda^2 + 9 = 0$，其特徵根為共軛虛根 $\lambda = \pm 3i$，對應自然振動頻率 $\omega_0 = 3$。
2. 共振現象與特解（Particular Solution, $x_p(t)$）：外力項為 $5\sin 3t$，其驅動頻率 $\omega = 3$ 與系統自然頻率相同（純虛根重根），系統發生無阻尼共振（Resonance）。設定特解型式時，必須乘上自變數 $t$，即設為 $x_p(t) = t(A\cos 3t + B\sin 3t)$，再以待定係數法或**逆微分算子法（Inverse Differential Operator）**求得係數。
3. 通解與初始條件代入：系統完整響應為 $x(t) = x_h(t) + x_p(t)$，最後代入初始條件 $x(0) = 2$ 及 $x'(0) = 0$ 決定積分常數。

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解題方法

步驟一：求齊次解 $x_h(t)$

對應之齊次微分方程式為：

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 9x = 0$$

其特徵方程式（Characteristic Equation）為：

$$\lambda^2 + 9 = 0 \implies \lambda = \pm 3i$$

因此齊次解為：

$$x_h(t) = c_1 \cos 3t + c_2 \sin 3t$$

其中 $c_1, c_2$ 為任意待定實常數。

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步驟二：求非齊次特解 $x_p(t)$

由於非齊次項 $r(t) = 5\sin 3t$ 中的頻率 $\omega = 3$ 與齊次解基底重複，依據待定係數法修正法則，假設特解形式為：

$$x_p(t) = t(A\cos 3t + B\sin 3t)$$

對 $t$ 連續微分兩次：

$$x_p'(t) = (A\cos 3t + B\sin 3t) + t(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t)$$ $$x_p''(t) = 2(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t) - 9t(A\cos 3t + B\sin 3t) = -6A\sin 3t + 6B\cos 3t - 9x_p(t)$$

代入原微分方程式 $x_p'' + 9x_p = 5\sin 3t$：

$$(-6A\sin 3t + 6B\cos 3t - 9x_p) + 9x_p = 5\sin 3t$$ $$-6A\sin 3t + 6B\cos 3t = 5\sin 3t$$

比較等號兩側係數：

核心觀念

本題考查偏微分方程（PDE）中的二維拉普拉斯方程式（Laplace's Equation）之邊界值問題（Dirichlet Problem）。核心觀念與工具包括：

1. 分離變數法（Separation of Variables）：將偏微分方程分解為兩個常微分方程（ODE），並透過齊次邊界條件求解對應的特徵值問題（Sturm-Liouville Problem）。
2. 傅立葉正弦級數（Fourier Sine Series）：利用正交性（Orthogonality）展開非齊次邊界條件，求得級數的各階展開係數。

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解題方法

步驟一：分離變數與建立常微分方程

設解為變數分離的形式：

$$u(x,y) = X(x)Y(y)$$

代入原拉普拉斯方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$，得：

$$X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0$$

同除以 $X(x)Y(y)$：

$$\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = \lambda$$

其中 $\lambda$ 為分離常數。

邊界條件轉化為：

• $u(x,0) = X(x)Y(0) = 0 \implies Y(0) = 0$
• $u(x,1) = X(x)Y(1) = 0 \implies Y(1) = 0$
• $u(1,y) = X(1)Y(y) = 0 \implies X(1) = 0$
• 非齊次條件：$u(0,y) = X(0)Y(y) = F(y)$

步驟二：求解 $Y(y)$ 的特徵值問題（Sturm-Liouville 問題）

針對齊次邊界方向 $y$：

$$Y''(y) + \lambda Y(y) = 0, \quad Y(0) = 0, \quad Y(1) = 0$$

若要有非平凡解（Non-trivial solution），分離常數必為正數，令 $\lambda = k^2 > 0$（其中 $k > 0$）：

$$Y(y) = c_1 \cos(ky) + c_2 \sin(ky)$$

由邊界條件：

• $Y(0) = c_1 = 0$
• $Y(1) = c_2 \sin(k) = 0 \implies k = n\pi \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

因此特徵值與特徵函數為：

$$\lambda_n = (n\pi)^2, \quad Y_n(y) = \sin(n\pi y), \quad n \in \mathbb{N}$$

步驟三：求解 $X(x)$ 的方程式

將 $\lambda_n = (n\pi)^2$ 代回 $X(x)$ 的常微分方程：

$$X''(x) - (n\pi)^2 X(x) = 0$$

其通解可表為雙曲函數形式：

$$X_n(x) = A_n \cosh(n\pi(1-x)) + B_n \sinh(n\pi(1-x))$$

或以常規雙曲函數表示。利用齊次條件 $X_n(1) = 0$，選用含 $(1-x)$ 的基底最為簡捷：

$$X_n(1) = A_n \cosh(0) + B_n \sinh(0) = A_n = 0$$

故得：

$$X_n(x) = C_n \sinh(n\pi(1-x))$$

步驟四：疊加原理與滿足非齊次邊界條件

根據線性疊加原理，通解表示為：

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sinh(n\pi(1-x)) \sin(n\pi y)$$

代入非齊次邊界條件 $u(0,y) = F(y)$：

$$u(0,y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sinh(n\pi) \sin(n\pi y) = F(y)$$

令 $b_n = C_n \sinh(n\pi)$，由半幅傅立葉正弦級數公式：

$$b_n = 2 \int_0^1 F(y) \sin(n\pi y) \, dy$$

由題意代入分段函數 $F(y)$：

核心觀念

本題考查複變函數論（Complex Variables）中的柯西積分公式（Cauchy's Integral Formula）以及由此衍生的高斯平均值定理（Gauss's Mean Value Theorem）。

1. 柯西積分公式（Cauchy's Integral Formula）：
   若函數 $f(z)$ 在簡單封閉曲線 $C$ 及其內部組成的單連通區域上解析（analytic），且 $z_0$ 為 $C$ 內部任一點，則： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz$$ 其中積分路徑 $C$ 取逆時針方向。
2. 路徑參數化（Parametrization of Curves）：
   以 $z_0$ 為中心、半徑為 $r$ 的逆時針圓周路徑可參數化為 $z(\theta) = z_0 + re^{i\theta}$，其中 $\theta \in [0, 2\pi]$。

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解題方法

本題為純推導證明題，主要切入點是選定以 $z_0$ 為圓心、半徑為 $r$ 的正向（逆時針）圓周作為積分路徑，直接代入柯西積分公式並進行變數變換。

詳細證明步驟：

1. 選定積分路徑：
   令 $C$ 為以 $z_0$ 為中心、半徑為 $r$ 的正向（逆時針繞行）圓周路徑：

   $$C: |z - z_0| = r$$

   依題意，$f(z)$ 在包含 $C$ 及其內部的閉圓盤 $|z - z_0| \le r$ 上解析，且點 $z_0$ 位於曲線 $C$ 的內部。

2. 應用柯西積分公式：
   由柯西積分公式可知：

   $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz$$

3. 路徑參數化與微分：
   將圓周路徑 $C$ 參數化為：

   $$z(\theta) = z_0 + re^{i\theta}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi$$

   由此可得：

   $$z - z_0 = re^{i\theta}$$

核心觀念

本題旨在證明訊號與系統以及傅立葉分析中極為著名的帕斯瓦爾定理（Parseval's Theorem），亦常稱為能量守恆定理或普朗歇爾定理（Plancherel Theorem）。

所涉及之核心定義與公式如下：

1. 傅立葉轉換（Fourier Transform）與反傅立葉轉換（Inverse Fourier Transform）：
   • 正轉換： $$F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$
   • 反轉換： $$f(t) = \mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$$
2. 複數共軛性質（Complex Conjugate Property）：
   對任意複數函數之反轉換取共軛： $$g^*(t) = \left[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} G(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega \right]^* = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} G^*(\omega)e^{-i\omega t}\,d\omega$$
3. 狄拉克 $\delta$ 函數的積分表示式（Dirac Delta Function Representation）（題目提示）： $$\delta(\omega - \omega') = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-it(\omega - \omega')}\,dt$$ 以及取樣性質（Sifting Property）： $$\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega')\delta(\omega - \omega')\,d\omega' = F(\omega)$$

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解題方法

證明有兩種標準途徑，此處採用最符合題目提示「$\delta$ 函數表示式」的標準正統推導法：將 $f(t)$ 與 $g^*(t)$ 分別用其反傅立葉轉換代入，交換積分次序，利用 $\delta$ 函數化簡。

詳細證明步驟

1. 將時域函數改寫為頻域的反傅立葉轉換表示式：
   根據反轉換定義：

   $$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega')e^{i\omega' t}\,d\omega'$$ $$g(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} G(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega \implies g^*(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} G^*(\omega)e^{-i\omega t}\,d\omega$$

   （此處 $f(t)$ 與 $g^*(t)$ 使用不同的虛擬積分變數 $\omega'$ 與 $\omega$ 以免混淆）

2. 代入左式（LHS）：

   $$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)g^*(t)\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega')e^{i\omega' t}\,d\omega' \right] \left[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} G^*(\omega)e^{-i\omega t}\,d\omega \right]\,dt$$

3. 利用富比尼定理（Fubini's Theorem）交換積分次序，將對時域變數 $t$ 的積分移至最內層：

核心觀念

本題評量複變函數論中「泰勒級數（Taylor Series）」的展開與收斂半徑。
一個在點 $z = z_0$ 及其鄰域內解析（analytic）的函數 $f(z)$，可展開為以 $z_0$ 為中心的泰勒級數：

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n = a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + a_3(z - z_0)^3 + \cdots$$

其中係數可由微分公式 $a_n = \dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$ 求得，亦可利用幾何級數（Geometric Series）公式展開：

$$\frac{1}{1 - u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + \cdots \quad (|u| < 1)$$

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解題方法

求有理函數的泰勒展開式，以「幾何級數代換法」最為迅速且不易出錯。

步驟一：將變數整理為 $(z - 3)$ 的形式

題目要求在 $z_0 = 3$ 處展開，因此分母必須配出 $(z - 3)$：

$$5 - z = 5 - [3 + (z - 3)] = 2 - (z - 3)$$

步驟二：提出常數項，化為標準形式 $\dfrac{1}{1 - u}$

提出常數 $2$，使分母首項為 $1$：

$$f(z) = \frac{1}{2 - (z - 3)} = \frac{1}{2 \left[1 - \dfrac{z - 3}{2}\right]} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \dfrac{z - 3}{2}}$$

步驟三：套用幾何級數展開

令 $u = \dfrac{z - 3}{2}$，當 $|u| < 1$（即 $|z - 3| < 2$）時展開：

$$f(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \left(\frac{z - 3}{2}\right) + \left(\frac{z - 3}{2}\right)^2 + \left(\frac{z - 3}{2}\right)^3 + \cdots \right]$$