112 年 國立成功大學光電科學與工程研究所甲組《工程數學》

核心觀念

本題旨在考驗有限維向量空間中向量集合的線性獨立（Linear Independence）與線性相依（Linear Dependence）之判定。

1. 線性獨立與線性相依定義：
   對於向量集合 $\{u_1, u_2, u_3, u_4\}$，考慮齊次線性組合方程式：
   $c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 + c_4 u_4 = \mathbf{0}$

   • 線性獨立（Linearly Independent）：當且僅當唯一解為常數全為零的平凡解，即 $c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$。
   • 線性相依（Linearly Dependent）：若存在不全為零的純量解組 $(c_1, c_2, c_3, c_4) \neq (0, 0, 0, 0)$ 使上式成立。

2. 方陣行列式判別法（Determinant Test）：
   當 $n$ 個 $n$ 維向量組合成 $n \times n$ 方陣 $A$ 時：

   • 若 $\det(A) = 0$，表示矩陣不可逆（Singular），向量集合為線性相依。
   • 若 $\det(A) \neq 0$，表示矩陣可逆（Non-singular），向量集合為線性獨立。

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解題方法

本題可採用以下兩種標準方法進行推導與判斷：

方法一：矩陣行列式法（降階展開）

將向量 $u_1, u_2, u_3, u_4$ 作為行向量構造 $4 \times 4$ 矩陣 $A$：
$A = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & 1 & 5 \\ 3 & 6 & 0 & 6 \\ 4 & 8 & 0 & 8 \end{bmatrix}$

沿含有最多零元素的第 3 行進行 Laplace 降階展開：
$\det(A) = 1 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 6 & 6 \\ 4 & 8 & 8 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 6 & 6 \\ 4 & 8 & 8 \end{vmatrix}$

觀察子行列式中第 2 列與第 3 列：

• 第 2 列：$(3, 6, 6) = 3 \cdot (1, 2, 2)$
• 第 3 列：$(4, 8, 8) = 4 \cdot (1, 2, 2)$

因第 2 列與第 3 列成常數倍關係（列線性相關），故該 $3 \times 3$ 子行列式值為 $0$：
$\det(A) = -0 = 0$

因為 $\det(A) = 0$，故向量集合 $\{u_1, u_2, u_3, u_4\}$ 為線性相依（Linearly Dependent）。

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方法二：求解齊次聯立方程組（構造非零線性組合）

設 $c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 + c_4 u_4 = (0, 0, 0, 0)$，對應各分量列出聯立方程組：

核心觀念

1. 實對稱矩陣之正交對角化定理 (Orthogonal Diagonalization Theorem)：若 $A$ 為一實數對稱矩陣（即 $A^T = A$），則 $A$ 必可被正交矩陣 $P$ 正交對角化，滿足 $P^T A P = D$（其中 $P^{-1} = P^T$）。
2. 特徵值與特徵向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)：
   • 特徵方程式：$\det(A - \lambda I) = 0$。
   • 特徵向量：對應特徵值 $\lambda$ 之非零向量 $x$，滿足 $(A - \lambda I)x = 0$。
3. 正交規範化 (Orthonormalization)：
   • 屬於不同特徵值之特徵向量彼此正交。
   • 若同一特徵值具有二個以上的線性獨立特徵向量，需經由葛蘭—史密特正交化程序（Gram-Schmidt Process）轉為正交向量，最後逐一進行單位化（Normalization）。
4. 對角矩陣 $D$ 與正交矩陣 $P$ 之對應關係：$P$ 的第 $i$ 個行向量（column vector）必須為對應 $D$ 的第 $i$ 個對角元素 $\lambda_i$ 之單位特徵向量。

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解題方法

步驟一：求解矩陣 $A$ 的特徵值（Eigenvalues）

設特徵方程式為 $\det(A - \lambda I) = 0$：

$$\begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0$$

沿第 3 列展開降階：
$(1-\lambda) \cdot [(-\lambda)(-\lambda) - (1)(1)] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda^2 - 1) = 0$
$-(\lambda - 1)^2 (\lambda + 1) = 0$

解得特徵值為：
$\lambda_1 = 1 \quad (\text{二重根}), \quad \lambda_2 = -1 \quad (\text{單根})$

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步驟二：求解特徵值對應之正交單位特徵向量（Orthonormal Eigenvectors）

1. 當 $\lambda_1 = 1$ 時：
   求解 $(A - I)x = 0$：

   $$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

   簡化得 $-x_1 + x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$，而 $x_3$ 為自由變數。
   可選取特徵空間的兩獨立基底向量為：
   $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
   計算內積 $v_1 \cdot v_2 = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$，說明 $v_1$ 與 $v_2$ 已天然正交。
   直接將其單位化：
   $u_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix}, \quad u_2 = \frac{v_2}{\|v_2\|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 當 $\lambda_2 = -1$ 時：
   求解 $(A + I)x = 0$：

核心觀念

1. 正交矩陣（Orthogonal Matrix）的定義：
   實數方陣 $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 若為正交矩陣，必須滿足 $A^T A = A A^T = I$。

2. 行向量的正交規範性（Orthonormality of Column Vectors）：
   將矩陣 $A$ 表示為行向量型態 $A = \begin{pmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 \end{pmatrix}$，矩陣 $A$ 為正交矩陣的充要條件為其行向量集合 $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ 構成一組規範正交基底（Orthonormal Basis），即滿足：

   • 兩兩正交（Mutual Orthogonality）：$\vec{v}_i \cdot \vec{v}_j = 0 \quad (\forall i \neq j)$
   • 單位長度（Unit Length / Normalization）：$\|\vec{v}_i\| = 1 \quad (\forall i = 1, 2, 3)$

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解題方法

設矩陣的三個行向量分別為：
$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{8}} \\ -\frac{1}{\sqrt{8}} \\ \frac{1}{\sqrt{8}} \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

步驟一：由向量兩兩正交求 $a, b, c$ 的比例關係

1. 第一行與第三行正交（$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_3 = 0$）：
   $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_3 = a \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + b(0) + c \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(a - c) = 0 \implies a = c$

2. 第一行與第二行正交（$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$）：
   $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = a \left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right) + b \left(-\frac{1}{\sqrt{8}}\right) + c \left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right) = \frac{1}{\sqrt{8}}(a - b + c) = 0 \implies a - b + c = 0$

3. 將 $c = a$ 代入 $a - b + c = 0$：
   $a - b + a = 0 \implies b = 2a$

因此，未知向量必滿足關係：$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$。

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步驟二：對未知行向量進行單位化（Normalization）

要求 $\vec{v}_1$ 為單位向量（$\|\vec{v}_1\| = 1$）：
$\|\vec{v}_1\|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + (2a)^2 + a^2 = 6a^2 = 1 \implies a = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$

核心觀念

1. 曲面的法向量（Normal Vector）與梯度（Gradient）：
   對一三維空間中的隱函數曲面 $F(x, y, z) = 0$，曲面上任意一點 $(x_0, y_0, z_0)$ 的切平面法向量平行於該點的梯度向量 $\nabla F$：
   $\mathbf{N} = \nabla F(x, y, z) = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)$
2. 水平切平面（Horizontal Tangent Plane）的幾何條件：
   若切平面為水平面（即平行於 $xy$ 平面），其法向量必須與 $z$ 軸平行，即法向量的 $x$ 分量與 $y$ 分量必須同時為零，且 $z$ 分量不能為零：
   $\frac{\partial F}{\partial x} = 0 \quad \text{且} \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 0 \quad \left( \text{其中 } \frac{\partial F}{\partial z} \neq 0 \right)$

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解題方法

步驟一：建立隱函數並求梯度向量
將原曲面方程式整理為隱函數形式 $F(x, y, z) = 0$：
$F(x, y, z) = x^2 + 6x + y^2 + z^2 - 2z - 15 = 0$

計算 $F(x, y, z)$ 對各變數的偏微分，求得梯度向量 $\nabla F$：
$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + 6$
$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y$
$\frac{\partial F}{\partial z} = 2z - 2$
$\nabla F(x, y, z) = (2x + 6, 2y, 2z - 2)$

步驟二：帶入水平切平面條件求解 $x$ 與 $y$
依水平切平面之條件，法向量的 $x$ 與 $y$ 分量必須為 $0$：
$2x + 6 = 0 \implies x = -3$
$2y = 0 \implies y = 0$

步驟三：將 $x$ 與 $y$ 代回原曲面方程式求解 $z$
將 $x = -3$ 及 $y = 0$ 代入原曲面方程式 $x^2 + 6x + y^2 + z^2 - 2z = 15$：
$(-3)^2 + 6(-3) + 0^2 + z^2 - 2z = 15$
$9 - 18 + z^2 - 2z = 15$

核心觀念

本題考驗向量分析中的平面格林定理（Green's Theorem in Plane）。

當 $R$ 為平面上的單連通區域，且其邊界 $C$ 為分段平滑（piecewise-smooth）的簡單閉曲線，採正向（逆時針方向，使區域 $R$ 恆在路徑前進方向的左側）繞行時，若函數 $P(x, y)$ 與 $Q(x, y)$ 在包含 $R$ 及其邊界 $C$ 的區域上具連續一階偏導數，則沿閉曲線 $C$ 的線積分可轉化為區域 $R$ 上的二重積分：

$\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$

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解題方法

步驟一：對照定理設定函數

將待求線積分與標準形式比對：
$\oint_C (\cos x^2 - y) \, dx + (x + \sqrt{y^4+1}) \, dy$

定義：
$P(x, y) = \cos(x^2) - y$
$Q(x, y) = x + \sqrt{y^4+1}$

步驟二：計算偏微分

分別對 $Q(x, y)$ 求對 $x$ 的偏微分，以及對 $P(x, y)$ 求對 $y$ 的偏微分：

• $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x + \sqrt{y^4+1} \right) = 1 + 0 = 1$
• $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \cos(x^2) - y \right) = 0 - 1 = -1$

兩者相減得到被積函數：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$

核心觀念

本題考查**二階常係數線性齊次常微分方程（ODE）在自由無阻尼彈簧—質量系統（Free Undamped Motion / Simple Harmonic Motion）**的應用，涉及以下重點與公式：

1. 靜態平衡與 Hooke 定律：
   質量為 $m$ 的物體在重力作用下靜止時，重力與彈力平衡：
   $mg = k \Delta s$
   其中 $k$ 為彈簧勁度係數（彈簧常數），$\Delta s$ 為靜止伸長量。
2. 自由無阻尼運動微分方程：
   以靜平衡位置為原點 $x = 0$，無視阻尼與外力時之運動方程式為：
   $m \frac{d^2x}{dt^2} + k x = 0 \implies \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$
   其中固有的角頻率（固有頻率）為 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。
3. 通解與正弦單一形式（Phase-Amplitude Form）：
   ODE 之通解可寫為 $x(t) = c_1 \cos(\omega t) + c_2 \sin(\omega t)$。
   若要表為題目要求的單一正弦形式 $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$，利用和角公式展開：
   $A \sin(\omega t + \varphi) = (A \cos \varphi) \sin(\omega t) + (A \sin \varphi) \cos(\omega t)$
   對照係數得：
   $\begin{cases} A \cos \varphi = c_2 \\ A \sin \varphi = c_1 \end{cases}$
   其振幅 $A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}$，相位角 $\varphi$ 依 $(A \cos \varphi, A \sin \varphi)$ 之正負符號決定所屬象限。

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解題方法

步驟 1：建立座標系與單位換算

工程數學中彈簧—質量系統之標準慣例為以靜平衡位置為原點，向下為正方向 ($x > 0$)。

• 質量 $m = 1 \, \text{kg}$
• 重力加速度 $g = 10 \, \text{m/s}^2$
• 靜止伸長量 $\Delta s = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}$
• 初始位置：平衡位置下方 $100 \, \text{cm} = 1 \, \text{m} \implies x(0) = 1 \, \text{m}$
• 初始速度：向上 $10 \, \text{m/s} \implies x'(0) = -10 \, \text{m/s}$（向上與正方向相反，故取負號）

步驟 2：求彈簧常數 $k$ 與角頻率 $\omega$

由靜平衡條件 $mg = k \Delta s$：
$k = \frac{mg}{\Delta s} = \frac{1 \times 10}{0.1} = 100 \, \text{N/m}$
計算固有角頻率 $\omega$：
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10 \, \text{rad/s}$

步驟 3：求解微分方程通解

自由無阻尼運動微分方程為：
$\frac{d^2x}{dt^2} + 100 x = 0$
特徵方程式為 $r^2 + 100 = 0 \implies r = \pm 10i$，故通解為：
$x(t) = c_1 \cos(10t) + c_2 \sin(10t)$

步驟 4：帶入初始條件求待定係數 $c_1, c_2$

1. 帶入初始位置 $x(0) = 1$：
   $x(0) = c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) = c_1 = 1$
2. 對 $x(t)$ 微分得速度函數 $x'(t)$：
   $x'(t) = -10 c_1 \sin(10t) + 10 c_2 \cos(10t)$
3. 帶入初始速度 $x'(0) = -10$：
   $x'(0) = -10 (1) \sin(0) + 10 c_2 \cos(0) = 10 c_2 = -10 \implies c_2 = -1$

得運動方程式：
$x(t) = \cos(10t) - \sin(10t)$

步驟 5：轉換為 $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$ 形式

核心觀念

週期函數 $f(t)$ 的拉普拉斯轉換可由一個週期上的積分計算：

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{\displaystyle\int_0^T e^{-st}f(t)\,dt}{1-e^{-sT}}$$

其中 $T$ 是週期。

解題方法

由圖可知，函數每隔 $2$ 單位重複一次：在 $0\le t<1$ 時 $f(t)=1$，在 $1\le t<2$ 時 $f(t)=0$，所以週期 $T=2$。因此，一個週期內的積分為

核心觀念

本題考查**二維拉普拉斯方程式（Laplace's Equation）**於矩形區域內的邊界值問題（Boundary Value Problem, BVP）。解題時的核心理論與工具包括：

1. 變數分離法（Separation of Variables）：將多元偏微分方程拆解為兩個單變數的常微分方程（ODE）。
2. 斯圖姆-劉維爾特徵值問題（Sturm-Liouville Eigenvalue Problem）：依據具有齊次邊界條件的維度（本題為 $y$ 方向）建立 ODE 並求解特徵值（Eigenvalues）$\lambda_n$ 與特徵函數（Eigenfunctions）$Y_n(y)$。
3. 疊加原理（Principle of Superposition）：將個案解相加組成無窮級數形式的一般解。
4. 傅立葉正弦級數（Fourier Sine Series）與正交性（Orthogonality）：利用特徵函數的正交性質，藉由非齊次邊界條件（$x$ 方向）求出無窮級數中的待定係數。

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解題方法

拉普拉斯方程式為：
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

邊界條件（Boundary Conditions, BCs）如下：

1. $u(x, 0) = 0$ （齊次 Dirichlet 邊界）
2. $u(x, 1) = 0$ （齊次 Dirichlet 邊界）
3. $u(0, y) = 10y$ （非齊次 Dirichlet 邊界）
4. $\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=1} = -1$ （非齊次 Neumann 邊界）

步驟一：變數分離

設 $u(x, y) = X(x) Y(y)$，代入拉普拉斯方程式：
$X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0 \implies \frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = \lambda$

由 $y$ 方向的齊次邊界條件 $u(x, 0) = 0$ 與 $u(x, 1) = 0$，得到 $Y(y)$ 的邊界條件：
$Y(0) = 0, \quad Y(1) = 0$

因此，優先處理 $y$ 方向的特徵值問題：
$Y''(y) + \lambda Y(y) = 0, \quad Y(0) = 0, \, Y(1) = 0$

步驟二：求解 $y$ 方向特徵值與特徵函數

1. 若 $\lambda \le 0$，僅有平凡解（Trivial Solution $Y(y) = 0$）。
2. 若 $\lambda > 0$，設 $\lambda = k^2 \, (k > 0)$，通解為：
   $Y(y) = c_1 \cos(ky) + c_2 \sin(ky)$
   • 代入 $Y(0) = 0 \implies c_1 = 0$。
   • 代入 $Y(1) = 0 \implies c_2 \sin(k) = 0$。為求非平凡解，需滿足 $\sin(k) = 0$，故：
     $k_n = n\pi \implies \lambda_n = (n\pi)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots$
   • 對應的特徵函數為：
     $Y_n(y) = \sin(n\pi y)$

步驟三：求解 $x$ 方向的方程

對應特徵值 $\lambda_n = (n\pi)^2$，$X_n(x)$ 滿足之常微分方程為：
$X_n''(x) - (n\pi)^2 X_n(x) = 0$

其通解可寫為雙曲函數形式：
$X_n(x) = A_n \cosh(n\pi x) + B_n \sinh(n\pi x)$

步驟四：組合級數通解與確定係數

利用疊加原理，組合出全解 $u(x, y)$：
$u(x, y) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cosh(n\pi x) + B_n \sinh(n\pi x) \right] \sin(n\pi y)$

代入 $x$ 方向的兩個非齊次邊界條件求解待定係數 $A_n$ 與 $B_n$：

1. 利用邊界條件 $u(0, y) = 10y$：
$u(0, y) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\pi y) = 10y$
利用半幅展開傅立葉正弦級數的正交性，係數 $A_n$ 計算如下：
$A_n = 2 \int_{0}^{1} 10y \sin(n\pi y) \, dy = 20 \int_{0}^{1} y \sin(n\pi y) \, dy$
使用分部積分法：
$\int_{0}^{1} y \sin(n\pi y) \, dy = \left[ -\frac{y}{n\pi} \cos(n\pi y) \right]_0^1 + \frac{1}{n\pi} \int_{0}^{1} \cos(n\pi y) \, dy = -\frac{\cos(n\pi)}{n\pi} = \frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}$
故得：
$A_n = \frac{20(-1)^{n+1}}{n\pi}$