112 年 國立成功大學光電科學與工程研究所甲組《電磁學》

核心觀念

無限大帶電平面兩側的電場皆為均勻，因此三個區域的電場可分別記為 $E_1\hat{\mathbf{x}}$、$E_2\hat{\mathbf{x}}$、$E_3\hat{\mathbf{x}}$，其中 $\hat{\mathbf{x}}$ 指向右方。

解題使用兩個關係：

1. 帶面電荷密度為 $\rho_S$ 的薄板，電場法向分量的跳躍量為
   $E_{\text{右}}-E_{\text{左}}=\frac{\rho_S}{\varepsilon_0}.$

2. 左右外板都接地，電位相同。沿三個間距的電位變化總和為零：
   $aE_1+bE_2+cE_3=0.$

解題方法

令左至右為 $+x$ 方向。跨過帶電密度為 $\rho_{S1}$ 的中間板，以及帶電密度為 $\rho_{S2}$ 的中間板，分別有

$$E_2-E_1=\frac{\rho_{S1}}{\varepsilon_0},\qquad E_3-E_2=\frac{\rho_{S2}}{\varepsilon_0}.$$

由此可寫成

$$E_2=E_1+\frac{\rho_{S1}}{\varepsilon_0},\qquad E_3=E_1+\frac{\rho_{S1}+\rho_{S2}}{\varepsilon_0}.$$

代入接地外板的電位條件：

$$aE_1+b\left(E_1+\frac{\rho_{S1}}{\varepsilon_0}\right) +c\left(E_1+\frac{\rho_{S1}+\rho_{S2}}{\varepsilon_0}\right)=0.$$

令 $L=a+b+c$，解得三區電場：

核心觀念

使用畢歐–沙伐定律計算電流元在圓心產生的磁場。半徑為 $a$、圓心角為 $\phi$ 的圓弧，在圓心產生的磁場大小為

$$B=\frac{\mu_0 I\phi}{4\pi a}$$

其中 $\mu_0$ 為真空磁導率。磁場方向由右手定則判斷。

解題方法

導線分成上方半圓弧與左右兩段直線。先分別計算各部分在 $O$ 點的磁場，再以方向相加。

半圓弧的圓心角為 $\phi=\pi$，因此其磁場大小為

$$B_{\text{弧}} =\frac{\mu_0 I\pi}{4\pi a} =\frac{\mu_0 I}{4a}$$

核心觀念

位移電流密度由電位移向量對時間的變化率定義：

$$\vec J_d=\frac{\partial\vec D}{\partial t} =\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$$

在真空中，點電荷產生的電場方向沿著「由電荷指向觀察點」的方向。圖中電荷以角速度 $\omega$ 逆時針運動，因此電場方向也隨時間轉動。

解題方法

令圓周半徑為 $a=1\text{ cm}=0.01\text{ m}$，電荷位置向量為

$$\vec r=a(\hat i\cos\varphi+\hat j\sin\varphi)$$

圓心處的電場指向由電荷位置向圓心，故

$$\vec E =-\frac{q}{4\pi\epsilon_0a^2} (\hat i\cos\varphi+\hat j\sin\varphi)$$

由於 $\frac{d\varphi}{dt}=\omega$，對時間微分得

核心觀念

本題考查動生電動勢（Motional EMF）與勞侖茲磁力（Lorentz Magnetic Force）的物理機制，經典應用模型為法拉第圓盤（Faraday Disk / 單極發電機 Homopolar Generator）。

1. 動生電動勢定義：導體內自由電荷隨導體以速度 $\mathbf{v}$ 在磁場 $\mathbf{B}$ 中運動時，受勞侖茲磁力作用，產生等效電場 $\mathbf{E}_m = \mathbf{v} \times \mathbf{B}$。在導體兩端所建立的感應電動勢為： $$\mathcal{E} = \int (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l}$$
2. 轉動運動學關係：圓盤旋轉頻率為 $\nu$（單位為 $\text{Hz}$ 或 $\text{rev/s}$），其旋轉角速度大小為： $$\omega = 2\pi\nu$$ 距離旋轉軸 $r$ 處的線速度大小為 $v = \omega r$。

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解題方法

步驟一：建立座標系與向量表示

選取圓柱座標系 $(r, \phi, z)$，令圓盤平面位於 $z = 0$，旋轉對稱軸沿 $z$ 軸。

• 均勻磁場平行於旋轉軸，設： $$\mathbf{B} = B\hat{\mathbf{z}}$$
• 圓盤繞 $z$ 軸以角速度旋轉： $$\boldsymbol{\omega} = \omega\hat{\mathbf{z}} = 2\pi\nu\hat{\mathbf{z}}$$
• 盤面上半徑為 $r$ 處（$0 \le r \le R$）導體分子的切線速度為： $$\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} = (2\pi\nu\hat{\mathbf{z}}) \times (r\hat{\mathbf{r}}) = 2\pi\nu r\hat{\boldsymbol{\phi}}$$

步驟二：計算自由電荷所受等效電場

在盤內隨圓盤旋轉的單位正電荷所受之勞侖茲力為：

$$\mathbf{f}_m = \mathbf{v} \times \mathbf{B} = (2\pi\nu r\hat{\boldsymbol{\phi}}) \times (B\hat{\mathbf{z}}) = 2\pi\nu B r\hat{\mathbf{r}}$$

方向沿徑向向外（$\hat{\mathbf{r}}$）。

核心觀念

本題旨在考查時變電磁波在無耗損介質中的瞬時表示式（Instantaneous Expression）。解題涉及以下核心觀念與公式：

1. 無耗損介質波速（Phase Velocity）：

   $$u_p = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$$

   其中光速 $c \approx 3 \times 10^8\text{ m/s}$。

2. 角頻率（Angular Frequency）與相位常數（Phase Constant / Wave Number）：

   $$\omega = 2\pi f$$ $$\beta = \frac{\omega}{u_p} = \omega \sqrt{\mu \epsilon}$$

3. 均勻平面波的瞬時電場通式：
   沿 $+z$ 方向行進、沿 $\hat{a}_x$ 方向偏振的時諧（Sinusoidal）電場，其瞬時形式可寫為：

   $$\vec{E}(z, t) = \hat{a}_x E_0 \cos(\omega t - \beta z + \phi_0)$$

   其中 $E_0$ 為振幅，$(\omega t - \beta z)$ 代表向 $+z$ 方向傳播，$\phi_0$ 為初始相位常數。

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解題方法與詳細推導

步驟 1：計算介質中的相速度 $u_p$

已知介質參數為 $\epsilon_r = 4$、$\mu_r = 1$、$\sigma = 0$（無耗損介質）：

$$u_p = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times 4}} = \frac{3 \times 10^8}{2} = 1.5 \times 10^8\text{ m/s}$$

步驟 2：計算角頻率 $\omega$ 與相位常數 $\beta$

頻率 $f = 100\text{ MHz} = 10^8\text{ Hz}$：

• 角頻率： $$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10^8\text{ rad/s}$$
• 相位常數： $$\beta = \frac{\omega}{u_p} = \frac{2\pi \times 10^8}{1.5 \times 10^8} = \frac{4\pi}{3}\text{ rad/m}$$

核心觀念

本題評量均勻平面波（Uniform Plane Wave）在無損耗介質（Lossless Medium）中的傳播特性，以及由瞬時電場 $\vec{\mathcal{E}}(z, t)$ 求取瞬時磁場 $\vec{\mathcal{H}}(z, t)$ 的能力。主要涉及的觀念與公式包括：

1. 介質本質阻抗（Intrinsic Impedance）： $$\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \sqrt{\frac{\mu_r}{\epsilon_r}} \eta_0$$ 其中真空本質阻抗 $\eta_0 \approx 120\pi \approx 377\ \Omega$。
2. 均勻平面波電場與磁場之正交關係（右手定則）：
   平面波之波傳方向單位向量 $\hat{a}_k$、電場偏振方向 $\hat{a}_E$ 與磁場偏振方向 $\hat{a}_H$ 滿足： $$\hat{a}_H = \hat{a}_k \times \hat{a}_E$$ 且電場振幅與磁場振幅之比值為介質阻抗： $$|\vec{H}| = \frac{|\vec{E}|}{\eta}$$
3. 角頻率與相角常數（Phase Constant）： $$\omega = 2\pi f, \quad \beta = \omega\sqrt{\mu\epsilon} = \frac{\omega}{v_p} = \frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_r \epsilon_r}$$

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解題方法

步驟一：求出均勻平面波的波參數

已知介質特性：$\epsilon_r = 4$、$\mu_r = 1$、$\sigma = 0$，頻率 $f = 100\text{ MHz} = 10^8\text{ Hz}$。

1. 角頻率 $\omega$：

   $$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10^8\text{ rad/s}$$

2. 相速度 $v_p$ 與相角常數 $\beta$：

   $$v_p = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times 4}} = 1.5 \times 10^8\text{ m/s}$$ $$\beta = \frac{\omega}{v_p} = \frac{2\pi \times 10^8}{1.5 \times 10^8} = \frac{4\pi}{3}\text{ rad/m}$$

3. 介質本質阻抗 $\eta$：

   $$\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \frac{\eta_0}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{120\pi}{\sqrt{4}} = 60\pi\ \Omega \approx 188.5\ \Omega$$

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步驟二：決定瞬時電場 $\vec{\mathcal{E}}(z, t)$

平面波沿 $+z$ 方向傳播，電場方向為 $\hat{a}_x$，故瞬時電場通式可表示為：

$$\vec{\mathcal{E}}(z, t) = \hat{a}_x E_0 \cos(\omega t - \beta z + \phi)$$

由題意已知振幅 $E_0 = 10^{-4}\text{ V/m}$。
在 $t = 0$ 且 $z = \frac{1}{8}\text{ m}$ 時，電場具有最大正向值 $+10^{-4}\text{ V/m}$，因此該處的餘弦函數相角必為 $2n\pi$（取基本相角令 $n = 0$）：

$$\cos\left(0 - \beta \cdot \frac{1}{8} + \phi\right) = 1$$ $$-\beta \cdot \frac{1}{8} + \phi = 0 \implies \phi = \frac{1}{8}\beta = \frac{1}{8}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$$

因此瞬時電場表示式為：

核心觀念

本題考查無損耗介質（lossless medium）中均勻平面波（Uniform Plane Wave）的傳播特性、相位速度與波長計算，以及空間中電場正峰值（positive maximum）位置隨時間的移動規律。主要涉及以下公式與定義：

1. 角頻率與光速：

   $$\omega = 2\pi f$$ $$c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$$

2. 無損耗介質中的相速度 $u_p$ 與波數（相位常數）$\beta$：

   $$u_p = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$$ $$\beta = \frac{\omega}{u_p} = \frac{2\pi}{\lambda}$$ $$\lambda = \frac{u_p}{f}$$

3. 正弦均勻平面波之時域形式：
   沿 $+z$ 方向行進的餘弦（或正弦）波形式可寫為：

   $$E_x(z, t) = E_0 \cos(\omega t - \beta z + \phi_0)$$

   電場達到正極大值（$+E_0$）的條件為其餘弦相位角等於 $2m\pi$（其中 $m \in \mathbb{Z}$）：

   $$\omega t - \beta z + \phi_0 = 2m\pi, \quad m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

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解題方法

步驟一：計算介質中的相速度 $u_p$、波長 $\lambda$ 與相位常數 $\beta$

已知條件：

• 頻率 $f = 100 \text{ MHz} = 10^8 \text{ Hz}$
• 介質參數：$\epsilon_r = 4$，$\mu_r = 1$，$\sigma = 0$

介質中的相速度為：

$$u_p = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times 4}} = 1.5 \times 10^8 \text{ m/s}$$

波長 $\lambda$ 為：

$$\lambda = \frac{u_p}{f} = \frac{1.5 \times 10^8}{10^8} = 1.5 \text{ m}$$

相位常數 $\beta$ 為：

$$\beta = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3} \text{ rad/m}$$

角頻率 $\omega$ 為：

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10^8 \text{ rad/s}$$

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步驟二：建立波的正峰值方程式

設電場形式為：

$$E_x(z, t) = E_0 \cos(\omega t - \beta z + \phi_0)$$

正峰值發生在總相位等於 $2n\pi$ 處：

核心觀念

本題的核心在於從馬克士威方程式（Maxwell's equations）出發，透過旋度運算與向量恆等式，推導出在簡單介質（simple medium：線性、均勻、等向性，即 $\epsilon$ 與 $\mu$ 為常數）中包含訊號源項（電荷密度 $\rho$ 與電流密度 $\vec{J}$）的非齊次波動方程式（nonhomogeneous wave equations）。

推導所需的關鍵公式與恆等式：

1. 馬克士威旋度與散度方程式（以題目提示為準）：
   • 法拉第定律（Faraday's Law）：$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$
   • 安培－馬克士威定律（Ampère-Maxwell Law）：$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
   • 高斯電場定律（Gauss's Law for Electricity）：$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon}$
   • 高斯磁場定律（Gauss's Law for Magnetism）：$\vec{\nabla} \cdot \vec{H} = 0$
2. 向量旋度恆等式（Vector Identity）：
   對任意向量場 $\vec{A}$，其雙旋度恆等式為： $$\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A}$$

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解題方法與詳細推導

(a) 推導電場 $\vec{E}$ 的非齊次波動方程式

1. 對法拉第定律兩邊取旋度（curl）：

   $$\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla} \times \left( -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \right)$$

2. 應用雙旋度向量恆等式於等號左側：

   $$\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E}$$

3. 由於介質為簡單介質，導磁率 $\mu$ 為空間與時間常數，且時間與空間微分可交換順序，等號右側可改寫為：

   $$\vec{\nabla} \times \left( -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \right) = -\mu \frac{\partial}{\partial t} (\vec{\nabla} \times \vec{H})$$

4. 將安培－馬克士威定律代入上述右側式子中：

   $$-\mu \frac{\partial}{\partial t} (\vec{\nabla} \times \vec{H}) = -\mu \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{J} + \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} - \mu\epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

5. 將高斯電場定律 $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon}$ 代入左側式子：

   $$\vec{\nabla} \left( \frac{\rho}{\epsilon} \right) - \nabla^2 \vec{E} = -\mu \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} - \mu\epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

6. 移項整理，將波動方程式的主算子項置於左邊，源項（source terms）置於右邊：

   $$\nabla^2 \vec{E} - \mu\epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \frac{1}{\epsilon}\vec{\nabla}\rho + \mu \frac{\partial \vec{J}}{\partial t}$$

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(b) 推導磁場 $\vec{H}$ 的非齊次波動方程式

1. 對安培－馬克士威定律兩邊取旋度（curl）：