112 年 國立成功大學光電科學與工程研究所乙組《電子學》

核心觀念

本題考查齊納二極體穩壓電路，需使用：

1. 齊納二極體的小訊號線性模型
   $V_Z=6.8+ r_Z(I_Z-5\text{ mA})$

2. 串聯限流電阻的歐姆定律
   $I_R=\frac{V^+-V_o}{R}$

3. 負載端 KCL：
   $I_R=I_Z+I_L$

若負載使輸出電壓低於齊納崩潰所需電壓，齊納二極體截止，此時電路退化為普通分壓器。

解題方法

一、無負載時

無負載表示 $I_L=0$，因此電阻電流全部流過齊納二極體：

$I_R=I_Z$

由 KVL：

$10=500I_Z+V_Z$

齊納電壓為：

$V_Z=6.8+20(I_Z-5\text{ mA})$

代入得：

$10=500I_Z+6.8+20(I_Z-0.005)$

$10=520I_Z+6.7$

$I_Z=\frac{3.3}{520}=6.346\text{ mA}\approx 6.35\text{ mA}$

因此：

$V_o=V_Z=6.8+20(6.346-5)\text{ mA}$

$V_o=6.8269\text{ V}\approx 6.83\text{ V}$

二、接上 $R_L=0.5\text{ k}\Omega$ 時

先假設齊納二極體導通，則：

$I_L=\frac{V_o}{500}$

$I_Z=\frac{V_o-6.7}{20}$

套用 KCL：

$$\frac{10-V_o}{500} = \frac{V_o}{500} + \frac{V_o-6.7}{20}$$

乘以 $500$：

$10-V_o=V_o+25(V_o-6.7)$

$V_o=6.56\text{ V}$

但此時：

$I_Z=\frac{6.56-6.7}{20}<0$

齊納電流不可能為負值，表示原先假設錯誤，齊納二極體實際上截止。

因此齊納截止時，輸出電壓由 $R$ 與 $R_L$ 分壓：

核心觀念

本題考查 n-channel MOSFET 的臨界電壓 $V_{TN}$ 對元件參數與偏壓的影響。長通道 NMOS 的臨界電壓可表示為

$$V_{TN} = V_{FB}+2\phi_F +\gamma\left(\sqrt{2\phi_F+V_{SB}}-\sqrt{2\phi_F}\right)$$

其中：

• $V_{FB}$：平帶電壓
• $\phi_F$：基板費米電位
• $V_{SB}$：源極與基板間電壓
• $\gamma$：體效應係數

體效應係數為

$$\gamma=\frac{\sqrt{2q\varepsilon_{si}N_A}}{C_{ox}}$$

而氧化層電容密度為

$$C_{ox}=\frac{\varepsilon_{ox}}{t_{ox}}$$

因此，$t_{ox}$ 增加時，$C_{ox}$ 減小，會使體效應係數 $\gamma$ 增大。

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解題方法

逐一檢查各選項對臨界電壓公式的影響：

1. 反向基板偏壓增加，會使 $V_{SB}$ 增加。
2. 基板摻雜濃度降低，會使 $\phi_F$ 與 $\gamma$ 降低。
3. 閘極氧化層厚度增加，會使 $C_{ox}$ 降低，進而使 $\gamma$ 增加。
4. 在長通道模型中，臨界電壓與閘極長度無直接關係。

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選項分析

(A) increase the reverse bias of substrate

正確。

對 NMOS 而言，增加基板反向偏壓等效於增加 $V_{SB}$。由

$$V_{TN} = V_{TN0} +\gamma\left(\sqrt{2\phi_F+V_{SB}}-\sqrt{2\phi_F}\right)$$

可知，$V_{SB}$ 增加會使平方根項增加，因此臨界電壓上升。這種現象稱為體效應。

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核心觀念

本題考查 BJT 與 MOSFET 的轉導 $g_m$、端點數目，以及輸入阻抗的比較。

轉導定義為

$$g_m=\frac{\partial I_{\text{out}}}{\partial V_{\text{in}}}$$

其中：

• BJT：$g_m=\dfrac{I_C}{V_T}$
• MOSFET 飽和區：$g_m=\mu_n C_{\mathrm{ox}}\dfrac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH})$

$V_T$ 為熱電壓，室溫約為 $25\text{ mV}$；$V_{TH}$ 為臨界電壓。

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解題方法

逐項檢查各元件的基本特性：

1. 由 BJT 的指數型電流方程式判斷 $g_m$ 與 $V_{BE}$ 的關係。
2. 由 MOSFET 飽和區平方律電流方程式微分，判斷 $g_m$ 與 $V_{GS}$ 的關係。
3. 記憶 MOSFET 的四個物理端點。
4. 比較 MOSFET 絕緣閘極與 BJT 接面輸入端的輸入阻抗。

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選項分析

(A) The BJT transconductance increases exponentially with respect to $V_{BE}$.

BJT 在主動區的集極電流為

$$I_C=I_S e^{V_{BE}/V_T}$$

BJT 的轉導為

$$g_m=\frac{\partial I_C}{\partial V_{BE}} =\frac{I_S}{V_T}e^{V_{BE}/V_T} =\frac{I_C}{V_T}$$

因此，$g_m$ 與 $V_{BE}$ 同樣呈指數型增加。

故 (A) 正確。

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(B) The MOS FET's transconductance increases linearly with respect to $V_{GS}$.

以 NMOS 飽和區為例，其汲極電流為

$$I_D=\frac{1}{2}\mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH})^2$$

對 $V_{GS}$ 微分：

核心觀念

GaAs 接面二極體的順向電流可近似表示為

$$I \approx I_S e^{V_D/(nV_T)}$$

其中反向飽和電流 $I_S$ 會隨溫度升高而大幅增加。因此在相同順向電流下，溫度越高所需的順向電壓越低，I–V 曲線會向左移。

由圖可見，曲線由左至右依序為 $T_1,T_2,T_3,T_4,T_5$，所以溫度大小规律為

$$T_1>T_2>T_3>T_4>T_5$$

選項分析

• (A) $T_1>T_2$：正確。
  $T_1$ 曲線位於 $T_2$ 左側，代表相同電流下 $T_1$ 的順向電壓較低，因此 $T_1$ 溫度較高。

核心觀念

理想二極體導通時可視為短路，因此二極體兩端電壓相同。由圖中二極體方向及電路條件可判定四個二極體皆導通，故各節點均被箝位在接地電位：

$V_A=V_B=V_C=V_o=0\text{ V}$

接著利用各電阻上的歐姆定律與節點電流定律（KCL）求出二極體電流。

解題計算

1. $D_1$ 左側接地，$D_1$ 導通後 $V_A=0$。因此 $1\text{ k}\Omega$ 電阻電流為

$$I_{1k}=\frac{0-(-8)}{1\text{ k}\Omega}=8\text{ mA}$$

2. $B$ 點經 $2\text{ k}\Omega$ 接至 $+8\text{ V}$，流入 $B$ 點的電流為

$$I_{2k}=\frac{8-0}{2\text{ k}\Omega}=4\text{ mA}$$

3. $C$ 點經 $4\text{ k}\Omega$ 接至 $-8\text{ V}$，流出 $C$ 點的電流為

$$I_{4k}=\frac{0-(-8)}{4\text{ k}\Omega}=2\text{ mA}$$

4. $V_o=0$，且 $V_o$ 經 $8\text{ k}\Omega$ 接至 $+8\text{ V}$，故流入 $V_o$ 的電流為

$$I_{8k}=\frac{8-0}{8\text{ k}\Omega}=1\text{ mA}$$

由 $V_o$ 節點套用 KCL：

$$I_{D4}=1\text{ mA}$$

由 $C$ 節點套用 KCL：

$$I_{D3}+I_{D4}=2\text{ mA}$$

因此

$$I_{D3}=2-1=1\text{ mA}$$

由 $B$ 節點套用 KCL：

核心觀念

本題考查 BJT 的直流偏壓分析，使用：

• 基極電流：$I_B=\dfrac{I_E}{\beta+1}$
• 集極電流：$I_C=\beta I_B$
• 矽晶體管正向導通時，取 $V_{BE}\approx0.7\text{ V}$
• 電阻電流由歐姆定律 $I=\dfrac{V}{R}$ 求得

圖中左側為 NPN 電晶體，右側為 PNP 電晶體，兩者皆有 $\beta=100$。

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解題方法

先分析左側 NPN 電晶體。

其基極偏壓網路可用戴維寧等效：

$$V_{TH}=15\left(\frac{100}{200+100}\right)=5\text{ V}$$ $$R_{TH}=200\text{ k}\Omega\parallel100\text{ k}\Omega =66.67\text{ k}\Omega$$

基極電流為

$$I_{B1}=\frac{V_A-0.7}{(\beta+1)10\text{ k}\Omega}$$

因此

$$V_A=5-I_{B1}(66.67\text{ k}\Omega)$$

代入 $\beta=100$：

$$V_A =5-\frac{V_A-0.7}{101(10\text{ k}\Omega)} (66.67\text{ k}\Omega)$$

解得

$$V_A\approx4.73\text{ V}$$

左側 NPN 的射極電壓為

$$V_B=V_A-0.7\approx4.03\text{ V}$$

故其射極電流為

$$I_{E1}=\frac{V_B}{10\text{ k}\Omega} =\frac{4.03}{10\text{ k}\Omega} \approx0.403\text{ mA}$$ $$I_{C1}=\frac{\beta}{\beta+1}I_{E1} \approx0.399\text{ mA}$$

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右側為 PNP 電晶體。其基極接於 $V_C$，射極接於 $V_D$，且

$$V_D\approx V_C+0.7$$

由右側射極電阻可得

$$I_{E2}=\frac{15-V_D}{1\text{ k}\Omega}$$

核心觀念

本題考查共源極 MOSFET 放大器的中頻小訊號電壓增益，使用：

• 跨導電流：$g_m v_{gs}$
• 輸出電阻：$r_o$
• 源極退化電阻：$R_S$
• 交流負載為汲極電阻、負載電阻與 $r_o$ 的並聯

圖中兩個耦合電容於交流分析視為短路，因此：

$$R_D=10\,\text{k}\Omega,\qquad R_L=10\,\text{k}\Omega$$

題目已指定 $R_S$ 下端的訊號視為接地。

先求汲極等效負載：

$$R_D'=R_D\parallel R_L\parallel r_o$$ $$R_D' =10\,\text{k}\Omega\parallel10\,\text{k}\Omega\parallel100\,\text{k}\Omega =4.7619\,\text{k}\Omega$$

共源極放大器含源極退化時，採用標準小訊號近似：

$$\frac{V_o}{V_i} = -\frac{g_mR_D'}{1+g_mR_S}$$

其中：

$$g_m=1\,\text{mA/V}=1\,\text{mS}$$

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(a) $R_S=1\,\text{k}\Omega$

因為：

$$g_mR_S=(1\,\text{mS})(1\,\text{k}\Omega)=1$$

所以：

$$\frac{V_o}{V_i} = -\frac{(1\,\text{mS})(4.7619\,\text{k}\Omega)}{1+1}$$ $$\boxed{\frac{V_o}{V_i}\approx -2.38}$$

負號表示輸出電壓與輸入電壓相位相反。

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(b) $R_S=0$

此時沒有源極退化：

$$\frac{V_o}{V_i} = -g_mR_D'$$

核心觀念

本題考查 BJT 的電流關係與節點電流定律：

$$I_C=\beta I_B,\qquad I_E=I_C+I_B$$

圖中下方兩顆晶體管的基極—射極電壓相同，且晶體管完全相同，因此其集極電流相等。設這兩顆晶體管的集極電流皆為 $I$。

解題方法

先分析 $i_B$ 所接的下方節點。此節點的電流分別供應：

• 中間晶體管的基極電流：$\dfrac{I}{\beta}$
• 下方二極體接法晶體管的射極電流：

$$I_E=I_C+I_B=I+\frac{I}{\beta}$$

套用 KCL：

$$i_B=\frac{I}{\beta}+I+\frac{I}{\beta} =I\left(1+\frac{2}{\beta}\right)$$

因此：

$$I=\frac{\beta}{\beta+2}i_B$$

再分析上方 $i_A$ 所接的節點。其電流分配為上方晶體管的基極電流與中間晶體管的集極電流：

核心觀念

本題結合 BJT 差動對的偏壓、差模輸入與輸出電阻，以及兩級差動放大器的差模與共模增益。使用小訊號參數

$$g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m}$$

數值計算採室溫 $V_T=25\,\mathrm{mV}$。由圖可讀出級間交叉連接為 Q₁ 集極接 Q₄ 基極、Q₂ 集極接 Q₃ 基極；$v_{o1}$ 取自 Q₄ 集極，$v_{o2}$ 取自 Q₃ 集極。電源軌為 $+5\,\mathrm{V}$ 與 $-5\,\mathrm{V}$，輸入的直流偏壓由 $V_{DC}=5\,\mathrm{V}$ 設定。

解題方法

先由差模輸入電阻求第一級的 $r_{\pi1}$ 與偏壓電流，再由條件 $I_1R_1=3V_{BE(\mathrm{on})}$ 求 $R_1$。接著用差模輸出電阻與 $I_2R_2=2V_{BE(\mathrm{on})}$ 求 $R_2、I_2$。計算第二級基極直流電壓時，須計入第二級基極電流對 $R_1$ 的負載。

1. 求第一級偏壓與 $R_1、R_3$

差模時共用射極節點為交流虛地，因此

$$R_{id}=2r_{\pi1}=1\,\mathrm{k}\Omega \quad\Longrightarrow\quad r_{\pi1}=500\,\Omega$$

所以

$$I_{C1}=\frac{\beta V_T}{r_{\pi1}} =\frac{50(25\,\mathrm{mV})}{500\,\Omega} =2.50\,\mathrm{mA}$$

考慮 $\beta=50$，第一級尾電流為

$$I_1=2I_{E1} =2I_{C1}\frac{\beta+1}{\beta} =5.10\,\mathrm{mA}$$

兩輸入的直流基極電位為 $0\,\mathrm{V}$，故射極電位為 $-0.7\,\mathrm{V}$。因此

$$R_3=\frac{(-0.7)-(-5)}{I_1} =\frac{4.3\,\mathrm{V}}{5.10\,\mathrm{mA}} =843.1\,\Omega$$

由題目指定條件，

$$R_1=\frac{3V_{BE(\mathrm{on})}}{I_1} =\frac{2.1\,\mathrm{V}}{5.10\,\mathrm{mA}} =411.8\,\Omega$$

2. 求第二級偏壓與 $R_2、R_4$

第二級差動輸出端以差動方式取電流時，電流經過兩個集極電阻，因此

$$R_{od}=2R_2=150\,\Omega \quad\Longrightarrow\quad R_2=75\,\Omega$$

由 $I_2R_2=2V_{BE(\mathrm{on})}$ 得

$$I_2=\frac{1.4\,\mathrm{V}}{75\,\Omega} =18.667\,\mathrm{mA}$$

第二級每支電晶體的集極電流與基極電流為

$$I_{C2}=\frac{\beta}{\beta+1}\frac{I_2}{2} =9.150\,\mathrm{mA}, \qquad I_{B2}=\frac{I_{C2}}{\beta} =0.1830\,\mathrm{mA}$$

每個 $R_1$ 支路同時供應第一級電晶體的集極電流與第二級基極電流，所以第一級集極電壓為