112 年 國立中正大學化學工程學系碩士班《工程數學》

核心觀念

將微分方程寫成微分形式

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.$$

若滿足

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},$$

則為恰當微分方程，可求得勢函數 $F(x,y)$，使得

$$dF=M\,dx+N\,dy.$$

本題原式為

$$1+(3x-e^{-2y})y'=0.$$

因為 $y'=\dfrac{dy}{dx}$，兩邊乘以 $dx$ 得

$$dx+(3x-e^{-2y})\,dy=0.$$

因此

$$M=1,\qquad N=3x-e^{-2y}.$$

計算偏導數：

$$M_y=0,\qquad N_x=3.$$

由於 $M_y\ne N_x$，原方程不是恰當微分方程，需要尋找積分因子。

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解題方法

（a）求積分因子

題目提示積分因子為 $y$ 的函數，設

$$\mu=\mu(y).$$

乘上積分因子後，方程成為

$$\mu(y)M\,dx+\mu(y)N\,dy=0.$$

要求其為恰當微分方程，必須滿足

$$\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}.$$

由於 $\mu$ 只依賴 $y$，有

$$\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \mu'M+\mu M_y,$$

以及

$$\frac{\partial(\mu N)}{\partial x} = \mu N_x.$$

所以

$$\mu'M+\mu M_y=\mu N_x,$$

整理得

$$\frac{\mu'}{\mu} = \frac{N_x-M_y}{M}.$$

代入本題的 $M,N$：

$$\frac{\mu'}{\mu} = \frac{3-0}{1}=3.$$

因此

$$\frac{d\mu}{dy}=3\mu.$$

分離變數並積分：

$$\frac{d\mu}{\mu}=3\,dy,$$ $$\ln|\mu|=3y+C.$$

故積分因子可取為

$$\boxed{\mu(y)=e^{3y}}.$$

核心觀念

此題為二階常係數線性非齊次微分方程：

$$y''+2y'-3y=4e^x.$$

其通解由兩部分組成：

$$y=y_h+y_p,$$

其中：

• $y_h$ 為對應齊次方程的通解；
• $y_p$ 為非齊次項 $4e^x$ 所對應的一組特解。

特解設法需注意共振現象：若右側的 $e^{\lambda x}$ 已出現在齊次解中，特解需額外乘上 $x$。

解題方法

一、求齊次解

先考慮對應的齊次方程：

$$y''+2y'-3y=0.$$

設 $y=e^{rx}$，代入得特徵方程：

$$r^2+2r-3=0.$$

因式分解：

$$r^2+2r-3=(r-1)(r+3)=0.$$

因此特徵根為：

$$r=1,\qquad r=-3.$$

所以齊次解為：

$$y_h=C_1e^x+C_2e^{-3x}.$$

二、求特解

右側非齊次項為 $4e^x$。由於 $e^x$ 已經是齊次解的一部分，因此直接設 $y_p=Ae^x$ 會與齊次解重複，必須乘上 $x$：

$$y_p=Axe^x.$$

計算導數：

$$y_p'=A(x+1)e^x,$$

核心觀念

本題考查利用拉普拉斯轉換解常係數線性微分方程。所需公式為

$$\mathcal{L}[y'] = sY(s)-y(0),$$ $$\mathcal{L}[y''] = s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),$$

以及

$$\mathcal{L}[1]=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a}.$$

令

$$Y(s)=\mathcal{L}[y(t)].$$

由於初始條件皆為零，微分項的初始值修正項會消失。

解題方法

原方程為

$$y''+2y'-3y=1, \qquad y(0)=0,\quad y'(0)=0.$$

兩側取拉普拉斯轉換：

$$\mathcal{L}[y'']+2\mathcal{L}[y']-3\mathcal{L}[y] =\mathcal{L}[1].$$

代入公式得

$$\left(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)\right) +2\left(sY(s)-y(0)\right)-3Y(s) =\frac{1}{s}.$$

使用 $y(0)=y'(0)=0$：

$$s^2Y(s)+2sY(s)-3Y(s)=\frac{1}{s}.$$

因此

$$(s^2+2s-3)Y(s)=\frac{1}{s}.$$

將二次式因式分解：

$$s^2+2s-3=(s+3)(s-1),$$

所以

$$Y(s)=\frac{1}{s(s+3)(s-1)}.$$

作部分分式分解：

$$\frac{1}{s(s+3)(s-1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s-1}.$$

兩側同乘 $s(s+3)(s-1)$：

核心觀念

線性方程組可寫成

$$AX=B,$$

其中：

• $A=[a_{ij}]$ 為係數矩陣，第 $i$ 列放第 $i$ 個方程式中各未知數的係數；
• $X$ 為未知數欄向量；
• $B$ 為常數項欄向量；
• 若某方程式缺少某個未知數，該未知數的係數必須填入 $0$。

本題未知數排列順序固定為 $x_1,x_2,x_3$。

解題方法

逐式擷取 $x_1,x_2,x_3$ 的係數。

第一式

$$-x_1+x_2+3x_3=-2$$

係數列為

$$[-1,\ 1,\ 3].$$

第二式

$$x_2+2x_3=4$$

沒有 $x_1$ 項，因此 $x_1$ 的係數為 $0$，係數列為

$$[0,\ 1,\ 2].$$

第三式

$$2x_1+x_3=1$$

沒有 $x_2$ 項，因此 $x_2$ 的係數為 $0$，係數列為

$$[2,\ 0,\ 1].$$

所以

$$A= \begin{bmatrix} -1&1&3\\ 0&1&2\\ 2&0&1 \end{bmatrix}, \qquad X= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} -2\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}.$$

乘法驗算如下：

解題流程

1. 選取特解滿足邊界與非齊次項

$\phi(x,t)=x\cos t$

$$\phi(0,t)=0,\quad\phi(1,t)=\cos t,\qquad \phi_t-\phi_{xx}= -x\sin t$$

2. 將原方程寫成齊次熱方程
   設 $v(x,t)=u(x,t)-\phi(x,t)$，則

$v_t=v_{xx},\qquad v(0,t)=v(1,t)=0,$

$v(x,0)=u(x,0)-\phi(x,0)=\bigl[x+\sin(2x)\bigr]-x =\sin(2x).$

3. 分離變數得到傅立葉正弦展開

$v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin(n\pi x)\,e^{-(n\pi)^2t},$

係數

核心觀念

將函數作週期為 $2\pi$ 的傅立葉展開：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$

其中

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,$$ $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.$$

函數滿足 $f(-x)=-f(x)$，因此是奇函數。故常數項與餘弦項皆為零，只需計算正弦係數 $b_n$。

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(a) 傅立葉級數

由奇函數的對稱性，

$$a_0=0,\qquad a_n=0.$$

計算 $b_n$：

$$\begin{aligned} b_n &=\frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{0}(-k)\sin(nx)\,dx +\int_{0}^{\pi}k\sin(nx)\,dx \right]\\ &=\frac{2k}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx\\ &=\frac{2k}{\pi} \left[\frac{1-\cos(n\pi)}{n}\right]\\ &=\frac{2k}{\pi n}\left[1-(-1)^n\right]. \end{aligned}$$

因此：

• 當 $n$ 為偶數時，$b_n=0$；
• 當 $n$ 為奇數時，$b_n=\dfrac{4k}{\pi n}$。

令奇數 $n=2m-1$，得到傅立葉級數

$$\boxed{ f(x)=\frac{4k}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{\sin\big((2m-1)x\big)}{2m-1} }$$