112 年 國立中正大學化學工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

核心觀念

本題結合三個關係：

1. 穩定、不可壓縮流體的連續方程式：
   $A_1V_1=A_2V_2$
2. 水平、無摩擦流動的 Bernoulli 方程式。
3. 圖中以 Hg 為測壓液的差壓計關係。

設管內流體密度為 $\rho$，汞的密度為 $\rho_{\mathrm{Hg}}$。由圖可知 $A_1>A_2$，且右側汞面較高，因此 $P_1>P_2$。

解題方法

由連續方程式：

$A_1V_1=A_2V_2$

因此

$V_2=\frac{A_1}{A_2}V_1$

由於管路水平且無摩擦，$z_1=z_2$，Bernoulli 方程式為：

$$\frac{P_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2g_c} = \frac{P_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2g_c}$$

整理得：

$$P_1-P_2 = \frac{\rho}{2g_c}\left(V_2^2-V_1^2\right)$$

由 Hg 差壓計的靜力平衡，且兩測壓點位於同一水平面：

$$P_1-P_2 = \frac{(\rho_{\mathrm{Hg}}-\rho)g\Delta h}{g_c}$$

將兩式相等：

$$\frac{\rho}{2g_c}\left(V_2^2-V_1^2\right) = \frac{(\rho_{\mathrm{Hg}}-\rho)g\Delta h}{g_c}$$

約去 $g_c$，得：

$$V_2^2-V_1^2 = 2g\left(\frac{\rho_{\mathrm{Hg}}}{\rho}-1\right)\Delta h$$

代入 $V_2=(A_1/A_2)V_1$：

$$\left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2-1 \right]V_1^2 = 2g\left(\frac{\rho_{\mathrm{Hg}}}{\rho}-1\right)\Delta h$$

所以

本題考驗熱交換器的能量平衡以及對數平均溫差 (LMTD) 方法。

核心觀念：

1. 能量平衡 (Energy Balance)：在穩態下，熱交換器中一種流體釋放的熱量等於另一種流體吸收的熱量（忽略熱損失）。
2. 對數平均溫差 (Log Mean Temperature Difference, LMTD)：用於計算穩態穩流不可壓縮流體之熱交換器熱傳面積的平均溫差。
3. 熱傳速率方程式：$Q = U A \Delta T_{lm}$。

解題步驟：

a. 求熱流體的質量流率

1. 計算冷流體（水）吸收的熱量：
   設水的質量流率為 $\dot{m}_w = 5.6$ kg/s。
   水的比熱容 $C_{pw} = 3.0$ KJ/kg·K。
   水的進口溫度 $T_{w,in} = 40^\circ$C。
   水的出口溫度 $T_{w,out} = 90^\circ$C。
   水吸收的熱量 $Q_w$ 為：
   $Q_w = \dot{m}_w C_{pw} (T_{w,out} - T_{w,in})$
   $Q_w = (5.6 \text{ kg/s}) \times (3.0 \text{ KJ/kg·K}) \times (90^\circ\text{C} - 40^\circ\text{C})$
   $Q_w = (5.6 \text{ kg/s}) \times (3.0 \text{ KJ/kg·K}) \times (50 \text{ K})$
   $Q_w = 840 \text{ KJ/s} = 840 \text{ KW}$

2. 能量平衡：
   假設熱交換器沒有熱損失，則熱流體釋放的熱量 $Q_h$ 等於水吸收的熱量 $Q_w$。
   $Q_h = Q_w = 840 \text{ KW}$

3. 計算熱流體的質量流率：
   設熱流體的質量流率為 $\dot{m}_h$。
   熱流體的比熱容 $C_{ph} = 1.6$ KJ/kg·K。
   熱流體的進口溫度 $T_{h,in} = 210^\circ$C。
   熱流體的出口溫度 $T_{h,out} = 160^\circ$C。
   熱流體釋放的熱量 $Q_h$ 為：
   $Q_h = \dot{m}_h C_{ph} (T_{h,in} - T_{h,out})$
   我們已知 $Q_h = 840$ KW。
   $840 \text{ KW} = \dot{m}_h \times (1.6 \text{ KJ/kg·K}) \times (210^\circ\text{C} - 160^\circ\text{C})$
   $840 \text{ KW} = \dot{m}_h \times (1.6 \text{ KJ/kg·K}) \times (50 \text{ K})$
   $840 \text{ KW} = \dot{m}_h \times 80 \text{ KJ/kg}$
   $\dot{m}_h = \frac{840 \text{ KW}}{80 \text{ KJ/kg}} = \frac{840 \text{ KJ/s}}{80 \text{ KJ/kg}}$

核心觀念

本題考查兩平行平板間的穩態層流，也稱為平板間的壓力驅動流（plane Poiseuille flow）。

假設液體為牛頓流體，流動已充分發展，且平板表面符合無滑動條件。令兩平板間距為 $b$，則速度分布為拋物線：

$$u(y)=\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dp}{dx}\right) \left[\left(\frac{b}{2}\right)^2-y^2\right]$$

其中 $y=0$ 位於兩平板中線，$y=\pm b/2$ 為平板壁面。

平板間層流的重要關係為：

$$u_{\max}=\frac{3}{2}\bar{u}$$

以及

$$\tau_w=\frac{6\mu\bar{u}}{b}$$

其中：

• $\bar{u}$：截面平均速度
• $u_{\max}$：中心線最大速度
• $\tau_w$：平板壁面剪應力
• $\mu$：流體黏度
• $b$：兩平板間距

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已知資料與單位換算

單位寬度的體積流率為：

$$q'=0.2\ \frac{\text{ft}^3}{\text{s}\cdot\text{ft}} =0.2\ \text{ft}^2/\text{s}$$

兩平板間距：

$$b=1\ \text{in} =\frac{1}{12}\ \text{ft} =0.08333\ \text{ft}$$

流體黏度：

$$\mu=6.98\times10^{-3}\ \frac{\text{lbf}\cdot\text{s}}{\text{ft}^2}$$

由於題目給的是「單位寬度流率」，可將單位寬度上的流率除以板間距，得到平均速度：

$$\bar{u}=\frac{q'}{b}$$

因此：

$$\bar{u} = \frac{0.2}{1/12} = 2.40\ \text{ft/s}$$

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解題方法

先由單位寬度流率求出截面平均速度，再利用平行平板層流的速度分布關係求最大速度。壁面剪應力則由牛頓黏性定律與速度梯度求得。

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a. 最大速度

對兩平板間的拋物線速度分布，最大速度與平均速度的關係為：

$$u_{\max}=\frac{3}{2}\bar{u}$$

代入 $\bar{u}=2.40\ \text{ft/s}$：

$$u_{\max} = \frac{3}{2}(2.40) = 3.60\ \text{ft/s}$$

因此：

$$\boxed{u_{\max}=3.60\ \text{ft/s}}$$

最大速度出現在兩平板的中面 $y=0$。

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核心觀念

本題考查「球形固體昇華的分子擴散」與「移動界面質量守恆」。

假設：

• 周圍空氣無限大且靜止，遠處萘蒸氣濃度為零。
• 球面附近氣相達到萘的飽和濃度。
• 擴散為準穩態，球半徑隨時間緩慢變化。
• 萘蒸氣濃度很低，可採用稀溶液近似。
• 球體密度與擴散係數視為常數。

球面至無限遠的穩態擴散摩爾流率為

$$\dot n_A=4\pi rD_{AB}C_{A,s}$$

其中 $r$ 為瞬時球半徑，$C_{A,s}$ 為球面處萘蒸氣的莫耳濃度。

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解題方法

1. 計算球面萘蒸氣濃度

由理想氣體關係式：

$$C_{A,s}=\frac{P_A^*}{RT}$$

題目給定：

$$P_A^*=666\ \text{Pa},\qquad T=347\ \text{K}$$

因此

$$C_{A,s} =\frac{666}{(8.314)(347)} =0.2308\ \text{mol/m}^3$$

其他物性換算為 SI 單位：

$$\rho_s=1.145\ \text{g/cm}^3 =1145\ \text{kg/m}^3$$ $$M_A=128\ \text{g/mol} =0.128\ \text{kg/mol}$$ $$D_{AB}=0.0819\ \text{cm}^2/\text{s} =8.19\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}$$

2. 建立球體縮小的質量平衡

球體半徑減少 $dr$ 時，固體質量減少速率為

$$-\frac{dm_s}{dt} =-\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\rho_s\right) =-4\pi r^2\rho_s\frac{dr}{dt}$$

昇華出去的萘質量流率為

$$\dot m_A=M_A\dot n_A =M_A(4\pi rD_{AB}C_{A,s})$$

由質量守恆：

$$-4\pi r^2\rho_s\frac{dr}{dt} = 4\pi rD_{AB}C_{A,s}M_A$$

約去 $4\pi r$：

$$-\rho_s r\frac{dr}{dt} = D_{AB}C_{A,s}M_A$$

整理得

$$dt = -\frac{\rho_s r}{D_{AB}C_{A,s}M_A}\,dr$$