111 年 國立中正大學化學工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

核心觀念

本題考察微小球形粒子在流體中的終端沉降速度。氣膠達到終端速度時，加速度為零，因此垂直方向力平衡：

• 向下：氣膠重量
• 向上：浮力與拖曳力

故有

$$F_D=W-F_B$$

其中

$$W=\rho_p Vg,\qquad F_B=\rho_\infty Vg$$

球體體積為

$$V=\frac{\pi d_p^3}{6}$$

球體所受拖曳力為

$$F_D=\frac{1}{2}C_D\rho_\infty A_p v_t^2$$

球體投影面積為

$$A_p=\frac{\pi d_p^2}{4}$$

雷諾數定義為

$$N_{\mathrm{Re}}=\frac{\rho_\infty v_t d_p}{\mu_\infty}$$

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解題方法

先假設氣膠為球形，並以直徑 $d_p=5~\mu\mathrm{m}$ 計算。由於粒徑極小，終端速度所對應的雷諾數預期遠小於 $1$，因此採用 Stokes 流區的拖曳係數：

$$C_D=\frac{24}{N_{\mathrm{Re}}}$$

題目表格第一列的物理意義即為 Stokes 關係式 $C_D=24/N_{\mathrm{Re}}$。

(i) 終端速度

終端狀態的力平衡為

$$\frac{1}{2}C_D\rho_\infty A_p v_t^2 = (\rho_p-\rho_\infty)Vg$$

代入球體的面積與體積：

$$\frac{1}{2}C_D\rho_\infty \left(\frac{\pi d_p^2}{4}\right)v_t^2 = (\rho_p-\rho_\infty) \left(\frac{\pi d_p^3}{6}\right)g$$

在 Stokes 流區，

$$C_D=\frac{24\mu_\infty}{\rho_\infty v_t d_p}$$

代入力平衡式：

$$\frac{1}{2} \left(\frac{24\mu_\infty}{\rho_\infty v_t d_p}\right) \rho_\infty \left(\frac{\pi d_p^2}{4}\right)v_t^2 = (\rho_p-\rho_\infty) \left(\frac{\pi d_p^3}{6}\right)g$$

整理後得到 Stokes 沉降速度：

$$v_t= \frac{(\rho_p-\rho_\infty)g d_p^2} {18\mu_\infty}$$

已知

$$d_p=5\times10^{-6}\ \mathrm{m}$$

因此

本題主要考驗非穩態熱傳導問題，特別是物體內部溫度均一的假設下的集總參數法 (Lumped Capacitance Method) 的應用，以及畢奧數 (Biot Number) 的意義與計算。

核心觀念：

1. 能量守恆: 對於系統（此處為物體 A）進行能量平衡，總能量變化等於進入系統的熱量減去離開系統的熱量。
2. 集總參數法: 當物體內部的導熱阻力遠小於物體表面與流體間的對流阻力時，可以假設物體內部溫度均勻。此條件由畢奧數來判斷。
3. 畢奧數 ($Bi$): 定義為物體內部導熱阻力與物體表面對流阻力之比。$Bi = hL_c/k$，其中 $h$ 是對流熱傳係數，$L_c$ 是特徵長度，$k$ 是物體的導熱係數。
4. 非穩態熱傳導: 系統溫度隨時間變化。

已知條件：
物體 A 直徑 $D = 1.5 \text{ cm} = 0.015 \text{ m}$
物體 A 半徑 $R = D/2 = 0.0075 \text{ m}$
初始溫度 $T_0 = 25^\circ\text{C}$
恆溫水槽溫度 $T_H = 100^\circ\text{C}$
物體 A 密度 $\rho = 1050 \text{ kg/m}^3$
物體 A 熱容量 $c_p = 2.5 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K} = 2500 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$
物體 A 熱傳導係數 $k = 3.5 \text{ W/m} \cdot \text{K}$
物體 A 與水間的熱傳係數 $h = 60 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$
時間 $t = 3 \text{ min} = 180 \text{ s}$

(i) 推導溫度變化與時間的關係

假設物體 A 內部溫度均勻，且為 $T(t)$。
根據集總參數法，物體 A 在時間 $dt$ 內吸收的熱量 $dQ$ 等於其內部能量的變化 $dU$。
$dU = m c_p dT$
其中 $m$ 是物體 A 的質量。
$m = \rho V$，其中 $V$ 是物體 A 的體積。
由於物體 A 是球體，體積 $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (0.0075 \text{ m})^3 \approx 1.767 \times 10^{-6} \text{ m}^3$。
$m = (1050 \text{ kg/m}^3) \times (1.767 \times 10^{-6} \text{ m}^3) \approx 1.855 \text{ kg}$。

進入物體 A 的熱傳速率由對流決定：
$\dot{Q}_{in} = h A (T_H - T(t))$
其中 $A$ 是物體 A 的表面積。
$A = 4\pi R^2 = 4\pi (0.0075 \text{ m})^2 \approx 7.069 \times 10^{-4} \text{ m}^2$。

能量守恆方程式：
$dU = \dot{Q}_{in} dt$
$m c_p dT = h A (T_H - T(t)) dt$
$\frac{dT}{dt} = \frac{hA}{mc_p} (T_H - T(t))$

令 $\theta(t) = T(t) - T_H$ 為溫度偏差。則 $d\theta/dt = dT/dt$。
$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{hA}{mc_p} \theta(t)$

這是一個一階線性微分方程式。積分兩邊：
$\int_{\theta_0}^{\theta(t)} \frac{d\theta}{\theta} = -\int_0^t \frac{hA}{mc_p} dt$
$\ln(\theta(t)) - \ln(\theta_0) = -\frac{hA}{mc_p} t$

核心觀念

本題考查垂直圓管內流體由靜止突然受重力作用開始流動的非穩態流速分布。圖中的無因次時間參數應讀為

$$\tau=\frac{\nu t}{R^2},$$

其中 $\nu$ 為運動黏度；圖中文字形容易將 $\nu$ 誤看成終端速度 $v_t$。

管中心 $r=0$ 的最終速度為 $v_{\max}$，因此「距離最終值在 20% 以內」表示

$$\frac{v_c(t)}{v_{\max}}\geq 0.8.$$

解題方法

由圖在管中心 $r/R=0$ 讀取各條曲線：

• $\tau=0.2$ 時，中心速度尚未達到 $0.8v_{\max}$；
• $\tau=0.3$ 時，中心速度約為 $0.8v_{\max}$，首次達到要求。

因此取

核心觀念

本題考查無限稀釋條件下，離子極限當量電導率 $\lambda_0$ 與 Maxwell–Stefan 擴散係數 $D_{IW}$ 的關係：

$$D_{IW}=\frac{RT}{F^2}\frac{\lambda_0}{|z|^2}$$

其中：

• $R$：氣體常數
• $T$：絕對溫度
• $F$：法拉第常數，$96500\ \text{C/g-equiv}$
• $\lambda_0$：離子的極限當量電導率
• $z$：離子價數

三種離子皆為一價離子，因此：

$$|z|=1,\qquad |z|^2=1$$

題目給定：

$$\frac{RT}{F}=25.692\ \text{mV} =0.025692\ \text{V}$$

因此可先將公式改寫為：

$$\frac{RT}{F^2} = \frac{RT/F}{F} = \frac{0.025692}{96500}$$

計算得：

$$\frac{RT}{F^2} =2.6629\times 10^{-7}$$

所以：

$$D_{IW} = \left(2.6629\times10^{-7}\right) \frac{\lambda_0}{|z|^2}$$

在題目所給單位下，所得擴散係數的單位為 $\text{cm}^2/\text{s}$。

解題方法與計算

1. $\text{Na}^+$

對於 $\text{Na}^+$：

$$\lambda_0=50.10,\qquad |z|=1$$

代入公式：

$$D_{\text{Na}^+,IW} = \frac{0.025692}{96500} \frac{50.10}{1^2}$$ $$D_{\text{Na}^+,IW} = 1.334\times10^{-5}\ \text{cm}^2/\text{s}$$

2. $\text{K}^+$

對於 $\text{K}^+$：

$$\lambda_0=73.5,\qquad |z|=1$$ $$D_{\text{K}^+,IW} = \frac{0.025692}{96500} \frac{73.5}{1^2}$$ $$D_{\text{K}^+,IW} = 1.957\times10^{-5}\ \text{cm}^2/\text{s}$$

3. $\text{Cl}^-$

對於 $\text{Cl}^-$：