115 年 國立中正大學化學工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

本題考查流體在圓環管道中的流動特性，包含計算水力直徑、雷諾數以及判斷流態。

核心觀念：

1. 水力直徑的定義：對於非圓形斷面，水力直徑定義為 $D_H = \frac{4A}{P}$，其中 $A$ 為流體通過的截面積，$P$ 為濕周。
2. 雷諾數的定義：$Re = \frac{\rho v D_H}{\mu}$，用於判斷流態。
3. 流態判斷標準：一般而言，對於圓管流動，若 $Re < 2300$ 為層流，若 $Re > 4000$ 為亂流，介於兩者之間為過渡流。對於非圓管，此標準仍大致適用。

解題過程：

(a) 確定水力直徑 ($D_H$)

流體通過的截面積 $A$ 為外圓面積減去內圓面積：
$A = \pi R_o^2 - \pi R_i^2$
$R_o = 5.0 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$
$R_i = 4.0 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$
$A = \pi (0.05 \text{ m})^2 - \pi (0.04 \text{ m})^2 = \pi (0.0025 - 0.0016) \text{ m}^2 = 0.0009\pi \text{ m}^2$

濕周 $P$ 為內外圓周長的總和：
$P = 2\pi R_o + 2\pi R_i$

核心觀念

本題屬於古典流體力學中的平行平板間的組合流（Combined Couette-Poiseuille Flow），結合了由上平板運動帶動的剪切流（Couette flow）與外加壓力梯度推動的壓力流（Poiseuille flow）。所涉及的核心觀念與定理包含：

1. 微元動量平衡（Shell Momentum Balance）：以厚度為 $\Delta y$ 的流體薄層建立穩態動量守恆方程式（動量流入率 $-$ 動量流出率 $+$ 外力總和 $= 0$）。
2. 牛頓黏性定律（Newton's Law of Viscosity）：在 Bird, Stewart, Lightfoot（BSL）規範下，動量通量定義為：
   $\tau_{yx} = -\mu \frac{dv_x}{dy}$
3. 無滑移邊界條件（No-slip Boundary Condition）：在平板接觸面上流體速度等於固壁速度，即在 $y = -H$ 處 $v_x = 0$；在 $y = H$ 處 $v_x = U$。
4. 極值分析與平均速度定義：最大速度發生於剪應力為零或速度對位置微分為零處；平均速度定義為：
   $\langle v_x \rangle = \frac{1}{2H} \int_{-H}^{H} v_x(y) \, dy$

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解題方法與詳細推導

設流體流動方向為 $x$ 方向，平行板間距為 $2H$，寬度為 $W$（垂直於紙面方向），長度為 $L$。坐標原點設在兩平行板之中央對稱面上，即下板位於 $y = -H$，上板位於 $y = H$。

(a) 利用薄層動量平衡推導剪應力分佈 $\tau_{yx}(y)$

取一厚度為 $\Delta y$、長度為 $L$、寬度為 $W$ 的流體微元（Shell），位於 $y$ 到 $y + \Delta y$ 之間。
在穩態、全開展（Fully Developed）流動下，流速僅為 $y$ 的函數，即 $v_x = v_x(y)$，$v_y = 0$，$v_z = 0$。對微元進行 $x$ 方向的動量平衡：

$(\text{動量流入率}) - (\text{動量流出率}) + (\text{壓力外力}) = 0$

1. 黏性動量傳遞：
   • 於 $y$ 處流入之動量率：$(LW \cdot \tau_{yx})|_{y}$
   • 於 $y + \Delta y$ 處流出之動量率：$(LW \cdot \tau_{yx})|_{y+\Delta y}$
2. 壓力作用力：
   • 於 $x = 0$ 處受力：$(W\Delta y) \cdot P_0$
   • 於 $x = L$ 處受力：$(W\Delta y) \cdot P_L$

將各項代入平衡式：
$(LW \tau_{yx})|_{y} - (LW \tau_{yx})|_{y+\Delta y} + (P_0 - P_L) W \Delta y = 0$

同除以 $LW\Delta y$，並取 $\Delta y \to 0$ 之極限：
$-\lim_{\Delta y \to 0} \frac{\tau_{yx}|_{y+\Delta y} - \tau_{yx}|_{y}}{\Delta y} + \frac{P_0 - P_L}{L} = 0$

由於 $\frac{P_0 - P_L}{L} = -\frac{dP}{dx}$（常數壓力梯度），因此：
$\frac{d\tau_{yx}}{dy} = -\frac{dP}{dx}$

對 $y$ 進行不定積分：
$\tau_{yx}(y) = -\left(\frac{dP}{dx}\right) y + C_1$

此即流場中的剪應力分佈通式（其中積分常數 $C_1$ 需藉由速度的邊界條件求出，或留待代入流速分佈求解）。

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(b) 求解速度分佈 $v_x(y)$

根據牛頓黏性定律，動量通量（剪應力）與速度梯度的關係式為：
$\tau_{yx} = -\mu \frac{dv_x}{dy}$

代入 (a) 小題所得的剪應力表達式：
$-\mu \frac{dv_x}{dy} = -\left(\frac{dP}{dx}\right) y + C_1$
$\frac{dv_x}{dy} = \frac{1}{\mu}\left(\frac{dP}{dx}\right) y - \frac{C_1}{\mu}$

對 $y$ 再次進行不定積分：
$v_x(y) = \frac{1}{2\mu}\left(\frac{dP}{dx}\right) y^2 - \frac{C_1}{\mu} y + C_2$

代入無滑移邊界條件（Boundary Conditions）：

1. 於下板 $y = -H$ 處，流體靜止：$v_x(-H) = 0$
   $\frac{1}{2\mu}\left(\frac{dP}{dx}\right) H^2 + \frac{C_1}{\mu} H + C_2 = 0 \quad \text{--- (式 1)}$
2. 於上板 $y = H$ 處，以速度 $U$ 運動：$v_x(H) = U$
   $\frac{1}{2\mu}\left(\frac{dP}{dx}\right) H^2 - \frac{C_1}{\mu} H + C_2 = U \quad \text{--- (式 2)}$

求解常數 $C_1$ 與 $C_2$：

• 將 (式 2) 減去 (式 1)：
  $-2 \frac{C_1}{\mu} H = U \implies -\frac{C_1}{\mu} = \frac{U}{2H} \implies C_1 = -\frac{\mu U}{2H}$
• 將 (式 1) 與 (式 2) 相加：
  $\frac{1}{\mu}\left(\frac{dP}{dx}\right) H^2 + 2C_2 = U \implies C_2 = \frac{U}{2} - \frac{H^2}{2\mu}\left(\frac{dP}{dx}\right)$

核心觀念

本題考查球座標下的穩態熱傳導與殼層能量平衡：

• 核燃料球內有體積熱生成率 $S_n(r)$。
• 鋁包覆層沒有熱生成。
• 熱流方向為徑向向外，記為 $q_r(r)$。
• 穩態殼層能量平衡為

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2q_r\right)=S_n$$

其中 $S_n=0$ 時即為無熱生成區域。

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(a) 以殼層平衡推導微分方程

取半徑 $r$、厚度 $dr$ 的球殼，球面面積為 $4\pi r^2$。

核燃料區域

燃料球的範圍為 $0<r<R^{(F)}$，且

$$S_n=S_{n0}\left[1+b\left(\frac{r}{R^{(F)}}\right)^2\right].$$

殼層平衡：

$$4\pi(r+dr)^2q_r^{(F)}(r+dr) - 4\pi r^2q_r^{(F)}(r) = 4\pi r^2S_n\,dr.$$

令 $dr\to0$，得到

$$\boxed{ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2q_r^{(F)}\right) = S_{n0}\left[1+b\left(\frac{r}{R^{(F)}}\right)^2\right] }$$

或寫成

$$\frac{dq_r^{(F)}}{dr} +\frac{2}{r}q_r^{(F)} = S_{n0}\left[1+b\left(\frac{r}{R^{(F)}}\right)^2\right].$$

鋁包覆層

鋁包覆層的範圍為 $R^{(F)}<r<R^{(C)}$，且沒有內部熱生成，因此 $S_n=0$：

$$\boxed{ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2q_r^{(C)}\right)=0 }$$

或

$$\frac{dq_r^{(C)}}{dr} +\frac{2}{r}q_r^{(C)}=0.$$

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(b) 利用邊界條件求熱通量

核燃料區域

由上式可得

$$\frac{d}{dr}\left(r^2q_r^{(F)}\right) = S_{n0}\left(r^2+\frac{br^4}{[R^{(F)}]^2}\right).$$

積分：

$$r^2q_r^{(F)} = S_{n0}\left( \frac{r^3}{3} + \frac{br^5}{5[R^{(F)}]^2} \right)+C_1.$$

在球心 $r=0$ 處，熱流必須有限且具有對稱性，因此

$$q_r^{(F)}(0)=0,$$

故 $C_1=0$。因此

$$\boxed{ q_r^{(F)}(r) = S_{n0} \left[ \frac{r}{3} + \frac{br^3}{5[R^{(F)}]^2} \right] }$$

也可寫成

$$\boxed{ q_r^{(F)}(r) = S_{n0}r \left[ \frac{1}{3} + \frac{b}{5} \left(\frac{r}{R^{(F)}}\right)^2 \right] }.$$

在燃料與包覆層交界面，若界面沒有額外熱源，熱通量連續：

$$q_r^{(F)}(R^{(F)})=q_r^{(C)}(R^{(F)}).$$

因此燃料表面的熱通量為

$$q_r^{(F)}(R^{(F)}) = S_{n0}R^{(F)} \left(\frac13+\frac{b}{5}\right).$$

鋁包覆層

鋁層方程式積分得

$$r^2q_r^{(C)}=C_2.$$

利用交界面條件：

$$C_2=[R^{(F)}]^2q_r^{(F)}(R^{(F)}),$$

所以

核心觀念

本題考查二元系統中的質量擴散通量，以及下列兩種通量表示法：

1. 以質量分率梯度表示的 Fick 定律：

   $j_{Ay}=-\rho D_{AB}\frac{dw_A}{dy}$

2. 以 A、B 個別速度表示的擴散通量。質量平均速度定義為

   $v_y=w_Av_{Ay}+w_Bv_{By}$

其中 $w_A+w_B=1$。

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(a) 以質量分率梯度表示 $j_{Ay}$

在穩態、一維擴散下，氦氣 A 在 $y$ 方向的質量通量為

$$j_{Ay}=-\rho D_{AB}\frac{dw_A}{dy}$$

其中：

• $j_{Ay}$：A 在 $y$ 方向的擴散質量通量
• $\rho$：系統總密度
• $D_{AB}$：A 在 B 中的質量擴散係數
• $dw_A/dy$：A 的質量分率梯度

負號表示擴散方向由高濃度處指向低濃度處。

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(b) 以個別速度表示 $j_{Ay}$

質量平均速度為

$$v_y=w_Av_{Ay}+w_Bv_{By}$$

A 相對於質量平均速度的擴散通量為

$$j_{Ay}=\rho w_A(v_{Ay}-v_y)$$

代入 $v_y$：

$$\begin{aligned} j_{Ay} &=\rho w_A\left[v_{Ay}-(w_Av_{Ay}+w_Bv_{By})\right] \\ &=\rho w_A\left[(1-w_A)v_{Ay}-w_Bv_{By}\right] \end{aligned}$$

由於 $1-w_A=w_B$，因此

$$j_{Ay} =\rho w_Aw_B(v_{Ay}-v_{By})$$

所以答案為

$$\boxed{j_{Ay}=\rho w_Aw_B(v_{Ay}-v_{By})}$$

同理，B 的擴散通量為

$$j_{By}=\rho w_B(v_{By}-v_y)$$

整理得