109 年 國立中山大學前瞻應用材料碩士班丙組《材料科學》

本題主要在探討兩種常見的固態擴散機制：間隙擴散 (interstitial diffusion) 與取代擴散 (substitutional diffusion)。

核心觀念：
固態材料中的擴散是指原子在晶體結構中移動的過程。這種移動可以透過不同的機制發生，其中間隙擴散和取代擴散是最基本的兩種。

詳解：

1. 間隙擴散 (Interstitial Diffusion):

   • 定義: 此種擴散機制涉及原子從一個晶格間隙位置移動到另一個相鄰的晶格間隙位置。
   • 原子特性: 通常發生在尺寸較小的原子（如 C, N, O, H）在金屬晶格中擴散時。這些小原子可以嵌入到大原子形成的晶格空隙中。
   • 移動方式: 原子直接穿過間隙，不需要取代母體原子。
   • 速度: 相較於取代擴散，間隙擴散通常較快，因為所需的活化能較低。間隙原子移動時，周圍的母體原子受到的擾動較小。
   • 範例: 碳在鐵中的擴散，氫在金屬中的擴散。

2. 取代擴散 (Substitutional Diffusion):

   • 定義: 此種擴散機制涉及原子從一個取代位置移動到另一個取代位置。
   • 原子特性: 通常發生在擴散原子與母體原子尺寸相似，且能夠取代母體原子在晶格中的位置時。
   • 移動方式: 原子需要先克服一個活化能，使其暫時脫離原來的晶格點位，並移動到一個鄰近的空位 (vacancy) 上，然後佔據該空位，完成一次取代擴散。這個過程需要母體晶格中存在空位。
   • 速度: 相較於間隙擴散，取代擴散通常較慢，因為需要較高的活化能來克服原子脫離晶格點位和移動到空位的障礙。其速率也受空位濃度的影響。
   • 範例: 銅在鎳中的擴散，鋅在銅中的擴散，合金中的元素擴散。

比較總結：

| 特性 | 間隙擴散 (Interstitial Diffusion) | 取代擴散 (Substitutional Diffusion) |

這題考的是材料力學中關於裂紋擴展的穩定性概念。裂紋的穩定性與材料抵抗裂紋擴展的能力有關，主要由斷裂韌性（fracture toughness）和裂紋尖端的應力強度因子（stress intensity factor）來決定。

解題過程

當我們討論一個裂紋是「穩定」或「不穩定」時，我們是在描述這個裂紋在受到外力作用時，是否會持續擴展，以及擴展的難易程度。這與材料的斷裂行為密切相關。

(a) 穩定的裂紋 (Stable Crack)

一個穩定的裂紋是指，即使在受到外力作用的情況下，裂紋的擴展速度相對較慢，並且需要持續增加外力才能使其進一步擴展。換句話說，裂紋的擴展是可控的。

在斷裂力學中，裂紋的穩定性通常與應力強度因子（$K$）和斷裂韌性（$K_{Ic}$）的關係有關。對於平面應變條件下的穩定裂紋擴展，通常是指裂紋在達到臨界尺寸之前，其擴展是緩慢且可控的。

更具體地說，如果裂紋尖端的應力強度因子 $K$ 小於材料的斷裂韌性 $K_{Ic}$，裂紋就不會擴展。當外力增加，導致 $K$ 逐漸接近 $K_{Ic}$ 時，裂紋才會開始緩慢擴展。在這種情況下，即使裂紋開始擴展，其擴展速率也可能相對較低，並且需要持續增加載荷才能維持擴展。這種情況下的裂紋被認為是穩定的。

(b) 不穩定的裂紋 (Unstable Crack)

好的，這題是國立中山大學前瞻應用材料碩士班丙組 109 年材料科學入學考試的第 3 題，主要考驗學生對材料科學中幾個重要基本名詞的理解與解釋能力，涵蓋了材料的力學行為、半導體特性、相變、熱處理以及相圖應用等基礎知識。

3. Explain the following terms: (a) Fatigue limit, (b) Extrinsic semiconductor, (c) Cup-and-cone fracture surface, (d) Partially stabilized Zirconia, (e) Eutectoid reaction, (f) Hardenability of a steel, and (g) Lever rule.

(a) Fatigue limit (疲勞極限)

疲勞極限是指材料在承受反覆載荷作用下，能夠無限次循環而不發生斷裂的最大應力值。換句話說，如果施加在材料上的最大應力低於疲勞極限，那麼材料就可以承受無數次的應力循環而不會產生疲勞破壞。並非所有材料都存在疲勞極限，例如許多有色金屬（如鋁合金）就沒有明顯的疲勞極限，它們的應力-壽命曲線（S-N曲線）會隨著應力降低而趨於水平，但不會完全達到零應力。

【答案】

(b) Extrinsic semiconductor (外延半導體)

外延半導體（或稱雜質半導體）是指在純淨的本徵半導體（Intrinsic semiconductor）中，透過摻雜（doping）少量特定雜質原子所製成的半導體。摻雜的目的是為了改變半導體的導電性，增加載子（電子或電洞）的濃度。根據摻雜的雜質種類，外延半導體可分為兩類：

1. N型半導體 (N-type semiconductor)：當摻雜的雜質原子具有比本徵半導體原子更多的價電子時（例如，在矽中摻雜磷或砷），這些額外的價電子會成為自由電子，使電子成為多數載子，電洞成為少數載子。
2. P型半導體 (P-type semiconductor)：當摻雜的雜質原子具有比本徵半導體原子更少的價電子時（例如，在矽中摻雜硼或鎵），這些雜質原子會從周圍的矽原子中奪取電子形成共價鍵，從而產生一個電洞。此時，電洞成為多數載子，電子成為少數載子。

【答案】

(c) Cup-and-cone fracture surface (杯錐狀斷口)

杯錐狀斷口是延性材料（Ductile materials）在受到拉伸載荷作用而發生斷裂時，典型的斷口形貌。這種斷口通常由兩個部分組成：

1. 杯狀區域 (Cup region)：位於斷口的一側，通常呈現碗狀或杯狀的凹陷，這是由於材料在局部區域發生頸縮（necking）後，最終由剪切斷裂所形成。
2. 錐狀區域 (Cone region)：位於斷口的另一側，通常呈現錐狀的凸起，這是由於材料在頸縮區域的中心處發生微孔洞聚集（void coalescence）並最終破裂所形成。

這種斷口形貌顯示材料在斷裂前經歷了顯著的塑性變形，是延性斷裂的標誌。

【答案】

(d) Partially stabilized Zirconia (PSZ) (部分穩定氧化鋯)

部分穩定氧化鋯（Partially Stabilized Zirconia, PSZ）是一種高性能陶瓷材料，其獨特性能源於氧化鋯（ZrO$_{2}$）的相變韌化（transformation toughening）機制。

核心觀念

圖中呈現不同原子在金屬中的擴散係數 $D$，如何隨溫度改變。縱軸是擴散係數（$\mathrm{m^2/s}$），採對數刻度；橫軸是倒數溫度 $1000/T$。因此，圖上往右代表溫度降低。

固態擴散通常遵循 Arrhenius 關係：

其中 $D_0$ 是頻率因子，$Q$ 是擴散活化能，$R$ 是氣體常數，$T$ 是絕對溫度。將式子取常用對數，並令 $x=1000/T$：

所以在 $\log_{10}D$ 對 $1000/T$ 的圖上，直線斜率為負；斜率絕對值越大，代表活化能 $Q$ 越大。

解題方法

依序比較曲線的位置與斜率：

1. 看曲線位置，判斷擴散快慢。 在相同溫度下，$D$ 較大的曲線代表擴散較快。
2. 看曲線斜率，判斷活化能大小。 下降較陡的曲線具有較大的擴散活化能，擴散係數對溫度變化也較敏感。
3. 辨認擴散機制。 間隙型原子可在晶格間隙間移動，通常比需要空缺協助的置換型原子擴散快。

圖形討論

• 圖中碳在 $\alpha$-Fe 與 $\gamma$-Fe 中的擴散，屬於間隙擴散。碳原子遠小於鐵原子，可在鐵晶格的間隙位置間跳躍，因此其擴散係數整體遠高於圖中的鐵自擴散、銅自擴散及鋁自擴散等置換型擴散。

這題考的是人造雨的原理，核心觀念在於凝結核效應以及相變化。人造雨的關鍵在於提供水蒸氣凝結成液態水或固態冰的「場所」，而碘化銀 (AgI) 在此扮演的角色就是「凝結核」。

解題過程：

人造雨的原理是利用碘化銀 (AgI) 作為「凝結核」，促使大氣中的水蒸氣凝結或沉澱，進而形成降雨。

1. 凝結核效應 (Nucleation Effect)：

   • 在大氣中，水蒸氣要自行凝結成小水滴或小冰晶是非常困難的，因為需要克服表面張力，形成一個穩定的新相核心。這個過程稱為均勻成核 (homogeneous nucleation)，其所需的過飽和度非常高，在大氣中難以達成。
   • 然而，如果存在一些微小的懸浮粒子，例如塵埃、鹽粒或碘化銀，水蒸氣可以在這些粒子表面吸附並凝結，這個過程稱為非均勻成核 (heterogeneous nucleation)。
   • 碘化銀的晶體結構與冰晶的結構非常相似，特別是其晶格常數與冰的基面結構（六方晶系）非常接近。這使得水分子在碘化銀表面更容易排列成冰晶的結構，從而降低了冰晶形成的活化能。

2. 碘化銀的相變化與結構相似性：

   • 碘化銀 (AgI) 在不同溫度下存在不同的晶體結構，例如在低溫下是閃鋅礦結構 (ZnS structure, cubic,

本題要求解釋介電常數 (dielectric constant) 的定義。

核心觀念：
介電常數是衡量物質在電場中極化能力的物理量，它影響電場在介電材料中的傳播。

詳解：

介電常數 (Dielectric Constant)，又稱為相對電容率 (Relative Permittivity)，符號為 $\epsilon_r$ 或 $\kappa$。

1. 定義：
   介電常數是衡量一種介電材料（絕緣材料）在電場作用下，其內部電場強度相較於真空（或空氣）中電場強度的衰減程度。更精確地說，它是材料的電容與相同幾何尺寸的真空電容器電容之比。
   $\epsilon_r = \frac{C}{C_0}$
   其中：

   • $C$ 是在相同幾何條件下，使用該介電材料作為絕緣體的電容器的電容。
   • $C_0$ 是在相同幾何條件下，使用真空作為絕緣體的電容器的電容。

   另一種定義方式是基於電位移向量 ($D$) 和電場強度 ($E$) 的關係：
   $D = \epsilon E = \epsilon_0 \epsilon_r E$
   其中：

   • $D$ 是電位移向量。
   • $E$ 是電場強度。
   • $\epsilon$ 是材料的絕對電容率 (absolute permittivity)，$\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$。

本題要求討論溫度和應力對金屬蠕變 (creep) 的影響。

核心觀念：
蠕變是材料在持續的應力作用下，隨時間發生的緩慢塑性變形。溫度和應力是影響蠕變速率的兩個最關鍵因素。

詳解：

蠕變是指材料在恆定應力（通常低於其屈服強度）下，隨時間發生的永久性形變。這種現象在高温或長期承受應力的情況下尤為顯著。

1. 溫度對蠕變的影響：
   • 顯著增加蠕變速率： 溫度是影響蠕變最主要的因素之一。隨著溫度的升高，金屬原子的熱振動增強，擴散速率加快，晶界滑移 (grain boundary sliding) 也更容易發生。這些微觀機制都促進了蠕變的發生。
   • Arrhenius 關係： 蠕變速率通常與溫度呈指數關係，可以用 Arrhenius 方程式來近似描述，類似於擴散的 Arrhenius 方程式：
     $\dot{\epsilon}_{creep} \propto \exp\left(-\frac{Q_{creep}}{RT}\right)$
     其中 $\dot{\epsilon}_{creep}$ 是蠕變速率，$Q_{creep}$ 是蠕變的活化能，$R$ 是氣體常數，$T$ 是絕對溫度。這表明溫度升高會顯著增加蠕變速率。
   • 蠕變機制轉變： 在不同溫度範圍，主導蠕變的機制可能不同。例如，在較低溫度下，位錯滑移 (dislocation slip) 可能是主導；在中等溫度下，空位擴散 (Nabarro-Herring creep) 或晶界擴散 (Coble creep) 變得重要；在高溫下，晶界滑移 (grain boundary sliding) 成為主要機制。
   • 熔點比例： 蠕變通常在材料的絕對熔點 (T$_m$) 的一定比例以上才變得顯著。一般認為，當溫度超過材料熔點的 0.4 倍以上時，蠕變開始變得重要；超過 0.6 倍時，蠕變效應非常顯著。

本題探討純銅桿彎曲後再試圖將其恢復原狀時，所需回復力矩遠大於初始彎曲力矩的現象。這與材料的塑性變形和加工硬化 (work hardening) 有關。

核心觀念：
材料在塑性變形過程中，其強度會增加，這種現象稱為加工硬化或應變硬化 (strain hardening)。

詳解：

當我們彎曲一個純銅桿時，如果彎曲的程度超過了銅的屈服強度 (yield strength)，材料就會發生塑性變形。在塑性變形過程中，材料會經歷加工硬化。

1. 初始彎曲 (Bending)：

   • 當施加彎曲力矩時，銅桿的一側受到拉伸應力，另一側受到壓縮應力。
   • 當應力超過銅的屈服強度時，材料開始發生塑性變形。這個過程主要是由位錯 (dislocations) 的運動引起的。在晶體材料中，位錯是導致塑性變形的主要缺陷。
   • 在初始彎曲過程中，所需的力矩是由材料的初始屈服強度決定的。

2. 加工硬化 (Work Hardening / Strain Hardening)：

   • 塑性變形並不是沒有代價的。

好的，這題是關於晶體學中方向的表示與計算，特別是在四方晶系（tetragonal unit cell）中，求兩個方向向量的共同方向。這需要用到向量的運算，特別是向量的叉乘（cross product）來找出兩個向量共同垂直的方向。

(a) (111) 和 (001) 的共同方向

核心觀念：
兩個方向向量的共同方向，即是同時垂直於這兩個向量的方向。在向量代數中，兩個向量的叉乘結果會得到一個同時垂直於這兩個向量的新向量。

解題過程：

1. 定義向量：
   在三維空間中，方向 (hkl) 可以對應一個向量 $\vec{v} = h\hat{i} + k\hat{j} + l\hat{k}$。
   因此，方向 (111) 對應的向量為 $\vec{v}_1 = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$。
   方向 (001) 對應的向量為 $\vec{v}_2 = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k} = \hat{k}$。

2. 計算叉乘：
   兩個向量的叉乘 $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ 會得到一個同時垂直於 $\vec{v}_1$ 和 $\vec{v}_2$ 的向量。
   $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
   計算行列式：
   $= \hat{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \hat{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \hat{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0)$
   $= \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(0 - 0)$
   $= 1\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
   $= \hat{i} - \hat{j}$

3. 轉換為晶體學方向指數：
   得到的向量是 $1\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$。對應的晶體學方向指數為 (1 -1 0)。由於晶體學方向指數通常表示為整數，且不考慮向量的長度，因此 (1 -1 0) 就是我們所求的方向。

核心觀念

本題考查動態再結晶的熱力學驅動力。晶界具有正的界面能，晶界面積增加會提高晶界能；但塑性變形也會在晶粒內累積位錯等缺陷，使材料儲存變形能。再結晶能消除部分缺陷、降低這項儲存能。

解題方法

比較晶界鼓出前後的總自由能變化。晶界鼓出形成新細晶時，晶界能增加；同時，新晶粒取代了高變形區，使位錯密度與儲存變形能降低。以簡化能量平衡表示：

當釋出的儲存能大於新增的晶界能，即