108 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所丁組《電子學》

核心觀念

本題考查三運算放大器儀表放大器：

• 理想運算放大器具有虛短路：$v_-=v_+$。
• 輸入共模電壓定義為
  $v_{cm}=\frac{v_1+v_2}{2}=5\text{ V}$
• 差動輸入電壓定義為
  $v_{id}=v_1-v_2=5\text{ mV}\sin\omega t$

因此

$$v_1=5+\frac{v_{id}}{2},\qquad v_2=5-\frac{v_{id}}{2}$$

(a) 求 $v_{o1}$

由虛短路，$A_1$ 的反相端電壓為 $v_1$。在該節點套用 KCL：

$$\frac{v_1-v_{o1}}{R_2}+\frac{v_1-v_2}{R_1}=0$$

整理得

$$v_{o1}=v_1+\frac{R_2}{R_1}(v_1-v_2)$$

代入 $R_2/R_1=200$：

$$v_{o1}=v_1+200v_{id}$$

再以共模、差動分量表示：

$$v_{o1} =v_{cm}+\left(\frac{1}{2}+\frac{R_2}{R_1}\right)v_{id}$$ $$v_{o1} =5+200.5(5\text{ mV})\sin\omega t$$

所以

$$\boxed{v_{o1}=5+1.0025\sin\omega t\ \text{V}}$$

其中

$$v_{o1,\text{cm}}=5\text{ V},\qquad v_{o1,\text{dm}}=1.0025\sin\omega t\ \text{V}$$

(b) 求 $v_{o2}$

同理，在 $A_2$ 的反相端套用 KCL：

$$\frac{v_2-v_{o2}}{R_2}+\frac{v_2-v_1}{R_1}=0$$

整理得

$$v_{o2}=v_2+\frac{R_2}{R_1}(v_2-v_1)$$

因此

$$v_{o2}=v_2-200v_{id}$$

以共模、差動分量表示：

$$v_{o2} =v_{cm}-\left(\frac{1}{2}+\frac{R_2}{R_1}\right)v_{id}$$ $$v_{o2} =5-200.5(5\text{ mV})\sin\omega t$$

所以

核心觀念

以下端點電壓皆以底部導線為 $0\text{ V}$，且輸出電壓為上端對下端：

$$V_o=V_{\text{上端}}-V_{\text{下端}}$$

理想二極體具有：

• 導通：等效為短路，二極體兩端電壓為 $0$。
• 截止：等效為開路，支路中沒有電流。

圖中：

• $D_1$ 負責負電壓限制，搭配反向的 $5\text{ V}$ 電池。
• $D_2$ 負責正電壓限制，搭配正向的 $5\text{ V}$ 電池。
• 輸入串聯電阻與導通支路電阻皆為 $10\text{ k}\Omega$。

二極體截止時，支路電阻沒有電流，因此兩個二極體參考端電壓分別為 $-5\text{ V}$ 與 $+5\text{ V}$。因此未受限制時：

$$-5\text{ V}\leq V_o\leq +5\text{ V}$$

解題方法

先假設二極體截止，求出 $V_o=V_I$，再判斷是否超出限制範圍：

• 若 $V_I>+5\text{ V}$，$D_2$ 導通。
• 若 $V_I<-5\text{ V}$，$D_1$ 導通。
• 若 $-5\text{ V}\leq V_I\leq +5\text{ V}$，兩個二極體皆截止。

二極體導通後，輸出並非直接固定在 $\pm5\text{ V}$，因為導通支路還串有 $10\text{ k}\Omega$ 電阻，必須利用電阻分壓關係計算。

(a) $V_I=+1\text{ V}$

先假設兩個二極體皆截止。由於輸入端串聯的 $10\text{ k}\Omega$ 電阻沒有電流流過，因此其壓降為零：

$$V_o=V_I=+1\text{ V}$$

此時：

• $D_1$ 的輸出端電壓為 $+1\text{ V}$，參考端為 $-5\text{ V}$，為反向偏壓。
• $D_2$ 的輸出端電壓為 $+1\text{ V}$，參考端為 $+5\text{ V}$，亦為反向偏壓。

兩個二極體皆截止的假設成立。

$$\boxed{V_o=+1\text{ V}}$$

(b) $V_I=+6\text{ V}$

若兩個二極體皆截止，則 $V_o=+6\text{ V}$，會高於 $D_2$ 的 $+5\text{ V}$ 參考電位，因此 $D_2$ 導通，$D_1$ 截止。

令 $D_2$ 下方電池與 $10\text{ k}\Omega$ 電阻交界處的電壓為 $V_x$。因為電池上端為正端：

$$V_o=V_x+5$$

所以：

$$V_x=V_o-5$$

輸入電阻中的電流等於導通支路電阻中的電流：

$$\frac{6-V_o}{10\text{ k}\Omega} = \frac{V_x}{10\text{ k}\Omega} = \frac{V_o-5}{10\text{ k}\Omega}$$

核心觀念

本題考查 CMOS 差動對的：

• 差動轉導 $g_m$
• 差動增益 $A_d$
• 尾端電阻 $R_{SS}$ 對共模訊號的負回授
• 汲極電阻不匹配造成的共模增益
• 共模拒斥比 CMRR

總偏壓電流為 $1.6\,\text{mA}$，平衡時每支 MOS 分得

$$I_D=\frac{1.6}{2}=0.8\,\text{mA}$$

MOS 的轉導為

$$g_m=\sqrt{2\mu_n C_{ox}\frac WL I_D}$$

代入

$$g_m=\sqrt{2(0.4)(100)(0.8)} =8\,\text{mA/V}=8\,\text{mS}$$

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(a) 差動增益

施加差動輸入時，電路左右對稱，源極小訊號電壓為零，因此 $R_{SS}$ 不影響差動增益。

令

$$v_{id}=v_{in+}-v_{in-}$$

輸出為差動輸出

$$v_o=v_{o+}-v_{o-}$$

兩側汲極電壓變化分別為

$$v_{o+}=-g_mR_D\frac{v_{id}}{2}$$ $$v_{o-}=+g_mR_D\frac{v_{id}}{2}$$

因此

$$v_o=v_{o+}-v_{o-} =-g_mR_Dv_{id}$$

所以差動增益為

$$A_d=\frac{v_o}{v_{id}}=-g_mR_D$$ $$A_d=-(8\,\text{mS})(10\,\text{k}\Omega) =-80\,\text{V/V}$$

增益大小為

$$\boxed{|A_d|=80\,\text{V/V}}$$

負號表示差動輸出與左側差動輸入反相。

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(b) 汲極電阻不匹配時的共模增益

共模輸入下，

$$v_{in+}=v_{in-}=v_{ic}$$

由於尾端有 $R_{SS}$，源極會隨輸入訊號移動。對源極節點寫小訊號 KCL：

$$2g_m(v_{ic}-v_s)=\frac{v_s}{R_{SS}}$$

因此

$$v_{ic}-v_s =\frac{v_{ic}}{1+2g_mR_{SS}}$$

兩側電阻差異定義為

$$\Delta R_D=0.01R_D =0.01(10\,\text{k}\Omega) =100\,\Omega$$

共模輸入所造成的差動輸出為

核心觀念

本題考查共源極（Common-Source, CS）放大器在中高頻響應下的經典分析，包含兩大重點：

1. 中頻電壓增益（Midband Voltage Gain, $A_M$）：
   在電容視為開路（Open circuit）時，利用 MOSFET 小訊號模型計算放大器的電壓增益 $A_M = V_o / V_{\text{sig}}$。
2. 開路時間常數法（Method of Open-Circuit Time Constants, OCTC）：
   用於估算高頻 3-dB 截止頻率 $f_H$。將各高頻電容分別取出，求取獨立電源置零且其餘電容開路時該電容兩端所見之戴維寧等效電阻 $R_{Ci}$，得到總高頻時間常數： $$\tau_H = \sum_{i} R_{Ci} C_i$$ 進而估算高頻 3-dB 頻率： $$\omega_H \approx \frac{1}{\tau_H} \implies f_H \approx \frac{1}{2\pi \tau_H}$$
3. 增益頻寬積（Gain-Bandwidth Product, GBW）：
   定義為中頻增益大小與 3-dB 頻寬之乘積： $$\text{GBW} = |A_M| \times f_H$$

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解題方法

從原卷 Fig. 4 可確認電路拓撲與元件參數如下：

• 輸入端為獨立訊號源 $V_{\text{sig}}$ 串聯訊號源內阻 $R_{\text{sig}} = 20\,\text{k}\Omega$，連接至 MOSFET 之閘極（Gate）。
• MOSFET 源極（Source）直接接地；閘極與源極間有電容 $C_{gs} = 20\,\text{fF}$。
• 閘極與汲極間有跨接回授電容 $C_{gd} = 5\,\text{fF}$。
• 汲極（Drain）為輸出端 $V_o$，並聯輸出電阻 $r_o = 20\,\text{k}\Omega$、負載電阻 $R_L = 20\,\text{k}\Omega$ 及負載電容 $C_L = 5\,\text{fF}$ 至接地。
• MOSFET 互導 $g_m = 2\,\text{mA/V}$。

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(a) 求中頻電壓增益 $A_M$ 與 3-dB 頻率 $f_H$

1. 中頻電壓增益 $A_M$

在中頻工作區間，所有高頻電容 $C_{gs}$、$C_{gd}$、$C_L$ 均視為開路。

• 閘極看入之輸入阻抗為無限大（理想 MOS 閘極不抽取電流），因此訊號源內阻 $R_{\text{sig}}$ 上無電壓降： $$V_{gs} = V_{\text{sig}}$$
• 汲極端交流總等效負載電阻為 $r_o$ 與 $R_L$ 並聯： $$R_L' = r_o \parallel R_L = 20\,\text{k}\Omega \parallel 20\,\text{k}\Omega = 10\,\text{k}\Omega$$
• 輸出電壓由受控電流源流入汲極負載產生： $$V_o = -g_m V_{gs} R_L' = -g_m R_L' V_{\text{sig}}$$

因此中頻電壓增益為：

$$A_M = \frac{V_o}{V_{\text{sig}}} = -g_m (r_o \parallel R_L) = -(2\,\text{mA/V}) \times (10\,\text{k}\Omega) = -20\,\text{V/V}$$

2. 開路時間常數法求解 3-dB 頻率 $f_H$

將輸入獨立訊號源置零（$V_{\text{sig}} = 0$，即透過 $R_{\text{sig}}$ 接地），分別求解三個電容兩端之戴維寧等效電阻：

1. 電容 $C_{gs}$ 兩端等效電阻 $R_{gs}$：
   將 $C_{gd}$ 與 $C_L$ 視為開路。從 Gate 至 Ground 望入，MOS 閘極為開路，因此：

   $$R_{gs} = R_{\text{sig}} = 20\,\text{k}\Omega$$

   對應時間常數：

   $$\tau_{gs} = R_{gs} C_{gs} = 20\,\text{k}\Omega \times 20\,\text{fF} = 400\,\text{ps} = 0.400\,\text{ns}$$

2. 電容 $C_L$ 兩端等效電阻 $R_{CL}$：
   將 $C_{gs}$ 與 $C_{gd}$ 視為開路。因無輸入驅動，$V_{gs} = 0$，受控電流源 $g_m V_{gs} = 0$（開路）。從 Drain 至 Ground 望入：

   $$R_{CL} = r_o \parallel R_L = 10\,\text{k}\Omega$$

   對應時間常數：

   $$\tau_{CL} = R_{CL} C_L = 10\,\text{k}\Omega \times 5\,\text{fF} = 50\,\text{ps} = 0.050\,\text{ns}$$

3. 跨接電容 $C_{gd}$ 兩端等效電阻 $R_{gd}$：
   將 $C_{gs}$ 與 $C_L$ 視為開路。在 $C_{gd}$ 兩端接上測試訊號源 $v_x$，產生自 Gate 端流入、Drain 端流出的測試電流 $i_x$：

   • 閘極端：電流 $i_x$ 全數流經 $R_{\text{sig}}$ 至接地，故：

核心觀念

振盪須在某個非零頻率同時滿足巴克豪森條件：迴路增益的相位為 $0^\circ$（或 $360^\circ$ 的整數倍），且迴路增益大小為 $1$。本題的放大器增益為 $-A_0$，因此回授網路的傳遞函數必須在某個非零頻率呈現負實數，才能抵銷反相放大器的 $180^\circ$ 相位反轉。

解題方法

圖 5 中，輸出端經兩個串聯電容接到兩個接地電阻節點，再經串聯電阻接到一個並聯電容節點；該節點接至增益為 $-A_0$ 的反相放大器輸入，放大器輸出再回授至最左端。圖中各電阻標為 $R$，各電容標為 $C$，沒有提供元件數值。

(a) 為什麼二極點系統不能振盪？

對一般二極點、無有限零點的系統，兩個極點提供的相位落後，在有限頻率下尚未達到 $180^\circ$；只有頻率趨近無限大時才漸近 $180^\circ$。因此它無法在有限頻率同時符合振盪所需的相位條件與單位迴路增益條件。

(b) 圖 5 的電路能否振盪？

令 $p=sRC$，並以 $v_o$ 表示放大器輸出。設兩個串聯電容與接地電阻的中間節點電壓依序為 $v_1,v_2$，放大器輸入電壓為 $v_3$。依各節點的電流關係：

$$(1+2p)v_1-pv_o-pv_2=0$$ $$-pv_1+(2+p)v_2-v_3=0$$ $$-v_2+(1+p)v_3=0$$

整理可得回授網路傳遞函數：

$$H(p)=\frac{v_3}{v_o} =\frac{p^2}{p^3+6p^2+5p+1}$$

核心觀念

相位裕度是在迴路增益幅值等於 $1$ 的增益交越頻率 $f_c$ 處，距離 $-180^\circ$ 尚餘的角度：

$$\mathrm{PM}=180^\circ+\angle T(f_c)$$

因此，相位裕度為 $45^\circ$ 時，必須同時滿足：

$$|T(f_c)|=1,\qquad \angle T(f_c)=-135^\circ$$

題目中的三個極點各貢獻一個負相位，總相位為三個反正切項的負和。

解題方法

(a) 求相位裕度為 $45^\circ$ 時的 $\beta$

由相位條件：

$$\tan^{-1}\left(\frac{f_c}{10^3}\right) +\tan^{-1}\left(\frac{f_c}{5\times10^4}\right) +\tan^{-1}\left(\frac{f_c}{10^6}\right) =135^\circ$$

以數值法解此方程，得到：

$$f_c\approx 4.7433\times10^4\ \text{Hz}$$

也就是 $f_c\approx47.43\ \text{kHz}$。

在此頻率，令 $|T(f_c)|=1$：

核心觀念

熱阻網路可用類似電阻網路的方式分析：溫度差相當於電壓差，耗散功率相當於電流，熱阻相當於電阻。因此有

$$T_j-T_a=P_D\theta_{\text{總}}$$

其中 $T_j$ 為接面溫度、$T_a$ 為環境溫度，$P_D$ 為耗散功率。熱阻串聯時相加，並聯時則依電阻並聯公式合併。

本題的接面最高允許溫升為

$$\Delta T_{\max}=T_{j,\max}-T_a=150-30=120\,^\circ\mathrm C$$

解題方法

(a) 不使用散熱片

沒有散熱片時，熱量由接面經外殼直接傳至環境，總熱阻為接面至外殼與外殼至環境熱阻的串聯：

$$\theta_{\text{總}}=\theta_{\text{junction-case}}+\theta_{\text{case-ambient}} =1.75+50=51.75\,^\circ\mathrm C/\mathrm W$$

因此最大允許耗散功率為

$$P_{D,\max}=\frac{\Delta T_{\max}}{\theta_{\text{總}}} =\frac{120}{51.75} \approx 2.32\,\mathrm W$$

(b) 使用散熱片

使用散熱片時，外殼到環境有兩條散熱路徑：

• 經散熱片：外殼至散熱片與散熱片至環境串聯，熱阻為 $1+5=6\,^\circ\mathrm C/\mathrm W$。
• 直接由外殼至環境：熱阻為 $50\,^\circ\mathrm C/\mathrm W$。

兩條路徑並聯，因此外殼至環境的等效熱阻為

$$\theta_{\text{case-ambient,eq}} =6\parallel 50 =\frac{6\times 50}{6+50} =\frac{75}{14} \approx 5.357\,^\circ\mathrm C/\mathrm W$$

接面至環境的總熱阻為接面至外殼熱阻加上此等效熱阻：

核心觀念

此題考查 NMOS 源極隨耦器的輸出擺幅，以及電流鏡偏壓和 MOSFET 飽和條件。依圖可讀出：$M_1$ 的汲極接 $+5\,\text{V}$、閘極接 $V_i$、源極接輸出 $V_o$；負載 $R_L=1\,\text{k}\Omega$ 接地。$M_2$、$M_3$ 構成 NMOS 電流鏡，兩者源極接 $-5\,\text{V}$；$M_3$ 為二極體接法，並透過 $R=1\,\text{k}\Omega$ 接地。

採用題目常用的 MOSFET 飽和區模型：

$$I_D=K_n(V_{GS}-V_{TN})^2=K_nV_{OV}^2$$

要找源極隨耦器的輸出範圍，先求電流鏡設定的電流，再用輸出節點電流平衡，分別找出 $M_1$ 截止與飽和邊界。

解題方法

令 $M_3$ 的過驅電壓為 $x=V_{OV3}$。其閘極電壓為 $-5+0.5+x$，所以電阻電流為 $(4.5-x)/1\,\text{k}\Omega$。令此電流等於 $M_3$ 的汲極電流：

$$\frac{4.5-x}{1\,\text{k}\Omega} =12\,\frac{\text{mA}}{\text{V}^2}x^2$$

以毫安培表示電流，解得：

$$12x^2+x-4.5=0$$ $$x=\frac{-1+\sqrt{217}}{24}\approx 0.5721\,\text{V}$$

因此電流鏡電流為：

$$I_2=I_3=12(0.5721)^2\approx 3.9279\,\text{mA}$$

在輸出節點套用電流平衡，$M_1$ 提供的電流為：

$$I_1=I_2+\frac{V_o}{R_L}$$

(a) 輸出電壓最大值與最小值

輸出電壓降低時，$M_1$ 所需提供的電流減少；最低邊界是 $M_1$ 剛好截止，亦即 $I_1=0$。因此：

$$0=I_2+\frac{V_{o,\min}}{1\,\text{k}\Omega}$$ $$V_{o,\min}=-3.9279\,\text{V}\approx -3.93\,\text{V}$$

此時 $M_2$ 仍在飽和區，因為 $V_{DS2}=V_o+5\approx1.0721\,\text{V}>V_{OV2}=0.5721\,\text{V}$。

核心觀念

本題考查文氏橋振盪器的巴克豪森振盪條件：在振盪頻率處，迴路總相位須為 $0^\circ$（或 $360^\circ$），迴路增益的大小須為 $1$。圖中的運算放大器以非反相方式放大，正回授網路由 $R$、$C$ 組成。

解題方法

由圖可讀出：輸出端經一個電阻 $R$ 接至中間節點；該節點經電容 $C$ 接到運算放大器的非反相輸入端，並另經一個電容 $C$ 接地；非反相輸入端再經一個電阻 $R$ 接地。反相端由 $R_2$ 接回輸出端，並由 $R_1$ 接地。圖中各正回授元件均標為 $R$ 或 $C$，沒有給定數值，因此以符號推導。

令 $V_+$ 為非反相輸入電壓，並以 $sRC=x$ 表示。對非反相輸入端與中間節點寫節點方程，可得正回授網路的傳輸函數：

$$\beta(s)=\frac{V_+}{V_o} =\frac{x}{x^2+3x+1}$$

令 $s=j\omega$，則 $x=j\omega RC$。要使回授電壓與輸出同相，需使分母的實部為零：

$$1-(\omega RC)^2=0$$