115 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所乙組《電子學》

圖面辨識說明

題目文字所附的考卷掃描圖並非本題的 Fig. 1，因此無法確認 $0.1\ \text{mA}$ 與 $0.4\ \text{mA}$ 在電路中的實際接法。以下依題目文字及常見的 NMOS 差動對架構作合理假設：

• $Q_1,Q_2$ 為匹配的 NMOS 差動對。
• $V_{G1}=V_{G2}=0$ 時，兩支路電流相等，各為 $0.1\ \text{mA}$。
• 尾端電阻 $R$ 承受總電流 $0.2\ \text{mA}$。
• $R_D$ 分別接在 $+0.9\ \text{V}$ 與 $Q_1,Q_2$ 汲極之間。
• $Q_3,Q_4$ 為相同偏壓下、各流過 $0.1\ \text{mA}$ 的 NMOS。

核心觀念

MOSFET 飽和區電流為

$$I_D=\frac{1}{2}\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}V_{ov}^2$$

其中

$$V_{ov}=V_{GS}-V_{tn}=0.15\ \text{V}$$

且

$$V_{GS}=V_{tn}+V_{ov}=0.4+0.15=0.55\ \text{V}$$

因此，當輸入電壓為 $0\ \text{V}$ 時，兩支 NMOS 的共同源極電壓為

$$V_S=V_G-V_{GS}=0-0.55=-0.55\ \text{V}$$

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（a）求 $R$ 與 $R_D$

求 $R_D$

每支差動對電流為 $0.1\ \text{mA}$，汲極電壓設計為 $+0.1\ \text{V}$。

因此 $R_D$ 上的電壓降為

$$V_{R_D}=V_{DD}-V_D=0.9-0.1=0.8\ \text{V}$$

所以

$$R_D=\frac{0.8\ \text{V}}{0.1\ \text{mA}} =8\ \text{k}\Omega$$

求 $R$

尾端電阻電流為兩支路電流總和：

$$I_R=I_{D1}+I_{D2} =0.1+0.1 =0.2\ \text{mA}$$

電阻兩端電壓為

$$V_R=V_S-(-0.9) =-0.55+0.9 =0.35\ \text{V}$$

因此

$$R=\frac{0.35\ \text{V}}{0.2\ \text{mA}} =1.75\ \text{k}\Omega$$

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（b）求 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 的 $W/L$

由飽和區公式：

$$\frac{W}{L} = \frac{2I_D}{\mu_n C_{ox}V_{ov}^2}$$

代入

$$\mu_n C_{ox}=400\ \mu\text{A}/\text{V}^2$$

及

$$V_{ov}^2=(0.15)^2=0.0225$$

得到

$$\mu_n C_{ox}V_{ov}^2 = 400(0.0225) =9\ \mu\text{A}$$

所以

$$\frac{W}{L} = \frac{2I_D}{9\ \mu\text{A}}$$

核心觀念

本題考查 MOS 差動對之半電路分析，以及高頻寄生電容造成的兩個極點。

已知尾電流為 $I=200\,\mu\text{A}$，平衡時

$$I_{D1}=I_{D2}=\frac{I}{2}=100\,\mu\text{A}$$

MOSFET 的跨導為

$$g_m=\frac{2I_D}{V_{ov}} =\frac{2(100\,\mu\text{A})}{0.2\,\text{V}} =1\,\text{mS}$$

假設題目未給予 $\lambda$，因此忽略通道長度調變，令 $r_o\to\infty$；尾電流源視為理想交流電流源。

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(a) 直流增益

在交流小訊號下，尾電流固定，因此

$$i_{d1}+i_{d2}=0$$

令 $v_{g1}=v_i$，而 $v_{g2}=0$。由對稱性，公共源極電壓為

$$v_s=\frac{v_i}{2}$$

因此 Q2 的小訊號閘源電壓為

$$v_{gs2}=v_{g2}-v_s=-\frac{v_i}{2}$$

Q2 的汲極電流為

$$i_{d2}=g_m v_{gs2} =-\frac{g_m v_i}{2}$$

輸出端位於 Q2 汲極，故

$$v_o=-i_{d2}R_D =\frac{g_mR_D}{2}v_i$$

由於 MOS 閘極沒有直流電流，$R_{sig}$ 不造成直流壓降，因此 $v_i=v_{sig}$。所以直流增益為

$$A_{v0}=\frac{v_o}{v_{sig}} =\frac{g_mR_D}{2}$$

代入數值：

$$A_{v0} =\frac{(1\,\text{mS})(50\,\text{k}\Omega)}{2} =25$$

此電路的輸出取自 Q2，而輸入加在 Q1，因此輸入增加時 Q2 電流減少、Q2 汲極電壓上升，增益為正。

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(b) 高頻極點

輸入端極點 $f_{p1}$

由差動對的交流關係，

$$v_s=\frac{v_i}{2}$$

因此 Q1 的 $C_{gs}$ 兩端電壓為

$$v_{gs1}=v_i-v_s=\frac{v_i}{2}$$

所以 Q1 的 $C_{gs}$ 對輸入端所呈現的等效電容為

$$C_{gs,\text{in}}=\frac{C_{gs}}{2}$$

Q1 的汲極接交流地，故其 $C_{gd}$ 直接接在輸入端與交流地之間，不產生 Miller 放大：

$$C_{\text{in}} =\frac{C_{gs}}{2}+C_{gd} =\frac{4}{2}+0.5 =2.5\,\text{pF}$$

輸入電阻為

$$R_{\text{in}}=R_{sig}=100\,\text{k}\Omega$$

因此

$$f_{p1} =\frac{1}{2\pi R_{sig}C_{\text{in}}}$$ $$f_{p1} =\frac{1}{2\pi(100\,\text{k}\Omega)(2.5\,\text{pF})} \approx 636.6\,\text{kHz}$$

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輸出端極點 $f_{p2}$

輸出端為 Q2 汲極，輸出端主要看到

$$R_{\text{out}}=R_D=50\,\text{k}\Omega$$

核心觀念

本題考查 MOS 差動對之半電路分析，以及高頻寄生電容造成的兩個極點。

已知尾電流為 $I=200\,\mu\text{A}$，平衡時

$$I_{D1}=I_{D2}=\frac{I}{2}=100\,\mu\text{A}$$

MOSFET 的跨導為

$$g_m=\frac{2I_D}{V_{ov}} =\frac{2(100\,\mu\text{A})}{0.2\,\text{V}} =1\,\text{mS}$$

假設題目未給予 $\lambda$，因此忽略通道長度調變，令 $r_o\to\infty$；尾電流源視為理想交流電流源。

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(a) 直流增益

在交流小訊號下，尾電流固定，因此

$$i_{d1}+i_{d2}=0$$

令 $v_{g1}=v_i$，而 $v_{g2}=0$。由對稱性，公共源極電壓為

$$v_s=\frac{v_i}{2}$$

因此 Q2 的小訊號閘源電壓為

$$v_{gs2}=v_{g2}-v_s=-\frac{v_i}{2}$$

Q2 的汲極電流為

$$i_{d2}=g_m v_{gs2} =-\frac{g_m v_i}{2}$$

輸出端位於 Q2 汲極，故

$$v_o=-i_{d2}R_D =\frac{g_mR_D}{2}v_i$$

由於 MOS 閘極沒有直流電流，$R_{sig}$ 不造成直流壓降，因此 $v_i=v_{sig}$。所以直流增益為

$$A_{v0}=\frac{v_o}{v_{sig}} =\frac{g_mR_D}{2}$$

代入數值：

$$A_{v0} =\frac{(1\,\text{mS})(50\,\text{k}\Omega)}{2} =25$$

此電路的輸出取自 Q2，而輸入加在 Q1，因此輸入增加時 Q2 電流減少、Q2 汲極電壓上升，增益為正。

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(b) 高頻極點

輸入端極點 $f_{p1}$

由差動對的交流關係，

$$v_s=\frac{v_i}{2}$$

因此 Q1 的 $C_{gs}$ 兩端電壓為

$$v_{gs1}=v_i-v_s=\frac{v_i}{2}$$

所以 Q1 的 $C_{gs}$ 對輸入端所呈現的等效電容為

$$C_{gs,\text{in}}=\frac{C_{gs}}{2}$$

Q1 的汲極接交流地，故其 $C_{gd}$ 直接接在輸入端與交流地之間，不產生 Miller 放大：

$$C_{\text{in}} =\frac{C_{gs}}{2}+C_{gd} =\frac{4}{2}+0.5 =2.5\,\text{pF}$$

輸入電阻為

$$R_{\text{in}}=R_{sig}=100\,\text{k}\Omega$$

因此

$$f_{p1} =\frac{1}{2\pi R_{sig}C_{\text{in}}}$$ $$f_{p1} =\frac{1}{2\pi(100\,\text{k}\Omega)(2.5\,\text{pF})} \approx 636.6\,\text{kHz}$$

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輸出端極點 $f_{p2}$

輸出端為 Q2 汲極，輸出端主要看到

$$R_{\text{out}}=R_D=50\,\text{k}\Omega$$

核心觀念

本題是「負回授超級共閘極」分析。運算放大器將 $Q_2$ 的源極電壓反相放大後送至閘極，使得源極電壓被強制壓低。

令：

• $v_s=V_{in}$：$Q_2$ 源極電壓
• $v_g$：$Q_2$ 閘極電壓
• $g_{m2}=1\ \text{mS}$
• $r_{o2}=50\ \text{k}\Omega$
• $g_o=1/r_{o2}=20\ \mu\text{S}$

因為運算放大器正端接地、負端接源極，

$$v_g=-\mu v_s$$

以下取 $I_i$ 為流入 $Q_2$ 源極的電流，$I_o$ 為流入 $Q_2$ 汲極的電流，因此兩者方向相反。

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(a) $\mu\to\infty$ 時

輸入電壓 $V_{in}$

負回授使運算放大器兩輸入端近似等電位。正端接地，因此

$$V_{in}=v_s=0$$

輸入電阻 $R_{in}$

輸入電流為

$$I_i=g_{m2}(v_s-v_g)+g_o v_s$$

由於 $\mu\to\infty$ 時 $v_s=0$，但若施加微小測試電壓，閘極會產生極大反向電壓，因此輸入電流可被壓制。故

$$R_{in}=\frac{V_{in}}{I_i}\to 0$$

電流增益

由 MOSFET 小訊號模型，閘極不取電流，故

$$I_o=-I_i$$

因此

$$\boxed{\frac{I_o}{I_i}=-1}$$

負號表示輸入端電流與汲極端電流方向相反。若只比較電流大小，則電流增益大小為 $1$。

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(b) 有限 $\mu=1000$ 時的開迴路電路

將回授路徑視為斷開，$Q_2$ 的汲極為交流接地，因此 $Q_2$ 等效為源極跟隨器。

開迴路電壓增益 $A_v$

由閘極電壓 $v_g$ 至源極電壓 $v_s$：

$$A_v=\frac{v_s}{v_g} =\frac{g_{m2}}{g_{m2}+g_o}$$

代入數值：

$$A_v=\frac{1\ \text{mS}}{1\ \text{mS}+20\ \mu\text{S}} =0.9804$$

因此

$$\boxed{A_v=0.9804}$$

輸入電阻 $R_i$

輸入端為 MOSFET 閘極，且題目假設放大器輸入電阻 $R_{id}$ 為無限大，因此

$$\boxed{R_i=\infty}$$

輸出電阻 $R_o$

將閘極交流接地，從源極看入：

$$R_o=\frac{1}{g_{m2}+g_o}$$

所以

$$R_o=\frac{1}{1\ \text{mS}+20\ \mu\text{S}} =980.4\ \Omega$$

因此

$$\boxed{R_o=980.4\ \Omega}$$

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(c) 回授因子 $\beta$

源極電壓完整回送至運算放大器的反相端，沒有分壓衰減，因此

$$\boxed{\beta=1}$$

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(d) $A\beta$ 與 $A_f$

開迴路增益為

$$A=A_v=0.9804$$

因此迴路增益為

$$A\beta=0.9804\times 1$$

但考慮運算放大器本身的增益 $\mu$，總迴路增益為

$$T=\mu A_v\beta$$

代入 $\mu=1000$：

$$T=1000(0.9804)(1)=980.4$$

故

$$\boxed{A\beta=980.4}$$

閉迴路增益為

$$A_f=\frac{A_v}{1+\mu A_v\beta}$$

因此

$$A_f=\frac{0.9804}{1+980.4} =9.99\times 10^{-4}$$

所以

$$\boxed{A_f\approx 9.99\times10^{-4}}$$