109 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所乙組《電子學》

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第 1 題12 分

  1. Fig. 1 shows the inverting amplifier with an ideal opamp. Use this circuit to design an inverting amplifier with a gain of 100 and an input resistance of 1MΩ. Assume that for practical reasons it is required no to use resistors greater than 1MΩ.
    (a) Derive an expression for the closed-loop gain vo/viv_o/v_i of the circuit (4%)
    (b) If R1=R2=R4R_1=R_2=R_4, find the required values, R1R_1 and R3R_3, to fit the gain of 100. (8%)

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核心觀念

本題考查理想反相運算放大器與負回授電阻網路分析：

  • 理想運算放大器有 v+=v−v_+=v_-。

  • 非反相端接地，因此反相端為虛地：

    v−=0v_-=0

  • 理想運算放大器輸入電流為零。

  • 輸入電阻即為 R1R_1，因此要達到輸入電阻 1 MΩ1\,\mathrm{M\Omega}，必須令

    R1=1 MΩR_1=1\,\mathrm{M\Omega}

解題方法

設反相端與 R1、R2R_1、R_2 的接點電壓為 00，並設 R2、R3、R4R_2、R_3、R_4 的中間節點電壓為 vxv_x。

(a) 推導閉迴路增益

在反相端套用 KCL。由於該節點為虛地：

viR1+vxR2=0\frac{v_i}{R_1}+\frac{v_x}{R_2}=0

因此

vx=−R2R1viv_x=-\frac{R_2}{R_1}v_i

接著在 vxv_x 節點套用 KCL：

vxR2+vxR3+vx−voR4=0\frac{v_x}{R_2}+\frac{v_x}{R_3}+\frac{v_x-v_o}{R_4}=0

整理得

vo=vx(1+R4R2+R4R3)v_o=v_x\left(1+\frac{R_4}{R_2}+\frac{R_4}{R_3}\right)

代入 vx=−R2R1viv_x=-\dfrac{R_2}{R_1}v_i：

vovi=−R2R1(1+R4R2+R4R3)\frac{v_o}{v_i} = -\frac{R_2}{R_1} \left(1+\frac{R_4}{R_2}+\frac{R_4}{R_3}\right)

因此閉迴路增益為

vovi=−R2+R4+R2R4R3R1\boxed{ \frac{v_o}{v_i} = -\frac{R_2+R_4+\dfrac{R_2R_4}{R_3}}{R_1} }

負號表示此電路為反相放大器。

(b) 求 R1R_1 與 R3R_3

題目指定

R1=R2=R4R_1=R_2=R_4

又因為輸入電阻為 1 MΩ1\,\mathrm{M\Omega}，所以

R1=R2=R4=1 MΩR_1=R_2=R_4=1\,\mathrm{M\Omega}

將 R1=R2=R4=RR_1=R_2=R_4=R 代入增益公式：

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第 2 題12 分

  1. Consider a common-emitter circuit using a BJT as shown in Fig. 2 having IS=10−15AI_S=10^{-15}A, a collector resistance RC=6.8kΩR_C=6.8k\Omega, and a power supply VCC=10VV_{CC}=10V. (12%)
    (a) Determine the value of the bias voltage VBEV_{BE} required to operate the transistor at VCE=3.2VV_{CE}=3.2V. What is the corresponding value of ICI_C? (4%)
    (b) If an input sine-wave signal of 5-mV peak amplitude is superimposed on VBEV_{BE}, find the amplitude of the output sine-wave signal (assume linear operation) (4%)
    (c) Find the positive increment in VBEV_{BE} (ΔVBE\Delta V_{BE} above VBEV_{BE}) that drives the transistor to the edge of saturation, where VCE=0.3VV_{CE}=0.3V (4%)

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核心觀念

本題考查 BJT 共射極電路的三項關係：

  1. 集極迴路 KVL：
    VCE=VCC−ICRCV_{CE}=V_{CC}-I_C R_C

  2. BJT 指數模型：
    IC=ISeVBE/VTI_C=I_S e^{V_{BE}/V_T}

    因此
    VBE=VTln⁡(ICIS)V_{BE}=V_T\ln\left(\frac{I_C}{I_S}\right)

  3. 小訊號跨導：
    gm=ICVTg_m=\frac{I_C}{V_T}

其中室溫熱電壓取 VT≈25 mVV_T\approx25\text{ mV}。

(a) 求偏壓 VBEV_{BE} 與 ICI_C

由集極迴路：

IC=VCC−VCERCI_C=\frac{V_{CC}-V_{CE}}{R_C}

代入題目數值：

IC=10−3.26.8 kΩ=6.86.8 kΩ=1 mAI_C=\frac{10-3.2}{6.8\,\text{k}\Omega} =\frac{6.8}{6.8\,\text{k}\Omega} =1\text{ mA}

利用 BJT 指數模型：

VBE=VTln⁡(ICIS)V_{BE}=V_T\ln\left(\frac{I_C}{I_S}\right) VBE=25 mV⋅ln⁡(10−310−15)V_{BE} =25\text{ mV}\cdot \ln\left(\frac{10^{-3}}{10^{-15}}\right) VBE=25 mV⋅ln⁡(1012)=25 mV⋅27.63≈0.691 VV_{BE} =25\text{ mV}\cdot\ln(10^{12}) =25\text{ mV}\cdot27.63 \approx0.691\text{ V}

因此：

IC=1 mA\boxed{I_C=1\text{ mA}} VBE≈0.69 V\boxed{V_{BE}\approx0.69\text{ V}}

(b) 輸出正弦波振幅

小訊號跨導為：

gm=ICVT=1 mA25 mV=40 mSg_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{1\text{ mA}}{25\text{ mV}} =40\text{ mS}

共射極電路的電壓增益為：

Av=−gmRCA_v=-g_mR_C

因此：

Av=−(40 mS)(6.8 kΩ)=−272A_v=-(40\text{ mS})(6.8\text{ k}\Omega) =-272

輸入訊號峰值為：

vbe,peak=5 mVv_{be,\text{peak}}=5\text{ mV}

輸出訊號峰值振幅：

vo,peak=∣Av∣vbe,peakv_{o,\text{peak}} =|A_v|v_{be,\text{peak}} vo,peak=272(5 mV)=1.36 Vv_{o,\text{peak}} =272(5\text{ mV}) =1.36\text{ V}

負號表示輸出與輸入反相；題目詢問振幅，因此：

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第 3 題12 分

  1. A bipolar differential amplifier (Fig. 3) utilizes a single CE transistor current source to supply a bias current I of 200 µA, and simple current-source loads formed by pnp transistors. For all transistors, β=100\beta=100 and early voltage ∣VA∣=10V|V_A|=10 V. (12%)
    (a) Find differential gain Ad=vo2−vo1vi1−vi2A_d = \frac{v_{o2}-v_{o1}}{v_{i1}-v_{i2}} (4%)
    (b) Find input impedance RidR_{id} (4%)
    (c) If the two load transistors exhibit a 1% mismatch in their ro_{o}'s, find CMRR (4%)

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核心觀念

本題考查：

  1. BJT 差動對的差模增益。
  2. BJT 小訊號輸入電阻 rπr_\pi。
  3. 晶體管 Early effect 所造成的輸出電阻 ror_o。
  4. 尾端電流源有限輸出電阻，以及負載 mismatch 對 CMRR 的影響。

取 VT=25 mVV_T=25\text{ mV}，且假設尾電流 I=200 μAI=200\,\mu\text{A} 平均分配，因此

IC1=IC2≃IC3=IC4=100 μAI_{C1}=I_{C2}\simeq I_{C3}=I_{C4}=100\,\mu\text{A}

尾端晶體管 Q5Q_5 的電流為 200 μA200\,\mu\text{A}。

(a) 差動增益 AdA_d

1. 小訊號參數

對 Q1∼Q4Q_1\sim Q_4：

gm=ICVT=100 μA25 mV=4 mSg_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{100\,\mu\text{A}}{25\text{ mV}} =4\text{ mS} ro=∣VA∣IC=10 V100 μA=100 kΩr_o=\frac{|V_A|}{I_C} =\frac{10\text{ V}}{100\,\mu\text{A}} =100\text{ k}\Omega

每一側輸出端所看到的負載為

RL=ro1∥ro3=100 kΩ∥100 kΩ=50 kΩR_L=r_{o1}\parallel r_{o3} =100\text{ k}\Omega\parallel100\text{ k}\Omega =50\text{ k}\Omega

2. 差模分析

令

vi1=vid2,vi2=−vid2v_{i1}=\frac{v_{id}}{2},\qquad v_{i2}=-\frac{v_{id}}{2}

差模操作下，尾端節點為虛接地，因此

vbe1=vid2,vbe2=−vid2v_{be1}=\frac{v_{id}}{2},\qquad v_{be2}=-\frac{v_{id}}{2}

兩側輸出電壓分別為

vo1=−gmRLvid2v_{o1}=-g_mR_L\frac{v_{id}}{2} vo2=+gmRLvid2v_{o2}=+g_mR_L\frac{v_{id}}{2}

所以

vo2−vo1=gmRLvidv_{o2}-v_{o1}=g_mR_Lv_{id}

因此差動增益為

Ad=vo2−vo1vi1−vi2=gmRLA_d=\frac{v_{o2}-v_{o1}}{v_{i1}-v_{i2}} =g_mR_L

代入數值：

Ad=(4 mS)(50 kΩ)=200 V/VA_d=(4\text{ mS})(50\text{ k}\Omega) =\boxed{200\ \text{V/V}}

若取 VT=26 mVV_T=26\text{ mV}，則結果約為 192.3 V/V192.3\text{ V/V}。

(b) 輸入阻抗 RidR_{id}

BJT 的小訊號基極輸入電阻為

rπ=βgm=1004 mS=25 kΩr_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{4\text{ mS}} =25\text{ k}\Omega

差模訊號由兩個基極看入，兩個 rπr_\pi 串聯，因此

Rid=2rπ=2βgmR_{id}=2r_\pi =\frac{2\beta}{g_m}

代入數值：

Rid=2(25 kΩ)=50 kΩR_{id}=2(25\text{ k}\Omega) =\boxed{50\text{ k}\Omega}

(c) 負載 ror_o 有 1% mismatch 時的 CMRR

1. 尾端電流源輸出電阻

Q5Q_5 的集極電流約為 200 μA200\,\mu\text{A}，所以

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第 4 題14 分

  1. Fig. 4 shows a common-source amplifier biased by a constant-current source I. Let Rsig=0.5MΩR_{sig}=0.5 M\Omega, RG=2MΩR_G=2 M\Omega, gm=3mA/Vg_m=3 mA/V, RD=20kΩR_D=20 k\Omega, and RL=10kΩR_L=10 k\Omega. (14%)
    (a) Find the midband gain AMA_M (2%)
    (b) Find the values of bypass and coupling capacitors (CSC_S, CC1C_{C1}, CC2C_{C2}) to locate the three low-frequency poles at 100 Hz, 10 Hz, and 1 Hz. Using a minimum total capacitance, with the capacitors specified only to a single significant digit. (12%)

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核心觀念

本題考查共源級放大器的：

  • 中頻電壓增益
  • 耦合電容與旁路電容形成的低頻極點
  • 電容所看到的等效電阻
  • 在指定三個極點頻率下，如何分配頻率以使總電容最小

中頻時，CSC_S、CC1C_{C1}、CC2C_{C2} 視為短路；低頻分析時，每個電容所產生的極點可近似為

fp=12πRseenCf_p=\frac{1}{2\pi R_{\text{seen}}C}

(a) 中頻增益 AMA_M

中頻時源極被 CSC_S 旁路，因此交流接地。汲極的等效負載為

RD∥RL=20 kΩ∥10 kΩ=6.67 kΩR_D\parallel R_L = 20\,\text{k}\Omega\parallel 10\,\text{k}\Omega = 6.67\,\text{k}\Omega

由訊號源到閘極的分壓為

RGRsig+RG=2 MΩ0.5 MΩ+2 MΩ=0.8\frac{R_G}{R_{sig}+R_G} = \frac{2\,\text{M}\Omega}{0.5\,\text{M}\Omega+2\,\text{M}\Omega} = 0.8

因此總電壓增益為

AM=vovsig=−gm(RD∥RL)RGRsig+RGA_M=\frac{v_o}{v_{sig}} = -g_m(R_D\parallel R_L) \frac{R_G}{R_{sig}+R_G}

代入 gm=3 mA/Vg_m=3\,\text{mA/V}：

AM=−(3 mA/V)(6.67 kΩ)(0.8)≈−16A_M = -(3\,\text{mA/V})(6.67\,\text{k}\Omega)(0.8) \approx -16

負號表示共源級會產生 180∘180^\circ 相位反轉。

(b) 三個低頻極點

1. 輸入耦合電容 CC1C_{C1}

將獨立訊號源設為零，電容兩端所看到的電阻為

RC1=Rsig+RG=0.5 MΩ+2 MΩ=2.5 MΩR_{C1}=R_{sig}+R_G =0.5\,\text{M}\Omega+2\,\text{M}\Omega =2.5\,\text{M}\Omega

2. 輸出耦合電容 CC2C_{C2}

電源 VDDV_{DD} 為交流接地，因此

RC2=RD+RL=20 kΩ+10 kΩ=30 kΩR_{C2}=R_D+R_L =20\,\text{k}\Omega+10\,\text{k}\Omega =30\,\text{k}\Omega

3. 源極旁路電容 CSC_S

理想定電流源的小訊號輸出電阻視為無限大，從源極看入 MOS 電晶體的電阻為

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第 5 題15 分

  1. (15%)
    (a) Fig. 5(a) shows the Antoniou inductance-simulation circuit. Assume the op amps are ideal. What is the equivalent inductance L seen from the node 1 (as depicted). (5%)
    (b) Based on 5(a), please find the transfer function, Vo(s)/Vi(s)V_o(s)/V_i(s), for the circuit shown in Fig. 5(b)? (5%)
    (c) Based on 5(b), please explain why the circuit shown in Fig.5(c) is an all pass filter. [Hint: complementary circuit] (5%)

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核心觀念

本題考查三項觀念：

  1. Antoniou 電感模擬器的等效輸入阻抗。
  2. 利用等效電感化簡二階 RLCRLC 電路並求傳遞函數。
  3. 利用互補電路與運算放大器加法器，形成分子為分母反向多項式的全通濾波器。

(a) 等效電感

理想運算放大器具有：

  • 輸入端電流為零；
  • 兩輸入端電壓相等；
  • 電路可視為廣義阻抗轉換器。

Antoniou 電感模擬器的輸入阻抗為

Zin=Z1Z3Z5Z2Z4Z_{\text{in}} = \frac{Z_1Z_3Z_5}{Z_2Z_4}

圖 5(a) 中各元件對應為

Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3,Z4=1sC4,Z5=R5Z_1=R_1,\qquad Z_2=R_2,\qquad Z_3=R_3,\qquad Z_4=\frac{1}{sC_4},\qquad Z_5=R_5

因此

Zin=R1R3R5R2(1sC4)Z_{\text{in}} = \frac{R_1R_3R_5} {R_2\left(\frac{1}{sC_4}\right)}

整理得

Zin=sR1R3R5C4R2Z_{\text{in}} = s\frac{R_1R_3R_5C_4}{R_2}

因為理想電感的阻抗為

ZL=sLZ_L=sL

所以等效電感為

L=R1R3R5C4R2\boxed{ L=\frac{R_1R_3R_5C_4}{R_2} }

(b) 求 Vo(s)Vi(s)\displaystyle \frac{V_o(s)}{V_i(s)}

圖 5(b) 中，圖 5(a) 的 Antoniou 電路等效為電感 LL，且電感由節點接至接地。

令 VxV_x 為 R6R_6、C6C_6 與等效電感 LL 的共同節點電壓。

電感與電容並聯，其等效阻抗為

Zp=sL∥1sC6Z_p=sL\parallel\frac{1}{sC_6}

因此

Zp=sL⋅1sC6sL+1sC6=sL1+s2LC6Z_p = \frac{sL\cdot \frac{1}{sC_6}} {sL+\frac{1}{sC_6}} = \frac{sL}{1+s^2LC_6}

由 R6R_6 與 ZpZ_p 所形成的分壓電路，

VxVi=ZpR6+Zp\frac{V_x}{V_i} = \frac{Z_p}{R_6+Z_p}

代入 ZpZ_p：

VxVi=sL1+s2LC6R6+sL1+s2LC6\frac{V_x}{V_i} = \frac{\frac{sL}{1+s^2LC_6}} {R_6+\frac{sL}{1+s^2LC_6}}

整理得

VxVi=sLR6(1+s2LC6)+sL\frac{V_x}{V_i} = \frac{sL} {R_6(1+s^2LC_6)+sL}

圖中的電壓增益方塊為 KK，故

Vo=KVxV_o=KV_x

所以傳遞函數為

Vo(s)Vi(s)=KsLR6LC6s2+Ls+R6\boxed{ \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{KsL} {R_6LC_6s^2+Ls+R_6} }

亦可寫成標準二階形式：

Vo(s)Vi(s)=KsR6C6s2+sR6C6+1LC6\boxed{ \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{K\frac{s}{R_6C_6}} {s^2+\frac{s}{R_6C_6}+\frac{1}{LC_6}} }

此電路的分子含有 ss，因此本身具有帶通型特性。

(c) 為何圖 5(c) 是全通濾波器？

1. 互補電路的等效關係

圖 5(c) 中，等效電感 LL 並不是接地，而是接在輸入端 ViV_i 與節點 VxV_x 之間。

因此，C6C_6 與等效電感 LL 同樣跨接在 ViV_i 與 VxV_x 之間，兩者並聯：

ZLC=sL∥1sC6=sL1+s2LC6Z_{LC} = sL\parallel\frac{1}{sC_6} = \frac{sL}{1+s^2LC_6}
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第 6 題10 分

Design the cross-coupled LC oscillator of Fig. 6 to operate at a resonance frequency ω0=10\omega_0=10 Grad/s. The inductors available have inductance L=10L=10 nH and quality factor Q=10Q=10. If the transistor output resistance is ro=1r_o=1 kΩ\Omega, find the required value of CC and the minimum required value of gmg_m at which Q1Q_1 and Q2Q_2 are to be operated. (10%)

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核心觀念

這題考交叉耦合 LC 振盪器的諧振條件與起振條件。並聯諧振槽的電感損耗可用等效並聯電阻表示；交叉耦合電晶體對則在差動模式下提供負電阻。起振的臨界條件是負電阻的大小等於諧振槽的等效負載電阻。

解題方法

圖 6 中，Q1Q_1、Q2Q_2 的汲極各接一組並聯 LL、CC 與電感損耗電阻 RPR_P，兩個閘極交叉連接至對側汲極；兩管共用尾端電流源，輸出 VoV_o 為差動輸出。每一側的電晶體輸出電阻 ror_o 也會負載該側諧振槽。

先依諧振條件求每側所需電容：

ω0=1LC⟹C=1ω02L\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{\omega_0^2L}

題目給定 ω0=10 Grad/s=1010 rad/s\omega_0=10\ \text{Grad/s}=10^{10}\ \text{rad/s}、L=10 nH=10−8 HL=10\ \text{nH}=10^{-8}\ \text{H}，因此

C=1(1010)2(10−8)=10−12 F=1 pFC=\frac{1}{(10^{10})^2(10^{-8})} =10^{-12}\ \text{F} =1\ \text{pF}

接著將電感的品質因數換算為等效並聯電阻。採用高品質因數諧振槽的標準近似式：

Q=RPω0L⟹RP=Qω0LQ=\frac{R_P}{\omega_0 L} \quad\Longrightarrow\quad R_P=Q\omega_0L RP=10(1010)(10−8)=1000 ΩR_P=10(10^{10})(10^{-8})=1000\ \Omega

每側諧振槽還並聯一個 ro=1 kΩr_o=1\ \text{k}\Omega，所以每側的總並聯電阻為

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第 7 題10 分

For the amplifier whose open-loop transfer function A(s)A(s) is depicted in Fig. 7, to what value must the first pole frequency be lowered to obtain stable performance for the cases below? (10%)

(a) β=0.001\beta=0.001 (5%)

(b) β=0.1\beta=0.1 (5%)

Assume only the first pole is changed and the other poles remain the same.

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核心觀念

圖 7 的開迴路增益低頻值為 100 dB100\,\mathrm{dB}，因此 A0=105A_0=10^5；三個極點頻率依序為 10510^5、10610^6、107 Hz10^7\,\mathrm{Hz}。題目只改變第一極點。閉迴路特徵方程為 1+βA(s)=01+\beta A(s)=0，可用三階 Routh–Hurwitz 穩定條件求出第一極點的限制。

解題方法

令三個極點頻率為 f1f_1、f2=106 Hzf_2=10^6\,\mathrm{Hz}、f3=107 Hzf_3=10^7\,\mathrm{Hz}，並以相同頻率單位寫特徵多項式。令 K=βA0K=\beta A_0，則特徵方程可寫成

(s+f1)(s+f2)(s+f3)+Kf1f2f3=0.(s+f_1)(s+f_2)(s+f_3)+Kf_1f_2f_3=0.

展開後，三階多項式的係數為

s3+(f1+f2+f3)s2+(f1f2+f1f3+f2f3)s+(1+K)f1f2f3.s^3+(f_1+f_2+f_3)s^2+(f_1f_2+f_1f_3+f_2f_3)s+(1+K)f_1f_2f_3.

三階 Routh–Hurwitz 條件除了係數皆為正，還須滿足

(f1+f2+f3)(f1f2+f1f3+f2f3)>(1+K)f1f2f3.(f_1+f_2+f_3)(f_1f_2+f_1f_3+f_2f_3)>(1+K)f_1f_2f_3.

令 u=f1/(106 Hz)u=f_1/(10^6\,\mathrm{Hz})，代入 f2=106 Hzf_2=10^6\,\mathrm{Hz}、f3=107 Hzf_3=10^7\,\mathrm{Hz}，整理得

11u2+(121−10K)u+110>0.11u^2+(121-10K)u+110>0.

等號代表臨界穩定；要有穩定性能，須嚴格滿足不等式。

(a) β=0.001\beta=0.001

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