112 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所丙組《電磁場與波》

核心觀念

本題評量電磁波在無源自由空間（free space）中的傳播特性與馬克士威方程式（Maxwell's Equations）的應用，涵蓋以下核心觀念：

1. 向量波動方程式（Helmholtz Equation）與色散關係（Dispersion Relation）：
   在無電荷、無電流的自由空間中，電場強度 $\bar{E}$ 滿足波動方程式：

   $$\nabla^2 \bar{E} + k_0^2 \bar{E} = 0$$

   其中自由空間波數 $k_0 = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi f}{c}$，波速 $c \approx 3 \times 10^8\text{ m/s}$。若已知電場在各空間維度的波數分量（本題為矩形導波管或駐波／行波混合形式），其總波數滿足幾何關係：

   $$k_0^2 = k_y^2 + k_z^2$$

2. 法拉第感應定律（Faraday's Law of Induction）：
   時變電場與磁場的關聯遵循旋度方程式：

   $$\nabla \times \bar{E} = -\frac{\partial \bar{B}}{\partial t}$$

   在簡諧時變（$e^{j\omega t}$）相量表示法下，對時間的一階偏導相當於乘上 $j\omega$：

   $$\nabla \times \bar{E} = -j\omega \bar{B}$$

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解題方法

(a) 求訊號頻率 $f$

給定電場為：

$$\bar{E}(y, z, t) = \hat{a}_x \sin(7\pi z) e^{j(\omega t - 24\pi y)}\text{ (V/m)}$$

其空間相量形式為：

$$\bar{E}_s(y, z) = \hat{a}_x \sin(7\pi z) e^{-j 24\pi y}$$

電場僅具有 $\hat{a}_x$ 分量，即 $E_x(y, z) = \sin(7\pi z) e^{-j 24\pi y}$。

代入亥姆霍茲波動方程式 $\nabla^2 E_x + k_0^2 E_x = 0$：

$$\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} = (-j 24\pi)^2 E_x = -(24\pi)^2 E_x$$ $$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = -(7\pi)^2 E_x$$

拉普拉斯運算結果為：

$$\nabla^2 E_x = \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = -\left[(24\pi)^2 + (7\pi)^2\right] E_x$$

代回波動方程式：

$$-\left[(24\pi)^2 + (7\pi)^2\right] E_x + k_0^2 E_x = 0$$

由此解得自由空間波數 $k_0$：

$$k_0 = \sqrt{(24\pi)^2 + (7\pi)^2} = \pi \sqrt{576 + 49} = \pi \sqrt{625} = 25\pi\text{ (rad/m)}$$

根據角頻率、頻率與光速的關係式 $k_0 = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi f}{c}$（取 $c = 3 \times 10^8\text{ m/s}$）：

$$25\pi = \frac{2\pi f}{3 \times 10^8}$$ $$f = \frac{25 \times 3 \times 10^8}{2} = 3.75 \times 10^9\text{ Hz} = 3.75\text{ GHz}$$

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(b) 利用馬克士威方程式求解 $B_z$

依據法拉第定律：

$$\nabla \times \bar{E} = -\frac{\partial \bar{B}}{\partial t}$$

展開笛卡兒座標系下的旋度運算子：

核心觀念

本題使用畢奧–沙伐定律求有限直導線在觀察點產生的磁通密度。有限直導線的磁場大小為

$$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi \rho}\left(\sin\theta_1+\sin\theta_2\right)$$

其中 $\rho$ 是觀察點到導線的垂直距離，$\theta_1,\theta_2$ 是兩端點連線相對於垂直線的夾角。磁場方向則由電流方向與右手定則判定。

解題方法

由圖可讀出：斜線與 $+x$ 軸夾角為 $30^\circ$，且斜線與右側導線垂直；電流沿底邊向右、右側導線向上、斜線向左、垂直導線向下。圖中垂直導線到 $O$ 的水平距離未標數值，以下以 $a$ 表示；$b$ 表示 $O$ 到右上角的距離，因此也是 $O$ 到右側導線的垂直距離。

底邊與 $x$ 軸共線，斜線所在直線也通過 $O$。這兩段導線上各電流微段的方向都與指向 $O$ 的位置向量平行或反平行，因此由畢奧–沙伐定律，兩段的磁場貢獻皆為零。

垂直導線到 $O$ 的距離為 $a$。其下端位於垂足，上端連線與垂線夾角為 $30^\circ$，故磁場大小為

$$B_{\text{垂直}} =\frac{\mu_0 I}{4\pi a}\left(\sin 0^\circ+\sin 30^\circ\right) =\frac{\mu_0 I}{8\pi a}.$$

垂直段電流向下，依右手定則，在導線左側的 $O$ 點磁場指向紙面內：

$$\mathbf B_{\text{垂直}}=-\frac{\mu_0 I}{8\pi a}\,\hat{\mathbf z},$$

核心觀念

本題考查**無失真傳輸線（Distortionless Transmission Line）**的特性方程式與其單位長度參數（$R, L, C, G$）的求解。

1. 無失真條件（Heaviside Condition）： $$\frac{R}{L} = \frac{G}{C}$$
2. 無失真線特性：
   • 特性阻抗： $$Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} = \sqrt{\frac{R}{G}}$$
   • 相位速度（波速）： $$u = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{l}{\Delta t}$$
   • 衰減常數： $$\alpha = \sqrt{RG} = R\sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{R}{Z_0} = G Z_0$$
   • 總衰減量與衰減常數之關係： $$\text{Total Attenuation} = \alpha \cdot l \quad (\text{Np})$$

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解題方法

1. 根據題意列出已知物理量

• 線長：$l = 5\text{ m}$
• 特性阻抗：$Z_0 = 100\ \Omega$
• 傳播延遲：$\Delta t = 25\text{ ns} = 25 \times 10^{-9}\text{ s}$
• 總衰減量：$A = 1\text{ Neper}$

2. 計算波速 $u$ 與衰減常數 $\alpha$

• 訊號傳播波速： $$u = \frac{l}{\Delta t} = \frac{5\text{ m}}{25 \times 10^{-9}\text{ s}} = 2 \times 10^8\text{ m/s}$$
• 每單位長度衰減常數： $$\alpha = \frac{A}{l} = \frac{1\text{ Np}}{5\text{ m}} = 0.2\text{ Np/m}$$

3. 求解電感 $L$ 與電容 $C$

由特性阻抗 $Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}$ 與波速 $u = \frac{1}{\sqrt{LC}}$：

• 兩式相乘消去 $C$： $$Z_0 \cdot \frac{1}{u} = \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot \sqrt{LC} = L$$ 代入數值：

核心觀念

本題評量平面電磁波垂直入射（Normal Incidence）無損介質邊界的反射傳輸特性，以及四分之一波長匹配層（Quarter-Wave Transformer / Match Layer）的阻抗匹配設計。核心公式與觀念如下：

1. 相速度（Phase Velocity）：
   在無損介質中，電磁波的相速度為：

   $$v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$$

   其中 $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ 為真空中（或空氣中）光速，相對折射率等效為 $n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}$。

2. 本質阻抗（Intrinsic Impedance）：
   空氣的本質阻抗為 $\eta_0 = \sqrt{\mu_0 / \varepsilon_0} \approx 120\pi\,\Omega$；介質的本質阻抗為：

   $$\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \eta_0 \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}$$

3. 垂直入射反射係數（Reflection Coefficient）：
   波由介質 1（空氣，$\eta_1 = \eta_0$）垂直入射至介質 2（$\eta_2 = \eta$）時，電場反射係數為：

   $$\Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1} = \frac{\eta - \eta_0}{\eta + \eta_0}$$

4. 無反射匹配層（Quarter-Wave Match Layer）：
   在兩不同介質間加入一層厚度為 $d$、本質阻抗為 $\eta_m$ 的匹配層。若欲使整體反射係數歸零，最常見且標準的設計為四分之一波長阻抗轉換器：

   • 匹配層本質阻抗取幾何平均數： $$\eta_m = \sqrt{\eta_1 \eta_2} = \sqrt{\eta_0 \eta}$$
   • 匹配層厚度為該層波長 $\lambda_m$ 的四分之一（或奇數倍）： $$d = \frac{\lambda_m}{4} = \frac{\lambda_0}{4\sqrt{\mu_{rm}\varepsilon_{rm}}}$$ （其中 $\lambda_0$ 為電磁波在空氣中的波長）

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解題方法

(a) 求介質的 $\varepsilon_r$ 與 $\mu_r$

1. 利用相速度條件建立方程式：
   題目指出透過該介質時，透射波的相速度減少至原來的 $\frac{1}{4}$：

   $$v_p = \frac{c}{4} \implies \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{c}{4}$$

   兩邊平方整理得：

   $$\mu_r \varepsilon_r = 16 \quad \cdots\cdots \text{(式 1)}$$

2. 利用反射係數條件建立方程式：
   空氣入射至該介質的反射係數 $\Gamma = -0.5$：

   $$\Gamma = \frac{\eta - \eta_0}{\eta + \eta_0} = -0.5 = -\frac{1}{2}$$

   交叉相乘求解介質阻抗 $\eta$：

   $$2(\eta - \eta_0) = -(\eta + \eta_0) \implies 3\eta = \eta_0 \implies \eta = \frac{1}{3}\eta_0$$

   將 $\eta = \eta_0 \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}$ 代入：

   $$\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}} = \frac{1}{3} \implies \frac{\mu_r}{\varepsilon_r} = \frac{1}{9} \quad \cdots\cdots \text{(式 2)}$$

3. 聯立求解 $\varepsilon_r$ 與 $\mu_r$：
   由 (式 1) 與 (式 2)：

核心觀念

本題考核金屬波導（Metallic Waveguide）中傳播模態（Propagating Mode）的色散關係（Dispersion Relation）及截止特性。

在充氣（空氣填充，折射率 $n \approx 1$、介電質參數 $\mu_0, \varepsilon_0$）的金屬波導中，電磁波模態的相傳播常數 $\beta$、波導波長 $\lambda_g$、工作頻率 $f$ 與該模態的截止頻率 $f_c$（Cutoff Frequency）滿足下列基本關係：

1. 色散方程式（波數關係式）：

   $$k^2 = \beta^2 + k_c^2$$

   其中：

   • $k = \omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = \frac{2\pi f}{c} = \frac{2\pi}{\lambda_0}$ 為無界空間（自由空間/空氣中）波數。
   • $\beta = \frac{2\pi}{\lambda_g}$ 為波導管軸向相傳播常數。
   • $k_c = \frac{2\pi f_c}{c} = \frac{2\pi}{\lambda_c}$ 為該模態的截止波數（Cutoff Wavenumber）。

2. 波長與頻率形式的轉換關係：
   同除以 $(2\pi)^2$ 可得波長倒數平方關係：

   $$\frac{1}{\lambda_0^2} = \frac{1}{\lambda_g^2} + \frac{1}{\lambda_c^2}$$

   或是直接轉換為頻率關係式（因 $k = \frac{2\pi f}{c}$、$k_c = \frac{2\pi f_c}{c}$ 且 $\beta = k\sqrt{1 - \left(\frac{f_c}{f}\right)^2}$）：

   $$\lambda_g = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{f_c}{f}\right)^2}}$$

   變形可直接求出截止頻率：

   $$f_c = \sqrt{f^2 - \left(\frac{c}{\lambda_g}\right)^2}$$

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解題方法與推導

已知條件：

• 空氣介質光速：$c = 3 \times 10^8\text{ m/s} = 3 \times 10^{10}\text{ cm/s}$
• 操作頻率：$f = 26\text{ GHz} = 26 \times 10^9\text{ Hz}$
• 波導波長：$\lambda_g = 1.25\text{ cm} = 1.25 \times 10^{-2}\text{ m}$

步驟一：求空氣中自由空間波長 $\lambda_0$

$$\lambda_0 = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^{10}\text{ cm/s}}{26 \times 10^9\text{ s}^{-1}} = \frac{30}{26}\text{ cm} = \frac{15}{13}\text{ cm} \approx 1.1538\text{ cm}$$

步驟二：利用波導波長與截止頻率關係式推導
由波導波長公式：

$$\lambda_g = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{f_c}{f}\right)^2}}$$

兩邊平方並整理：