111 年 國立中正大學數學系應用數學研究所《基礎數學》

核心觀念

本題考查乘積展開與極限、指數函數的對數轉換、指數衰減速度、配方後的廣義積分，以及分部積分。第 (f) 小題的積分微分符號與積分限不相容；以下依常見的四分之一單位圓區域，將它解讀為先對 $x$ 積分、再對 $y$ 積分。

解題方法

(a) 根式極限

先展開根號內的乘積，只需保留常數項與一次項：

$$(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x)=1+10x+O(x^2).$$

因此

$$\sqrt{(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x)} =1+5x+O(x^2),$$

所以

$$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x)}-1}{x} =5.$$

(b) 指數型極限

將底數寫成 $e^{x^2}$ 乘上一個修正因子，再取對數：

$$(e^{x^2}+x^2)^{1/x^2} = \exp\left( \frac{\ln(e^{x^2}+x^2)}{x^2} \right) = \exp\left( 1+\frac{\ln(1+x^2e^{-x^2})}{x^2} \right).$$

令 $t=x^2e^{-x^2}$。當 $x\to\infty$ 時，$t\to0$，且 $\ln(1+t)\sim t$，因此

$$\frac{\ln(1+x^2e^{-x^2})}{x^2} \sim e^{-x^2}\to0.$$

故原極限為

$$e^1=e.$$

(c) 指數衰減極限

當 $x\to\infty$ 時，指數函數 $e^{x^2}$ 的成長速度快於多項式 $x$，因此

$$xe^{-x^2}=\frac{x}{e^{x^2}}\to0.$$

(d) 廣義積分

配方並令 $u=x-1$：

$$-x^2+2x+3=4-(x-1)^2,$$ $$\int_0^\infty e^{-x^2+2x+3}\,dx =e^4\int_{-1}^\infty e^{-u^2}\,du.$$

利用高斯積分 $\int_0^\infty e^{-u^2}\,du=\frac{\sqrt{\pi}}2$，可得

$$\int_{-1}^\infty e^{-u^2}\,du = \frac{\sqrt{\pi}}2+\int_0^1 e^{-u^2}\,du.$$

這題是使用拉格朗日乘數法求解約束條件下的極值問題。

我們要求解函數 $f(x, y) = 3x + 4y$ 在約束條件 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ 下的最小值。
根據拉格朗日乘數法，我們需要求解以下方程組：
$\nabla f = \lambda \nabla g$
$g(x, y) = 0$

計算梯度：
$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (3, 4)$
$\nabla g = (\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}) = (2x, 2y)$

將梯度代入 $\nabla f = \lambda \nabla g$：
$3 = \lambda (2x) \implies x = \frac{3}{2\lambda}$ (1)
$4 = \lambda (2y) \implies y = \frac{4}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda}$ (2)

將 (1) 和 (2) 代入約束條件 $x^2 + y^2 = 1$：
$(\frac{3}{2\lambda})^2 + (\frac{2}{\lambda})^2 = 1$
$\frac{9}{4\lambda^2} + \frac{4}{\lambda^2} = 1$

這題是計算一個無窮級數的和。這個級數可以通過部分分式分解來求解。

級數的通項為 $a_n = \frac{1}{4n^2-1}$。
我們可以將分母分解：$4n^2-1 = (2n)^2 - 1^2 = (2n-1)(2n+1)$。
所以，$a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$。

接下來，我們對 $a_n$ 進行部分分式分解：
$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$
$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

令 $2n-1=0 \implies n=\frac{1}{2}$：
$1 = A(2(\frac{1}{2})+1) + B(0) = A(1+1) = 2A \implies A = \frac{1}{2}$。

令 $2n+1=0 \implies n=-\frac{1}{2}$：
$1 = A(0) + B(2(-\frac{1}{2})-1) = B(-1-1) = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$。

所以，$a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$。

現在計算無窮級數的和：
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$
$S = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

這題是證明對稱矩陣的相異特徵向量是正交的。

已知 $A$ 是一個對稱矩陣，即 $A^T = A$。
$e_1$ 和 $e_2$ 是 $A$ 的特徵向量，對應的特徵值分別是 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$。
且 $\lambda_1 \neq \lambda_2$。
特徵向量的定義是：
$Ae_1 = \lambda_1 e_1$ (1)
$Ae_2 = \lambda_2 e_2$ (2)

我們要證明 $e_1$ 和 $e_2$ 是正交的，也就是證明它們的內積為零：$e_1^T e_2 = 0$。

考慮等式 (1)，將其左邊乘以 $e_2^T$：
$e_2^T (Ae_1) = e_2^T (\lambda_1 e_1)$
$e_2^T A e_1 = \lambda_1 e_2^T e_1$ (3)

現在考慮等式 (2)，將其左邊乘以 $e_1^T$：
$e_1^T (Ae_2) = e_1^T (\lambda_2 e_2)$
$e_1^T A e_2 = \lambda_2 e_1^T e_2$ (4)

這題要求證明對稱冪等矩陣的特徵值只能是 0 或 1，並且特徵值為 1 的個數等於矩陣的跡 (trace)。

首先，證明特徵值只能是 0 或 1。
設 $\lambda$ 是矩陣 $A$ 的一個特徵值，對應的特徵向量為 $v \neq 0$。
根據特徵值和特徵向量的定義：
$Av = \lambda v$ (1)

矩陣 $A$ 是冪等矩陣 (idempotent matrix)，這表示 $A^2 = A$。
將等式 (1) 兩邊同時乘以 $A$：
$A(Av) = A(\lambda v)$
$A^2 v = \lambda (Av)$

由於 $A^2 = A$ 且 $Av = \lambda v$，我們得到：
$Av = \lambda (\lambda v)$
$\lambda v = \lambda^2 v$

將所有項移到一邊：
$\lambda^2 v - \lambda v = 0$
$(\lambda^2 - \lambda) v = 0$

因為 $v$ 是特徵向量，所以 $v \neq 0$。
因此，必須有 $\lambda^2 - \lambda = 0$。
$\lambda(\lambda - 1) = 0$。
這意味著 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
所以，對稱冪等矩陣的特徵值只能是 0 或 1。

這題要求計算矩陣的冪、行列式以及逆矩陣，其中 (a) 小題需要先找到矩陣 $A$ 的特徵值和特徵向量。

首先，我們需要找到矩陣 $A$ 的特徵值和特徵向量。
矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$。
特徵值 $\lambda$ 滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$。
$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ -1 & 4-\lambda \end{bmatrix}$
$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(4-\lambda) - (2)(-1)$
$= 4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2 + 2$
$= \lambda^2 - 5\lambda + 6$

令 $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$。
$(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$。
所以，矩陣 $A$ 的特徵值是 $\lambda_1 = 2$ 和 $\lambda_2 = 3$。

接下來，我們找對應的特徵向量。

對於 $\lambda_1 = 2$：
$(A - 2I)v = 0$
$\begin{bmatrix} 1-2 & 2 \\ -1 & 4-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$-x + 2y = 0 \implies x = 2y$。
令 $y=1$，則 $x=2$。
對應於 $\lambda_1 = 2$ 的特徵向量是 $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。

對於 $\lambda_2 = 3$：
$(A - 3I)v = 0$
$\begin{bmatrix} 1-3 & 2 \\ -1 & 4-3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$-x + y = 0 \implies x = y$。
令 $y=1$，則 $x=1$。
對應於 $\lambda_2 = 3$ 的特徵向量是 $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。

(a) Find the eigenvalues and the corresponding eigenvectors of $A^{10}$.
如果 $A$ 的特徵值是 $\lambda$ 且對應的特徵向量是 $v$，則 $A^k$ 的特徵值是 $\lambda^k$ 且對應的特徵向量也是 $v$。
所以，對於 $A^{10}$：
特徵值是 $\lambda_1^{10} = 2^{10} = 1024$ 和 $\lambda_2^{10} = 3^{10} = 59049$。
對應的特徵向量分別是 $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。

【答案】
特徵值：1024 (對應 $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$), 59049 (對應