111 年 國立中正大學數學系碩士班《線性代數》

核心觀念

對矩陣 $A\in M_{m\times n}$，左乘法線性轉換定義為

$$L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\qquad L_A(x)=Ax.$$

本題使用三個重要觀念：

1. Reduced row echelon form（RREF）：透過基本列運算將矩陣化為最簡列梯形式。
2. 核空間

$$N(L_A)=\{x\in\mathbb{R}^5:Ax=0\}.$$

RREF 可直接給出齊次方程組的主變數與自由變數。
3. 值域

$$R(L_A)=\{Ax:x\in\mathbb{R}^5\}.$$

值域就是 $A$ 的欄空間。其基底應取原矩陣中對應主樞紐欄的欄向量。

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解題方法

原矩陣為

$$A= \begin{pmatrix} 4&4&8&4&0\\ 1&3&4&5&2\\ 8&2&10&0&2\\ 6&2&8&0&0 \end{pmatrix}.$$

先交換第 $1$、第 $2$ 列，並利用新的第一列消去第一欄：

$$\begin{pmatrix} 1&3&4&5&2\\ 0&-8&-8&-16&-8\\ 0&-22&-22&-40&-14\\ 0&-16&-16&-30&-12 \end{pmatrix}.$$

將第二列除以 $-8$：

$$\begin{pmatrix} 1&3&4&5&2\\ 0&1&1&2&1\\ 0&-22&-22&-40&-14\\ 0&-16&-16&-30&-12 \end{pmatrix}.$$

利用第二列消去第二欄，得到

$$\begin{pmatrix} 1&0&1&-1&-1\\ 0&1&1&2&1\\ 0&0&0&4&8\\ 0&0&0&2&4 \end{pmatrix}.$$

將第三列除以 $4$，並消去第四欄：

$$\operatorname{rref}(A)= \begin{pmatrix} 1&0&1&0&1\\ 0&1&1&0&-3\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

因此主樞紐欄為第 $1$、第 $2$、第 $4$ 欄，自由欄為第 $3$、第 $5$ 欄。

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（a）Reduced row echelon form

$$\boxed{ \operatorname{rref}(A)= \begin{pmatrix} 1&0&1&0&1\\ 0&1&1&0&-3\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} }$$

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（b）$N(L_A)$ 的基底

由 RREF 所對應的齊次方程組為

$$\begin{cases} x_1+x_3+x_5=0,\\ x_2+x_3-3x_5=0,\\ x_4+2x_5=0. \end{cases}$$

令自由變數

$$x_3=s,\qquad x_5=t.$$

則主變數為

$$x_1=-s-t,\qquad x_2=-s+3t,\qquad x_4=-2t.$$

因此

$$x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -1\\-1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1\\3\\0\\-2\\1 \end{pmatrix}.$$

所以

本題考查矩陣可對角化的判斷與計算。一個 $n \times n$ 的矩陣 B 可對角化的充要條件是：B 存在 n 個線性獨立的特徵向量。這等價於 B 的每個特徵值的代數重數等於其幾何重數。

步驟 1: 計算特徵值
首先，我們計算矩陣 B 的特徵方程式 $\det(B - \lambda I) = 0$。

$$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4-\lambda & 2 \\ -1 & -1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$$

計算行列式：

$$\det(B - \lambda I) = (3-\lambda)((4-\lambda)(1-\lambda) - (-1)(2)) - 1(2(1-\lambda) - (-1)(2)) + 1(2(-1) - (-1)(4-\lambda))$$ $$= (3-\lambda)(4 - 4\lambda - \lambda + \lambda^2 + 2) - (2 - 2\lambda + 2) + (-2 + 4 - \lambda)$$ $$= (3-\lambda)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) - (4 - 2\lambda) + (2 - \lambda)$$ $$= (3-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-3) + 2\lambda - 4 + 2 - \lambda$$ $$= (3-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-3) + \lambda - 2$$ $$= (\lambda-2) [(3-\lambda)(\lambda-3) + 1]$$ $$= (\lambda-2) [3\lambda - 9 - \lambda^2 + 3\lambda + 1]$$ $$= (\lambda-2) [-\lambda^2 + 6\lambda - 8]$$ $$= -(\lambda-2) [\lambda^2 - 6\lambda + 8]$$ $$= -(\lambda-2) (\lambda-2) (\lambda-4)$$ $$= -(\lambda-2)^2 (\lambda-4)$$

所以，特徵值為 $\lambda_1 = 2$ (代數重數為 2) 和 $\lambda_2 = 4$ (代數重數為 1)。

步驟 2: 計算每個特徵值的幾何重數

對於特徵值 $\lambda = 4$:
我們需要求解 $(B - 4I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$。

$$B - 4I = \begin{pmatrix} 3-4 & 1 & 1 \\ 2 & 4-4 & 2 \\ -1 & -1 & 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$$

進行列運算：

(a) 證明 $\text{rank}(A^T A) = \text{rank}(A)$

核心觀念

1. 零空間（Null Space）的等價性：透過實數內積與歐幾里得範數的正定性（Positive Definiteness），證明 $N(A^T A) = N(A)$。
2. 維度定理（Rank-Nullity Theorem）：對任意實矩陣 $M \in M_{p \times q}(\mathbb{R})$，其行數等於秩加上零度：
   $\text{rank}(M) + \text{nullity}(M) = q$
3. 矩陣維度：$A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 與 $A^T A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ 皆具有 $n$ 個行（Columns）。

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解題方法（完整推導）

第一步：證明 $N(A^T A) = N(A)$

• ($\subseteq$) 設 $x \in N(A^T A)$，則 $A^T A x = 0$。
  兩邊同左乘 $x^T$：
  $x^T (A^T A x) = x^T 0 = 0$
  由矩陣轉置性質與實向量內積定義：
  $(Ax)^T (Ax) = \|Ax\|^2 = 0$
  因為實向量範數具正定性，$\|Ax\| = 0 \implies Ax = 0$。
  故 $x \in N(A)$，即 $N(A^T A) \subseteq N(A)$。

• ($\supseteq$) 設 $x \in N(A)$，則 $Ax = 0$。
  兩邊同左乘 $A^T$：
  $A^T (Ax) = A^T 0 = 0 \implies A^T A x = 0$
  故 $x \in N(A^T A)$，即 $N(A) \subseteq N(A^T A)$。

由上述雙向包含關係，得證：
$N(A^T A) = N(A)$

第二步：應用維度定理推導秩相等
由零空間相同可知兩者之零度（Nullity）相等：
$\text{nullity}(A^T A) = \dim(N(A^T A)) = \dim(N(A)) = \text{nullity}(A)$
因為矩陣 $A$ 與 $A^T A$ 的行數皆為 $n$，根據維度定理：
$\text{rank}(A) = n - \text{nullity}(A)$
$\text{rank}(A^T A) = n - \text{nullity}(A^T A)$
兩式相減即得：
$\text{rank}(A^T A) = \text{rank}(A)$

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(b) 求 $v$ 投影至 $R(L_A)$ 上的投影向量 $w$

核心觀念

1. 線性映射的值域（Range）與行空間（Column Space）：
   定義線性映射 $L_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 為 $L_A(x) = Ax$，其值域為 $R(L_A) = \text{Col}(A) = \{Ax \mid x \in \mathbb{R}^n\} \subseteq \mathbb{R}^m$。
2. 正交補空間與正交投影：

本題考查向量空間子空間的維度關係，特別是交集與和空間的維度公式。

核心概念：
向量空間 $V$ 的兩個子空間 $V_1, V_2$ 之間有一個重要的維度關係公式：
$\dim(V_1 + V_2) = \dim(V_1) + \dim(V_2) - \dim(V_1 \cap V_2)$
這個公式在證明 (b) 和 (c) 時會非常有用。

(a) 證明 $\dim(V_1 \cap V_2) \le n_1$

證明：
$V_1 \cap V_2$ 是子空間 $V_1$ 的一個子集。
根據子空間維度的基本性質，任何一個子空間的維度都不能超過它所在空間的維度。
由於 $V_1 \cap V_2 \subseteq V_1$，所以 $\dim(V_1 \cap V_2) \le \dim(V_1)$。
已知 $\dim(V_1) = n_1$，因此 $\dim(V_1 \cap V_2) \le n_1$。

【答案】
證明見上方詳解。

(b) 證明 $\dim(V_1 + V_2) \le n_1 + n_2$

證明：
我們使用核心概念中的維度公式：
$\dim(V_1 + V_2) = \dim(V_1) + \dim(V_2) - \dim(V_1 \cap V_2)$
我們知道 $\dim(V_1) = n_1$ 且 $\dim(V_2) = n_2$。
同時，我們知道 $\dim(V_1 \cap V_2) \ge 0$ (因為維度是非負的)。
因此，

本題考查正交矩陣的行列式性質以及斜對稱矩陣的性質。

(a) 求正交矩陣 A 的行列式所有可能值

核心概念：
一個方陣 A 被稱為正交矩陣，如果其轉置矩陣 $A^T$ 是其逆矩陣，即 $A^T A = A A^T = I$。
正交矩陣的一個重要性質是保持向量的長度，即 $\|Ax\| = \|x\|$ 對於所有向量 $x$。
行列式的性質：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$，$\det(A^T) = \det(A)$，$\det(I) = 1$。

證明：
由正交矩陣的定義 $A^T A = I$。
取行列式：
$\det(A^T A) = \det(I)$
利用行列式的乘法性質：
$\det(A^T) \det(A) = 1$
又因為 $\det(A^T) = \det(A)$，所以：
$(\det(A))^2 = 1$
解這個方程，我們得到：
$\det(A) = 1 \quad \text{或} \quad \det(A) = -1$

因此，一個正交矩陣的行列式只能是 1 或 -1。

例子：

• 單位矩陣 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是正交矩陣，$\det(I) = 1$。
• 旋轉矩陣 $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 是正交矩陣，$\det(R_\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$。
• 反射矩陣 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 是正交矩陣，行列式為 -1。

【答案】
$\det(A) = 1$ 或 $\det(A) = -1$。

(b) 證明當 A 是斜對稱矩陣且維度 n 是奇數時，A 不可逆。並給出 n 為偶數時的反例。

核心概念：
一個方陣 A 被稱為斜對稱矩陣 (skew-symmetric matrix)，如果其轉置矩陣是其負矩陣，即 $A^T = -A$。
矩陣可逆的充要條件是其行列式不為零。