111 年國立中正大學數學系應用數學研究所《機率與統計》考古題與詳解

Question 1

國立中正大學 111 學年度碩士班招生考試試題
科目名稱:機率與統計
系所組別:數學系統計科學
(20%) 1. A random variable X has a probability density function given by $f(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|}$ , $x \in \mathbb{R}$ . Find the moment generating function of X.

Accepted Answer

核心觀念

矩母函數（moment generating function, MGF）定義為

M_X(t)=E\left[e^{tX}\right] =\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)\,dx,

其中積分必須收斂。

本題的機率密度函數為

f(x)=\frac12 e^{-|x|},

由於絕對值函數在 $x=0$ 左右形式不同，必須將積分分成 $x<0$ 與 $x\geq 0$ 兩段。

解題方法

當 $x<0$ 時， $|x|=-x$ ，因此

f(x)=\frac12 e^x.

當 $x\geq 0$ 時， $|x|=x$ ，因此

f(x)=\frac12 e^{-x}.

代入矩母函數定義：

\begin{aligned} M_X(t) &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac12e^{-|x|}\,dx\\ &=\frac12\int_{-\infty}^{0}e^{tx}e^x\,dx +\frac12\int_{0}^{\infty}e^{tx}e^{-x}\,dx. \end{aligned}

第一段為

\frac12\int_{-\infty}^{0}e^{(t+1)x}\,dx.

要使此積分收斂，必須有 $t+1>0$ ，即 $t>-1$ 。此時

\frac12\int_{-\infty}^{0}e^{(t+1)x}\,dx =\frac{1}{2(t+1)}.

Question 2

(20%) 2. Let $\phi(z)$, $z \in \mathbb{R}$, be the probability density function of a standard normal random variable. For $x, y \in \mathbb{R}$, the joint probability density function of random variables X and Y is defined by $$f{x,y}(x, y) = \begin{cases} (1+\varepsilon)h(x,y), & 	ext{if } xy \ge 0; \ (1-\varepsilon)h(x,y), & 	ext{if } xy < 0, \end{cases}$$ where $0 < \varepsilon < 1$ is a constant and $h(x,y) = \phi(x)\phi(y)$. Find the marginal probability density function of X.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查聯合機率密度函數求邊際機率密度函數。對隨機變數 $X$ 而言， $$ fX(x)=\int{-\infty}^{\infty}f{X,Y}(x,y)\,dy. $$ 關鍵在於依照 $xy$ 的正負，將 $y$ 的積分區間分段。又因為標準常態密度函數 $\phi$ 關於 $0$ 對稱，所以 $$ \int0^\infty \phi(y)\,dy = \int{-\infty}^0\phi(y)\,dy = \frac12. $$ --- 解題方法 題目給定 $$ h(x,y)=\phi(x)\phi(y). $$ 因此固定 $x$ 後，只需判斷 $y$ 位於正半軸或負半軸時，應使用哪一個係數。 情形一：$x0$ 此時： - $y\ge 0$ 時，$xy\ge 0$； - $y<0$ 時，$xy<0$。 所以 $$ \begin{aligned} fX(x) &=\int{-\infty}^{\infty}f{X,Y}(x,y)\,dy\ &=(1-\varepsilon)\int{-\infty}^{0}\phi(x)\phi(y)\,dy +(1+\varepsilon)\int{0}^{\infty}\phi(x)\phi(y)\,dy\ &=\phi(x)\left[ (1-\varepsilon)\frac12 +(1+\varepsilon)\frac12 ight]\ &=\phi(x). \end{aligned} $$ 情形二：$x<0$ 此時： - $y\le 0$ 時，$xy\ge 0$； - $y0$ 時，$xy<0$。 因此

Question 3

(20%) 3. Let $X1, X2, \dots$ be a sequence of independent and identically distributed random variables with common continuous distribution function $F$. For $n \in \mathbb{N}$, define $$ Yn = \begin{cases} \max\{X1, X2, \dots, Xn\}, & 	ext{if } n = 1; \ X1, & 	ext{if } n \ge 2. \end{cases} $$ Find the limiting distribution of $n(1-F(Yn))$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 依定義判斷隨機變數序列 $Yn$ 的實際形式。 2. 連續分布函數下的機率積分轉換： $$F(X1)\sim \operatorname{Uniform}(0,1).$$ 3. 由累積分布函數判斷極限分布，以及辨認隨機變數是否趨向 $+\infty$。 注意題目中的分段定義：當 $n\ge 2$ 時，$Yn$ 並非前 $n$ 個樣本的最大值，而是固定等於 $X1$。 解題方法 對所有 $n\ge 2$，有 $$ Yn=X1. $$ 因此 $$ n\bigl(1-F(Yn)\bigr) =n\bigl(1-F(X1)\bigr). $$ 因為 $F$ 為連續分布函數，故 $$ U=F(X1)\sim \operatorname{Uniform}(0,1). $$ 於是 $1-U=1-F(X1)$ 也服從均勻分布： $$ 1-F(X1)\sim \operatorname{Uniform}(0,1). $$ 令 $$ Zn=n\bigl(1-F(Yn)\bigr). $$ 對任意有限實數 $x$，當 $x<0$ 時， $$ P(Zn\le x)=0. $$ 當 $x\ge 0$ 且 $nx$ 時， \begin{align} P(Zn\le x) &=P\left(n(1-F(X1))\le xight)\ &=P\left(1-F(X1)\le \frac{x}{n}ight)\ &=\frac{x}{n}, \end{align} 因為 $1-F(X1)$ 在 $(0,1)$ 上均勻分布。因此對每個有限的 $x$， $$ \lim{n	o\infty}P(Zn\le x)=0. $$ 這表示 $Zn$ 的機率質量逐漸移往無窮大；更直接地，對任意 $M0$，

Question 4

(20%) 4. Let $X1, X2, \dots, Xn$ be a random sample from a $N(\mu, \sigma^2)$ population with $-\infty < \mu < \infty$ and $0 < \sigma < \infty$. Define $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n Xi$ and $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum{i=1}^n (Xi - \bar{X})^2$. Suppose that $n \ge 4$. Find the value of $c$ such that $\frac{c X}{\sigma^2}$ is an unbiased estimator of $\frac{\sigma^2}{c}$.

Accepted Answer

核心觀念 題目已定義樣本平均數 $\bar X$ 與樣本變異數 $S^2$，但題目中的 $X$ 未被單獨定義；因此必須依照統計量的期望值判斷是否存在常數 $c$。 無偏估計量的定義為：若估計量 $T$ 用來估計參數 $g(	heta)$，則必須對所有允許的參數值滿足 $$ E	heta(T)=g(	heta). $$ 題目要求 $$ \frac{cX}{\sigma^2} $$ 為 $$ \frac{\sigma^2}{c} $$ 的無偏估計量，因此必須有 $$ E\left(\frac{cX}{\sigma^2}ight)=\frac{\sigma^2}{c}. $$ 解題方法 由期望值的線性性， $$ \frac{c}{\sigma^2}E(X)=\frac{\sigma^2}{c}. $$ 兩邊乘以 $\dfrac{\sigma^2}{c}$，得到 $$ E(X)=\frac{\sigma^4}{c^2}. $$ 然而，題目並未定義 $X$ 是哪一個統計量，因此無法由已知條件求得唯一的 $c$。 若將 $X$ 解讀為樣本中的單一觀察值 $Xi$，則 $$ E(Xi)=\mu, $$ 所以無偏條件變為 $$ \frac{c\mu}{\sigma^2}=\frac{\sigma^2}{c}, $$ 亦即 $$ c^2\mu=\sigma^4. $$ 此結果同時依賴未知參數 $\mu$ 與 $\sigma^2$，不可能得到適用於所有 $\mu,\sigma^2$ 的固定常數 $c$。 若將 $X$ 解讀為 $\bar X$，則 $$ E(\bar X)=\mu, $$ 同樣得到 $$ c^2\mu=\sigma^4, $$ 仍不存在與未知參數無關的固定常數 $c$。 若將 $X$ 解讀為 $S^2$，則 $E(S^2)=\sigma^2$，無偏條件變為

Question 5

(20%) 5. Let $X1, X2, \dots, Xn$ be a random sample from the population with cumulative distribution function $$ F(x) = \begin{cases} 0, & 	ext{if } x < 1; \ \frac{1}{2} - \frac{	heta}{2^2}, & 	ext{if } 1 \le x < 2; \ 1 - \frac{	heta}{2}, & 	ext{if } 2 \le x < 3; \ 1, & 	ext{if } x \ge 3, \end{cases} $$ where $0 < 	heta < 1$. Find the maximum likelihood estimator for $	heta$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 由離散型母體的累積分布函數 $F(x)$ 求各點的機率質量函數。 - 建立樣本的概似函數（likelihood）。 - 以對數概似函數微分，求最大概似估計量（MLE）。 - 注意參數空間為開區間 $0<\theta<1$，邊界值不屬於參數空間。 題目中的 $\dfrac{\theta}{2^2}$ 解讀為 $\dfrac{\theta}{4}$。 --- 由 CDF 求機率質量函數 由 $F(x)=P(X\le x)$ 可得： $$ P(X=1)=F(1)-F(1^-) =\frac12-\frac{\theta}{4} =\frac{2-\theta}{4}. $$ $$ P(X=2)=F(2)-F(2^-) =\left(1-\frac{\theta}{2}\right) -\left(\frac12-\frac{\theta}{4}\right) =\frac12-\frac{\theta}{4} =\frac{2-\theta}{4}. $$ $$ P(X=3)=F(3)-F(3^-) =1-\left(1-\frac{\theta}{2}\right) =\frac{\theta}{2}. $$ 因此， $$ p\theta(x)= \begin{cases} \dfrac{2-\theta}{4}, & x=1,2,\[6pt] \dfrac{\theta}{2}, & x=3,\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 可驗算： $$ \frac{2-\theta}{4}+\frac{2-\theta}{4}+\frac{\theta}{2}=1. $$ --- 解題方法：建立概似函數 令 $$ N3=\sum{i=1}^n I(Xi=3), $$ 表示樣本中等於 $3$ 的觀察值個數。記 $N3=k$，則樣本中有 $k$ 個觀察值等於 $3$，其餘 $n-k$ 個觀察值等於 $1$ 或 $2$。 由於 $X1,\dots,Xn$ 為隨機樣本，概似函數為 $$ L(\theta) =\prod{i=1}^n p\theta(Xi). $$ 忽略與 $\theta$ 無關的常數後， $$ L(\theta) = \left(\frac{2-\theta}{4}\right)^{n-k} \left(\frac{\theta}{2}\right)^k \propto (2-\theta)^{n-k}\theta^k. $$ 因此只需最大化 $$ \ell(\theta) =\log L(\theta) =k\log\theta+(n-k)\log(2-\theta)+C, $$ 其中 $C$ 為與 $\theta$ 無關的常數。 --- 求內部極值點 對 $\theta$ 微分： $$…

111 年國立中正大學數學系應用數學研究所《機率與統計》

第 1 題

核心觀念

解題方法

第 2 題

情形一： $x>0$

情形二： $x<0$

第 3 題

第 4 題

第 5 題

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情形一：x>0x>0x>0

情形二：x<0x<0x<0

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情形一： $x>0$

情形二： $x<0$