111 年 國立中山大學應用數學系碩士班乙組《線性代數》

本題主要考查線性方程組的求解與行列式的計算。

(a) 求解線性方程組 $Ax = b$ 可以透過將矩陣 $A$ 與向量 $b$ 組成增廣矩陣，然後進行列運算（高斯消去法）來求解。

增廣矩陣為

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -2 & 6 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & 2 & 5 & 9 \end{array} \right]$$

進行列運算：
$R_3 \leftarrow R_3 + 4R_1$

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -2 & 6 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 10 & -3 & 33 \end{array} \right]$$

$R_3 \leftarrow R_3 - 10R_2$

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -2 & 6 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -33 & 33 \end{array} \right]$$

從最後一行得到 $-33x_3 = 33$，所以 $x_3 = -1$。
從第二行得到 $x_2 + 3x_3 = 0$，代入 $x_3 = -1$ 得到 $x_2 + 3(-1) = 0$，所以 $x_2 = 3$。

本題主要考查線性轉換的矩陣表示以及基底變換下的矩陣表示。

(a) 要找到一個矩陣 $A$ 使得 $L(x) = Ax$，我們可以將線性轉換 $L$ 的作用寫成矩陣乘法的形式。標準方法是計算 $L$ 在標準基底下的矩陣。令 $e_1 = [1,0,0]^T$, $e_2 = [0,1,0]^T$, $e_3 = [0,0,1]^T$。
$L(e_1) = \begin{bmatrix} -2(0) + 2(0) \\ 1 + 0 + 3(0) \\ 5(1) - 4(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}$
$L(e_2) = \begin{bmatrix} -2(1) + 2(0) \\ 0 + 1 + 3(0) \\ 5(0) - 4(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$L(e_3) = \begin{bmatrix} -2(0) + 2(1) \\ 0 + 0 + 3(1) \\ 5(0) - 4(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix}$
因此，矩陣 $A$ 的行向量就是 $L(e_1), L(e_2), L(e_3)$。

$$A = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & -4 \end{bmatrix}$$

驗證：

$$Ax = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2x_2 + 2x_3 \\ x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 5x_1 - 4x_3 \end{bmatrix} = L(x)$$

(b) 我們需要找到線性轉換 $L$ 相對於基底 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ 的矩陣表示 $[L]_\beta$，其中 $\mathbf{v}_1 = [1,0, 1]^T$, $\mathbf{v}_2 = [1, 1, 0]^T$, $\mathbf{v}_3 = [1, 1, 1]^T$。
矩陣表示的每一欄是由基底向量在 $L$ 下的像，用基底 $\beta$ 的座標表示。
首先，我們計算 $L(\mathbf{v}_1)$, $L(\mathbf{v}_2)$, $L(\mathbf{v}_3)$。
$L(\mathbf{v}_1) = L([1,0, 1]^T) = \begin{bmatrix} -2(0) + 2(1) \\ 1 + 0 + 3(1) \\ 5(1) - 4(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$
$L(\mathbf{v}_2) = L([1,1, 0]^T) = \begin{bmatrix} -2(1) + 2(0) \\ 1 + 1 + 3(0) \\ 5(1) - 4(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}$
$L(\mathbf{v}_3) = L([1,1, 1]^T) = \begin{bmatrix} -2(1) + 2(1) \\ 1 + 1 + 3(1) \\ 5(1) - 4(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

接下來，我們需要將這些向量用基底 $\beta$ 來表示。也就是說，我們要找到係數 $c_{ij}$ 使得 $L(\mathbf{v}_j) = c_{1j}\mathbf{v}_1 + c_{2j}\mathbf{v}_2 + c_{3j}\mathbf{v}_3$。這相當於解以下三個線性方程組：

1. 求解 $c_{11}, c_{21}, c_{31}$ 使得 $c_{11}\mathbf{v}_1 + c_{21}\mathbf{v}_2 + c_{31}\mathbf{v}_3 = L(\mathbf{v}_1) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{31} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 進行列運算： $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_1} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right]$$

本題考查投影矩陣的計算，特別是投影到一個平面上的情況。

一個平面 $ax + by + cz = 0$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中可以表示為 $n \cdot x = 0$，其中 $n = [a, b, c]^T$ 是平面的法向量。
對於給定的平面 $2x - y + 3z = 0$，其法向量為 $n = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$。

投影到一個子空間 $W$ 的投影矩陣 $P$ 可以透過以下方式計算：

1. 找到 $W$ 的一組基底 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k\}$。
2. 令 $V$ 為一個矩陣，其行向量為基底向量，即 $V = [\mathbf{v}_1 \ \mathbf{v}_2 \ \dots \ \mathbf{v}_k]$。
3. 投影矩陣為 $P = V(V^T V)^{-1} V^T$。

然而，對於投影到通過原點的平面，我們有另一種更直接的方法。
投影矩陣 $P$ 的性質是 $P^2 = P$ 且 $P^T = P$ (如果投影到子空間，且子空間的基底是標準正交基)。
對於投影到通過原點的平面 $W$，其法向量為 $n$，則投影矩陣 $P$ 可以表示為

$$P = I - \frac{nn^T}{n^T n}$$

其中 $I$ 是單位矩陣， $n^T n$ 是法向量的平方和。

在這裡， $n = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$。
計算 $n n^T$:

$$n n^T = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \\ 6 & -3 & 9 \end{bmatrix}$$

計算 $n^T n$:

$$n^T n = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} = (2)(2) + (-1)(-1) + (3)(3) = 4 + 1 + 9 = 14$$

所以，投影矩陣 $P$ 為：

$$P = I - \frac{1}{14} n n^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \\ 6 & -3 & 9 \end{bmatrix}$$ $$P = \begin{bmatrix} 1 - \frac{4}{14} & 0 - \frac{-2}{14} & 0 - \frac{6}{14} \\ 0 - \frac{-2}{14} & 1 - \frac{1}{14} & 0 - \frac{-3}{14} \\ 0 - \frac{6}{14} & 0 - \frac{-3}{14} & 1 - \frac{9}{14} \end{bmatrix}$$

本題考查最小平方法，目標是找到一條直線 $y = mx + c$ 來最佳地擬合給定的數據點。

給定的數據點為 $(-2, -1), (-1, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2)$。
我們希望找到斜率 $m$ 和截距 $c$ 使得誤差平方和最小。
對於每個點 $(x_i, y_i)$，我們希望 $y_i \approx mx_i + c$。
誤差平方和為 $S = \sum_{i=1}^5 (y_i - (mx_i + c))^2$。

為了最小化 $S$，我們對 $m$ 和 $c$ 分別取偏導數並令其為零：
$\frac{\partial S}{\partial m} = \sum 2(y_i - mx_i - c)(-x_i) = 0 \implies \sum (y_i - mx_i - c)x_i = 0 \implies \sum y_i x_i - m \sum x_i^2 - c \sum x_i = 0$
$\frac{\partial S}{\partial c} = \sum 2(y_i - mx_i - c)(-1) = 0 \implies \sum (y_i - mx_i - c) = 0 \implies \sum y_i - m \sum x_i - nc = 0$ (其中 $n=5$ 是數據點的數量)

我們需要計算以下總和：
$\sum x_i = -2 + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0$
$\sum y_i = -1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 6$
$\sum x_i^2 = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$
$\sum x_i y_i = (-2)(-1) + (-1)(1) + (0)(2) + (1)(2) + (2)(2) = 2 - 1 + 0 + 2 + 4 = 7$

將這些值代入上述兩個方程：

1. $7 - m(10) - c(0) = 0 \implies 10m = 7 \implies m = \frac{7}{10}$
2. $6 - m(0) - 5c = 0 \implies 5c = 6 \implies c = \frac{6}{5}$

因此，最佳擬合的線性函數為 $y = \frac{7}{10}x + \frac{6}{5}$。

本題主要考查矩陣的對角化、特徵多項式、最小多項式、特徵值以及 Jordan 標準型的概念。

首先，我們需要找到矩陣 $A$ 的特徵值。
特徵多項式為 $\det(A - \lambda I) = 0$。

$$\det \begin{bmatrix} 10-\lambda & -9 \\ 9 & -8-\lambda \end{bmatrix} = (10-\lambda)(-8-\lambda) - (-9)(9) = -80 - 10\lambda + 8\lambda + \lambda^2 + 81 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda-1)^2$$

特徵值為 $\lambda = 1$ (重根)。

(a) 判斷矩陣 $A$ 是否可對角化。
矩陣 $A$ 可對角化的充要條件是：對於每一個特徵值 $\lambda$，其代數重數等於幾何重數。
在這裡，特徵值 $\lambda=1$ 的代數重數是 2。
我們需要計算 $\lambda=1$ 的幾何重數，即 $nullity(A - 1I)$。
$A - 1I = \begin{bmatrix} 10-1 & -9 \\ 9 & -8-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ 9 & -9 \end{bmatrix}$
$nullity(A - 1I) = dim(nullspace(A - 1I))$。
觀察矩陣 $A-1I$，它的秩 (rank) 是 1 (因為兩列是線性相關的)。
根據秩－零度定理， $rank(A-1I) + nullity(A-1I) = 2$ (矩陣的維度)。
所以，$1 + nullity(A-1I) = 2$，則 $nullity(A-1I) = 1$。
幾何重數是 1，而代數重數是 2。由於代數重數 $\neq$ 幾何重數，所以矩陣 $A$ 不可對角化。

(b) 尋找 $A^{20}$ 的特徵多項式。
如果 $A$ 的特徵值是 $\lambda_i$，那麼 $A^k$ 的特徵值是 $\lambda_i^k$。
由於 $A$ 的特徵值是 $\lambda = 1$ (重根)，那麼 $A^{20}$ 的特徵值也是 $1^{20} = 1$ (重根)。
對於一個 $n \times n$ 矩陣，其特徵多項式是 $(-1)^n \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)$。
在這裡，$n=2$，特徵值是 1, 1。
所以 $A^{20}$ 的特徵多項式是 $(\lambda - 1)(\lambda - 1) = (\lambda-1)^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1$。

(c) 尋找 $A^{22}$ 的特徵值。
同 (b) 的論述， $A^{22}$ 的特徵值是 $1^{22} = 1$。
由於 $A$ 的特徵值是 1 (代數重數 2)， $A^{22}$ 的特徵值也是 1 (代數重數 2)。
【答案】特徵值為 1, 1。

(d) 尋找 $A$ 的最小多項式。
因為 $A$ 不可對角化，且其特徵值只有一個 $\lambda=1$，最小多項式必定是 $(\lambda-1)^k$ 的形式，其中 $k$ 是該特徵值的最大代數重數（在這裡是 2）。
最小多項式 $m_A(\lambda)$ 必定整除特徵多項式 $p_A(\lambda) = (\lambda-1)^2$。
由於 $A$ 的代數重數是 2，幾何重數是 1，所以 $A-I \neq 0$。

本題考查矩陣乘法與向量空間的性質，特別是列向量的線性獨立性以及列空間的子空間關係。

(a) 證明：如果 $A$ 和 $B$ 的列向量都線性獨立，則 $C=AB$ 的列向量也線性獨立。

首先，理解「列向量線性獨立」的含義。
對於一個 $m \times n$ 矩陣 $A$，如果其 $n$ 個列向量是線性獨立的，這意味著：

1. $A$ 的秩 (rank) 是 $n$。
2. $Ax = 0$ 的唯一解是 $x=0$。
3. $A$ 的零空間 (null space) 只包含零向量，即 $nullity(A) = 0$。

假設 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，$B$ 是 $n \times p$ 矩陣。
已知 $A$ 的列向量線性獨立，所以 $rank(A) = n$。
已知 $B$ 的列向量線性獨立。這意味著 $B$ 是 $n \times p$ 矩陣，且其 $p$ 個列向量線性獨立。這要求 $rank(B) = p$。
又因為 $B$ 是 $n \times p$ 矩陣，且其 $p$ 個列向量線性獨立，所以 $p \le n$。

我們需要證明 $C=AB$ 的列向量是線性獨立的。
$C$ 是 $m \times p$ 矩陣。其列向量線性獨立意味著 $rank(C) = p$。
我們知道，對於矩陣乘法 $AB$，其秩滿足 $\text{rank}(AB) \le \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))$。
然而，我們需要證明的是 $rank(C) = p$。

考慮方程 $Cx = 0$，其中 $x \in \mathbb{R}^p$。
$ABx = 0$。
令 $y = Bx \in \mathbb{R}^n$。則 $Ay = 0$。
因為 $A$ 的列向量線性獨立，所以 $Ax=0$ 的唯一解是 $x=0$。因此，$y=0$。
所以，$Bx = 0$。
因為 $B$ 的列向量線性獨立，所以 $Bx=0$ 的唯一解是 $x=0$。
這表明 $Cx = 0$ 的唯一解是 $x=0$。
因此，$C$ 的列向量是線性獨立的。
這也意味著 $rank(C) = p$。

【證明】
假設 $A$ 的列向量線性獨立，則 $rank(A) = n$。
假設 $B$ 的列向量線性獨立，則 $rank(B) = p$。
我們需要證明 $C = AB$ 的列向量線性獨立，這等價於證明 $rank(C) = p$。
考慮齊次方程組 $Cx = 0$，即 $ABx = 0$，其中 $x \in \mathbb{R}^p$。