109 年 國立中山大學應用數學系碩士班乙組《線性代數》

本題考查矩陣的逆矩陣存在性與特徵值的關係。
核心觀念：一個矩陣 $M$ 的逆矩陣 $M^{-1}$ 存在，若且唯若 $M$ 的行列式不為零，或者說 $0$ 不是 $M$ 的特徵值。
我們需要證明 $I-A$ 的逆矩陣存在，這等價於證明 $0$ 不是 $I-A$ 的特徵值。
假設 $\lambda$ 是 $A$ 的一個特徵值，則 $1-\lambda$ 是 $I-A$ 的一個特徵值。
題目給定 $A$ 的所有特徵值（設為 $\lambda_i$）的絕對值都小於 1，即 $|\lambda_i| < 1$ 對於所有 $i=1, \dots, n$。
我們要證明 $I-A$ 的逆矩陣存在，也就是證明 $0$ 不是 $I-A$ 的特徵值。
考慮 $I-A$ 的特徵值。如果 $I-A$ 有一個特徵值為 $0$，則存在非零向量 $x$ 使得 $(I-A)x = 0x = 0$。
這意味著 $Ix = Ax$，即 $x = Ax$。
這表示 $A$ 有一個特徵值為 $1$（對應特徵向量 $x$）。

本題要求計算給定矩陣的 Jordan 標準型。
核心觀念：計算矩陣的特徵值、特徵向量，並判斷其代數重數與幾何重數，以確定 Jordan 區塊的結構。

步驟 1：計算特徵值。
特徵值 $\lambda$ 滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$。
$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ -1 & 4-\lambda & 0 \\ -1 & 3 & 1-\lambda \end{pmatrix}$
計算行列式：
$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ -1 & 4-\lambda \end{pmatrix}$
$= (1-\lambda) [(2-\lambda)(4-\lambda) - (1)(-1)]$
$= (1-\lambda) [8 - 2\lambda - 4\lambda + \lambda^2 + 1]$
$= (1-\lambda) [\lambda^2 - 6\lambda + 9]$
$= (1-\lambda) (\lambda - 3)^2$
特徵值為 $\lambda_1 = 1$ (代數重數 1) 和 $\lambda_2 = 3$ (代數重數 2)。

步驟 2：計算特徵向量。

對於 $\lambda_1 = 1$:
$A - 1I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$
$(A - I)x = 0 \implies \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
從第一列 $x_1 + x_2 = 0 \implies x_1 = -x_2$。
從第二列 $-x_1 + 3x_2 = 0 \implies -(-x_2) + 3x_2 = 0 \implies 4x_2 = 0 \implies x_2 = 0$。
所以 $x_1 = 0$。
$x_3$ 可以是任意值。
特徵向量為 $v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$（取 $x_3=1$）。
幾何重數為 1，與代數重數相同。

對於 $\lambda_2 = 3$:
$A - 3I = \begin{pmatrix} 2-3 & 1 & 0 \\ -1 & 4-3 & 0 \\ -1 & 3 & 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$
$(A - 3I)x = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
從第一列 $-x_1 + x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$。
從第三列 $-x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 0$。
代入 $x_1 = x_2$: $-x_2 + 3x_2 - 2x_3 = 0 \implies 2x_2 - 2x_3 = 0 \implies x_2 = x_3$。
所以 $x_1 = x_2 = x_3$。

核心觀念

本題考查「相似矩陣具有相同特徵值」：

若存在可逆矩陣 $P$，使得

則稱 $C$ 與 $D$ 相似，且兩者具有相同的特徵多項式與特徵值。

題目中 $B$ 為非奇異矩陣，因此 $B$ 可逆。關鍵在於證明 $BA$ 是 $AB$ 的相似矩陣。

解題方法

由 $B$ 可逆，可考慮以 $B$ 作為相似轉換矩陣：

因此，

表示 $BA$ 與 $AB$ 相似。

根據相似矩陣的性質，兩者具有相同的特徵多項式：

利用行列式的乘法性質，

本題要求計算將向量投影到一個平面上的投影矩陣。
核心觀念：投影矩陣的性質，平面法向量，向量投影公式。

設平面為 $P$。平面的方程為 $2x - y - z = 0$。
這個平面的法向量是 $n = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
投影到平面 $P$ 上的投影矩陣 $P$ 滿足：對於任意向量 $v$， $Pv$ 是 $v$ 在平面 $P$ 上的投影。
投影到平面 $P$ 等價於先投影到法向量 $n$ 的補空間（即平面 $P$），然後再投影到法向量 $n$。
投影到法向量 $n$ 上的投影矩陣是 $P_n = \frac{n n^T}{n^T n}$。
投影到平面 $P$ 上的投影矩陣 $P_P$ 可以表示為 $P_P = I - P_n$。

步驟 1：計算 $n^T n$。
$n^T n = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = (2)(2) + (-1)(-1) + (-1)(-1) = 4 + 1 + 1 = 6$

步驟 2：計算 $n n^T$。
$n n^T = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

步驟 3：計算投影矩陣 $P_n$。
$P_n = \frac{n n^T}{n^T n} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & -1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 1/6 & 1/6 \\ -1/3 & 1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$

步驟 4：計算投影矩陣 $P_P = I - P_n$。
$P_P = I - P_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2/3 & -1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 1/6 & 1/6 \\ -1/3 & 1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$
$P_P = \begin{pmatrix} 1 - 2/3 & 0 - (-1/3) & 0 - (-1/3) \\ 0 - (-1/3) & 1 - 1/6 & 0 - 1/6 \\ 0 - (-1/3) & 0 - 1/6 & 1 - 1/6 \end{pmatrix}$
$P_P = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 5/6 & -1/6 \\ 1/3 & -1/6 & 5/6 \end{pmatrix}$

驗證：

1. $P_P$ 應該是對稱矩陣。是的。
2. $P_P^2 = P_P$。
   $P_P^2 = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 5/6 & -1/6 \\ 1/3 & -1/6 & 5/6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 5/6 & -1/6 \\ 1/3 & -1/6 & 5/6 \end{pmatrix}$
   第一列第一行：$(1/3)(1/3) + (1/3)(1/3) + (1/3)(1/3) = 1/9 + 1/9 + 1/9 = 3/9 = 1/3$.
   第一列第二行：$(1/3)(1/3) + (1/3)(5/6) + (1/3)(-1/6) = 1/9 + 5/18 - 1/18 = 2/18 + 4/18 = 6/18 = 1/3$.
   第一列第三行：$(1/3)(1/3) + (1/3)(-1/6) + (1/3)(5/6) = 1/9 - 1/18 + 5/18 = 2/18 + 4/18 = 6/18 = 1/3$.
   第二列第一行：$(1/3)(1/3) + (5/6)(1/3) + (-1/6)(1/3) = 1/9 + 5/18 - 1/18 = 2/18 + 4/18 = 6/18 = 1/3$.
   第二列第二行：$(1/3)(1/3) + (5/6)(5/6) + (-1/6)(-1/6) = 1/9 + 25/36 + 1/36 = 4/36 + 26/36 = 30/36 = 5/6$.
   第二列第三行：$(1/3)(1/3) + (5/6)(-1/6) + (-1/6)(5/6) = 1/9 - 5/36 - 5/36 = 4/36 - 10/36 = -6/36 = -1/6$.
   第三列第一行：$(1/3)(1/3) + (-1/6)(1/3) + (5/6)(1/3) = 1/9 - 1/18 + 5/18 = 2/18 + 4/18 = 6/18 = 1/3$.
   第三列第二行：$(1/3)(1/3) + (-1/6)(5/6) + (5/6)(-1/6) = 1/9 - 5/36 - 5/36 = 4/36 - 10/36 = -6/36 = -1/6$.
   第三列第三行：$(1/3)(1/3) + (-1/6)(-1/6) + (5/6)(5/6) = 1/9 + 1/36 + 25/36 = 4/36 + 26/36 = 30/36 = 5/6$.

核心觀念

本題考查線性算子矩陣的表示法，以及不同有序基底之間的相似變換。

若有序基底為 $\mathcal B=[v_1,v_2,v_3]$，線性算子 $L$ 的表示矩陣，其第 $j$ 欄就是 $L(v_j)$ 在基底 $\mathcal B$ 下的座標。

若 $\mathcal E=[1,x,x^2]$ 為標準基底，$\mathcal B=[1,2x,x^2+2x]$ 為另一組基底，令 $S$ 的各欄為 $\mathcal B$ 中向量在 $\mathcal E$ 下的座標，則

解題方法

任取

則

代入算子定義：

因此

特別地，

(a) 求基底 $[1,x,x^2]$ 下的矩陣 $A$

令

將各個基底向量經 $L$ 作用後，寫成 $\mathcal E$ 下的座標：

因此矩陣的三個欄向量依序為上述座標：

(b) 求基底 $[1,2x,x^2+2x]$ 下的矩陣 $B$

令

逐一計算：

第一個基底向量

所以

第二個基底向量

由線性性，

所以

第三個基底向量

將其表示成 $\mathcal B$ 的線性組合：

比較係數得

且

核心觀念

本題考查四個重點：

1. $\operatorname{range}(A^T)$ 等於 $A$ 的列空間（row space）。
2. 可用 Gram–Schmidt 正交化法，將列空間的一組基底轉成正交規一基底。
3. $\operatorname{null}(A)$ 為齊次方程組 $Ax=0$ 的解集合。
4. 矩陣的 $2$-範數（spectral norm）為最大奇異值：
   $\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}=\sqrt{\lambda_{\max}(AA^T)}.$

題目給定

(a) $\operatorname{range}(A^T)$ 的正交規一基底

因為 $\operatorname{range}(A^T)$ 等於 $A$ 的列空間，取 $A$ 的非重複列向量

由於第三列與第二列相同，且 $r_1,r_2$ 線性獨立，因此它們構成列空間的一組基底。

第一步：規一化第一個向量

為簡化計算，將 $r_2$ 約去公因數 $3$，取

其長度為

因此

第二步：對 $r_1$ 作正交化

先計算投影：

其中

故

取正交分量

得到

因此可直接取方向向量 $(1,8,10)$。其長度為

故

檢查正交性：

上述結果顯示取向量 $(1,8,10)$ 並未與 $(2,1,0)$ 正交；原因是正交化計算中的比例化簡需修正。正確計算為

為避免分數，取其倍數方向向量

其長度為

因此

此時

確實正交。

所以 $\operatorname{range}(A^T)$ 的一組正交規一基底為

(b) $\operatorname{null}(A)$ 的正交規一基底