113 年 國立中山大學應用數學系碩士班丙組《線性代數》

題目資料說明

題目第一列在排版上少了一個元素；為使矩陣成為 $3\times 5$ 矩陣，以下依照其餘兩列的結構，採用

$$A= \begin{pmatrix} 1&4&4&3&25\\ -1&-4&-4&-3&-20\\ -4&-16&-16&-11&-75 \end{pmatrix}.$$

核心觀念

對矩陣 $A$：

• $\operatorname{Row}(A)$ 由 $A$ 的所有列向量所張成。

• $\operatorname{Col}(A)$ 由 $A$ 的所有行向量所張成。

• $\operatorname{ker}(A)$ 為齊次方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解集合。

• 列空間與行空間的維度都等於矩陣的秩：

  $\dim\operatorname{Row}(A)=\dim\operatorname{Col}(A)=\operatorname{rank}(A).$

• 若 $A$ 是 $m\times n$ 矩陣，則秩－零度定理為

  $\dim\operatorname{ker}(A)+\operatorname{rank}(A)=n.$

解題方法：列運算化為列最簡形

先對 $A$ 進行列運算：

$$R_2\leftarrow R_2+R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3+4R_1.$$

得到

$$\begin{pmatrix} 1&4&4&3&25\\ 0&0&0&0&5\\ 0&0&0&1&25 \end{pmatrix}.$$

交換第二、三列：

$$\begin{pmatrix} 1&4&4&3&25\\ 0&0&0&1&25\\ 0&0&0&0&5 \end{pmatrix}.$$

將第三列除以 $5$：

$$\begin{pmatrix} 1&4&4&3&25\\ 0&0&0&1&25\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

消去第一列與第二列的第五欄：

$$R_1\leftarrow R_1-25R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-25R_3,$$

可得列最簡形

$$\operatorname{rref}(A)= \begin{pmatrix} 1&4&4&3&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

主元欄為第 $1$、$4$、$5$ 欄，因此

$$\operatorname{rank}(A)=3.$$

列空間 $\operatorname{Row}(A)$ 的基底

列運算不改變列空間，因此列最簡形的非零列可以作為列空間的一組基底：

$$\operatorname{Row}(A) = \operatorname{span} \left\{ (1,4,4,3,0),\, (0,0,0,1,0),\, (0,0,0,0,1) \right\}.$$

所以，一組基底為

$$\boxed{ \left\{ (1,4,4,3,0),\, (0,0,0,1,0),\, (0,0,0,0,1) \right\} }$$

且

$$\boxed{\dim\operatorname{Row}(A)=3}.$$

行空間 $\operatorname{Col}(A)$ 的基底

行運算會改變原矩陣的行向量，因此不能直接使用列最簡形的行。應取原矩陣中對應主元欄的行向量，即第 $1$、$4$、$5$ 欄：

$$\mathbf{c}_1= \begin{pmatrix} 1\\-1\\-4 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{c}_4= \begin{pmatrix} 3\\-3\\-11 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{c}_5= \begin{pmatrix} 25\\-20\\-75 \end{pmatrix}.$$

因此

核心觀念

本題考查：

1. 線性轉換的矩陣表示法：矩陣的第 $j$ 欄，是線性轉換作用在第 $j$ 個基底向量後，相對於指定基底的座標。
2. 矩陣空間的標準基底： $$\mathcal{B}=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}.$$
3. 核心 $\ker(f)$ 的求法：找出所有滿足 $f(X)=0$ 的矩陣。
4. 秩—零度定理： $$\dim(\ker f)+\operatorname{rank}(f)=\dim(R^{2\times 2})=4.$$

解題方法

令

$$X= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}, \qquad J= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}.$$

先計算左乘 $J$：

$$JX= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c&b+d\\ a+c&b+d \end{pmatrix}.$$

再右乘 $J$：

$$JXJ= \begin{pmatrix} a+c&b+d\\ a+c&b+d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}.$$

因此

$$f(X)=JXJ = \begin{pmatrix} a+b+c+d&a+b+c+d\\ a+b+c+d&a+b+c+d \end{pmatrix}.$$

也就是

$$f(X)=(a+b+c+d) \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}.$$

求矩陣表示

依序計算 $f$ 作用在基底 $\mathcal{B}$ 上的結果。

由於 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 中，每一個矩陣的四個元素總和皆為 $1$，所以

$$f(E_{11})=f(E_{12})=f(E_{21})=f(E_{22})=J.$$

又因為

$$J=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22},$$

故每個 $f(E_{ij})$ 相對於基底 $\mathcal{B}$ 的座標皆為

$$[f(E_{ij})]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

矩陣表示的第 $j$ 欄為 $f$ 作用在第 $j$ 個基底向量後的座標，因此

$$[f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1 \end{pmatrix}.$$

若以座標向量表示

$$[X]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix},$$

則

核心觀念

矩陣 $A_{p,q}$ 的非零作用只取決於兩側向量各自的分量總和，因此可將空間分成「常數向量張成的二維子空間」與「兩側分量總和皆為零的子空間」。前者決定非零特徵值，後者對應特徵值 $0$。

解題方法

將向量寫成 $z=(x;y)$，其中 $x\in\mathbb{R}^p$、$y\in\mathbb{R}^q$。由全 $1$ 矩陣的作用方式，

$$A_{p,q} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left(\sum_{j=1}^{q}y_j\right)\mathbf{1}_p\\ \left(\sum_{i=1}^{p}x_i\right)\mathbf{1}_q \end{pmatrix},$$

其中 $\mathbf{1}_p$ 與 $\mathbf{1}_q$ 分別表示長度為 $p$、$q$ 的全 $1$ 向量。

先考慮二維子空間 $\operatorname{span}\{u,v\}$，其中

$$u= \begin{pmatrix} \mathbf{1}_p\\0 \end{pmatrix}, \qquad v= \begin{pmatrix} 0\\\mathbf{1}_q \end{pmatrix}.$$

因為 $A_{p,q}u=pv$ 且 $A_{p,q}v=qu$，所以在基底 $\{u,v\}$ 下，$A_{p,q}$ 的表示矩陣為

$$\begin{pmatrix} 0&q\\ p&0 \end{pmatrix}.$$

其特徵方程為

本題要求解一個二階常係數線性齊次微分方程組。

我們可以將該微分方程組寫成矩陣形式：

$$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

令 $\mathbf{z} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 且 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。則方程變為 $\dot{\mathbf{z}} = A \mathbf{z}$。
此類方程的解為 $\mathbf{z}(t) = e^{At} \mathbf{z}(0)$，其中 $e^{At}$ 可以通過計算矩陣 $A$ 的特徵值和特徵向量來得到。

首先，計算矩陣 $A$ 的特徵值：
$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1^2 = (2-\lambda-1)(2-\lambda+1) = (1-\lambda)(3-\lambda)$。
特徵值為 $\lambda_1 = 1$ 和 $\lambda_2 = 3$。

接下來，計算對應於每個特徵值的特徵向量。

對於 $\lambda_1 = 1$:
$(A - 1I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$
$\begin{pmatrix} 2-1 & 1 \\ 1 & 2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$v_{11} + v_{12} = 0 \implies v_{12} = -v_{11}$。
令 $v_{11} = 1$，則 $v_{12} = -1$。
特徵向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

對於 $\lambda_2 = 3$:
$(A - 3I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$

核心觀念

題目最後的數學式未顯示；以下依通常題意，證明存在一組基底 $\mathcal B$，使得對任意 $x,y\in\mathbb R^n$，

$$\langle x,y\rangle=[x]_{\mathcal B}^{T}[y]_{\mathcal B}.$$

關鍵觀念是：

• 內積空間一定存在正交規範基底。
• 若 $\mathcal B=(u_1,\dots,u_n)$ 是正交規範基底，則
  $\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij},$
  其中 $\delta_{ij}$ 是 Kronecker delta。
• 相對於正交規範基底，內積就是座標向量的標準點積。

---

解題方法

先在 $\mathbb R^n$ 中任取一組基底

$$\mathcal A=(v_1,\dots,v_n).$$

由於 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 是 $\mathbb R^n$ 上的內積，可對 $\mathcal A$ 施行 Gram–Schmidt 正交化，再將所得的每個非零向量單位化，得到一組正交規範基底

$$\mathcal B=(u_1,\dots,u_n).$$

因此滿足

$$\langle u_i,u_j\rangle= \begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\ne j. \end{cases}$$

任取 $x,y\in\mathbb R^n$。因為 $\mathcal B$ 是基底，存在唯一的座標表示

$$x=a_1u_1+\cdots+a_nu_n,$$ $$y=b_1u_1+\cdots+b_nu_n.$$

所以

$$[x]_{\mathcal B} = \begin{bmatrix} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix}, \qquad [y]_{\mathcal B} = \begin{bmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_n \end{bmatrix}.$$

利用內積的雙線性，