113 年 國立中山大學應用數學系碩士班丙組《高等微積分》

本題主要在考驗 $\epsilon - \delta$ 定義的理解與應用。我們要證明當 $x$ 趨近於 1 時，$x^2+2x$ 的極限是 3。

核心觀念：
$\epsilon - \delta$ 定義極限：$\lim_{x \to c} f(x) = L$ 表示對於任意給定的 $\epsilon > 0$，都存在一個 $\delta > 0$，使得當 $0 < |x-c| < \delta$ 時，就有 $|f(x) - L| < \epsilon$。

解題過程：
我們要證明 $\lim_{x \to 1} (x^2 + 2x) = 3$。
根據定義，對於任意給定的 $\epsilon > 0$，我們需要找到一個 $\delta > 0$，使得當 $0 < |x-1| < \delta$ 時，就有 $|(x^2 + 2x) - 3| < \epsilon$。

首先，我們分析 $|(x^2 + 2x) - 3|$：
$|(x^2 + 2x) - 3| = |x^2 + 2x - 3|$
我們可以對這個二次式進行因式分解：
$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$
所以，我們需要 $|(x+3)(x-1)| < \epsilon$。
這等價於 $|x+3| |x-1| < \epsilon$。

我們知道 $|x-1|$ 會趨近於 0，而 $|x+3|$ 則會趨近於 $|1+3| = 4$。
為了確保 $|(x+3)(x-1)| < \epsilon$，我們需要限制 $|x+3|$ 的範圍。
假設我們限制 $\delta \le 1$。
如果 $|x-1| < \delta \le 1$，那麼 $-1 < x-1 < 1$，這意味著 $0 < x < 2$。
在此範圍內，我們可以估計 $|x+3|$：
$0+3 < x+3 < 2+3$
$3 < x+3 < 5$
因此，我們可以取 $|x+3| < 5$。

本題在考驗對 Riemann 可積性的理解，特別是哪些函數無法被 Riemann 積分。

核心觀念：
一個有界函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上是 Riemann 可積的，若且唯若其不連續點的集合的測度為零。換句話說，如果一個函數在區間上存在「太多」的不連續點，它就不是 Riemann 可積的。

解題過程：
我們要找一個在閉區間 $[0, 1]$ 上不可積的函數。一個經典的例子是 Dirichlet 函數。

例子：Dirichlet 函數
定義函數 $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ 如下：
$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x \in \mathbb{Q} \cap [0, 1] \\ 0 & \text{if } x \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cap [0, 1] \end{cases}$
也就是說，如果 $x$ 是有理數，則 $f(x)=1$；如果 $x$ 是無理數，則 $f(x)=0$。

論證：
我們需要證明這個函數 $f$ 在 $[0, 1]$ 上不是 Riemann 可積的。
根據 Riemann 可積的條件，一個有界函數在閉區間上可積，若且唯若其不連續點的集合測度為零。

首先，我們確認 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上是有界的，因為它的值域只包含 0 和 1。

接下來，我們分析 $f(x)$ 的不連續點。
考慮區間 $[0, 1]$ 中的任意一點 $c$。
我們需要檢查 $\lim_{x \to c} f(x)$ 是否存在且等於 $f(c)$。

1. 如果 $c$ 是有理數 ($c \in \mathbb{Q} \cap [0, 1]$)：
   則 $f(c) = 1$。
   在 $c$ 的任意鄰域內，都存在無理數 $x$。對於這些無理數 $x$，我們有 $f(x) = 0$。
   因此，在 $c$ 的任意鄰域內，函數值在 0 和 1 之間跳躍。
   這意味著 $\lim_{x \to c} f(x)$ 不存在。
   所以，所有有理數點都是 $f$ 的不連續點。

2. 如果 $c$ 是無理數 ($c \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cap [0, 1]$)：
   則 $f(c) = 0$。
   在 $c$ 的任意鄰域內，都存在有理數 $x$。對於這些有理數 $x$，我們有 $f(x) = 1$。
   因此，在 $c$ 的任意鄰域內，函數值在 0 和 1 之間跳躍。
   這意味著 $\lim_{x \to c} f(x)$ 不存在。

核心觀念

本題考查函數列的：

1. 逐點收斂：對每個固定的 $x$，判斷 $f_n(x)$ 是否有極限。
2. 一致收斂：是否存在函數 $f$，使得
   $\sup_{x\in[0.5,1.5]}|f_n(x)-f(x)|\to 0.$
3. 一致收斂的必要條件：若每個 $f_n$ 皆連續，且 $f_n$ 在區間上一致收斂，則極限函數必連續。

其中

$$f_n(x)=\frac{x^n}{x^n+1}.$$

解題方法：先求逐點極限

依據 $x$ 與 $1$ 的大小分三種情況討論。

情況一：$0.5\le x<1$

因為 $0<x<1$，所以

$$x^n\to 0.$$

因此

$$\lim_{n\to\infty}f_n(x) =\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{x^n+1} =0.$$

情況二：$x=1$

此時

$$f_n(1)=\frac{1^n}{1^n+1}=\frac12,$$

所以

$$\lim_{n\to\infty}f_n(1)=\frac12.$$

情況三：$1<x\le 1.5$

因為 $x>1$，所以 $x^n\to\infty$。將分子分母同除以 $x^n$，得

$$f_n(x) =\frac{1}{1+x^{-n}}.$$

由於 $x^{-n}\to 0$，因此

$$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=1.$$

故逐點極限函數為

$$f(x)= \begin{cases} 0, & 0.5\le x<1,\\[4pt] \dfrac12, & x=1,\\[4pt] 1, & 1<x\le 1.5. \end{cases}$$

判斷一致收斂性

對每個 $n$，函數

$$f_n(x)=\frac{x^n}{x^n+1}$$

在 $[0.5,1.5]$ 上皆連續，因為 $x^n+1>0$。

但其逐點極限函數 $f$ 在 $x=1$ 不連續：

$$\lim_{x\to1^-}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=1, \qquad f(1)=\frac12.$$

核心觀念

本題考查「局部可逆」與逆函數定理。若 $G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 在點 $(x_0,y_0)$ 可微，且其 Jacobian 矩陣滿秩，即

$$\det DG(x_0,y_0)\neq 0,$$

則由逆函數定理，$G$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某個鄰域內具有可微局部反函數。

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解題方法

給定

$$G(x,y)=(x\cos y,x\sin y),$$

其 Jacobian 矩陣為

$$DG(x,y) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x}(x\cos y) & \dfrac{\partial}{\partial y}(x\cos y) \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x}(x\sin y) & \dfrac{\partial}{\partial y}(x\sin y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos y & -x\sin y\\ \sin y & x\cos y \end{pmatrix}.$$

因此

$$\det DG(x,y) = x\cos^2 y-(-x\sin y)\sin y = x(\cos^2y+\sin^2y) = x.$$

所以當且僅當 $x\neq 0$ 時，

$$\det DG(x,y)\neq 0.$$

由逆函數定理，對所有滿足 $x_0\neq 0$ 的點 $(x_0,y_0)$，函數 $G$ 在該點附近局部可逆。

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題目敘述的問題

核心觀念

本題主要考查：

1. Heine–Borel 定理：在 $\mathbb{R}^n$ 中，集合若閉且有界，則為緊緻集。
2. 極值定理（Extreme Value Theorem）：連續函數在緊緻集上必能取得最大值與最小值。
3. 連續函數的緊緻映射性質：緊緻集的連續像仍為緊緻集，因此在 $\mathbb{R}$ 中為閉且有界。
4. 介值定理的適用條件：要保證函數值域為區間，定義域通常還需要是連通集。

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（a）證明 $f[E]$ 有最大值與最小值

已知 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的閉且有界集合。

由 Heine–Borel 定理，$E$ 為緊緻集。又因為 $f:E\to\mathbb{R}$ 在 $E$ 上連續，所以由極值定理，$f$ 必能在 $E$ 上取得最大值與最小值。

因此，存在 $x_M,x_m\in E$，使得對所有 $x\in E$，

$$f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M).$$

令

$$M=f(x_M),\qquad m=f(x_m),$$

則

$$M=\max f[E],\qquad m=\min f[E].$$

也就是說，$f[E]$ 中確實包含其最大元素 $M$ 與最小元素 $m$。

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（b）$f[E]$ 是否為閉且有界區間？

先證明 $f[E]$ 閉且有界

由（a）可知，$f[E]$ 有最大值 $M$ 與最小值 $m$，因此

$$f[E]\subseteq [m,M].$$

故 $f[E]$ 有界。

此外，$E$ 為緊緻集，而 $f$ 連續，所以連續映射下的像集 $f[E]$ 也是緊緻集。在 $\mathbb{R}$ 中，緊緻集必為閉且有界集合，因此 $f[E]$ 為閉集。

所以，在題目給定條件下，必定有：

$$f[E]\text{ 是閉且有界集合。}$$

但不一定是區間

題目聲稱 $f[E]$ 是「閉且有界區間」，此敘述在現有條件下不成立，因為題目並未假設 $E$ 是連通集。

取

本題考驗多元函數的微分性質，包括梯度、Hessian 矩陣的計算，以及利用這些工具來判斷極值和求泰勒多項式。

核心觀念：

1. 梯度 (Gradient)： 對於函數 $f(x_1, \dots, x_n)$，其梯度 $\nabla f$ 是一個向量，其分量是函數對每個變數的偏導數：$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n})$。
2. Hessian 矩陣 (Hessian Matrix)： 對於函數 $f(x_1, \dots, x_n)$，其 Hessian 矩陣 $H_f$ 是一個 $n \times n$ 的矩陣，其元素為函數對變數的二階偏導數：$(H_f)_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$。
3. 極值判斷：
   • 若點 $a$ 是函數 $f$ 的臨界點（即 $\nabla f(a) = 0$），則：
     • 若 $H_f(a)$ 是正定矩陣，則 $a$ 是局部最小值點。
     • 若 $H_f(a)$ 是負定矩陣，則 $a$ 是局部最大值點。
     • 若 $H_f(a)$ 是不定矩陣，則 $a$ 不是局部極值點（是鞍點）。
     • 若 $H_f(a)$ 的特徵值有零，則判斷不確定，需要進一步分析。
   • 對於 $n=2$ 的情況，可以利用二階偏導數判別法：令 $D = \det(H_f(a)) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$。
     • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx}(a) > 0$，則 $a$ 是局部最小值點。
     • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx}(a) < 0$，則 $a$ 是局部最大值點。
     • 若 $D < 0$，則 $a$ 是鞍點。
     • 若 $D = 0$，則判斷不確定。
4. 泰勒多項式 (Taylor Polynomial)： 函數 $f$ 在點 $x_0$ 處的 $k$ 階泰勒多項式 $P_k(x)$ 可以表示為：
   $P_k(x) = f(x_0) + \nabla f(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{1}{2!} (x-x_0)^T H_f(x_0) (x-x_0) + \dots + \frac{1}{k!} \sum_{i_1, \dots, i_k} \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \dots \partial x_{i_k}}(x_0) (x-x_0)_{i_1} \dots (x-x_0)_{i_k}$。
   對於二階泰勒多項式（$k=2$）：
   $P_2(x) = f(x_0) + \nabla f(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{1}{2} (x-x_0)^T H_f(x_0) (x-x_0)$。

解題過程：
給定函數 $g(x, y, z) = x^3 - 3xy - y^3 - 2z^2$。

Part (a): Compute the gradient vector $\nabla g(x, y, z)$ and Hessian matrix $H_g(x, y, z)$.

計算梯度 $\nabla g(x, y, z)$：
$\frac{\partial g}{\partial x} = 3x^2 - 3y$
$\frac{\partial g}{\partial y} = -3x - 3y^2$
$\frac{\partial g}{\partial z} = -4z$
所以，梯度向量為：
$\nabla g(x, y, z) = (3x^2 - 3y, -3x - 3y^2, -4z)$

計算 Hessian 矩陣 $H_g(x, y, z)$：
我們需要計算二階偏導數。
$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 3y) = 6x$
$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-3x - 3y^2) = -6y$
$\frac{\partial^2 g}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}(-4z) = -4$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 3y) = -3$
$\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-3x - 3y^2) = -3$ (由於二階偏導數混合相等)

$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3x^2 - 3y) = 0$
$\frac{\partial^2 g}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-4z) = 0$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-3x - 3y^2) = 0$
$\frac{\partial^2 g}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-4z) = 0$

Hessian 矩陣為：
$H_g(x, y, z) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^2 g}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 g}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 g}{\partial z^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x & -3 & 0 \\ -3 & -6y & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

【答案】(a)
$\nabla g(x, y, z) = (3x^2 - 3y, -3x - 3y^2, -4z)$
$H_g(x, y, z) = \begin{pmatrix} 6x & -3 & 0 \\ -3 & -6y & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

Part (b): Determine if the critical point $(-1,1,0)$ is a local maximum of $g$.

本題要求陳述並證明微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus, FTC) 中的任一條。通常有兩個版本：

版本一 (FTC Part 1)：
陳述： 如果函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，則函數 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 在 $[a, b]$ 上是連續的，在 $(a, b)$ 上是可微的，並且 $F'(x) = f(x)$。
證明：
我們需要證明 $F'(x) = f(x)$，也就是 $\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x)$。
根據 $F(x)$ 的定義：
$F(x+h) - F(x) = \int_a^{x+h} f(t) dt - \int_a^x f(t) dt$
利用積分的性質， $\int_a^{x+h} f(t) dt = \int_a^x f(t) dt + \int_x^{x+h} f(t) dt$。
所以，$F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) dt$。
因此，我們需要計算 $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt$。

根據積分中值定理 (Mean Value Theorem for Integrals)，對於連續函數 $f$ 在區間 $[x, x+h]$（或 $[x+h, x]$ 如果 $h<0$）上，存在一個點 $c$ 在 $x$ 和 $x+h$ 之間，使得 $\int_x^{x+h} f(t) dt = f(c) \cdot ((x+h) - x) = f(c) \cdot h$。
所以，$\frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt = f(c)$。

現在我們考慮 $h \to 0$ 的極限。
當 $h \to 0$ 時，$x+h \to x$。由於 $c$ 在 $x$ 和 $x+h$ 之間，所以 $c$ 也趨近於 $x$ ($c \to x$)。
由於 $f$ 在 $x$ 點連續，所以當 $c \to x$ 時，$f(c) \to f(x)$。
因此， $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt = \lim_{c \to x} f(c) = f(x)$。
這證明了 $F'(x) = f(x)$。

版本二 (FTC Part 2)：
陳述： 如果函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，並且 $F$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的任意一個反導函數（即 $F'(x) = f(x)$ 對於所有 $x \in [a, b]$），則 $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。
證明：
設 $G(x) = \int_a^x f(t) dt$。根據 FTC Part 1，我們知道 $G'(x) = f(x)$ 對於所有 $x \in [a, b]$。
$F$ 是 $f$ 的一個反導函數，所以 $F'(x) = f(x)$ 對於所有 $x \in [a, b]$。
考慮函數 $H(x) = F(x) - G(x)$。
對 $H(x)$ 求導：
$H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$ 對於所有 $x \in (a, b)$。
根據拉格朗日中值定理的推論，如果一個函數在一個區間上的導數處處為零，那麼這個函數在這個區間上是常數。
所以，$H(x) = C$ 對於某個常數 $C$。
即 $F(x) - G(x) = C$。
我們需要找到 $C$ 的值。我們可以通過在 $x=a$ 處計算 $H(a)$ 來找到 $C$。

核心觀念

本題考察兩個平均值定理之間的推導關係：

• 微分中值定理：若 $G$ 在 $[a,b]$ 連續、在 $(a,b)$ 可微，則存在 $c\in(a,b)$，使
  $G'(c)=\frac{G(b)-G(a)}{b-a}.$
• 微積分基本定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 連續，則 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 在 $(a,b)$ 可微，且 $F'(x)=f(x)$。

(a) 由微分中值定理證明積分中值定理

令
$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt.$

由於 $f$ 在 $[a,b]$ 連續，微積分基本定理給出 $F'(x)=f(x)$。此外，$F$ 在 $[a,b]$ 連續、在 $(a,b)$ 可微，因此可對 $F$ 使用微分中值定理。存在 $c\in(a,b)$，使

$$F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}.$$

由定義可得

$$F(a)=\int_a^a f(t)\,dt=0, \qquad F(b)=\int_a^b f(t)\,dt.$$