108 年 國立臺灣大學應用數學科學研究所碩士班應用數學組《微分方程》

此題為考驗學生分離變數法與一階線性微分方程解法的題目。

(a) 分離變數法

此為一階的變數可分離微分方程。將 $y$ 和 $dy$ 移至一邊，將 $x$ 和 $dx$ 移至另一邊：
$\frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{x^2}$
對兩邊進行積分：
$\int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dx}{x^2}$
$-\frac{1}{y} = -\frac{1}{x} + C$
其中 $C$ 為積分常數。整理可得：
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} - C$
$y = \frac{1}{\frac{1}{x} - C} = \frac{x}{1 - Cx}$
我們可以讓 $C = -K$，則 $y = \frac{x}{1+Kx}$。
若 $y=0$，則 $\frac{dy}{dx} = 0$，代入原方程 $\frac{0}{0} = \frac{x^3}{x^2}$ (若 $x \ne 0$)，即 $0=x$。這表示 $y=0$ 不是通解。

(b) 一階線性微分方程

此為一階線性微分方程 $\frac{dy}{dx} - a(x) y = x^3$。由於 $a(x)$ 是分段函數，我們需要分段求解。

情況 1: $0 < x \le 2$
在此區間，$a(x) = 2$。方程變為 $\frac{dy}{dx} - 2y = x^3$。
積分因子為 $e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$。
將方程兩邊乘以積分因子：
$e^{-2x} \frac{dy}{dx} - 2e^{-2x} y = x^3 e^{-2x}$
$\frac{d}{dx}(y e^{-2x}) = x^3 e^{-2x}$
對右式進行積分。我們需要使用分部積分法。
$\int x^3 e^{-2x} dx$
令 $u = x^3$, $dv = e^{-2x} dx \implies du = 3x^2 dx, v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$
$-\frac{1}{2} x^3 e^{-2x} - \int (-\frac{1}{2} e^{-2x}) (3x^2 dx) = -\frac{1}{2} x^3 e^{-2x} + \frac{3}{2} \int x^2 e^{-2x} dx$
對 $\int x^2 e^{-2x} dx$ 進行分部積分：
令 $u = x^2$, $dv = e^{-2x} dx \implies du = 2x dx, v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$
$\int x^2 e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x^2 e^{-2x} - \int (-\frac{1}{2} e^{-2x}) (2x dx) = -\frac{1}{2} x^2 e^{-2x} + \int x e^{-2x} dx$
對 $\int x e^{-2x} dx$ 進行分部積分：
令 $u = x$, $dv = e^{-2x} dx \implies du = dx, v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$
$\int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \int (-\frac{1}{2} e^{-2x}) dx = -\frac{1}{2} x e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x}$
將結果代回：
$\int x^2 e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x^2 e^{-2x} + (-\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x}) = e^{-2x} (-\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4})$
再代回原積分：
$\int x^3 e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x^3 e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} (-\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4})$
$= e^{-2x} (-\frac{1}{2} x^3 - \frac{3}{4} x^2 - \frac{3}{4} x - \frac{3}{8})$
所以，
$y e^{-2x} = e^{-2x} (-\frac{1}{2} x^3 - \frac{3}{4} x^2 - \frac{3}{4} x - \frac{3}{8}) + C_1$
$y(x) = -\frac{1}{2} x^3 - \frac{3}{4} x^2 - \frac{3}{4} x - \frac{3}{8} + C_1 e^{2x}$
我們已知 $y(1) = 1$。由於 $1$ 在區間 $0 < x \le 2$ 內，我們使用此條件：
$1 = -\frac{1}{2}(1)^3 - \frac{3}{4}(1)^2 - \frac{3}{4}(1) - \frac{3}{8} + C_1 e^{2(1)}$
$1 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{3}{4} - \frac{3}{8} + C_1 e^2$
$1 = -\frac{4}{8} - \frac{6}{8} - \frac{6}{8} - \frac{3}{8} + C_1 e^2$
$1 = -\frac{19}{8} + C_1 e^2$
$C_1 e^2 = 1 + \frac{19}{8} = \frac{27}{8}$
$C_1 = \frac{27}{8e^2}$
因此，在 $0 < x \le 2$ 區間，解為：

核心觀念

本題主要考查：

• 矩陣指數 $e^{At}$ 的計算。
• 特徵值、特徵空間與對角化。
• 常係數線性微分方程組的矩陣解法：

$$x'(t)=Ax(t)+f(t)$$

其初值解為

$$x(t)=e^{At}x(0)+\int_0^t e^{A(t-s)}f(s)\,ds.$$

給定

$$A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -3&-5&-3\\ 3&6&4 \end{pmatrix}.$$

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（一）求 $e^{At}$

1. 求特徵值

計算特徵多項式：

$$\det(\lambda I-A) = \det \begin{pmatrix} \lambda-1&0&0\\ 3&\lambda+5&3\\ -3&-6&\lambda-4 \end{pmatrix}.$$

由第一列展開：

$$\det(\lambda I-A) =(\lambda-1) \det \begin{pmatrix} \lambda+5&3\\ -6&\lambda-4 \end{pmatrix}.$$

因此

$$\det(\lambda I-A) =(\lambda-1)\bigl((\lambda+5)(\lambda-4)+18\bigr).$$

化簡得

$$\det(\lambda I-A) =(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) =(\lambda-1)^2(\lambda+2).$$

所以特徵值為

$$\lambda=1 \quad\text{（重根 2 次）},\qquad \lambda=-2.$$

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2. 利用最小多項式求投影矩陣

因為特徵值 $1$ 的幾何重數為 $2$，矩陣可對角化，故可利用特徵投影矩陣。

對應於特徵值 $-2$ 的投影矩陣為

$$P_{-2}=\frac{I-A}{1-(-2)}=\frac{I-A}{3}.$$

先計算：

$$I-A= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 3&6&3\\ -3&-6&-3 \end{pmatrix},$$

所以

$$P_{-2} = \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&2&1\\ -1&-2&-1 \end{pmatrix}.$$

對應於特徵值 $1$ 的投影矩陣為

$$P_1=I-P_{-2}.$$

因此矩陣指數可寫成

$$e^{At}=e^tP_1+e^{-2t}P_{-2}.$$

也可整理為

$$e^{At}=e^tI+\bigl(e^{-2t}-e^t\bigr)P_{-2}.$$

令

$$d(t)=e^{-2t}-e^t,$$

則

$$e^{At} = \begin{pmatrix} e^t&0&0\\ d(t)&e^t+2d(t)&d(t)\\ -d(t)&-2d(t)&e^t-d(t) \end{pmatrix}.$$

寫成完全展開的形式：

$$\boxed{ e^{At} = \begin{pmatrix} e^t&0&0\\ e^{-2t}-e^t&2e^{-2t}-e^t&e^{-2t}-e^t\\ e^t-e^{-2t}&2e^t-2e^{-2t}&2e^t-e^{-2t} \end{pmatrix} }$$

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（二）求解初值問題

給定

$$x'(t)=Ax(t)+ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \qquad x(0)= \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}.$$

令

$$f= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}.$$

由變係數公式：

$$x(t)=e^{At}x(0)+\int_0^t e^{A(t-s)}f\,ds.$$

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1. 計算 $e^{At}x(0)$

由上式的矩陣指數，且

$$x(0)= \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix},$$

可得

核心觀念

本題考查二階常係數非齊次微分方程、共振，以及快速週期振盪的平均效果。

對方程

$$y''+y=g(t),$$

其齊次解為 $C\cos t+D\sin t$。若外力頻率與齊次解頻率不同，可直接求特解；若頻率相同，則發生共振，特解需乘上 $t$。初值問題也可用杜哈美公式表示為

$$y(t)=y(0)\cos t+y'(0)\sin t+\int_0^t\sin(t-s)g(s)\,ds.$$

解題方法

(a) 求 $y(t)$

先處理 $\beta\ne 1$。因為

$$\frac{d^2}{dt^2}\sin(\beta t)+\sin(\beta t) =(1-\beta^2)\sin(\beta t),$$

可取特解

$$y_p(t)=\frac{\sin(\beta t)}{1-\beta^2}.$$

因此通解為

$$y(t)=C\cos t+D\sin t+\frac{\sin(\beta t)}{1-\beta^2}.$$

由 $y(0)=1$ 得 $C=1$。微分後代入 $y'(0)=0$：

$$D+\frac{\beta}{1-\beta^2}=0,$$

所以

$$y(t)=\cos t+\frac{\sin(\beta t)-\beta\sin t}{1-\beta^2}, \qquad \beta\ne 1.$$

當 $\beta=1$ 時，外力 $\sin t$ 與齊次解同頻，發生共振。利用

$$\left(\frac{d^2}{dt^2}+1\right)(t\cos t)=-2\sin t,$$

可取特解 $-\frac12t\cos t$。套用初值後得到

$$y(t)=\cos t+\frac12\sin t-\frac12t\cos t, \qquad \beta=1.$$

(b) 求 $\lim_{\beta\to\infty}y(t)$

此處固定 $t$。當 $\beta\ne1$ 時，

$$y(t)=\cos t+\frac{\sin(\beta t)}{1-\beta^2} -\frac{\beta\sin t}{1-\beta^2}.$$

由於 $|\sin(\beta t)|\le 1$，前一個分式趨近 $0$；而後一個分式的分子至多與 $\beta$ 同階、分母與 $\beta^2$ 同階，也趨近 $0$。因此

$$\lim_{\beta\to\infty}y(t)=\cos t.$$

此題考驗線性微分方程解空間的維度以及向量空間的性質。

核心觀念：
一個 $n$ 階線性齊次微分方程的解空間的維度是 $n$。
對於向量空間，若 $W_1$ 和 $W_2$ 是向量空間 $V$ 的子空間，則 $W_1+W_2 = \{w_1+w_2 | w_1 \in W_1, w_2 \in W_2\}$ 也是 $V$ 的子空間。其維度滿足 $\dim(W_1+W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)$。

求解步驟：

1. 計算 $V_1$ 的維度
$V_1$ 是微分方程 $y'' - ty + 2y = 0$ 的解空間。
這是一個二階的線性齊次微分方程。
雖然方程的係數 $-ty$ 不是常數，這意味著它不是一個標準的歐拉-柯西方程或常係數方程，但它仍然是一個線性齊次微分方程。
根據微分方程理論，任何 $n$ 階線性齊次微分方程在一個區間上，其解空間的維度恰好是 $n$。
因此，對於這個二階微分方程，其解空間 $V_1$ 的維度是 2。
我們可以找到兩個線性獨立的解 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$，則 $V_1$ 中的任何解都可以表示為 $y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t)$。

2. 計算 $V_2$ 的維度
$V_2$ 是微分方程 $z''' + (t^2 - 2)z'' + tz' - 4z = 0$ 的解空間。
這是一個三階的線性齊次微分方程。
同樣，即使係數 $(t^2-2)$ 和 $t$ 不是常數，它仍然是一個線性齊次微分方程。
因此，其解空間 $V_2$ 的維度是 3。
我們可以找到三個線性獨立的解 $z_1(t), z_2(t), z_3(t)$，則 $V_2$ 中的任何解都可以表示為 $z(t) = d_1 z_1(t) + d_2 z_2(t) + d_3 z_3(t)$。

3. 計算 $V_3$ 的維度
$V_3 = \{y(t)+z(t) | y(t) \in V_1, z(t) \in V_2\}$。
$V_3$ 是 $V_1$ 和 $V_2$ 的和空間。
首先，需要確認 $V_1$ 和 $V_2$ 是否是同一個向量空間（例如，都是定義在 $0 \le t \le 5$ 區間上的函數空間）的子空間。是的，它們都是定義在相同區間上的函數空間的子空間。
根據向量空間的性質，如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是向量空間 $V$ 的子空間，則 $W_1+W_2$ 是 $V$ 的子空間，且 $\dim(W_1+W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)$。

在此情況下，我們需要確定 $V_1 \cap V_2$ 的維度。
$V_1$ 是二階微分方程的解空間，而 $V_2$ 是三階微分方程的解空間。
一個函數 $f(t)$ 屬於 $V_1 \cap V_2$ 的條件是：

1. $f(t)$ 是一個二階微分方程 $y'' - ty + 2y = 0$ 的解。
2. $f(t)$ 同時也是一個三階微分方程 $z''' + (t^2 - 2)z'' + tz' - 4z = 0$ 的解。

如果一個函數 $f(t)$ 滿足一個二階微分方程，那麼它也滿足任何一個更高階的微分方程，只要後者包含前者作為其解空間的一部分。
然而，在這裡，這兩個微分方程是獨立的。
考慮一個函數 $f(t)$ 屬於 $V_1 \cap V_2$。
如果 $f(t) \in V_1$, 則 $f(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t)$。
如果 $f(t) \in V_2$, 則 $f(t) = d_1 z_1(t) + d_2 z_2(t) + d_3 z_3(t)$。

假設 $f(t) \in V_1 \cap V_2$ 且 $f(t)$ 不是零函數。
那麼 $f(t)$ 既是二階方程的解，又是三階方程的解。
對於一個 $n$ 階線性齊次微分方程，它的非零解的個數是無限的，但其解空間的維度是 $n$。
若 $f(t)$ 是 $V_1$ 的一個非零解，則 $f''(t) - tf'(t) + 2f(t) = 0$。
若 $f(t)$ 是 $V_2$ 的一個非零解，則 $f'''(t) + (t^2 - 2)f''(t) + tf'(t) - 4f(t) = 0$。

如果 $f(t)$ 是 $V_1$ 的一個解，那麼 $f(t)$ 必須是二階的。
如果 $f(t)$ 是 $V_2$ 的一個解，那麼 $f(t)$ 必須是三階的。
一個二階函數（指其最高階導數為二階）不可能是三階方程的獨立解，除非它也是一階或零階的解。
如果 $f(t)$ 是 $V_1$ 的解，那麼 $f(t)$ 可以是常數（0階），一次函數（1階），或更複雜的函數（2階）。
如果 $f(t)$ 也是 $V_2$ 的解，那麼 $f(t)$ 必須滿足三階方程。
如果 $f(t)$ 是 $V_1$ 的一個非零解，則 $f(t)$ 不可能是 $V_2$ 的一個獨立的線性組合，除非 $f(t)$ 恰好也是 $V_2$ 的一個解。

一般情況下，兩個不同階的微分方程的解空間的交集（非零解）是很小的。
考慮一個簡單例子：
$W_1$: $y''=0$, $\dim(W_1)=2$, 解為 $c_1 + c_2 t$。