108 年 國立臺灣大學數學系碩士班《幾何》

本題考驗對空間曲線的 Frenet 標架、曲率、撓率以及球面幾何的理解。

核心觀念：

1. Frenet 標架與其幾何意義： $T(s)$ 為切向量，$N(s)$ 為主法向量，$B(s)$ 為副法向量。
2. 球面的性質： 球面上所有點到圓心的距離皆相等。
3. 大圓的性質： 球面上大圓的圓心即為球心。

解題步驟：

設 $\gamma(s)$ 是一條由弧長參數 $s$ 參數化的空間曲線，且 $\gamma''(s) \neq 0$。其 Frenet 標架為 $\{T(s), N(s), B(s)\}$。
已知 $\gamma(I)$ 位於一個球面 $\Sigma$ 上。設此球面的圓心為 $C$ 且半徑為 $R$。
對於球面上的任一點 $\gamma(s)$，其副法線（binormal line）是通過 $\gamma(s)$ 且方向為 $B(s)$ 的直線。
題目假設，對於 $\gamma(I)$ 上的所有點 $\gamma(s)$，其副法線都與球面 $\Sigma$ 相切。

證明：

1. 利用副法線與球面的關係：
   副法線是通過 $\gamma(s)$ 且方向為 $B(s)$ 的直線。若此直線與球面 $\Sigma$ 相切於點 $\gamma(s)$，則該切點 $\gamma(s)$ 必須是該直線與球面唯一的交點。
   在點 $\gamma(s)$，球面的法向量指向球心 $C$。由於副法線與球面相切於 $\gamma(s)$，則副法線的方向向量 $B(s)$ 必須與球面在 $\gamma(s)$ 點的法向量（即向量 $\gamma(s) - C$ 的方向）垂直。
   也就是說，$B(s) \perp (\gamma(s) - C)$ 對所有 $s \in I$ 都成立。

2. 利用 Frenet 方程式：
   Frenet 方程式給出了 $T'(s)$, $N'(s)$, $B'(s)$ 與 $T(s), N(s), B(s)$ 的關係：
   $T'(s) = \kappa(s) N(s)$
   $N'(s) = -\kappa(s) T(s) + \tau(s) B(s)$
   $B'(s) = -\tau(s) N(s)$
   其中 $\kappa(s)$ 是曲率，$\tau(s)$ 是撓率。

3. 分析向量 $(\gamma(s) - C)$ 的變化：
   令 $X(s) = \gamma(s) - C$。則 $X'(s) = \gamma'(s) = T(s)$。
   對 $X(s)$ 求導兩次：
   $X'(s) = T(s)$
   $X''(s) = T'(s) = \kappa(s) N(s)$
   我們已知 $B(s) \perp X(s)$ 對所有 $s \in I$。這意味著 $B(s) \cdot X(s) = 0$。
   對此式對 $s$ 求導：
   $B'(s) \cdot X(s) + B(s) \cdot X'(s) = 0$
   $(-\tau(s) N(s)) \cdot X(s) + B(s) \cdot T(s) = 0$
   由於 $T(s), N(s), B(s)$ 是相互正交的單位向量，我們有 $B(s) \cdot T(s) = 0$。
   所以，上式變為：
   $-\tau(s) N(s) \cdot X(s) = 0$
   這表示 $\tau(s) = 0$ 或 $N(s) \cdot X(s) = 0$。

   現在考慮 $X''(s) = \kappa(s) N(s)$。
   若 $\tau(s) = 0$ 對所有 $s \in I$，則曲線 $\gamma$ 是平坦的（planar），位於某個平面上。
   若 $N(s) \cdot X(s) = 0$ 對所有 $s \in I$，這表示向量 $X(s)$ 始終垂直於 $N(s)$。
   由於 $X(s) = \gamma(s) - C$，這意味著向量 $\gamma(s) - C$ 始終垂直於 $N(s)$。

4. 結合球面條件：
   球面 $\Sigma$ 的性質是，對於球面上的任意點 $P$，向量 $P-C$ 的方向與球面法向量一致。
   在點 $\gamma(s)$，球面的法向量方向是 $\gamma(s) - C$ 的方向。
   我們的假設是副法線在 $\gamma(s)$ 點與球面相切，這意味著 $B(s) \perp (\gamma(s) - C)$。
   我們也知道 $\gamma(I)$ 位於球面 $\Sigma$ 上，所以 $\gamma(s)$ 到球心的距離是常數 $R$。
   $|\gamma(s) - C|^2 = R^2$。
   對此式對 $s$ 求導：
   $2(\gamma(s) - C) \cdot \gamma'(s) = 0$

核心觀念

本題考查旋轉曲面上的 Clairaut 定理。對旋轉曲面而言，旋轉對稱性使得沿緯圈方向的動量守恆，最終得到

$$f(s)\cos\alpha=\text{常數}.$$

其中 $\alpha$ 是測地線切向量與緯圈切向量的夾角。

---

解題方法

以

$$X(s,\phi)=\bigl(f(s)\cos\phi,\ f(s)\sin\phi,\ g(s)\bigr)$$

作為旋轉曲面的參數化。

其切向量為

$$X_s=\bigl(f'(s)\cos\phi,\ f'(s)\sin\phi,\ g'(s)\bigr),$$ $$X_\phi=\bigl(-f(s)\sin\phi,\ f(s)\cos\phi,\ 0\bigr).$$

因此第一基本形式係數為

$$E=\langle X_s,X_s\rangle=f'(s)^2+g'(s)^2,$$ $$F=\langle X_s,X_\phi\rangle=0,$$ $$G=\langle X_\phi,X_\phi\rangle=f(s)^2.$$

令測地線以弧長參數 $t$ 表示：

$$\gamma(t)=X(s(t),\phi(t)).$$

因為 $t$ 是弧長參數，所以

$$|\gamma'(t)|=1.$$

又有

$$\gamma'(t)=\dot{s}(t)X_s+\dot{\phi}(t)X_\phi.$$

由 $F=0$ 得

$$|\gamma'(t)|^2 =E\dot{s}^{\,2}+G\dot{\phi}^{\,2} =E\dot{s}^{\,2}+f(s)^2\dot{\phi}^{\,2} =1.$$

---

角度與 $\dot{\phi}$ 的關係

緯圈 $s=\text{constant}$ 的切向方向為 $X_\phi$。因此

$$\cos\alpha(t) = \frac{\langle \gamma'(t),X_\phi\rangle} {|\gamma'(t)|\,|X_\phi|}.$$

由 $|\gamma'(t)|=1$、$|X_\phi|=f(s)$ 以及 $F=0$，

核心觀念

本題考查旋轉曲面上的 Clairaut 定理。對旋轉曲面而言，旋轉對稱性使得沿緯圈方向的動量守恆，最終得到

$$f(s)\cos\alpha=\text{常數}.$$

其中 $\alpha$ 是測地線切向量與緯圈切向量的夾角。

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解題方法

以

$$X(s,\phi)=\bigl(f(s)\cos\phi,\ f(s)\sin\phi,\ g(s)\bigr)$$

作為旋轉曲面的參數化。

其切向量為

$$X_s=\bigl(f'(s)\cos\phi,\ f'(s)\sin\phi,\ g'(s)\bigr),$$ $$X_\phi=\bigl(-f(s)\sin\phi,\ f(s)\cos\phi,\ 0\bigr).$$

因此第一基本形式係數為

$$E=\langle X_s,X_s\rangle=f'(s)^2+g'(s)^2,$$ $$F=\langle X_s,X_\phi\rangle=0,$$ $$G=\langle X_\phi,X_\phi\rangle=f(s)^2.$$

令測地線以弧長參數 $t$ 表示：

$$\gamma(t)=X(s(t),\phi(t)).$$

因為 $t$ 是弧長參數，所以

$$|\gamma'(t)|=1.$$

又有

$$\gamma'(t)=\dot{s}(t)X_s+\dot{\phi}(t)X_\phi.$$

由 $F=0$ 得

$$|\gamma'(t)|^2 =E\dot{s}^{\,2}+G\dot{\phi}^{\,2} =E\dot{s}^{\,2}+f(s)^2\dot{\phi}^{\,2} =1.$$

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角度與 $\dot{\phi}$ 的關係

緯圈 $s=\text{constant}$ 的切向方向為 $X_\phi$。因此

$$\cos\alpha(t) = \frac{\langle \gamma'(t),X_\phi\rangle} {|\gamma'(t)|\,|X_\phi|}.$$

由 $|\gamma'(t)|=1$、$|X_\phi|=f(s)$ 以及 $F=0$，

本題要求計算一個給定參數方程的規則曲面的高斯曲率（Gaussian curvature）和平均曲率（mean curvature）。

核心觀念：

1. 規則曲面 (Regular Surface)： 曲面在每點都存在一個良好的局部參數化。
2. 第一基本形式 (First Fundamental Form)： $ds^2 = E \, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2$。它描述了曲面上長度和面積的度量。
3. 第二基本形式 (Second Fundamental Form)： $II = e \, du^2 + 2f \, du \, dv + g \, dv^2$。它描述了曲面的彎曲程度，即曲面相對於其切平面的法向彎曲。
4. 高斯曲率 (Gaussian Curvature), $K$： $K = \frac{\det(\text{II})}{\det(\text{I})} = \frac{eg-f^2}{EG-F^2}$。
5. 平均曲率 (Mean Curvature), $H$： $H = \frac{1}{2} \text{tr}(\text{II} \cdot (\text{I})^{-1}) = \frac{1}{2} \frac{Eg - 2Ff + Ge}{EG-F^2}$。

解題步驟：

首先，我們需要為給定的曲面選擇一個參數化。
曲面定義為 $S = \{ (x, y, \log \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}) \mid x, y \in \mathbb{R}, x^2+y^2 \neq 0 \}$。
由於 $x^2+y^2$ 出現，極座標是一個自然的選擇。
令 $x = r \cos \theta$ 且 $y = r \sin \theta$。
則 $x^2+y^2 = r^2$。
$\log \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} = \log (r^2)^{-1/2} = \log r^{-1} = -\log r$。
所以，曲面可以參數化為：
$\vec{r}(r, \theta) = (r \cos \theta, r \sin \theta, -\log r)$
其中 $r > 0$ 且 $\theta \in [0, 2\pi)$。

接下來，計算第一基本形式的係數 $E, F, G$。
我們需要計算參數曲線的切向量：
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = (\cos \theta, \sin \theta, -\frac{1}{r})$
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (-r \sin \theta, r \cos \theta, 0)$

計算係數：
$E = \left\| \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \right\|^2 = (\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 + (-\frac{1}{r})^2 = 1 + \frac{1}{r^2}$
$F = \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (\cos \theta)(-r \sin \theta) + (\sin \theta)(r \cos \theta) + (-\frac{1}{r})(0) = -r \cos \theta \sin \theta + r \sin \theta \cos \theta = 0$
$G = \left\| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \right\|^2 = (-r \sin \theta)^2 + (r \cos \theta)^2 + 0^2 = r^2 \sin^2 \theta + r^2 \cos^2 \theta = r^2$

第一基本形式為 $ds^2 = (1 + \frac{1}{r^2}) dr^2 + r^2 d\theta^2$。
$\det(I) = EG - F^2 = (1 + \frac{1}{r^2}) r^2 - 0^2 = r^2 + 1$。

接下來，計算第二基本形式的係數 $e, f, g$。
我們需要計算偏導數的二階導數以及曲面的單位法向量。
首先，計算單位法向量 $\vec{N}$。
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos \theta & \sin \theta & -1/r \\ -r \sin \theta & r \cos \theta & 0 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i} (0 - (-1/r)(r \cos \theta)) - \mathbf{j} (0 - (-1/r)(-r \sin \theta)) + \mathbf{k} (r \cos^2 \theta - (-r \sin^2 \theta))$
$= \mathbf{i} (\cos \theta) - \mathbf{j} (-\sin \theta) + \mathbf{k} (r (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta))$
$= (\cos \theta, \sin \theta, r)$
法向量 $N_{vec} = (\cos \theta, \sin \theta, r)$。
單位法向量 $\vec{N} = \frac{N_{vec}}{\|N_{vec}\|} = \frac{(\cos \theta, \sin \theta, r)}{\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta + r^2}} = \frac{(\cos \theta, \sin \theta, r)}{\sqrt{1+r^2}}$。

現在計算第二基本形式的係數：
$e = \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial r^2} \cdot \vec{N}$
$f = \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial r \partial \theta} \cdot \vec{N}$
$g = \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial \theta^2} \cdot \vec{N}$

計算二階偏導數：
$\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial r^2} = (0, 0, \frac{1}{r^2})$
$\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial r \partial \theta} = (-\sin \theta, \cos \theta, 0)$
$\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial \theta^2} = (-r \cos \theta, -r \sin \theta, 0)$

計算 $e, f, g$：

本題考驗的是曲面論中的一個基本問題：給定第一和第二基本形式的係數，是否存在這樣的曲面。這涉及到 Codazzi-Mainardi 方程的應用。

核心觀念：

1. 第一基本形式 (First Fundamental Form)： $ds^2 = E \, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2$。
2. 第二基本形式 (Second Fundamental Form)： $II = e \, du^2 + 2f \, du \, dv + g \, dv^2$。
3. Codazzi-Mainardi 方程： 描述了第二基本形式係數與第一基本形式係數之間的關係。這些方程對於保證曲面的存在性至關重要。它們是關於第二基本形式係數的微分方程組，其形式類似於測地線方程。
   • $\frac{\partial e}{\partial v} - \frac{\partial f}{\partial u} = f \frac{\partial E}{\partial v} - e \frac{\partial G}{\partial u} + (f \frac{\partial F}{\partial v} - g \frac{\partial F}{\partial u})$ （此處有誤，應為：$\frac{\partial e}{\partial v} - \frac{\partial f}{\partial u} = f \Gamma^1_{12} + e \Gamma^2_{12} - (f \Gamma^1_{22} + g \Gamma^2_{12})$）
     更精確的 Codazzi-Mainardi 方程為：
     $\nabla_{\partial_v} \vec{N} = \nabla_{\partial_u} \vec{N}$
     其中 $\nabla$ 是 Levi-Civita 連接。
     在參數座標 $(u,v)$ 下，這些方程可以寫成：
     $\frac{\partial e}{\partial v} - \frac{\partial f}{\partial u} = f \Gamma^1_{12} + e \Gamma^2_{12} - (f \Gamma^1_{22} + g \Gamma^2_{12})$
     $\frac{\partial g}{\partial u} - \frac{\partial f}{\partial v} = f \Gamma^1_{11} + e \Gamma^2_{11} - (f \Gamma^1_{12} + g \Gamma^2_{12})$
     其中 $\Gamma^i_{jk}$ 是由第一基本形式係數 $E, F, G$ 計算出的 Christoffel 符號。
     簡化形式為：
     $e_v - f_u = f \Gamma^u_{uv} + e \Gamma^v_{uv} - f \Gamma^u_{vv} - g \Gamma^v_{vv}$
     $g_u - f_v = f \Gamma^u_{uu} + e \Gamma^v_{uu} - f \Gamma^u_{uv} - g \Gamma^v_{uv}$
     另一個常見形式為：
     $\frac{\partial e}{\partial v} - \frac{\partial f}{\partial u} = f \left( \frac{\partial F}{\partial v} - \frac{\partial G}{\partial u} \right) + e \left( 2 \frac{\partial F}{\partial u} - \frac{\partial E}{\partial v} \right)$
     $\frac{\partial g}{\partial u} - \frac{\partial f}{\partial v} = f \left( \frac{\partial E}{\partial v} - \frac{\partial F}{\partial u} \right) + g \left( 2 \frac{\partial F}{\partial v} - \frac{\partial G}{\partial u} \right)$
     （注意：這些公式的具體形式可能因教材而異，但核心是它們必須滿足。）
4. Gauss-Bonnet 定理： 雖然不直接用於判斷存在性，但它聯繫了高斯曲率和曲面的拓撲。

解題步驟：

我們被給予第一基本形式係數 $E = 3, F = 1, G = 2$，以及第二基本形式係數 $e = v, f = u, g = \cos u$。
為了判斷是否存在這樣的曲面，我們需要檢查 Codazzi-Mainardi 方程是否成立。

首先，計算第一基本形式係數的偏導數：
$E = 3$ (常數) $\implies E_u = 0, E_v = 0$
$F = 1$ (常數) $\implies F_u = 0, F_v = 0$
$G = 2$ (常數) $\implies G_u = 0, G_v = 0$

由於 $E, F, G$ 都是常數，第一基本形式是平坦的（即曲率為零）。
這意味著我們可以找到一個參數變換，使得 $E=1, F=0, G=1$（歐幾里得度量）。
然而，我們不需要進行這個變換，直接使用 $E, F, G$ 的值來計算 Christoffel 符號。
由於 $E, F, G$ 都是常數，所有與它們的偏導數相關的項都為零。

計算 Codazzi-Mainardi 方程的左側和右側。
我們使用形式：
$\frac{\partial e}{\partial v} - \frac{\partial f}{\partial u} = f \left( \frac{\partial F}{\partial v} - \frac{\partial G}{\partial u} \right) + e \left( 2 \frac{\partial F}{\partial u} - \frac{\partial E}{\partial v} \right)$

本題考驗對高斯曲率、曲面拓撲（genus）以及 Gauss-Bonnet 定理的理解。

核心觀念：

1. Genus (虧格)： 曲面的虧格表示其「洞」的數量。對於一個閉合曲面，虧格 1 的曲面通常指一個環面（torus）。
2. 高斯曲率 (Gaussian Curvature)： 衡量曲面在某點的彎曲程度。正值表示局部像球面，負值表示局部像馬鞍面，零值表示局部像平面。
3. Gauss-Bonnet 定理： 對於一個閉合、定向、光滑的曲面 $S$，其高斯曲率 $K$ 的積分等於曲面的 Euler 特徵值 $\chi(S)$ 乘以 $2\pi$：
   $\iint_S K \, dA = 2\pi \chi(S)$
4. Euler 特徵值 $\chi(S)$： 對於一個閉合曲面，$\chi(S) = 2 - 2g$，其中 $g$ 是曲面的虧格。

解題步驟：

題目給定 $S$ 是一個閉合（緊湊無邊界）的規則曲面，其虧格 $g=1$。
對於虧格為 $g=1$ 的閉合曲面，其 Euler 特徵值為：
$\chi(S) = 2 - 2g = 2 - 2(1) = 0$

根據 Gauss-Bonnet 定理：
$\iint_S K(p) \, dA = 2\pi \chi(S)$
將 $\chi(S) = 0$ 代入，我們得到：
$\iint_S K(p) \, dA = 2\pi (0) = 0$
這意味著曲面上高斯曲率的積分為零。

證明 (a)：存在 $q_0 \in S$ 使得 $K(q_0) < 0$

假設對於所有的 $p \in S$，都有 $K(p) \ge 0$。
由於 $S$ 是一個規則曲面，且是閉合的，我們可以假設 $K(p)$ 在 $S$ 上是連續的（或者至少在大部分區域是連續的，在少數點上可能為零或有奇異點，但對於光滑曲面，高斯曲率是處處定義且連續的）。
如果 $K(p) \ge 0$ 對所有 $p \in S$ 成立，那麼 $K(p)$ 的積分 $\iint_S K(p) \, dA$ 也必定大於或等於零。
然而，我們從 Gauss-Bonnet 定理得知 $\iint_S K(p) \, dA = 0$。
這只有在 $K(p) = 0$ 對所有 $p \in S$ 都成立的情況下才可能發生。
如果 $K(p) = 0$ 對所有 $p \in S$，那麼曲面 $S$ 在所有點都具有零高斯曲率。
一個閉合曲面，若其高斯曲率處處為零，則該曲面在局部是等距於平面（flat）。一個閉合的、在處處平坦的曲面，其拓撲結構必須是球面（$g=0$）或環面（$g=1$）的組合，但一個單純的環面並非處處平坦。
若 $K(p)=0$ 對所有 $p \in S$，則 $S$ 必須是嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 中的一個平面區域。但是，一個閉合的平面區域不能嵌入 $\mathbb{R}^3$ 中（它必須是無限的或帶有邊界）。
更直接地說，一個閉合曲面若處處平坦（$K=0$），則其 Euler 特徵值必須為 2（對應球面，但球面虧格為 0）。
對於虧格為 1 的曲面（如環面），它並非處處平坦。例如，標準環面的某些部分有正曲率（像球面），某些部分有負曲率（像馬鞍面）。
因此，不可能存在一個虧格為 1 的閉合曲面，使得其高斯曲率 $K(p)$ 處處非負（$K(p) \ge 0$）。
這意味著，一定存在至少一個點 $q_0 \in S$，使得 $K(q_0) < 0$。

證明 (b)：存在 $q_1 \in S$ 使得 $K(q_1) = 0$

我們已經知道 $\iint_S K(p) \, dA = 0$。
現在假設對於所有的 $p \in S$，都有 $K(p) \neq 0$。