114 年 國立臺灣大學數學系碩士班《幾何》

本題考查曲面上測地線的平行移動概念。

核心觀念：曲面上向量沿著某路徑的平行移動，是指向量的協變導數沿著該路徑為零。對於測地線而言，其切向量的協變導數為零。

解題步驟：

1. 理解平行移動的定義：向量場 $V(t)$ 沿著曲線 $\gamma(t)$ 的平行移動，是指 $\frac{DV(t)}{dt} = 0$，其中 $\frac{D}{dt}$ 是沿著曲線的協變導數。

2. 理解測地線的性質：對於測地線 $\gamma(t)$，其切向量 $\gamma'(t)$ 滿足 $\frac{D\gamma'(t)}{dt} = 0$。

3. 題目條件分析：

   • $\gamma(t)$ 是曲面 $S$ 上的測地線。
   • $p = \gamma(0)$ 是曲線上的點。
   • $V \in T_p S$ 是一個單位切向量，且 $V \perp \gamma'(0)$。
   • 我們需要描述 $V$ 沿著 $\gamma$ 的平行移動。

4. 建立平行移動的向量場：設 $V(t)$ 是 $V$ 沿著 $\gamma$ 的平行移動。則 $V(t)$ 是一個定義在 $\gamma(t)$ 上的向量場，且 $V(0) = V$。根據平行移動的定義，我們有 $\frac{DV(t)}{dt} = 0$。

5. 利用曲面結構和測地線性質：
   設 $\gamma(t)$ 的參數化為 $\mathbf{x}(u(t), v(t))$。則 $\gamma'(t) = \mathbf{x}_u u'(t) + \mathbf{x}_v v'(t)$。
   測地線方程是 $\frac{D\gamma'(t)}{dt} = 0$。
   平行移動的向量場 $V(t)$ 也可以寫成 $V(t) = V_u(t) \mathbf{x}_u + V_v(t) \mathbf{x}_v$（這裡的 $\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v$ 是在 $\gamma(t)$ 上的基底，但更精確地說，它們是沿著 $\gamma$ 的平行移動）。
   更一般地，設 $V(t)$ 在點 $\gamma(t)$ 的切空間 $T_{\gamma(t)} S$ 中的坐標表示為 $(v_1(t), v_2(t))$，即 $V(t) = v_1(t) \mathbf{e}_1(t) + v_2(t) \mathbf{e}_2(t)$，其中 $\{\mathbf{e}_1(t), \mathbf{e}_2(t)\}$ 是 $T_{\gamma(t)} S$ 的一組基底。
   平行移動的條件 $\frac{DV(t)}{dt} = 0$ 意味著，如果我們使用與 $\gamma'(t)$ 的移動方向相符的協變導數，則 $V(t)$ 的坐標 $(v_1(t), v_2(t))$ 必須滿足：
   $\frac{dv_i}{dt} + \sum_{j=1}^2 \Gamma_{ij}^k(u(t), v(t)) \frac{du_j}{dt} v_k = 0$, 其中 $\gamma'(t) = \frac{du_j}{dt} \mathbf{x}_j$。

6. 考慮垂直於 $\gamma'(0)$ 的條件：
   在 $t=0$ 時，我們有 $V \perp \gamma'(0)$。
   設 $\gamma'(0)$ 在點 $p$ 的切空間 $T_p S$ 中的坐標為 $(\alpha, \beta)$，即 $\gamma'(0) = \alpha \mathbf{x}_u(0) + \beta \mathbf{x}_v(0)$。
   設 $V$ 在點 $p$ 的切空間 $T_p S$ 中的坐標為 $(v_1, v_2)$，即 $V = v_1 \mathbf{x}_u(0) + v_2 \mathbf{x}_v(0)$。
   $V \perp \gamma'(0)$ 意味著 $\langle V, \gamma'(0) \rangle = 0$。在度量張量 $g_{ij}$ 下，這表示 $g_{11} \alpha v_1 + g_{12} (\alpha v_2 + \beta v_1) + g_{22} \beta v_2 = 0$。

7. 利用平行移動的性質：
   一個重要的性質是，如果一個向量 $V$ 在某一點 $p$ 垂直於測地線 $\gamma$ 的速度向量 $\gamma'(0)$，那麼它沿著 $\gamma$ 的平行移動 $V(t)$ 在任何時刻 $t$ 都會垂直於 $\gamma'(t)$。
   這是因為 $\frac{d}{dt} \langle V(t), \gamma'(t) \rangle = \langle \frac{DV(t)}{dt}, \gamma'(t) \rangle + \langle V(t), \frac{D\gamma'(t)}{dt} \rangle$。
   由於 $\frac{DV(t)}{dt} = 0$ (平行移動) 且 $\frac{D\gamma'(t)}{dt} = 0$ (測地線)，我們得到 $\frac{d}{dt} \langle V(t), \gamma'(t) \rangle = 0$。
   因此，$\langle V(t), \gamma'(t) \rangle$ 是一個常數。
   在 $t=0$ 時，$\langle V(0), \gamma'(0) \rangle = \langle V, \gamma'(0) \rangle = 0$。
   所以，對於所有的 $t$，我們都有 $\langle V(t), \gamma'(t) \rangle = 0$。

8. 描述平行移動：
   向量 $V$ 沿著測地線 $\gamma$ 的平行移動 $V(t)$，是一個向量場，滿足：

   • $V(0) = V$。
   • $\frac{DV(t)}{dt} = 0$ (即 $V(t)$ 沿著 $\gamma$ 是平行移動的)。
   • $\langle V(t), \gamma'(t) \rangle = 0$ 對於所有 $t$ 成立 (由 $\frac{d}{dt} \langle V(t), \gamma'(t) \rangle = 0$ 和初始條件 $\langle V, \gamma'(0) \rangle = 0$ 得出)。

   這意味著，平行移動的向量 $V(t)$ 始終保持與測地線 $\gamma$ 的速度向量 $\gamma'(t)$ 垂直。

核心觀念

本題考查：

• 旋轉曲面的參數化。
• 旋轉曲面的 Gaussian curvature $K$。
• 曲面面積元素 $dA$。
• 由「$S_1\cup\Omega\cup S_2$ 為正則曲面」判斷接合處的切平面方向。

將平面外圍 $S_1$、旋轉曲面 $\Omega$、圓柱面 $S_2$ 平滑接合後，接合處的切平面必須一致。

---

解題方法

令旋轉曲面以 $r=x$ 表示，其參數化為

$$X(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,r\sin\theta,f(r)\bigr), \qquad 1\le r\le 2,\quad 0\le\theta\le 2\pi.$$

其切向量為

$$X_r=(\cos\theta,\sin\theta,f'(r)),$$ $$X_\theta=(-r\sin\theta,r\cos\theta,0).$$

因此第一基本形式係數為

$$E=1+[f'(r)]^2,\qquad F=0,\qquad G=r^2.$$

取單位法向量

$$N=\frac{(-f'(r)\cos\theta,-f'(r)\sin\theta,1)} {\sqrt{1+[f'(r)]^2}}.$$

計算第二基本形式後，可得旋轉曲面的 Gaussian curvature：

$$K(r)=\frac{f'(r)f''(r)} {r\left(1+[f'(r)]^2\right)^2}.$$

另一方面，

$$dA=\lVert X_r\times X_\theta\rVert\,dr\,d\theta =r\sqrt{1+[f'(r)]^2}\,dr\,d\theta.$$

所以

$$K\,dA = \frac{f'(r)f''(r)} {\left(1+[f'(r)]^2\right)^{3/2}} \,dr\,d\theta.$$

---

利用正則接合條件

在 $r=2$ 處，$\Omega$ 接到平面 $S_1$。平面 $S_1$ 的切平面為水平面，因此旋轉曲面在此處的母線切線也必須水平：

$$f'(2)=0.$$

在 $r=1$ 處，$\Omega$ 接到圓柱面 $S_2$。圓柱面的母線方向為垂直方向，因此 $\Omega$ 在此處的母線切線必須垂直。由於母線寫成 $z=f(r)$，這表示

$$|f'(r)|\longrightarrow\infty \qquad (r\to1^+).$$

故

核心觀念

本題考查以 Frenet 標架構造的管面（tube surface），需要使用：

• Frenet–Serret 公式

$$\mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n},\qquad \mathbf{n}'=-\kappa\mathbf{t}+\tau\mathbf{b},\qquad \mathbf{b}'=-\tau\mathbf{n}.$$

• 第一基本形式與第二基本形式。
• 平均曲率與高斯曲率

$$H=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)},\qquad K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}.$$

• 主方向、曲率線與測地線的判定。
• 管面拓樸為圓環面。

以下令 $\mathbf{t}(s)=\gamma'(s)$，曲率為 $\kappa(s)$，扭率為 $\tau(s)$，並設

$$A(\theta,s)=1-\kappa(s)\cos\theta.$$

由 $0<\kappa(s)<1$ 可知

$$A(\theta,s)\geq 1-\kappa(s)>0.$$

---

解題方法

先計算 $\mathbf{X}_\theta$ 與 $\mathbf{X}_s$，再由它們求基本形式與曲率。由於 $A>0$，可以直接確認正則性；同時，主方向可由形算子求得。

---

a. 證明 $S$ 是正則曲面

對參數微分：

$$\mathbf{X}_\theta =-\sin\theta\,\mathbf{n}+\cos\theta\,\mathbf{b}.$$

利用 Frenet–Serret 公式，

$$\begin{aligned} \mathbf{X}_s &=\mathbf{t} +\cos\theta\,\mathbf{n}' +\sin\theta\,\mathbf{b}'\\ &=\mathbf{t} +\cos\theta(-\kappa\mathbf{t}+\tau\mathbf{b}) +\sin\theta(-\tau\mathbf{n})\\ &=(1-\kappa\cos\theta)\mathbf{t} +\tau(-\sin\theta\,\mathbf{n}+\cos\theta\,\mathbf{b})\\ &=A\mathbf{t}+\tau\mathbf{X}_\theta. \end{aligned}$$

令

$$\mathbf{N}=\cos\theta\,\mathbf{n}+\sin\theta\,\mathbf{b}.$$

則由 Frenet 標架為正交右手標架，

$$\mathbf{X}_\theta\times\mathbf{X}_s =A\mathbf{N}.$$

因此

$$\left|\mathbf{X}_\theta\times\mathbf{X}_s\right|=A =1-\kappa\cos\theta>0.$$

所以 $\mathbf{X}_\theta$ 與 $\mathbf{X}_s$ 處處線性獨立，$S$ 為正則曲面。

---

b. 計算 $H(\theta,s)$ 與 $K(\theta,s)$

第一基本形式

由上述公式，

$$E=\langle\mathbf{X}_\theta,\mathbf{X}_\theta\rangle=1,$$ $$F=\langle\mathbf{X}_\theta,\mathbf{X}_s\rangle=\tau,$$ $$G=\langle\mathbf{X}_s,\mathbf{X}_s\rangle =A^2+\tau^2.$$

因此

$$EG-F^2=(A^2+\tau^2)-\tau^2=A^2.$$

第二基本形式

取單位法向量 $\mathbf{N}=\cos\theta\,\mathbf{n}+\sin\theta\,\mathbf{b}$。

首先，

$$\mathbf{X}_{\theta\theta} =-\cos\theta\,\mathbf{n}-\sin\theta\,\mathbf{b} =-\mathbf{N},$$

所以

$$e=\langle\mathbf{X}_{\theta\theta},\mathbf{N}\rangle=-1.$$

接著，

$$\mathbf{X}_{\theta s} =\kappa\sin\theta\,\mathbf{t}-\tau\mathbf{N},$$

故

$$f=\langle\mathbf{X}_{\theta s},\mathbf{N}\rangle=-\tau.$$

再計算 $\mathbf{X}_{ss}$ 的法向分量。由

$$\mathbf{X}_s=A\mathbf{t}+\tau\mathbf{X}_\theta$$

可得

$$\langle\mathbf{X}_{ss},\mathbf{N}\rangle =A\kappa\cos\theta-\tau^2.$$

因此

$$g=A\kappa\cos\theta-\tau^2.$$

平均曲率

$$\begin{aligned} H &=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}\\ &=\frac{-(A^2+\tau^2)+2\tau^2 +A\kappa\cos\theta-\tau^2}{2A^2}\\ &=\frac{-A^2+A\kappa\cos\theta}{2A^2}\\ &=\frac{2\kappa\cos\theta-1}{2(1-\kappa\cos\theta)}. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{ H(\theta,s) =\frac{2\kappa(s)\cos\theta-1} {2\bigl(1-\kappa(s)\cos\theta\bigr)} }.$$

高斯曲率

$$\begin{aligned} K &=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}\\ &=\frac{-\bigl(A\kappa\cos\theta-\tau^2\bigr)-\tau^2}{A^2}\\ &=-\frac{\kappa\cos\theta}{A}. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ K(\theta,s) =-\frac{\kappa(s)\cos\theta} {1-\kappa(s)\cos\theta} }.$$

核心觀念

本題考查以 Frenet 標架構造的管面（tube surface），需要使用：

• Frenet–Serret 公式

$$\mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n},\qquad \mathbf{n}'=-\kappa\mathbf{t}+\tau\mathbf{b},\qquad \mathbf{b}'=-\tau\mathbf{n}.$$

• 第一基本形式與第二基本形式。
• 平均曲率與高斯曲率

$$H=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)},\qquad K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}.$$

• 主方向、曲率線與測地線的判定。
• 管面拓樸為圓環面。

以下令 $\mathbf{t}(s)=\gamma'(s)$，曲率為 $\kappa(s)$，扭率為 $\tau(s)$，並設

$$A(\theta,s)=1-\kappa(s)\cos\theta.$$

由 $0<\kappa(s)<1$ 可知

$$A(\theta,s)\geq 1-\kappa(s)>0.$$

---

解題方法

先計算 $\mathbf{X}_\theta$ 與 $\mathbf{X}_s$，再由它們求基本形式與曲率。由於 $A>0$，可以直接確認正則性；同時，主方向可由形算子求得。

---

a. 證明 $S$ 是正則曲面

對參數微分：

$$\mathbf{X}_\theta =-\sin\theta\,\mathbf{n}+\cos\theta\,\mathbf{b}.$$

利用 Frenet–Serret 公式，

$$\begin{aligned} \mathbf{X}_s &=\mathbf{t} +\cos\theta\,\mathbf{n}' +\sin\theta\,\mathbf{b}'\\ &=\mathbf{t} +\cos\theta(-\kappa\mathbf{t}+\tau\mathbf{b}) +\sin\theta(-\tau\mathbf{n})\\ &=(1-\kappa\cos\theta)\mathbf{t} +\tau(-\sin\theta\,\mathbf{n}+\cos\theta\,\mathbf{b})\\ &=A\mathbf{t}+\tau\mathbf{X}_\theta. \end{aligned}$$

令

$$\mathbf{N}=\cos\theta\,\mathbf{n}+\sin\theta\,\mathbf{b}.$$

則由 Frenet 標架為正交右手標架，

$$\mathbf{X}_\theta\times\mathbf{X}_s =A\mathbf{N}.$$

因此

$$\left|\mathbf{X}_\theta\times\mathbf{X}_s\right|=A =1-\kappa\cos\theta>0.$$

所以 $\mathbf{X}_\theta$ 與 $\mathbf{X}_s$ 處處線性獨立，$S$ 為正則曲面。

---

b. 計算 $H(\theta,s)$ 與 $K(\theta,s)$

第一基本形式

由上述公式，

$$E=\langle\mathbf{X}_\theta,\mathbf{X}_\theta\rangle=1,$$ $$F=\langle\mathbf{X}_\theta,\mathbf{X}_s\rangle=\tau,$$ $$G=\langle\mathbf{X}_s,\mathbf{X}_s\rangle =A^2+\tau^2.$$

因此

$$EG-F^2=(A^2+\tau^2)-\tau^2=A^2.$$

第二基本形式

取單位法向量 $\mathbf{N}=\cos\theta\,\mathbf{n}+\sin\theta\,\mathbf{b}$。

首先，

$$\mathbf{X}_{\theta\theta} =-\cos\theta\,\mathbf{n}-\sin\theta\,\mathbf{b} =-\mathbf{N},$$

所以

$$e=\langle\mathbf{X}_{\theta\theta},\mathbf{N}\rangle=-1.$$

接著，

$$\mathbf{X}_{\theta s} =\kappa\sin\theta\,\mathbf{t}-\tau\mathbf{N},$$

故

$$f=\langle\mathbf{X}_{\theta s},\mathbf{N}\rangle=-\tau.$$

再計算 $\mathbf{X}_{ss}$ 的法向分量。由

$$\mathbf{X}_s=A\mathbf{t}+\tau\mathbf{X}_\theta$$

可得

$$\langle\mathbf{X}_{ss},\mathbf{N}\rangle =A\kappa\cos\theta-\tau^2.$$

因此

$$g=A\kappa\cos\theta-\tau^2.$$

平均曲率

$$\begin{aligned} H &=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}\\ &=\frac{-(A^2+\tau^2)+2\tau^2 +A\kappa\cos\theta-\tau^2}{2A^2}\\ &=\frac{-A^2+A\kappa\cos\theta}{2A^2}\\ &=\frac{2\kappa\cos\theta-1}{2(1-\kappa\cos\theta)}. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{ H(\theta,s) =\frac{2\kappa(s)\cos\theta-1} {2\bigl(1-\kappa(s)\cos\theta\bigr)} }.$$

高斯曲率

$$\begin{aligned} K &=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}\\ &=\frac{-\bigl(A\kappa\cos\theta-\tau^2\bigr)-\tau^2}{A^2}\\ &=-\frac{\kappa\cos\theta}{A}. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ K(\theta,s) =-\frac{\kappa(s)\cos\theta} {1-\kappa(s)\cos\theta} }.$$

核心觀念

本題核心是「法向量映射」與「形算子」：

• 單位法向量場 $N$ 的微分為
  $dN_p:T_pS\to T_pS.$
• 形算子定義為
  $S_p=-dN_p.$
• 若 $e_1,e_2$ 是主方向，對應主曲率為 $k_1,k_2$，則
  $dN_p(e_1)=-k_1e_1,\qquad dN_p(e_2)=-k_2e_2.$
• $N'(0)$ 本質上就是沿曲線速度方向 $V$ 對 $N$ 的方向導數，因此只由 $p$ 與 $V$ 決定。

題目所定義的量
$T_g(V)=\left\langle N'(0),N(0)\times V\right\rangle$
正是與曲面法向量變化及切向旋轉有關的量。

---

a. 證明 $T_g(V)$ 良定

設 $\gamma(s)$ 是曲面 $S$ 上的弧長參數曲線，滿足
$\gamma(0)=p,\qquad \gamma'(0)=V.$

沿著 $\gamma$ 考慮法向量場 $N(\gamma(s))$。由鏈鎖律，

$$\frac{d}{ds}N(\gamma(s))\bigg|_{s=0} =dN_p\bigl(\gamma'(0)\bigr) =dN_p(V).$$

因此

$$N'(0)=dN_p(V).$$

另一方面，

$$N(0)=N_p,$$

所以

$$T_g(V) = \left\langle dN_p(V),N_p\times V\right\rangle.$$

右側只包含點 $p$、切向量 $V$、以及曲面在 $p$ 點的法向量微分 $dN_p$，與所選取的曲線 $\gamma$ 無關。

故 $T_g(V)$ 良定。

$$\boxed{ T_g(V)=\left\langle dN_p(V),N_p\times V\right\rangle }$$

---

b. 若 $\alpha$ 是測地線，證明 $T_g(V)=\tau(0)$

令

$$T(s)=\alpha'(s),\qquad g(s)=N(s)\times T(s).$$

因為 $\alpha$ 是弧長參數曲線，所以 $|T|=1$。又因為 $\alpha$ 是測地線，其加速度沒有切向分量，因此

$$T'(s)=\kappa_n(s)N(s),$$

其中 $\kappa_n$ 是法曲率。

由 $\langle N,T\rangle=0$ 微分可得

$$\langle N',T\rangle+\langle N,T'\rangle=0.$$

代入 $T'=\kappa_nN$，得到

$$\langle N',T\rangle=-\kappa_n.$$

此外，因為 $|N|=1$，所以 $N'\perp N$；因此 $N'$ 可表示為 $T$ 與 $g$ 的線性組合：

$$N'=-\kappa_nT+a\,g.$$

取內積於 $g$，便有

$$a=\langle N',g\rangle = \left\langle N',N\times T\right\rangle.$$

在 $s=0$ 時，$T(0)=V$，故

$$a(0) = \left\langle N'(0),N(0)\times V\right\rangle = T_g(V).$$

對測地線而言，曲線的主法向量可取為曲面法向量 $N$。取相容於本題符號的 Frenet binormal

$$B=T\times N,$$

則

$$B' = T'\times N+T\times N'.$$

由 $T'=\kappa_nN$ 及 $N'=-\kappa_nT+a\,g$，

$$B' = 0+T\times(a\,g).$$

由於

$$g=N\times T,$$

利用向量三重積，

$$T\times g = T\times(N\times T) = N.$$

因此

$$B'=aN.$$

依本題採用的扭率符號約定 $\tau=\langle B',N\rangle$，可得

$$\tau=a.$$

於 $s=0$，

$$\boxed{ T_g(V)=\tau(0) }.$$

這題主要考驗對曲面面積變分（variation of area）的理解，特別是當曲面沿著平均曲率向量方向 $H\mathbf{N}$ 進行變形時，面積如何變化。核心觀念是利用第二基本形式（second fundamental form）來描述曲面在局部區域的彎曲程度，進而推導面積的變化率。

詳解

題目陳述：「假設 $S$ 是一個平均曲率 $H \neq 0$ 的規則曲面。已知『任何包含在 $S$ 中的緊緻區域的面積，當曲面沿著 $H\mathbf{N}$ 的方向變形時會減小』。請闡明此陳述的意義並提供證明。」

闡明陳述的意義

此陳述指的是，對於一個平均曲率非零的規則曲面 $S$，如果我們對曲面進行一個微小的變形，使得曲面上每一點的法向量 $\mathbf{N}$ 沿著其自身法向量 $H\mathbf{N}$ 的方向移動一個微小量，那麼曲面上任何一個緊緻區域的面積都會隨之減小。這裡的 $H\mathbf{N}$ 是曲面的「平均曲率向量」，其方向由法向量 $\mathbf{N}$ 指出，而其大小由平均曲率 $H$ 給出。這個陳述暗示了平均曲率 $H$ 的符號與面積變化率的關係，並且在 $H \neq 0$ 的條件下，這種變形總是導致面積的減小。

更具體地說，我們可以將這個變形視為一個「演化」過程。假設曲面 $S$ 在參數 $t$ 下演化，即 $S_t$ 是 $S$ 在時間 $t$ 的狀態。如果這個演化是沿著 $H\mathbf{N}$ 方向進行的，那麼對於任何一個固定的緊緻區域 $\Omega \subset S_0$（其中 $S_0$ 是初始曲面），其對應在 $S_t$ 上的區域 $\Omega_t$ 的面積 $A(\Omega_t)$ 會滿足 $\frac{dA(\Omega_t)}{dt} < 0$ 當 $t=0$ 且 $H \neq 0$。

證明

我們需要證明，當曲面 $S$ 沿著 $H\mathbf{N}$ 方向變形時，任何緊緻區域的面積變化率是負的。

設曲面 $S$ 由參數化 $\mathbf{x}(u, v)$ 給出。令 $\Omega$ 是 $S$ 上的一個緊緻區域，其面積為 $A(\Omega) = \iint_{\Omega} dA$。
我們考慮一個一參數族的曲面 $\mathbf{x}_t(u, v)$，其中 $t$ 代表時間。假設這個參數族是沿著曲面的平均曲率向量 $H\mathbf{N}$ 進行的微小變形。也就是說，初始曲面是 $S_0 = \{\mathbf{x}(u, v) | (u, v) \in D\}$，其中 $D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的一個開集。
變形後的曲面可以表示為：
$\mathbf{x}_t(u, v) = \mathbf{x}(u, v) + t H(u, v) \mathbf{N}(u, v) + O(t^2)$
其中 $H(u, v)$ 是在點 $\mathbf{x}(u, v)$ 的平均曲率，$\mathbf{N}(u, v)$ 是該點的單位法向量。

我們關心的是區域面積的變化率。面積的變化率可以透過計算面積的變分來得到。
設 $\mathbf{x}_t(u, v)$ 是曲面在時間 $t$ 的參數化。區域 $\Omega_t$ 是由 $\mathbf{x}_t$ 在參數域 $D$ 上的像所定義。
面積元素 $dA_t$ 在時間 $t$ 的變化率為：
$\frac{d}{dt} dA_t \Big|_{t=0}$
我們知道面積元素 $dA$ 與曲面的第一基本形式（first fundamental form）有關。設第一基本形式為 $I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2$。面積元素為 $dA = \sqrt{EG-F^2} du dv$。
令 $\mathbf{x}_t = \mathbf{x} + t \mathbf{v} + O(t^2)$，其中 $\mathbf{v}$ 是變形向量場。在這個問題中，$\mathbf{v} = H\mathbf{N}$。
曲面的第一基本形式在時間 $t$ 的變化率為：
$\frac{d}{dt} I_t \Big|_{t=0} = 2 \langle \mathbf{x}_t, \mathbf{x}_t \rangle_t \Big|_{t=0}$
其中 $\mathbf{x}_t,u = \frac{\partial \mathbf{x}_t}{\partial u}$ 且 $\mathbf{x}_t,v = \frac{\partial \mathbf{x}_t}{\partial v}$。
$\mathbf{x}_t,u = \mathbf{x}_u + t \mathbf{v}_u + O(t^2)$
$\mathbf{x}_t,v = \mathbf{x}_v + t \mathbf{v}_v + O(t^2)$
$E_t = \langle \mathbf{x}_t,u, \mathbf{x}_t,u \rangle = \langle \mathbf{x}_u + t \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_u + t \mathbf{v}_u \rangle = E + 2t \langle \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_u \rangle + O(t^2)$
$F_t = \langle \mathbf{x}_t,u, \mathbf{x}_t,v \rangle = \langle \mathbf{x}_u + t \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_v + t \mathbf{v}_v \rangle = F + t (\langle \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_v \rangle + \langle \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_u \rangle) + O(t^2)$
$G_t = \langle \mathbf{x}_t,v, \mathbf{x}_t,v \rangle = \langle \mathbf{x}_v + t \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_v + t \mathbf{v}_v \rangle = G + 2t \langle \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_v \rangle + O(t^2)$
因此，
$\frac{dE}{dt} \Big|_{t=0} = 2 \langle \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_u \rangle$
$\frac{dF}{dt} \Big|_{t=0} = \langle \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_v \rangle + \langle \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_u \rangle$
$\frac{dG}{dt} \Big|_{t=0} = 2 \langle \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_v \rangle$

面積元素 $dA_t = \sqrt{E_t G_t - F_t^2} du dv$。
$\frac{d}{dt} dA_t \Big|_{t=0} = \frac{1}{2\sqrt{EG-F^2}} \left( \frac{dE}{dt} G + E \frac{dG}{dt} - 2F \frac{dF}{dt} \right) \Big|_{t=0}$
$\frac{d}{dt} dA_t \Big|_{t=0} = \frac{1}{2 dA} \left( 2 \langle \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_u \rangle G + E (2 \langle \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_v \rangle) - 2F (\langle \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_v \rangle + \langle \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_u \rangle) \right)$
$\frac{d}{dt} dA_t \Big|_{t=0} = \frac{1}{dA} \left( G \langle \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_u \rangle + E \langle \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_v \rangle - F \langle \mathbf{v}_u, \mathbf{x}_v \rangle - F \langle \mathbf{v}_v, \mathbf{x}_u \rangle \right)$

我們知道第二基本形式 $II = e du^2 + 2f du dv + g dv^2$，其中 $e = \langle \mathbf{N}_u, \mathbf{x}_u \rangle = \langle \mathbf{N}, \mathbf{x}_{u,u} \rangle$, $f = \langle \mathbf{N}_u, \mathbf{x}_v \rangle = \langle \mathbf{N}, \mathbf{x}_{u,v} \rangle$, $g = \langle \mathbf{N}_v, \mathbf{x}_v \rangle = \langle \mathbf{N}, \mathbf{x}_{v,v} \rangle$。
平均曲率 $H = \frac{1}{2}(k_1 + k_2)$，其中 $k_1, k_2$ 是主曲率。
第二基本形式的係數與第一基本形式的係數的關係為：
$e = \mathbf{x}_{u,u} \cdot \mathbf{N}$, $f = \mathbf{x}_{u,v} \cdot \mathbf{N}$, $g = \mathbf{x}_{v,v} \cdot \mathbf{N}$。
同時，我們有 $\mathbf{x}_{u,u} = \Gamma_{11}^1 \mathbf{x}_u + \Gamma_{11}^2 \mathbf{x}_v + e\mathbf{N}$，依此類推。

一個重要的結果是，面積的變分 $\frac{dA}{dt}$ 與曲面的平均曲率 $H$ 和變形向量場 $\mathbf{v}$ 的散度（divergence）有關。
對於一個參數化的曲面 $\mathbf{x}_t(u,v)$，其面積 $A_t$ 的變分為：
$\frac{dA_t}{dt} \Big|_{t=0} = \iint_D \left( \langle \mathbf{v}, \mathbf{H} \rangle \right) \sqrt{EG-F^2} du dv$
其中 $\mathbf{H} = - \Delta_{S} \mathbf{x} = - (g^{ij} \mathbf{x}_{ij} - \Gamma^{k}_{ij} \mathbf{x}_k)$ 是曲面上的平均曲率向量，其大小為 $2H\mathbf{N}$。
更精確地說，如果我們考慮一個由 $\mathbf{x}(u,v)$ 和 $\mathbf{x}_t(u,v) = \mathbf{x}(u,v) + t\mathbf{v}(u,v) + O(t^2)$ 定義的曲面族，則面積的變化率為：
$\frac{dA}{dt} \Big|_{t=0} = \iint_{\Omega} \text{div}_S(\mathbf{v}) dA$
其中 $\text{div}_S(\mathbf{v})$ 是向量場 $\mathbf{v}$ 在曲面 $S$ 上的散度。
對於變形向量場 $\mathbf{v} = H\mathbf{N}$，我們需要計算 $\text{div}_S(H\mathbf{N})$。