111 年 國立臺灣大學數學系碩士班《幾何》

核心觀念

本題使用弧長參數曲線的基本性質：

• 因為 $\gamma(s)$ 以弧長參數表示，所以
  $\|\gamma'(s)\|=1.$
• 平面曲線的曲率定義為
  $\kappa(s)=\|\gamma''(s)\|.$
• 函數 $\|\gamma(s)\|$ 在 $s_0$ 取得最大值 $1$，可利用二階導數判別法。

解題方法

考慮函數

$$f(s)=\|\gamma(s)\|^2=\langle \gamma(s),\gamma(s)\rangle.$$

由題意 $\|\gamma(s)\|\le 1$，可得

$$f(s)\le 1,$$

且

$$f(s_0)=\|\gamma(s_0)\|^2=1.$$

因此 $f$ 在 $s_0$ 取得局部最大值，所以

$$f'(s_0)=0,\qquad f''(s_0)\le 0.$$

先計算一階導數：

$$f'(s)=2\langle \gamma(s),\gamma'(s)\rangle.$$

再計算二階導數：

$$f''(s) =2\langle \gamma'(s),\gamma'(s)\rangle +2\langle \gamma(s),\gamma''(s)\rangle.$$

由弧長參數性質 $\|\gamma'(s_0)\|=1$，以及 $f''(s_0)\le 0$，得到

$$0\ge f''(s_0) =2+2\langle \gamma(s_0),\gamma''(s_0)\rangle.$$

本題考察的是環面（Torus）的整體高斯曲率性質。

一個環面可以通過旋轉一個圓來生成。考慮一個半徑為 $r$ 的圓，其圓心在 $z$-軸上，距離原點為 $R$ ($R > r$)。當這個圓繞 $z$-軸旋轉 360 度時，所形成的曲面就是一個環面。

環面的參數化可以寫成：
$\sigma(u, v) = ((R + r \cos u) \cos v, (R + r \cos u) \sin v, r \sin u)$
其中 $u \in [0, 2\pi)$ 和 $v \in [0, 2\pi)$。

我們需要計算環面的高斯曲率 $K$。高斯曲率的公式為 $K = \frac{\det(II)}{\det(I)} = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}$，其中 $I$ 和 $II$ 分別是第一基本形式和第二基本形式的矩陣。

首先計算第一基本形式的係數 $E, F, G$：
$\sigma_u = (-r \sin u \cos v, -r \sin u \sin v, r \cos u)$
$\sigma_v = (-(R + r \cos u) \sin v, (R + r \cos u) \cos v, 0)$

$E = \sigma_u \cdot \sigma_u = (-r \sin u \cos v)^2 + (-r \sin u \sin v)^2 + (r \cos u)^2$
$E = r^2 \sin^2 u (\cos^2 v + \sin^2 v) + r^2 \cos^2 u = r^2 \sin^2 u + r^2 \cos^2 u = r^2$

$G = \sigma_v \cdot \sigma_v = (-(R + r \cos u) \sin v)^2 + ((R + r \cos u) \cos v)^2 + 0^2$
$G = (R + r \cos u)^2 (\sin^2 v + \cos^2 v) = (R + r \cos u)^2$

$F = \sigma_u \cdot \sigma_v = (-r \sin u \cos v)(-(R + r \cos u) \sin v) + (-r \sin u \sin v)((R + r \cos u) \cos v) + (r \cos u)(0)$
$F = r \sin u \cos v (R + r \cos u) \sin v - r \sin u \sin v (R + r \cos u) \cos v = 0$

所以，第一基本形式為 $ds^2 = r^2 du^2 + (R + r \cos u)^2 dv^2$。
$EG - F^2 = r^2 (R + r \cos u)^2 - 0^2 = r^2 (R + r \cos u)^2$.

接下來計算第二基本形式的係數 $L, M, N$：
首先需要單位法向量 $N = \frac{\sigma_u \times \sigma_v}{||\sigma_u \times \sigma_v||} = \frac{\sigma_u \times \sigma_v}{\sqrt{EG-F^2}} = \frac{\sigma_u \times \sigma_v}{r(R + r \cos u)}$。

$\sigma_u \times \sigma_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -r \sin u \cos v & -r \sin u \sin v & r \cos u \\ -(R + r \cos u) \sin v & (R + r \cos u) \cos v & 0 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i} [0 - r \cos u (R + r \cos u) \cos v]$
$- \mathbf{j} [0 - r \cos u (-(R + r \cos u) \sin v)]$
$+ \mathbf{k} [(-r \sin u \cos v)(R + r \cos u) \cos v - (-r \sin u \sin v)(-(R + r \cos u) \sin v)]$

$= \mathbf{i} [-r \cos u (R + r \cos u) \cos v]$
$- \mathbf{j} [r \cos u (R + r \cos u) \sin v]$
$+ \mathbf{k} [-r \sin u (R + r \cos u) (\cos^2 v + \sin^2 v)]$

$= -r \cos u (R + r \cos u) \cos v \mathbf{i} - r \cos u (R + r \cos u) \sin v \mathbf{j} - r \sin u (R + r \cos u) \mathbf{k}$

單位法向量 $N = \frac{1}{r(R + r \cos u)} [-r \cos u (R + r \cos u) \cos v, -r \cos u (R + r \cos u) \sin v, -r \sin u (R + r \cos u)]$
$N = (-\cos u \cos v, -\cos u \sin v, -\sin u)$

現在計算 $L, M, N$：
$L = \sigma_{uu} \cdot N$
$\sigma_{uu} = \frac{\partial}{\partial u} (-r \sin u \cos v, -r \sin u \sin v, r \cos u)$
$\sigma_{uu} = (-r \cos u \cos v, -r \cos u \sin v, -r \sin u)$
$L = (-r \cos u \cos v, -r \cos u \sin v, -r \sin u) \cdot (-\cos u \cos v, -\cos u \sin v, -\sin u)$
$L = r \cos^2 u \cos^2 v + r \cos^2 u \sin^2 v + r \sin^2 u$

核心觀念

將曲線 $\gamma$ 的曲率向量分解為：

• 切於曲面的部分：測地曲率；
• 沿曲面法向量的部分：法曲率。

因此，空間曲率 $\kappa$ 滿足

$$\kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2,$$

其中 $\kappa_g$ 為測地曲率，$\kappa_n$ 為法曲率。

另一方面，法曲率由 Euler 公式給出。若曲線在 $p$ 點的單位切向量與第一主方向夾角為 $\theta$，則

$$\kappa_n=k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta.$$

題目給定 Gaussian curvature

$$K=k_1k_2>0,$$

故兩個主曲率 $k_1,k_2$ 同號，這是證明下界的關鍵。

解題方法

將 $\gamma$ 以弧長參數表示，並令

$$T=\gamma'(s),\qquad |T|=1.$$

在 $p$ 點，曲線的加速度向量為

$$\gamma''(s)=\frac{dT}{ds}.$$

令 $N$ 為曲面 $M$ 在 $p$ 點的單位法向量，則可將 $\gamma''(s)$ 分解為切平面方向與法向方向：

$$\gamma''(s)=\kappa_g\,u+\kappa_n N,$$

其中 $u$ 是切平面內與 $T$ 垂直的單位向量。

由於 $u$ 與 $N$ 互相垂直，得到

$$\kappa^2 =|\gamma''(s)|^2 =\kappa_g^2+\kappa_n^2.$$

因此

$$\kappa\geq |\kappa_n|.$$

接著使用 Euler 法曲率公式。若 $T$ 與第一主方向夾角為 $\theta$，則

$$\kappa_n=k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta.$$

因為

$$\cos^2\theta\geq 0,\qquad \sin^2\theta\geq 0,\qquad \cos^2\theta+\sin^2\theta=1,$$

核心觀念

本題考查正則曲面的平行曲面，以及下列幾何量在平行移動後的變化：

• Weingarten 公式與形算子 $S$；
• 主曲率 $k_1,k_2$、平均曲率 $H$、高斯曲率 $K$：
  $H=\frac{k_1+k_2}{2},\qquad K=k_1k_2;$
• 平行曲面的參數化：
  $\sigma^t=\sigma+tN;$
• 平行曲面的切向量、法向量與曲率。

以下採用標準約定 $dN=-S$，因此平行曲面的主曲率為

$$k_i^t=\frac{k_i}{1-tk_i}.$$

題目 (a) 第二個等式按字面寫成內積，左側是純量、右側是向量，型態不一致，應為下列標準向量恆等式：

$$N_u\times \sigma_v+\sigma_u\times N_v =2H\,\sigma_v\times\sigma_u.$$

後續依此正確形式作答。

---

(a) 證明兩個基本恆等式

第一式：$N_u\times N_v=K\sigma_u\times\sigma_v$

在一點上取沿主方向的單位正交基底，使得形算子滿足

$$S(e_1)=k_1e_1,\qquad S(e_2)=k_2e_2.$$

由 Weingarten 公式 $dN=-S$，有

$$N_{e_1}=-k_1e_1,\qquad N_{e_2}=-k_2e_2.$$

因此

$$N_{e_1}\times N_{e_2} =(-k_1e_1)\times(-k_2e_2) =k_1k_2(e_1\times e_2).$$

由 $K=k_1k_2$，得到

$$N_{e_1}\times N_{e_2} =K(e_1\times e_2).$$

這是與參數選取無關的向量恆等式，所以一般參數 $(u,v)$ 下皆成立：

$$\boxed{N_u\times N_v=K\,\sigma_u\times\sigma_v}.$$

---

第二式：$N_u\times\sigma_v+\sigma_u\times N_v$

同樣在主方向正交單位參數下計算：

$$N_{e_1}\times e_2+e_1\times N_{e_2} =(-k_1e_1)\times e_2+e_1\times(-k_2e_2).$$

所以

$$N_{e_1}\times e_2+e_1\times N_{e_2} =-(k_1+k_2)(e_1\times e_2).$$

而

$$e_2\times e_1=-(e_1\times e_2),$$

故

$$N_{e_1}\times e_2+e_1\times N_{e_2} =(k_1+k_2)(e_2\times e_1).$$

由 $k_1+k_2=2H$，得到一般形式

$$\boxed{ N_u\times\sigma_v+\sigma_u\times N_v =2H\,\sigma_v\times\sigma_u }.$$

---

(b) 證明 $S^t$ 為正則曲面，且 $N$ 仍為單位法向量

由

$$\sigma^t(u,v)=\sigma(u,v)+tN(u,v),$$

微分得

$$\sigma_u^t=\sigma_u+tN_u,\qquad \sigma_v^t=\sigma_v+tN_v.$$

利用形算子 $S$，可寫成

$$N_u=-S(\sigma_u),\qquad N_v=-S(\sigma_v).$$

因此

$$\sigma_u^t=(I-tS)\sigma_u,\qquad \sigma_v^t=(I-tS)\sigma_v.$$

在主方向 $e_i$ 上，$S(e_i)=k_ie_i$，所以

$$(I-tS)e_i=(1-tk_i)e_i.$$

只要

$$1-tk_1\neq 0,\qquad 1-tk_2\neq 0,$$

則 $I-tS$ 可逆，$\sigma^t$ 仍為浸入，也就是正則曲面參數化。

題目給定

$$|t|<\min\left\{\frac1{|k_i|}\right\},$$

其中最小值取遍所有主曲率，因此

$$|tk_i|<1.$$

於是

$$1-tk_i>0\qquad (i=1,2),$$

兩個主方向都不會退化。

此外，由 (c) 可知

$$\sigma_u^t\times\sigma_v^t =(1-2tH+t^2K)\sigma_u\times\sigma_v.$$

由

$$1-2tH+t^2K =(1-tk_1)(1-tk_2)>0,$$

可得

$$\frac{\sigma_u^t\times\sigma_v^t} {\left|\sigma_u^t\times\sigma_v^t\right|} = \frac{\sigma_u\times\sigma_v} {\left|\sigma_u\times\sigma_v\right|} =N.$$

因此 $S^t$ 的自然單位法向量仍為原來的 $N$：

$$\boxed{N^t=N}.$$

---

(c) 證明平行曲面的面積向量公式

由

$$\sigma_u^t=\sigma_u+tN_u,\qquad \sigma_v^t=\sigma_v+tN_v,$$

直接展開叉積：

核心觀念

本題考查正則曲面的平行曲面，以及下列幾何量在平行移動後的變化：

• Weingarten 公式與形算子 $S$；
• 主曲率 $k_1,k_2$、平均曲率 $H$、高斯曲率 $K$：
  $H=\frac{k_1+k_2}{2},\qquad K=k_1k_2;$
• 平行曲面的參數化：
  $\sigma^t=\sigma+tN;$
• 平行曲面的切向量、法向量與曲率。

以下採用標準約定 $dN=-S$，因此平行曲面的主曲率為

$$k_i^t=\frac{k_i}{1-tk_i}.$$

題目 (a) 第二個等式按字面寫成內積，左側是純量、右側是向量，型態不一致，應為下列標準向量恆等式：

$$N_u\times \sigma_v+\sigma_u\times N_v =2H\,\sigma_v\times\sigma_u.$$

後續依此正確形式作答。

---

(a) 證明兩個基本恆等式

第一式：$N_u\times N_v=K\sigma_u\times\sigma_v$

在一點上取沿主方向的單位正交基底，使得形算子滿足

$$S(e_1)=k_1e_1,\qquad S(e_2)=k_2e_2.$$

由 Weingarten 公式 $dN=-S$，有

$$N_{e_1}=-k_1e_1,\qquad N_{e_2}=-k_2e_2.$$

因此

$$N_{e_1}\times N_{e_2} =(-k_1e_1)\times(-k_2e_2) =k_1k_2(e_1\times e_2).$$

由 $K=k_1k_2$，得到

$$N_{e_1}\times N_{e_2} =K(e_1\times e_2).$$

這是與參數選取無關的向量恆等式，所以一般參數 $(u,v)$ 下皆成立：

$$\boxed{N_u\times N_v=K\,\sigma_u\times\sigma_v}.$$

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第二式：$N_u\times\sigma_v+\sigma_u\times N_v$

同樣在主方向正交單位參數下計算：

$$N_{e_1}\times e_2+e_1\times N_{e_2} =(-k_1e_1)\times e_2+e_1\times(-k_2e_2).$$

所以

$$N_{e_1}\times e_2+e_1\times N_{e_2} =-(k_1+k_2)(e_1\times e_2).$$

而

$$e_2\times e_1=-(e_1\times e_2),$$

故

$$N_{e_1}\times e_2+e_1\times N_{e_2} =(k_1+k_2)(e_2\times e_1).$$

由 $k_1+k_2=2H$，得到一般形式

$$\boxed{ N_u\times\sigma_v+\sigma_u\times N_v =2H\,\sigma_v\times\sigma_u }.$$

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(b) 證明 $S^t$ 為正則曲面，且 $N$ 仍為單位法向量

由

$$\sigma^t(u,v)=\sigma(u,v)+tN(u,v),$$

微分得

$$\sigma_u^t=\sigma_u+tN_u,\qquad \sigma_v^t=\sigma_v+tN_v.$$

利用形算子 $S$，可寫成

$$N_u=-S(\sigma_u),\qquad N_v=-S(\sigma_v).$$

因此

$$\sigma_u^t=(I-tS)\sigma_u,\qquad \sigma_v^t=(I-tS)\sigma_v.$$

在主方向 $e_i$ 上，$S(e_i)=k_ie_i$，所以

$$(I-tS)e_i=(1-tk_i)e_i.$$

只要

$$1-tk_1\neq 0,\qquad 1-tk_2\neq 0,$$

則 $I-tS$ 可逆，$\sigma^t$ 仍為浸入，也就是正則曲面參數化。

題目給定

$$|t|<\min\left\{\frac1{|k_i|}\right\},$$

其中最小值取遍所有主曲率，因此

$$|tk_i|<1.$$

於是

$$1-tk_i>0\qquad (i=1,2),$$

兩個主方向都不會退化。

此外，由 (c) 可知

$$\sigma_u^t\times\sigma_v^t =(1-2tH+t^2K)\sigma_u\times\sigma_v.$$

由

$$1-2tH+t^2K =(1-tk_1)(1-tk_2)>0,$$

可得

$$\frac{\sigma_u^t\times\sigma_v^t} {\left|\sigma_u^t\times\sigma_v^t\right|} = \frac{\sigma_u\times\sigma_v} {\left|\sigma_u\times\sigma_v\right|} =N.$$

因此 $S^t$ 的自然單位法向量仍為原來的 $N$：

$$\boxed{N^t=N}.$$

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(c) 證明平行曲面的面積向量公式

由

$$\sigma_u^t=\sigma_u+tN_u,\qquad \sigma_v^t=\sigma_v+tN_v,$$

直接展開叉積：