113 年 國立臺灣大學數學系碩士班《幾何》

此題考驗對空間曲線的Frenet架構、曲率、以及球面幾何的理解。

核心概念：

1. Frenet 架構: $T(s), N(s), B(s)$ 為單位切向量、單位法向量、單位副法向量。它們滿足 Frenet 方程式：
   $T'(s) = \kappa(s) N(s)$
   $N'(s) = -\kappa(s) T(s) + \tau(s) B(s)$
   $B'(s) = -\tau(s) N(s)$
   其中 $\kappa(s)$ 是曲率 (curvature)，$\tau(s)$ 是扭率 (torsion)。題目假設 $\kappa(s) > 0$ 對所有 $s \in I$。
2. 曲率為正的空間曲線在球面上: 如果一條曲率為正的空間曲線 $\gamma(s)$ 位於一個半徑為 $R$ 的球面 $S$ 上，那麼這條曲線必須是球面上的圓。
3. 副法線 (Binormal line): 在點 $\gamma(s)$ 的副法線是通過 $\gamma(s)$ 且方向為 $B(s)$ 的直線。
4. 副法線與球面的關係: 題目給定所有副法線都與 $\gamma(I)$ 所在的球面相切。

解題步驟：
假設 $\gamma(s)$ 位於一個半徑為 $R$ 的球面 $S$ 上，其球心為 $O$。由於 $\gamma(s)$ 是球面上的曲線，點 $\gamma(s)$ 到球心的向量 $\gamma(s) - O$ 的長度恆為 $R$。我們可以將球心設為原點，即 $O = (0,0,0)$。所以 $|\gamma(s)| = R$ 對所有 $s \in I$。

對 $|\gamma(s)|^2 = R^2$ 關於 $s$ 微分，我們得到：
$\frac{d}{ds} (\gamma(s) \cdot \gamma(s)) = 2 \gamma(s) \cdot \gamma'(s) = 0$
由於 $\gamma'(s) = T(s)$ (曲線由弧長參數化)，我們有：
$\gamma(s) \cdot T(s) = 0$
這表示向量 $\gamma(s)$ (從球心指向曲線點) 垂直於切向量 $T(s)$。

對 $\gamma(s) \cdot T(s) = 0$ 再次關於 $s$ 微分：
$\frac{d}{ds} (\gamma(s) \cdot T(s)) = \gamma'(s) \cdot T(s) + \gamma(s) \cdot T'(s) = 0$
$T(s) \cdot T(s) + \gamma(s) \cdot (\kappa(s) N(s)) = 0$
由於 $T(s)$ 是單位向量， $T(s) \cdot T(s) = |T(s)|^2 = 1$。所以：
$1 + \kappa(s) (\gamma(s) \cdot N(s)) = 0$
$\gamma(s) \cdot N(s) = -\frac{1}{\kappa(s)}$
這表示向量 $\gamma(s)$ 在法向量 $N(s)$ 方向上的投影長度為 $-\frac{1}{\kappa(s)}$。

現在考慮副法線。在點 $\gamma(s)$ 的副法線方向是 $B(s)$。副法線直線的參數方程是 $L(t) = \gamma(s) + t B(s)$，其中 $t \in \mathbb{R}$。
題目說，這個副法線在點 $\gamma(s)$ 與球面 $S$ 相切。
球面 $S$ 的方程是 $|\mathbf{x}|^2 = R^2$。

核心觀念

本題關鍵在於比較「測地線是平面曲線」與曲面的第二基本形式、形算子之間的關係。

設曲面的單位法向量為 $N$，形算子為 $S$，第二基本形式為

$$\mathrm{II}(X,Y)=\langle S(X),Y\rangle .$$

若 $\gamma$ 是曲面上的單位速測地線，令 $T=\gamma'$，則測地線的加速度沒有切向分量，因此

$$\gamma''=\mathrm{II}(T,T)N.$$

另一方面，Weingarten 公式給出

$$N'=-S(T).$$

利用這兩個公式，可以由測地線的平面性推出：每一個切向方向都是主方向，因而曲面為全臍點曲面。最後再利用 Codazzi 方程，證明主曲率為常數，即得到平面或球面。

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解題方法：由測地線的平面性推出全臍性

任取 $p\in\Sigma$，以及 $p$ 點的單位切向量 $v\in T_p\Sigma$。由測地線存在定理，存在一條單位速測地線 $\gamma$，滿足

$$\gamma(0)=p,\qquad \gamma'(0)=v.$$

沿著 $\gamma$ 設

$$T=\gamma'.$$

`

因為 $\gamma$ 是測地線，其加速度完全沿曲面法向量，因此

$$\gamma''=\mathrm{II}(T,T)N.$$

記

$$h=\mathrm{II}(T,T).$$

於是

$$\gamma''=hN.$$

對弧長參數微分，並使用 $N'=-S(T)$，得到

$$\gamma''' =h'N+hN' =h'N-hS(T).$$

現在假設 $h(p)\neq 0$。由於 $\gamma$ 是平面曲線，$\gamma'$、$\gamma''$、$\gamma'''$ 在同一固定平面內，所以它們在 $p$ 點必須線性相關。

在 $p$ 點，

$$\gamma'=T,\qquad \gamma''=hN,\qquad \gamma'''=h'N-hS(T).$$

其中 $T$ 是切向量，$N$ 是法向量。由於 $h\neq0$，向量 $\gamma''=hN$ 非零。線性相關條件的切向部分要求

$$S(T)\parallel T.$$

因此，只要

$$\mathrm{II}(T,T)\neq0,$$

便有 $T$ 是形算子的特徵向量，也就是主方向。

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線性代數論證：每個方向都是主方向

形算子 $S$ 是自伴算子，因此在 $T_p\Sigma$ 中可取正交單位特徵向量 $e_1,e_2$，使得

$$S(e_1)=k_1e_1,\qquad S(e_2)=k_2e_2.$$

若 $k_1\neq k_2$，考慮一般的單位向量

$$T=\cos\theta\,e_1+\sin\theta\,e_2.$$

則

$$S(T)=k_1\cos\theta\,e_1+k_2\sin\theta\,e_2.$$

當 $\sin\theta\cos\theta\neq0$ 且

$$\mathrm{II}(T,T) =k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta\neq0$$

時，$S(T)$ 不會與 $T$ 平行，這與前面的結論矛盾。

因此必須有

$$k_1=k_2.$$

若 $S=0$，結論同樣成立。故在每一點 $p\in\Sigma$，皆存在一個數 $\lambda(p)$，使得

核心觀念

若第一基本形式與第二基本形式確實來自某個正則曲面，則必須滿足高斯—科達齊方程（Gauss–Codazzi equations）。

設第一基本形式為

$$I=E(du)^2+2F\,du\,dv+G(dv)^2,$$

第二基本形式為

$$II=e(du)^2+2f\,du\,dv+g(dv)^2.$$

題目給出

$$E=1,\qquad F=0,\qquad G=\cos^2u,$$

以及

$$e=\cos^2u,\qquad f=0,\qquad g=1.$$

只要高斯方程或科達齊方程有一條不成立，就不存在具有這兩個基本形式的正則曲面。

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解題方法：檢查高斯方程

由第一基本形式

$$ds^2=(du)^2+\cos^2u\,(dv)^2$$

可視為 warped metric

$$ds^2=(du)^2+\phi(u)^2(dv)^2, \qquad \phi(u)=\cos u.$$

此類度量的高斯曲率為

$$K=-\frac{\phi''(u)}{\phi(u)}.$$

因為

$$\phi'(u)=-\sin u,\qquad \phi''(u)=-\cos u,$$

所以

$$K=-\frac{-\cos u}{\cos u}=1.$$

另一方面，由高斯方程，

$$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}.$$

代入題目中的係數：

$$\frac{eg-f^2}{EG-F^2} = \frac{(\cos^2u)(1)-0}{(1)(\cos^2u)-0} =1.$$

因此高斯方程成立，尚不能判定存在性，必須繼續檢查科達齊方程。

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計算 Christoffel 符號

第一基本形式的矩陣為

$$(g_{ij})= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\cos^2u \end{pmatrix}, \qquad (g^{ij})= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\sec^2u \end{pmatrix}.$$

非零的 Christoffel 符號為

$$\Gamma^1_{22} = -\frac12\frac{\partial}{\partial u}(\cos^2u) = \cos u\sin u,$$

以及

$$\Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21} = \frac12\sec^2u \frac{\partial}{\partial u}(\cos^2u) = -\tan u.$$

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檢查科達齊方程

科達齊方程可寫成

$$h_{ij;k}=h_{ik;j},$$

其中 $h_{11}=e=\cos^2u$、$h_{12}=f=0$、$h_{22}=g=1$。

取其中一條必要條件：

$$h_{22;1}=h_{21;2}.$$

先計算左側：

核心觀念

本題考查圓錐面的第一、第二基本形式，以及：

• Gaussian curvature：
  $K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}.$
• Geodesic curvature：若曲線以弧長 $s$ 參數化，則
  $k_g=\left\langle \frac{dT}{ds},\,N\times T\right\rangle,$
  其中 $T$ 為單位切向量，$N$ 為選定的單位法向量。

題目中 $C_\alpha$ 的式子出現 $a$，以下視為筆誤，取 $a=\alpha$。

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解題方法

使用圓柱座標參數化圓錐面：

$$X(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,\alpha r), \qquad 0\le r\le 1.$$

當 $r=0$ 時為圓錐頂點，該點不是正則曲面點；曲率計算皆針對 $r>0$。

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(a) Gaussian curvature

先計算一階偏導：

$$X_r=(\cos\theta,\sin\theta,\alpha),$$ $$X_\theta=(-r\sin\theta,r\cos\theta,0).$$

因此第一基本形式係數為

$$E=\langle X_r,X_r\rangle=1+\alpha^2,$$ $$F=\langle X_r,X_\theta\rangle=0,$$ $$G=\langle X_\theta,X_\theta\rangle=r^2.$$

計算叉積：

$$X_r\times X_\theta = (-\alpha r\cos\theta,-\alpha r\sin\theta,r).$$

其長度為

$$\lVert X_r\times X_\theta\rVert = r\sqrt{1+\alpha^2}.$$

選取單位法向量

$$N= \frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}} (-\alpha\cos\theta,-\alpha\sin\theta,1).$$

接著計算二階偏導：

$$X_{rr}=(0,0,0),$$ $$X_{r\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta,0),$$ $$X_{\theta\theta}=(-r\cos\theta,-r\sin\theta,0).$$

第二基本形式係數為

$$e=\langle X_{rr},N\rangle=0,$$ $$f=\langle X_{r\theta},N\rangle=0,$$

以及

$$g=\langle X_{\theta\theta},N\rangle = \frac{\alpha r}{\sqrt{1+\alpha^2}}.$$

所以

$$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2} = \frac{0\cdot g-0^2}{(1+\alpha^2)r^2} =0, \qquad r>0.$$

因此，圓錐面在頂點以外是可展曲面，Gaussian curvature 為零。頂點 $r=0$ 非正則，Gaussian curvature 在該點沒有定義。

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(b) 圓周的 geodesic curvature

題給曲線為

核心觀念

本題結合以下三個幾何事實：

1. 高斯映射 $N$ 的面積伸縮率由 Gaussian curvature $K$ 給出：
   $\left|\operatorname{Jac}N\right|=K.$

2. Gauss–Bonnet 定理：
   $\int_D K\,dA+\int_{\partial D}k_g\,ds=2\pi\chi(D).$

3. $\gamma$ 是測地線，因此其測地曲率滿足
   $k_g=0.$

關鍵在於：$A$ 與 $B$ 的邊界都是同一條簡單閉測地線，所以分別對兩側使用 Gauss–Bonnet 定理，即可得到兩側的總 Gaussian curvature 相同；再利用高斯映射的面積公式，即得 $N(A)$ 與 $N(B)$ 面積相同。

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解題方法一：先確認高斯映射可用面積公式

因為 $\Sigma$ 是嵌入 $\mathbb R^3$ 的閉曲面，所以 $\Sigma$ 可定向。又因為 $K>0$ 處處成立，由 Gauss–Bonnet 定理，

$$\int_\Sigma K\,dA=2\pi\chi(\Sigma)>0.$$

因此 $\chi(\Sigma)>0$。閉且連通的可定向曲面中，只有球面具有正 Euler characteristic，所以 $\Sigma$ 拓撲上同胚於 $S^2$。

此外，高斯映射的微分滿足

$$\det(dN)=K.$$

由於 $K>0$，$dN$ 處處可逆，因此 $N$ 是局部微分同胚。$\Sigma$ 緊緻，所以 $N(\Sigma)$ 是 $S^2$ 的緊緻子集；局部微分同胚又使得 $N(\Sigma)$ 為開集。因此 $N(\Sigma)$ 同時開且閉，而 $S^2$ 連通，故

$$N(\Sigma)=S^2.$$

所以 $N:\Sigma\to S^2$ 是覆蓋映射。由於 $S^2$ 單連通，且 $\Sigma$ 連通，$N$ 實際上是一一對應的微分同胚。

因此，對任意 $\Sigma$ 上的區域 $D$，

$$\operatorname{Area}(N(D)) = \int_D K\,dA.$$

特別地，

$$\operatorname{Area}(N(A))=\int_A K\,dA, \qquad \operatorname{Area}(N(B))=\int_B K\,dA.$$

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對 $A$ 與 $B$ 分別使用 Gauss–Bonnet 定理