112 年 國立臺灣大學數學系碩士班《幾何》

本題考察參數化曲線的正規性判斷與曲率計算。給定一單位速率的規則曲線 $y(s)$，其曲率 $\kappa(s) > 0$。我們定義一新曲線 $\alpha(s) = y(s) + (t-s)y'(s)$，其中 $t$ 為常數且 $0 < t < 1$。我們要證明 $\alpha(s)$ 也是一規則曲線，並計算其曲率。

首先，我們計算 $\alpha(s)$ 的一階導數 $\alpha'(s)$：
$\alpha'(s) = \frac{d}{ds}(y(s) + (t-s)y'(s))$
$\alpha'(s) = y'(s) + \frac{d}{ds}(t-s)y'(s) + (t-s)\frac{d}{ds}(y'(s))$
$\alpha'(s) = y'(s) + (-1)y'(s) + (t-s)y''(s)$
$\alpha'(s) = (t-s)y''(s)$

由於 $y(s)$ 是單位速率曲線，我們有 $||y'(s)|| = 1$。對此式微分，可得 $y'(s) \cdot y''(s) = 0$。
此外，我們知道曲率 $\kappa(s)$ 的定義為 $||y''(s)|| = \kappa(s)$，因為 $y(s)$ 是單位速率曲線。

現在我們計算 $\alpha'(s)$ 的範數：
$||\alpha'(s)|| = ||(t-s)y''(s)||$
$||\alpha'(s)|| = |t-s| ||y''(s)||$
由於 $0 < t < 1$ 且 $0 < s < t$ (題目中未明確給出 $s$ 的範圍，但根據 $\alpha(s)$ 的定義，通常 $s$ 的範圍會被限制在使得 $t-s > 0$ 的區間，且 $y(s)$ 的定義域為 $[0, L]$。這裡我們假設 $s$ 屬於一個使得 $t-s > 0$ 的開區間。如果 $s > t$，則 $|t-s| = s-t$。然而，題目中給定的 $0 < t < 1$ 似乎暗示 $s$ 的範圍是 $0 < s < t$。我們在此假設 $0 < s < t$ 使得 $t-s > 0$。)
$||\alpha'(s)|| = (t-s) \kappa(s)$

由於 $\kappa(s) > 0$ 且我們假設 $t-s > 0$，所以 $||\alpha'(s)|| = (t-s)\kappa(s) > 0$。
這表示 $\alpha'(s) \neq 0$，因此 $\alpha(s)$ 是一規則曲線。

接下來，我們計算 $\alpha(s)$ 的曲率。首先，我們需要計算 $\alpha''(s)$。
$\alpha''(s) = \frac{d}{ds}((t-s)y''(s))$
$\alpha''(s) = \frac{d}{ds}(t-s)y''(s) + (t-s)\frac{d}{ds}(y''(s))$
$\alpha''(s) = (-1)y''(s) + (t-s)y'''(s)$
$\alpha''(s) = -y''(s) + (t-s)y'''(s)$

曲率的公式為 $\kappa_\alpha(s) = \frac{||\alpha'(s) \times \alpha''(s)||}{||\alpha'(s)||^3}$ (對於 $\mathbb{R}^3$) 或 $\kappa_\alpha(s) = \frac{||\det(\alpha'(s), \alpha''(s))||}{||\alpha'(s)||^3}$ (對於 $\mathbb{R}^2$)。
在 $\mathbb{R}^2$ 中，如果 $\alpha'(s) = (x'(s), y'(s))$，則 $\det(\alpha'(s), \alpha''(s)) = x'(s)y''(s) - y'(s)x''(s)$。

我們有 $\alpha'(s) = (t-s)y''(s)$。
令 $y''(s) = (u(s), v(s))$。則 $||\alpha'(s)|| = (t-s)\sqrt{u(s)^2 + v(s)^2} = (t-s)\kappa(s)$。
$\alpha'(s) = ((t-s)u(s), (t-s)v(s))$。
$\alpha''(s) = (-u(s) + (t-s)u'(s), -v(s) + (t-s)v'(s))$。

我們需要計算 $\det(\alpha'(s), \alpha''(s))$：
$\det(\alpha'(s), \alpha''(s)) = (t-s)u(s)(-v(s) + (t-s)v'(s)) - (t-s)v(s)(-u(s) + (t-s)u'(s))$
$= -(t-s)u(s)v(s) + (t-s)^2 u(s)v'(s) + (t-s)v(s)u(s) - (t-s)^2 v(s)u'(s)$
$= (t-s)^2 (u(s)v'(s) - v(s)u'(s))$

所以，
$\kappa_\alpha(s) = \frac{|(t-s)^2 (u(s)v'(s) - v(s)u'(s))|}{((t-s)\kappa(s))^3}$

本題考察空間曲線的 Frenet 框架及其微分方程，重點在於判斷給定的條件是否能被滿足。我們被要求判斷是否存在一條單位速率曲線 $\beta(s)$，其曲率 $\kappa(s) > 0$，並且其單位副法向量 $B(s)$ 滿足 $B''(s) = s^3T(s) + 4B(s)$。

根據 Frenet-Serret 公式，我們有：
$T'(s) = \kappa(s)N(s)$
$N'(s) = -\kappa(s)T(s) + \tau(s)B(s)$
$B'(s) = -\tau(s)N(s)$

我們要從 $B''(s)$ 開始分析。
$B''(s) = \frac{d}{ds}(B'(s)) = \frac{d}{ds}(-\tau(s)N(s))$
$B''(s) = -\tau'(s)N(s) - \tau(s)N'(s)$
將 $N'(s) = -\kappa(s)T(s) + \tau(s)B(s)$ 代入：
$B''(s) = -\tau'(s)N(s) - \tau(s)(-\kappa(s)T(s) + \tau(s)B(s))$
$B''(s) = \tau(s)\kappa(s)T(s) - \tau'(s)N(s) - (\tau(s))^2B(s)$

核心觀念

本題考查旋轉曲面的第一、第二基本形式，以及由此求得：

• 主方向與主曲率；
• 平均曲率 $H$；
• 高斯曲率 $K$；
• 測地線的判定。

對參數曲面 $\phi(u,v)$，記

$$E=\langle \phi_u,\phi_u\rangle,\qquad F=\langle \phi_u,\phi_v\rangle,\qquad G=\langle \phi_v,\phi_v\rangle.$$

若單位法向量為 $N$，第二基本形式係數為

$$e=\langle \phi_{uu},N\rangle,\qquad f=\langle \phi_{uv},N\rangle,\qquad g=\langle \phi_{vv},N\rangle.$$

當 $F=f=0$ 時，座標方向 $\phi_u,\phi_v$ 即為主方向，且

$$k_u=\frac{e}{E},\qquad k_v=\frac{g}{G},$$ $$H=\frac{k_u+k_v}{2},\qquad K=k_uk_v.$$

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解題方法

令

$$r(u)=\varphi(u),\qquad r'(u)=\varphi'(u),\qquad r''(u)=\varphi''(u).$$

參數化為

$$\phi(u,v)=\bigl(r\cos v,r\sin v,u\bigr).$$

先計算一階偏導數：

$$\phi_u=(r'\cos v,r'\sin v,1),$$ $$\phi_v=(-r\sin v,r\cos v,0).$$

因此第一基本形式係數為

$$E=\langle \phi_u,\phi_u\rangle=1+(r')^2,$$ $$F=\langle \phi_u,\phi_v\rangle=0,$$ $$G=\langle \phi_v,\phi_v\rangle=r^2.$$

設

$$W=\sqrt{1+(r')^2}.$$

取法向量方向

$$N=\frac{\phi_u\times\phi_v}{\lVert\phi_u\times\phi_v\rVert} =\frac{(-\cos v,-\sin v,r')}{W}.$$

法向量的反方向也可使用；若改用反方向，平均曲率的符號會改變，但高斯曲率不變。

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(a) 主方向、平均曲率與高斯曲率

第二基本形式

二階偏導數為

$$\phi_{uu}=(r''\cos v,r''\sin v,0),$$ $$\phi_{uv}=(-r'\sin v,r'\cos v,0),$$ $$\phi_{vv}=(-r\cos v,-r\sin v,0).$$

所以

$$e=\langle\phi_{uu},N\rangle =-\frac{r''}{W},$$ $$f=\langle\phi_{uv},N\rangle=0,$$ $$g=\langle\phi_{vv},N\rangle =\frac{r}{W}.$$

因此第二基本形式為

$$\mathrm{II} =-\frac{r''}{W}\,du^2+\frac{r}{W}\,dv^2.$$

主方向與主曲率

因為

$$F=0,\qquad f=0,$$

所以 $\phi_u$ 與 $\phi_v$ 正是兩個主方向：

• $\phi_u$：子午線方向，即 $v$ 固定的方向；
• $\phi_v$：平行圈方向，即 $u$ 固定的方向。

對應主曲率為

$$k_u=\frac{e}{E} =-\frac{r''}{\bigl(1+(r')^2\bigr)^{3/2}},$$ $$k_v=\frac{g}{G} =\frac{1}{r\sqrt{1+(r')^2}}.$$

換回 $\varphi$，得到

$$k_u= -\frac{\varphi''(u)} {\bigl(1+\varphi'(u)^2\bigr)^{3/2}},$$ $$k_v= \frac{1} {\varphi(u)\sqrt{1+\varphi'(u)^2}}.$$

平均曲率

$$H=\frac{k_u+k_v}{2}.$$

故

$$H(u,v) = \frac12 \left[ -\frac{\varphi''(u)} {\bigl(1+\varphi'(u)^2\bigr)^{3/2}} + \frac{1} {\varphi(u)\sqrt{1+\varphi'(u)^2}} \right].$$

整理為

$$H(u,v) = \frac{ 1+\varphi'(u)^2-\varphi(u)\varphi''(u) }{ 2\varphi(u)\bigl(1+\varphi'(u)^2\bigr)^{3/2} }.$$

此結果與 $v$ 無關，符合旋轉對稱性。

高斯曲率

由

$$K=k_uk_v$$

可得

$$K(u,v) = -\frac{\varphi''(u)} {\varphi(u)\bigl(1+\varphi'(u)^2\bigr)^2}.$$

因此

$$\boxed{ K(u,v)= -\frac{\varphi''(u)} {\varphi(u)\left(1+\varphi'(u)^2\right)^2} }.$$

同樣地，$K$ 與 $v$ 無關。

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(b) 子午線曲線是測地線

固定 $v=v_0$，子午線曲線為

$$\gamma(u)=\phi(u,v_0) = \bigl(\varphi(u)\cos v_0,\varphi(u)\sin v_0,u\bigr).$$

其切向量為

核心觀念

本題考查：

• 微分形式在不同座標表示下的相容性；
• 球面上的切向量滿足的切平面關係；
• 外向定向與面積形式；
• Stokes 定理判斷微分形式是否為 exact form。

在 $S^2$ 上，由約束方程

$$x^2+y^2+z^2=1$$

微分可得

$$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.$$

此式在 $S^2$ 的每一點、作用於切向量上皆成立。

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（a）證明 $\omega$ 定義良好

令

$$U_x=\{(x,y,z)\in S^2:x\neq 0\},$$

並定義

$$\omega_x=\frac{dy\wedge dz}{x}.$$

同理，在 $U_y$ 與 $U_z$ 上分別定義

$$\omega_y=\frac{dz\wedge dx}{y}, \qquad \omega_z=\frac{dx\wedge dy}{z}.$$

只需檢查這些表達式在交集上相等。

在 $U_x\cap U_y$ 上

由

$$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0$$

兩側與 $dz$ 外積，得到

$$x\,dx\wedge dz+y\,dy\wedge dz=0.$$

因為 $dx\wedge dz=-dz\wedge dx$，所以

$$y\,dy\wedge dz=x\,dz\wedge dx.$$

在 $x\neq 0$ 且 $y\neq 0$ 時，除以 $xy$：

$$\frac{dy\wedge dz}{x} = \frac{dz\wedge dx}{y}.$$

因此 $\omega_x=\omega_y$。

在 $U_y\cap U_z$ 上

將

$$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0$$

與 $dx$ 外積：

$$y\,dy\wedge dx+z\,dz\wedge dx=0.$$

由 $dy\wedge dx=-dx\wedge dy$，可得

$$z\,dz\wedge dx=y\,dx\wedge dy.$$

除以 $yz$：

$$\frac{dz\wedge dx}{y} = \frac{dx\wedge dy}{z}.$$

因此 $\omega_y=\omega_z$。

在 $U_z\cap U_x$ 上

將切平面關係與 $dy$ 外積：

$$x\,dx\wedge dy+z\,dz\wedge dy=0.$$

由 $dz\wedge dy=-dy\wedge dz$，得到

$$x\,dx\wedge dy=z\,dy\wedge dz.$$

除以 $xz$：

$$\frac{dy\wedge dz}{x} = \frac{dx\wedge dy}{z}.$$

因此 $\omega_x=\omega_z$。

三個局部定義在所有交集上皆相等，所以可拼接成 $S^2$ 上唯一且良定義的全域二形式 $\omega$。

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（b）計算 $\displaystyle\int_{S^2}\omega$

採用 $S^2$ 的標準外向定向。令 $\mathbb{R}^3$ 中的徑向向量場為

$$R=x\frac{\partial}{\partial x} +y\frac{\partial}{\partial y} +z\frac{\partial}{\partial z}.$$

令標準體積形式為

$$\operatorname{vol}=dx\wedge dy\wedge dz.$$

考慮內積作用得到的二形式：