108 年國立成功大學物理學系碩士班《物理數學》考古題與詳解

Question 1

Let A be a Hermitian matrix, U a unitary matrix, and R the set of real numbers, show that (1) $V = e^A$ is a unitary matrix; (2) if $U\vec{v} = \lambda\vec{v}$ for some $\vec{v} 
eq 0$, then the corresponding eigenvalue $\lambda = e^{i\phi}$ for some $\phi \in R$; (3) if A is both unitary and Hermitian, then it can only have eigenvalues from the set $\{\pm1\}$.

Accepted Answer

核心觀念 本題使用以下定義與性質： - Hermitian 矩陣：$A^\dagger=A$。 - Unitary 矩陣：$U^\dagger U=UU^\dagger=I$。 - 矩陣指數函數： $$ e^A=\sum{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!} $$ - 若 $U$ 為 unitary 矩陣，則其所有特徵值皆滿足絕對值為 $1$。 - 若 $A$ 同時為 Hermitian 與 unitary，則可利用 $A^\dagger=A$ 及 $A^\dagger A=I$ 得到 $A^2=I$。 --- 解題方法 （1）關於 $V=e^A$ 是否為 unitary 題目原文若為「$A$ 是 Hermitian，證明 $V=e^A$ 是 unitary」，此敘述一般不成立。 由 $A^\dagger=A$，可得 $$ V^\dagger=(e^A)^\dagger=e^{A^\dagger}=e^A=V。 $$ 因此 $V=e^A$ 是 Hermitian 矩陣，而非必然為 unitary 矩陣。進一步計算： $$ V^\dagger V=e^Ae^A=e^{2A}, $$ 除非 $e^{2A}=I$，否則不會等於 $I$。 例如取一階矩陣 $A=[1]$，則 $A$ 是 Hermitian，但 $$ V=e^A=[e], $$ 且 $$ V^\dagger V=[e^2]
eq [1]. $$ 所以題目第一小題應有筆誤。合理的正確敘述應為： $$ V=e^{iA} $$ 或是將條件改為 $A$ 為 anti-Hermitian，即 $A^\dagger=-A$。 若原意是證明 $V=e^{iA}$ 為 unitary，則 $$ V^\dagger=(e^{iA})^\dagger=e^{-iA^\dagger}=e^{-iA}, $$ 因此 $$ V^\dagger V=e^{-iA}e^{iA}=I。 $$ 同理， $$ VV^\dagger=e^{iA}e^{-iA}=I。 $$ 故 $e^{iA}$ 是 unitary 矩陣。 --- （2）Unitary 矩陣的特徵值形式 已知 $$ U\vec v=\lambda\vec v, \qquad \vec v
eq 0。 $$ 因為 $U$ 是 unitary 矩陣，所以 $$ U^\dagger U=I。 $$ 考慮向量長度平方： $$ \|U\vec v\|^2 =(U\vec v)^\dagger(U\vec v) =\vec v^\dagger U^\dagger U\vec v =\vec v^\dagger\vec v =\|\vec v\|^2。 $$ 另一方面，由 $U\vec v=\lambda\vec v$， $$ \|U\vec v\|^2 =\|\l…

Question 2

Let A be a Hermitian matrix, U a unitary matrix, and R the set of real numbers, show that (1) $V = e^A$ is a unitary matrix; (2) if $U\vec{v} = \lambda\vec{v}$ for some $\vec{v} 
eq 0$, then the corresponding eigenvalue $\lambda = e^{i\phi}$ for some $\phi \in R$; (3) if A is both unitary and Hermitian, then it can only have eigenvalues from the set $\{\pm1\}$.

Accepted Answer

核心觀念 本題使用以下定義與性質： - Hermitian 矩陣：$A^\dagger=A$。 - Unitary 矩陣：$U^\dagger U=UU^\dagger=I$。 - 矩陣指數函數： $$ e^A=\sum{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!} $$ - 若 $U$ 為 unitary 矩陣，則其所有特徵值皆滿足絕對值為 $1$。 - 若 $A$ 同時為 Hermitian 與 unitary，則可利用 $A^\dagger=A$ 及 $A^\dagger A=I$ 得到 $A^2=I$。 --- 解題方法 （1）關於 $V=e^A$ 是否為 unitary 題目原文若為「$A$ 是 Hermitian，證明 $V=e^A$ 是 unitary」，此敘述一般不成立。 由 $A^\dagger=A$，可得 $$ V^\dagger=(e^A)^\dagger=e^{A^\dagger}=e^A=V。 $$ 因此 $V=e^A$ 是 Hermitian 矩陣，而非必然為 unitary 矩陣。進一步計算： $$ V^\dagger V=e^Ae^A=e^{2A}, $$ 除非 $e^{2A}=I$，否則不會等於 $I$。 例如取一階矩陣 $A=[1]$，則 $A$ 是 Hermitian，但 $$ V=e^A=[e], $$ 且 $$ V^\dagger V=[e^2]
eq [1]. $$ 所以題目第一小題應有筆誤。合理的正確敘述應為： $$ V=e^{iA} $$ 或是將條件改為 $A$ 為 anti-Hermitian，即 $A^\dagger=-A$。 若原意是證明 $V=e^{iA}$ 為 unitary，則 $$ V^\dagger=(e^{iA})^\dagger=e^{-iA^\dagger}=e^{-iA}, $$ 因此 $$ V^\dagger V=e^{-iA}e^{iA}=I。 $$ 同理， $$ VV^\dagger=e^{iA}e^{-iA}=I。 $$ 故 $e^{iA}$ 是 unitary 矩陣。 --- （2）Unitary 矩陣的特徵值形式 已知 $$ U\vec v=\lambda\vec v, \qquad \vec v
eq 0。 $$ 因為 $U$ 是 unitary 矩陣，所以 $$ U^\dagger U=I。 $$ 考慮向量長度平方： $$ \|U\vec v\|^2 =(U\vec v)^\dagger(U\vec v) =\vec v^\dagger U^\dagger U\vec v =\vec v^\dagger\vec v =\|\vec v\|^2。 $$ 另一方面，由 $U\vec v=\lambda\vec v$， $$ \|U\vec v\|^2 =\|\l…

108 年國立成功大學物理學系碩士班《物理數學》

第 1 題

核心觀念

解題方法

（1）關於 $V=e^A$ 是否為 unitary

（2）Unitary 矩陣的特徵值形式

第 1 題

核心觀念

解題方法

（1）關於 $V=e^A$ 是否為 unitary

（2）Unitary 矩陣的特徵值形式

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108 年 國立成功大學物理學系碩士班《物理數學》

第 1 題

核心觀念

解題方法

（1）關於 V=eAV=e^AV=eA 是否為 unitary

（2）Unitary 矩陣的特徵值形式

第 1 題

核心觀念

解題方法

（1）關於 V=eAV=e^AV=eA 是否為 unitary

（2）Unitary 矩陣的特徵值形式

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（1）關於 $V=e^A$ 是否為 unitary

（1）關於 $V=e^A$ 是否為 unitary