112 年 國立成功大學物理學系碩士班《物理數學》

核心觀念

本題考查矩陣的跡（trace）、交換子（commutator）與厄米矩陣（Hermitian matrix）的基本性質：

1. 任意有限維方陣滿足
   $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)。$

   因此交換子的跡必為零：
   $\operatorname{tr}([X,Y])=\operatorname{tr}(XY-YX)=0。$

2. 矩陣 $H$ 為 Hermitian 的定義是
   $H^\dagger=H,$

   其中 $\dagger$ 表示共軛轉置。

3. 兩個 Hermitian 矩陣的交換子是反厄米矩陣：
   $[A,B]^\dagger=-[A,B]。$

---

解題方法

（a）證明每個矩陣的跡皆為零

題目給定

$$[M_j,M_k]=M_jM_k-M_kM_j=iM_l,$$

其中 $j,k,l$ 為循環指標。對等式兩邊取跡：

$$\operatorname{tr}([M_j,M_k]) =\operatorname{tr}(M_jM_k-M_kM_j)。$$

利用跡的循環性質，

$$\operatorname{tr}(M_jM_k)=\operatorname{tr}(M_kM_j)，$$

所以

$$\operatorname{tr}([M_j,M_k])=0。$$

另一方面，由題目中的交換關係，

$$\operatorname{tr}([M_j,M_k]) =\operatorname{tr}(iM_l) =i\operatorname{tr}(M_l)。$$

故

$$i\operatorname{tr}(M_l)=0。$$

由於 $i\neq 0$，可得

$$\operatorname{tr}(M_l)=0。$$

循環指標 $(j,k,l)$ 會輪流涵蓋所有矩陣，因此每一個矩陣的跡皆為零：

$$\boxed{\operatorname{tr}(M_j)=\operatorname{tr}(M_k)=\operatorname{tr}(M_l)=0}。$$

---

（b）證明 $C$ 為 Hermitian

已知 $A,B$ 皆為 Hermitian，因此

核心觀念

本題考查下列向量分析定理與公式：

1. 無散向量場（solenoidal field）的定義：
   $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$

2. 向量勢的定義：若
   $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$
   則稱 $\mathbf{A}$ 為 $\mathbf{B}$ 的一個向量勢。

3. 梯度場的旋度恆為零：
   $\nabla\times(\nabla f)=\mathbf{0}$

4. 散度與叉積的公式：

$$\nabla\cdot(\mathbf{P}\times\mathbf{Q}) =\mathbf{Q}\cdot(\nabla\times\mathbf{P}) -\mathbf{P}\cdot(\nabla\times\mathbf{Q})$$

5. 乘積的旋度公式：

$$\nabla\times(f\mathbf{P}) =(\nabla f)\times\mathbf{P} +f(\nabla\times\mathbf{P})$$

假設 $u$、$v$ 至少具有二階連續偏導數，使上述運算成立。

解題方法

題目給定

$$\mathbf{B}=(\nabla u)\times(\nabla v)$$

第（a）問直接計算 $\nabla\cdot\mathbf{B}$，並利用梯度場旋度為零的性質。

第（b）問則直接計算所給向量場 $\mathbf{A}$ 的旋度，驗證是否滿足

$$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$$

（a）證明 $\mathbf{B}$ 為無散向量場

由

$$\mathbf{B}=(\nabla u)\times(\nabla v)$$

使用散度與叉積公式：

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = \nabla\cdot\left[(\nabla u)\times(\nabla v)\right]$$

令 $\mathbf{P}=\nabla u$、$\mathbf{Q}=\nabla v$，則

$$\nabla\cdot\left[(\nabla u)\times(\nabla v)\right] = (\nabla v)\cdot\left[\nabla\times(\nabla u)\right] - (\nabla u)\cdot\left[\nabla\times(\nabla v)\right]$$

由於梯度場的旋度為零，

$$\nabla\times(\nabla u)=\mathbf{0}, \qquad \nabla\times(\nabla v)=\mathbf{0}$$

因此

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = (\nabla v)\cdot\mathbf{0} - (\nabla u)\cdot\mathbf{0} =0$$

所以 $\mathbf{B}$ 為無散向量場。

也可用分量形式驗證。設

$$\nabla u=(u_x,u_y,u_z), \qquad \nabla v=(v_x,v_y,v_z)$$

則

$$\mathbf{B} = \left( u_yv_z-u_zv_y,\; u_zv_x-u_xv_z,\; u_xv_y-u_yv_x \right)$$

計算散度後，各項會因混合偏導數相等而互相抵消，例如

$$\frac{\partial}{\partial x}(u_yv_z) - \frac{\partial}{\partial y}(u_xv_z) = u_{yx}v_z+u_yv_{zx} - u_{xy}v_z-u_xv_{zy}$$

其中 $u_{yx}=u_{xy}$，其餘項也以相同方式抵消，故仍得到

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

（b）證明 $\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{B}$ 的向量勢

題目給定

$$\mathbf{A} = \frac{1}{2}\left(u\nabla v-v\nabla u\right)$$

計算其旋度：

核心觀念

本題屬於一階齊次線性常微分方程式（First-order Homogeneous Linear ODE）。求解此類方程式的核心觀念與工具包括：

1. 變數分離法（Separation of Variables）：若一階常微分方程式可整理為 $f(y)\,dy = g(x)\,dx$ 之形式，即可兩邊直接積分求解。
2. 一階線性微分方程之積分因子（Integrating Factor）：對於標準形式 $y' + P(x)y = 0$，其積分因子為 $I(x) = e^{\int P(x)\,dx}$，使原式化為 $\frac{d}{dx}[I(x)y] = 0$。

---

解題方法

方法一：變數分離法（推薦，最直觀快速）

原微分方程式為：

$$\frac{dy}{dx} + \left(1 + \frac{1}{x}\right) y = 0$$

步驟一：移項進行變數分離
當 $y \neq 0$ 且 $x \neq 0$ 時，將含 $y$ 與含 $x$ 的項分別移至等號兩側：

$$\frac{1}{y}\,dy = -\left(1 + \frac{1}{x}\right) dx$$

步驟二：兩端同時積分

$$\int \frac{1}{y}\,dy = -\int \left(1 + \frac{1}{x}\right) dx$$

計算不定積分：

$$\ln|y| = -\left(x + \ln|x|\right) + C_1 = -x - \ln|x| + C_1$$

其中 $C_1$ 為積分常數。

步驟三：化簡解出 $y(x)$
對兩邊取指數函數（Exponential）：

$$|y| = e^{-x - \ln|x| + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-x} \cdot e^{-\ln|x|} = \frac{e^{C_1} e^{-x}}{|x|}$$

去除絕對值符號，令任意常數 $C = \pm e^{C_1}$，並納入 $y \equiv 0$ 的平凡解（對應 $C = 0$）：

$$y(x) = \frac{C e^{-x}}{x} \quad (C \in \mathbb{R})$$

---

方法二：積分因子法（Integrating Factor Method）

核心觀念

本題考查複變函數的三個基本工具：

1. Cauchy 積分定理：若函數在封閉曲線及其內部解析，則沿該曲線的積分為零。
2. Cauchy 積分公式：可直接計算解析函數在曲線內部某點的函數值。
3. 留數與部分分式分解：處理積分路徑內含有奇點的情況。

---

(a) Cauchy 積分定理

設 $f(z)$ 在簡單閉曲線 $C$ 的內部區域及曲線 $C$ 上皆解析，且 $C$ 為正向繞行，則

$$\oint_C f(z)\,dz=0.$$

更一般地，若 $f(z)$ 在一個單連通區域內解析，則沿該區域內任意封閉曲線 $C$ 有

$$\oint_C f(z)\,dz=0.$$

重點是：曲線內部不能包含 $f(z)$ 的奇點。

---

(b) Cauchy 積分公式

若 $f(z)$ 在簡單閉曲線 $C$ 及其內部解析，且 $a$ 位於 $C$ 內部，則

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$

因此也可寫成

$$\oint_C \frac{f(z)}{z-a}\,dz=2\pi i\,f(a).$$

其中 $C$ 必須為正向繞行。若使用負向繞行，積分值則改變符號。

---

(c) 計算複線積分

題目要求計算

$$\oint_C \frac{dz}{z(2z+1)},$$

其中 $C$ 為繞行單位圓的封閉曲線：

$$|z|=1.$$

以下採標準約定，$C$ 為逆時針正向繞行。

方法一：部分分式分解

先分解被積分函數：

$$\frac{1}{z(2z+1)} = \frac{A}{z}+\frac{B}{2z+1}.$$

比較係數：

$$1=A(2z+1)+Bz =(2A+B)z+A.$$

因此

$$A=1,\qquad 2A+B=0,$$

得到

$$B=-2.$$

所以

$$\frac{1}{z(2z+1)} = \frac{1}{z}-\frac{2}{2z+1}.$$

故原積分為

$$\oint_C \frac{dz}{z(2z+1)} = \oint_C\frac{dz}{z} - 2\oint_C\frac{dz}{2z+1}.$$

被積分函數的奇點為

$$z=0,\qquad z=-\frac12.$$

核心觀念

本題考查 Gamma 函數的定義、變數代換，以及它在 $z\to 0^+$ 時的漸近行為。重要關係式為

$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),$$

這可由 Gamma 函數的定義分部積分得到。

解題方法

(a) 計算 $\int_0^\infty e^{-x^4}\,dx$

令 $t=x^4$，則 $x=t^{1/4}$，且

$$dx=\frac14 t^{-3/4}\,dt.$$

因此

$$\int_0^\infty e^{-x^4}\,dx =\frac14\int_0^\infty e^{-t}t^{-3/4}\,dt.$$

由 Gamma 函數定義

$$\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,dt,$$

取 $z=\frac14$，便有 $z-1=-\frac34$，所以

$$\int_0^\infty e^{-x^4}\,dx =\frac14\Gamma\left(\frac14\right).$$

(b) 求 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\Gamma(\alpha x)}{\Gamma(x)}$

由遞迴公式 $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$，對 $z>0$ 可寫成

$$\Gamma(z)=\frac{\Gamma(1+z)}{z}.$$

所以

核心觀念

這題考的是希爾伯特空間中的柯西–施瓦茲不等式。內積滿足正定性：對任意向量 $|h\rangle$，

$$\langle h|h\rangle \geq 0$$

且 $\langle h|h\rangle=0$ 當且僅當 $|h\rangle=0$。證明的關鍵是從 $|f\rangle$ 中扣除它在 $|g\rangle$ 方向上的分量，使剩下的向量與 $|g\rangle$ 正交，再利用範數非負。

解題方法與推導

先分情況處理。若 $|g\rangle=0$，則 $\langle g|g\rangle=0$、$\langle f|g\rangle=0$，不等式兩邊皆為零，成立。

以下設 $|g\rangle\neq 0$，因此 $\langle g|g\rangle>0$。定義

$$|h\rangle = |f\rangle - |g\rangle\frac{\langle g|f\rangle}{\langle g|g\rangle}$$

這個選擇讓 $|h\rangle$ 與 $|g\rangle$ 正交：

$$\langle g|h\rangle = \langle g|f\rangle - \langle g|g\rangle \frac{\langle g|f\rangle}{\langle g|g\rangle} = 0$$

由定義可將 $|f\rangle$ 寫成

$$|f\rangle = |h\rangle + |g\rangle\frac{\langle g|f\rangle}{\langle g|g\rangle}$$