112 年 國立成功大學太空與電漿科學研究所《電磁學》

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第 1 題10 分

Shown in the following figures, there are two identical sets of magnets. Two aluminum plates are swung between the magnets. The plate in Fig. (b) has some cuts as shown in the figure. Which one will stop earlier and why? (10%)
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核心觀念

本題考查渦電流與楞次定律。鋁板在磁鐵間擺動時，穿過鋁板的磁通量改變，板內會產生感應電動勢與渦電流。依楞次定律，感應電流造成的磁力會阻礙鋁板的運動，使機械能轉成焦耳熱。

感應電動勢與焦耳熱功率分別為

E=−dΦBdt,P=I2R.\mathcal{E}=-\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad P=I^2R.

解題方法

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第 2 題15 分

Shown in the following figures, there are two sets of idea solenoids with infinite lengths. The current directions are shown in the figures. (2a) In Fig. (a), the radius of the solenoid is a, and there are Na turns within a length of L. Assuming that the current flowing through the solenoid is I, what is the magnetic field at different y? (5%) (2b) In Fig. (b), there are two coaxial solenoids. The radius of the inner solenoid is a while the radius of the outer solenoid is b. There are Na turns within the length of L for the inner solenoid. There are N, turns within the length of L for the outer solenoid. Assuming that the same current I flows through both solenoids but in the opposite direction, what is the magnetic field at different y? (10%)
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核心觀念

本題考理想無限長螺線管的磁場。由安培定律，若每單位長度有 nn 匝、每匝電流為 II，則螺線管內部磁場大小為

B=μ0nIB=\mu_0 nI

理想無限長螺線管外部磁場為零。本題兩個螺線管同軸，總磁場依磁場疊加原理計算。

令圖中的軸向為 +x^+\hat{\mathbf{x}}，徑向座標為 yy。圖中的「點」代表電流出紙面，「叉」代表電流入紙面。

解題方法

(2a) 單一螺線管

每單位長度匝數為

na=NaLn_a=\frac{N_a}{L}

依圖示電流方向，螺線管內的磁場指向 −x^-\hat{\mathbf{x}}。因此

B(y)={−μ0NaLI x^,∣y∣<a,0,∣y∣>a.\mathbf{B}(y)= \begin{cases} -\mu_0\dfrac{N_a}{L}I\,\hat{\mathbf{x}}, & |y|<a,\\[6pt] \mathbf{0}, & |y|>a. \end{cases}

(2b) 兩個同軸螺線管

內、外螺線管的每單位長度匝數分別為

na=NaL,nb=NbLn_a=\frac{N_a}{L}, \qquad n_b=\frac{N_b}{L}

由圖可見，內螺線管的磁場指向 −x^-\hat{\mathbf{x}}，外螺線管的磁場指向 +x^+\hat{\mathbf{x}}。

  • 當 ∣y∣<a|y|<a，位於兩個螺線管內部，兩個磁場方向相反，故相減：
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第 3 題30 分

The following figure shows four infinitely long metal plates. The one on zz plane and the one on yz plane are grounded, i.e., V = 0. The one parallel to az plane located at y = b is also grounded. The one parallel to yz plane located at x = a is at a constant potential Vo. Please (3a) find the potential inside the resulting rectangular pipe. (20%) (3b) Find the electric field inside the rectangular pipe. (10%)
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核心觀念

考點是無自由電荷區域的靜電位滿足拉普拉斯方程，以及用分離變數法處理矩形邊界條件。依原圖，矩形管內部範圍為 0<x<a0<x<a、0<y<b0<y<b，沿 zz 方向無限延伸，因此電位與 zz 無關：

∇2V=∂2V∂x2+∂2V∂y2=0,E=−∇V.\nabla^2 V=\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0, \qquad \mathbf E=-\nabla V.

邊界條件為 x=0x=0、y=0y=0、y=by=b 接地，x=ax=a 維持電位 V0V_0。

解題方法

先令 V(x,y)=X(x)Y(y)V(x,y)=X(x)Y(y)。代入拉普拉斯方程並分離變數，取能符合 y=0,by=0,b 接地條件的正弦解：

Yn(y)=sin⁡(nπyb).Y_n(y)=\sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right).

對應的 xx 方向解為雙曲正弦與雙曲餘弦的線性組合。由 x=0x=0 接地，雙曲餘弦項係數必須為零，因此電位可寫成

V(x,y)=∑n=1∞Ansinh⁡(nπxb)sin⁡(nπyb).V(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sinh\left(\frac{n\pi x}{b}\right) \sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right).

在 x=ax=a 處，電位必須滿足 V(a,y)=V0V(a,y)=V_0。將常數 V0V_0 展開成區間 0<y<b0<y<b 上的傅立葉正弦級數：

V0=∑n=1∞Bnsin⁡(nπyb),Bn=2b∫0bV0sin⁡(nπyb) dy=2V0nπ[1−(−1)n].V_0=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right), \qquad B_n=\frac{2}{b}\int_0^b V_0\sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right)\,dy =\frac{2V_0}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right].

因此偶數項係數為零，奇數項 Bn=4V0/(nπ)B_n=4V_0/(n\pi)。由 Ansinh⁡(nπa/b)=BnA_n\sinh(n\pi a/b)=B_n，得到

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第 4 題25 分

As shown in the following figure, there is a uniform magnetic field pointing out of the paper (z axis). An electron is moving on the ry plane with a speed of v. The electron gyros around the magnetic field line (circular motion) due to the Lorentz force. (4a) Please write down the formula of the Lorentz force. (5%) (4b) Does the electron gyro around the magnetic field line in the clockwise or counterclockwise direction? (5%) (4c) What is the radius of the circular motion? (5%) (4d) What's the rotational frequency (gyro frequency) of the circular motion? (10%)
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核心觀念

本題考查洛倫茲力如何使帶電粒子在均勻磁場中做等速圓周運動。磁力垂直於速度，因此不改變電子速率；它提供圓周運動所需的向心力。

解題方法與逐小題推導

從原卷圖可讀到：電子在紙面內運動，中央磁場符號為 ⊗\otimes，表示磁場入紙面；但題目印刷文字寫磁場出紙面。兩者方向相反，以下依照「以圖為準」的要求，先按圖示判定旋轉方向，並列出按文字判讀時的方向供對照。令 e>0e>0 為基本電荷量，電子電荷為 −e-e。

(4a) 洛倫茲力

洛倫茲力公式為

F=q(E+v×B).\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B).

本題只有磁場，故 E=0\mathbf E=0；代入電子電荷 q=−eq=-e：

F=−e v×B.\mathbf F=-e\,\mathbf v\times\mathbf B.

(4b) 旋轉方向

依圖示，B=−Bz^\mathbf B=-B\hat{\mathbf z}，其中 BB 表示磁場量值。取電子某一瞬間的速度為 v=vy^\mathbf v=v\hat{\mathbf y}，則

F=−e[(vy^)×(−Bz^)]=evBx^.\mathbf F =-e\left[(v\hat{\mathbf y})\times(-B\hat{\mathbf z})\right] =evB\hat{\mathbf x}.

在電子位於圓周左側時，向心力指向右方，正符合此力的方向；此時速度向上，因此電子繞行方向為順時針。

若依印刷文字採用出紙面的磁場 B=Bz^\mathbf B=B\hat{\mathbf z}，同樣取 v=vy^\mathbf v=v\hat{\mathbf y}，便有

F=−evBx^,\mathbf F=-evB\hat{\mathbf x},
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第 5 題20 分

Shown in the following Fig. (a) is a simplified schematic of a Streak Camera that can convert temporal electron signal into a spatial image. In the camera, there is a pair of electrodes parallel to each other and with a separation of d. Lengths of both electrodes are S. The top electrode is at potential Uup while the bottom electrode is at potential Ubottom such that a uniform electric field Eŷ is provided between the electrodes. Assume that no electric field is presented outside the electrode pair. The distance between the screen and the end of the region with the field is L. The screen is coated with phosphor so that it lights out when electrons reach the screen. Assume that L >> S. When electrons with a velocity v = voz enter the camera, they are accelerated in the y direction because of the electric field within the electrode pair. (5a) Assuming that Uup = Uo/2 and Ubottom = -Uo/2, what's the acceleration of electrons when they are between electrode pair? (5%) (5b) Assuming that Uup = Uo/2 and Ubottom = -Uo/2, electrons will arrive on the screen at y = d. What is d? (10%) (5c) Let Uup and Ubottom change with time. The functions are Uup (t) = Uo/2 - Uot/r and Ubottom (t) = −U./2 + U.t/т. Let the time electrons pass through the electrode pair be neglected. Therefore, electrons that come into the camera at t = 0 arrive at the screen at y = d while those come into the camera att = arrive at the screen at y = -δ. Figure (b) shows the number of electrons that enter the camera as a function of time. Please draw the intensity of the screen as a function of y. (5%)
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核心觀念

本題使用電場與電位差的關係 E=−∇V\mathbf E=-\nabla V、電子受力定律 F=qE\mathbf F=q\mathbf E，以及等加速度運動。電子在極板間受到固定的 yy 向加速度，離開極板後則以固定的橫向速度飛向螢光幕。

第 5(c) 小題再利用電壓隨時間改變，使電子的入射時間映射成螢幕上的位置；螢幕亮度與對應時間的入射電子數成正比。

解題方法與推導

圖(a)顯示兩片平行板沿 zz 方向長 SS、間距為 dd，上板電位為 UupU_{\text{up}}、下板電位為 UbottomU_{\text{bottom}}；電子以速度 v0z^v_0\hat{\mathbf z} 入射，離開極板後再飛行距離 LL 到達螢光幕。圖(b)的入射電子數由 t=0t=0 線性上升，在 t=2τ/3t=2\tau/3 達到峰值，再線性下降至 t=τt=\tau 時為零；題圖指出 t=0t=0 的電子到達 y=δy=\delta，t=τt=\tau 的電子到達 y=−δy=-\delta。

(5a) 電子在極板間的加速度

取圖中的 +y^+\hat{\mathbf y} 向上。上板電位比下板高 U0U_0，因此板間電場由上往下：

E=−U0dy^.\mathbf E=-\frac{U_0}{d}\hat{\mathbf y}.

電子電荷為 q=−eq=-e，所以

a=qEme=eU0medy^.\mathbf a=\frac{q\mathbf E}{m_e} =\frac{eU_0}{m_e d}\hat{\mathbf y}.

電子加速度指向 +y^+\hat{\mathbf y}，與圖中電子受力方向一致。

(5b) 螢幕上的偏移量 δ\delta

電子在極板間沿 zz 方向前進的時間為

tS=Sv0.t_S=\frac{S}{v_0}.

在極板間的 yy 向加速度為 ay=eU0/(med)a_y=eU_0/(m_e d)，因此電子離開極板時的橫向位移與速度分別為

yS=12aytS2,vy,S=aytS.y_S=\frac{1}{2}a_y t_S^2, \qquad v_{y,S}=a_y t_S.

離開極板後沒有電場，電子以 vy,Sv_{y,S} 再飛行 L/v0L/v_0 的時間，故螢幕上的總偏移量為

δ=yS+vy,SLv0=ayv02(S22+SL).\delta =y_S+v_{y,S}\frac{L}{v_0} =\frac{a_y}{v_0^2}\left(\frac{S^2}{2}+SL\right).

代入 aya_y 得

δ=eU0med v02(S22+SL).\delta =\frac{eU_0}{m_e d\,v_0^2} \left(\frac{S^2}{2}+SL\right).

因為 L≫SL\gg S，可近似為

δ≈eU0SLmed v02.\delta\approx\frac{eU_0SL}{m_e d\,v_0^2}.

偏移量與 U0U_0 成正比，並隨板間距 dd 增大而減小；上式量綱為長度，符合 δ\delta 的物理意義。

(5c) 螢幕強度 I(y)I(y)

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