113 年 國立成功大學太空與電漿科學研究所《電磁學》

核心觀念

本題考查電磁學的四個基本定律，即 Maxwell 方程組。它們分別描述：

1. 電荷如何產生電場。
2. 磁場是否存在孤立磁荷。
3. 變動磁場如何產生電場。
4. 電流與變動電場如何產生磁場。

在 SI 制、真空中的微分形式為

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ $$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$ $$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla\times\mathbf{B} =\mu_0\mathbf{J} +\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

其中：

• $\mathbf{E}$：電場，單位為 $\mathrm{V/m}$。
• $\mathbf{B}$：磁通密度，單位為 $\mathrm{T}$。
• $\rho$：體電荷密度，單位為 $\mathrm{C/m^3}$。
• $\mathbf{J}$：電流密度，單位為 $\mathrm{A/m^2}$。
• $\varepsilon_0$：真空介電常數。
• $\mu_0$：真空磁導率。
• $\nabla\cdot$：散度，描述向量場是否具有源或匯。
• $\nabla\times$：旋度，描述向量場的局部旋轉性。

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解題方法：依散度與旋度分類

微分形式的 Maxwell 方程式可分成兩條散度方程式與兩條旋度方程式：

方程式	類型	物理意義
$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$	電場散度	電荷是電場的源
$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$	磁場散度	磁場沒有孤立磁荷
$\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$	電場旋度	變動磁場產生感應電場
$\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t$	磁場旋度	電流與變動電場產生磁場

這樣的分類可快速掌握每條方程式所描述的場源與場的空間結構。

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第一式：Gauss 電場定律

$$\boxed{\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}}$$

此式表示電場的散度正比於電荷密度。若某一點有正電荷，電場線由該處向外發散；若有負電荷，電場線則向該處匯聚。

由散度定理，

$$\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \int_V \left(\nabla\cdot\mathbf{E}\right)dV$$

代入第一條 Maxwell 方程式可得

$$\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho\,dV = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

因此其積分形式為

$$\boxed{ \oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0} }$$

其中 $Q_{\mathrm{enc}}$ 是封閉曲面所包住的總電荷。

物理意義

• 電荷是電場的源。
• 封閉曲面的電通量只由曲面內的總電荷決定。
• 曲面外的電荷雖可影響局部電場，但對整個封閉曲面的淨電通量沒有貢獻。

若 $\rho=0$，則

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=0,$$

表示該區域內沒有電荷作為電場源，但電場本身仍可能不為零。

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第二式：Gauss 磁場定律

$$\boxed{\nabla\cdot\mathbf{B}=0}$$

此式表示磁場的散度處處為零。磁力線沒有起點與終點，而是形成封閉曲線。

由散度定理，

$$\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = \int_V \left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)dV =0.$$

因此積分形式為

$$\boxed{ \oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}=0 }$$

物理意義

• 自然界目前沒有觀測到孤立磁單極子。
• 任何封閉曲面的淨磁通量皆為零。
• 磁力線若從封閉曲面某處穿出，必然會從其他地方穿入。
• 磁鐵的北極與南極無法被單獨分離成孤立磁荷；切斷磁鐵只會產生新的南北兩極。

此式與第一式的重要差異是：

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

允許電荷作為電場的源；而

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

表示磁場沒有對應的磁荷源。

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第三式：Faraday 電磁感應定律

$$\boxed{ \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} }$$

此式表示時間變化的磁場會產生具有旋度的電場。這種電場稱為感應電場。

由 Stokes 定理，

$$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = \int_S \left(\nabla\times\mathbf{E}\right)\cdot d\mathbf{a}.$$

代入第三條 Maxwell 方程式：

$$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\int_S \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a}.$$

若曲面固定不動，可寫成

$$\boxed{ \oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} }$$

也就是

$$\boxed{ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} }$$

其中 $\mathcal{E}$ 是感應電動勢，$\Phi_B$ 是磁通量。

負號的意義：Lenz 定律

負號代表感應電場所造成的電流，其磁效應會抵抗原本磁通量的變化：

• 磁通量增加時，感應效應產生反向磁場。
• 磁通量減少時，感應效應產生同向磁場，以維持原有磁通量。

重要觀念

即使區域內沒有電荷，若磁場隨時間變化，仍可有

$$\nabla\times\mathbf{E}\neq 0.$$

核心觀念

本題考查兩個相互關聯的概念：

1. 電荷守恆定律（charge conservation law）
   電荷不會憑空產生或消失，只能在空間中流動。其微分形式為
   $\boxed{\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0}$
   其中 $\rho$ 為電荷密度，$\mathbf{J}$ 為傳導電流密度。

2. 位移電流（displacement current）
   時變電場也能產生磁場，因此安培定律必須由
   $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$
   修正為安培–馬克士威定律
   $\boxed{\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}}$
   其中
   $\mathbf{J}_{d}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$
   稱為位移電流密度。

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解題方法：由 Maxwell 方程式推導電荷守恆

使用安培–馬克士威定律：

$$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

對等式兩側取散度：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) = \nabla\cdot\mathbf{J} + \nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

向量恆等式指出，任意向量場的旋度散度皆為零：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H})=0$$

因此：

$$0 = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{D})$$

再利用高斯定律的微分形式：

$$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$$

可得：

$$0 = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t}$$

故電荷守恆定律為：

$$\boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0}$$

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電荷守恆的積分形式

取一固定體積 $V$，由散度定理：

$$\int_V \nabla\cdot\mathbf{J}\,dv = \oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}$$

將微分形式積分於體積 $V$：

$$\int_V \left( \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} \right)dv =0$$

因此：

$$\frac{d}{dt}\int_V\rho\,dv + \oint_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} =0$$

令體積內總電荷為

$$Q_V=\int_V\rho\,dv$$

則：

$$\boxed{ \frac{dQ_V}{dt} = -\oint_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} }$$

物理意義是：體積內電荷的減少率，等於流出該體積的電流。若電流流入體積，則體積內電荷增加。

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為何需要位移電流

原本的安培定律為：

$$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$$

對兩側取散度：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) = \nabla\cdot\mathbf{J}$$

由於左側必為零，便得到：

$$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$$

這只適用於穩態電流，因為此時 $\partial\rho/\partial t=0$。但在電容器充電過程中，導線內有傳導電流，電容極板間卻沒有電荷實際穿越真空或介電質間隙。若只使用 $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$，會造成安培定律對不同積分曲面的預測不一致。

馬克士威加入修正項：

$$\boxed{ \nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} }$$

其中位移電流密度定義為：

$$\boxed{\mathbf{J}_d=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}}$$

真空中 $\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}$，所以：

$$\mathbf{J}_d = \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

核心觀念

本題考查在真空、無自由電荷與無電流區域中，由四個 Maxwell 方程式推導電場與磁場的波動方程。

真空中的本構關係為

$$\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E},\qquad \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$$

無源真空區域滿足 $\rho=0$、$\mathbf{J}=0$，因此 Maxwell 方程式可寫為

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=0$$ $$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$ $$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

推導的關鍵是旋度運算與向量恆等式

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}$$

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解題方法：推導電場波動方程

從 Faraday 定律開始：

$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

兩邊取旋度：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\nabla\times\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

因空間微分與時間微分可交換，

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla\times\mathbf{B}\right)$$

代入 Ampère-Maxwell 定律：

$$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

得到

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$

套用向量恆等式：

$$\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E} = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$

由 Gauss 定律 $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$，可得

$$-\nabla^2\mathbf{E} = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$

因此電場波動方程為

$$\boxed{ \nabla^2\mathbf{E} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} =0 }$$

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磁場波動方程

從 Ampère-Maxwell 定律開始：

$$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

兩邊取旋度：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla\times\mathbf{E}\right)$$

代入 Faraday 定律：

$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

因此

核心觀念

本題考查波的兩種重要速度：

1. 相速度（phase velocity）：固定相位的波峰、波谷或任一等相位面之傳播速度。
2. 群速度（group velocity）：由許多頻率相近、波數相近的波疊加形成之波包，其包絡線的傳播速度。

基本關係為

$$v_p=\frac{\omega}{k},$$

其中 $\omega$ 為角頻率，$k$ 為波數；群速度定義為

$$v_g=\frac{d\omega}{dk}.$$

波長與波數的關係為

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}.$$

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相速度 $v_p$ 的意義

考慮一個簡諧平面波：

$$\psi(z,t)=A\cos(kz-\omega t+\phi_0).$$

波的相位為

$$\Phi=kz-\omega t+\phi_0.$$

若追蹤一個固定相位，例如波峰，則 $\Phi$ 必須保持不變。因此

$$d\Phi=k\,dz-\omega\,dt=0.$$

整理得

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\omega}{k}.$$

所以相速度為

$$\boxed{v_p=\frac{\omega}{k}}.$$

相速度描述的是「相同相位的位置」移動的速度，例如某一個波峰前進的速度。

利用

$$\omega=2\pi f,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},$$

也可寫成

$$v_p=\frac{2\pi f}{2\pi/\lambda}=f\lambda.$$

因此

$$\boxed{v_p=f\lambda}.$$

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群速度 $v_g$ 的意義

實際的波通常不是單一頻率的無限延伸波，而是由許多頻率相近的波疊加形成波包。波包可視為快速振盪的載波，加上隨時間移動的包絡線。

對於頻率與波數集中在 $\omega_0$、$k_0$ 附近的窄頻波包，其包絡線的傳播速度為

$$\boxed{v_g=\frac{d\omega}{dk}}.$$

群速度代表波包整體移動的速度。在許多物理情況下，能量或訊息主要隨著波包的包絡線傳遞，因此群速度常可用來描述能量傳播速度。

若介質具有色散性，不同頻率的波具有不同相速度，波包在傳播過程中會逐漸展寬或變形，此時通常有

$$v_g\ne v_p.$$

若介質沒有色散，所有頻率的相速度相同，則波包不會因色散而展寬，並且

$$v_g=v_p.$$

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推導 $v_g=v_p-\lambda\dfrac{dv_p}{d\lambda}$

由相速度定義

$$v_p=\frac{\omega}{k},$$

可得

$$\omega=kv_p.$$

將 $\omega$ 對 $k$ 微分：

核心觀念

本題考查：

• 庫侖定律與連續電荷分布；
• 圓環電荷的旋轉對稱性；
• 電場在觀測點接近理想線電荷時的奇異性。

題目明確指出圓環「厚度為無限小」，因此它是理想線電荷。理想線電荷上的電場並非有限值，而會發散。

設圓環半徑為 $R$、總電荷為 $Q$，其線電荷密度為

$$\lambda=\frac{Q}{2\pi R}.$$

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解題方法

由圓環的旋轉對稱性，考慮 $x$ 軸上的觀測點

$$P=(r,0).$$

圓環上位於角度 $\phi$ 的微小電荷為

$$dq=\lambda R\,d\phi.$$

電荷位置為

$$\mathbf r'=(R\cos\phi,R\sin\phi),$$

因此由 $dq$ 在 $P$ 產生的電場為

$$d\mathbf E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq\,[\mathbf r-\mathbf r']} {|\mathbf r-\mathbf r'|^3}.$$

其中

$$|\mathbf r-\mathbf r'| = \sqrt{r^2+R^2-2rR\cos\phi}.$$

由上下對稱性，$y$ 方向分量互相抵消，電場只剩徑向分量：

$$E_r(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \lambda R \int_0^{2\pi} \frac{r-R\cos\phi} {\left(r^2+R^2-2rR\cos\phi\right)^{3/2}} \,d\phi.$$

重點在於觀測點接近圓環。令

$$r=R+\delta, \qquad |\delta|\ll R,$$

其中 $\delta$ 是觀測點到圓環的徑向距離。

主要貢獻來自最接近觀測點的 $\phi=0$ 附近。使用近似

$$\cos\phi\approx 1-\frac{\phi^2}{2},$$

可得

$$r^2+R^2-2rR\cos\phi \approx \delta^2+R^2\phi^2,$$

且分子主要部分為

$$r-R\cos\phi\approx \delta.$$

因此

$$E_r \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \lambda R \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta} {(\delta^2+R^2\phi^2)^{3/2}} \,d\phi.$$

利用