113 年 國立成功大學地球科學研究所乙組《普通物理學》

核心觀念

本題考查「介電質分層的平行板電容」。由圖可知，兩種介電質沿電場方向上下排列，因此兩層介電質形成串聯電容，而不是並聯電容。

平行板面積為

$$A=WL$$

兩層介電質各占板間距的一半，因此每層厚度為

$$d_1=d_2=\frac{t}{2}.$$

---

解題方法

對介電常數分別為 $K_1$、$K_2$ 的兩層介電質，個別電容為

$$C_1=\frac{K_1\epsilon_0 A}{t/2} =\frac{2K_1\epsilon_0 WL}{t},$$ $$C_2=\frac{K_2\epsilon_0 A}{t/2} =\frac{2K_2\epsilon_0 WL}{t}.$$

由於兩層介電質沿電場方向排列，故採用串聯公式：

$$\frac{1}{C_{\mathrm{eq}}} =\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.$$

代入 $C_1$ 與 $C_2$：

核心觀念

本題利用球對稱性與高斯定律：

$$\oint \vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$

金屬在靜電平衡時，金屬內部電場必為零，因此金屬內表面會感應出抵消中心電荷的電荷。以下採用金屬球殼原本不帶淨電荷的標準假設。

絕緣球半徑為 $a$、總電荷為 $Q$，且電荷均勻分布，因此

$$\rho=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi a^3} =\frac{3Q}{4\pi a^3}.$$

---

解題方法

取半徑為 $r$ 的同心球形高斯面，電場皆沿徑向且大小只與 $r$ 有關，因此

$$E(4\pi r^2)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

(a) $r<a$ 時的電場

高斯面內所包覆的電荷為

$$Q_{\text{enc}}=\rho\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) =Q\frac{r^3}{a^3}.$$

因此

$$E(4\pi r^2) =\frac{Qr^3/a^3}{\varepsilon_0},$$

得到

$$\boxed{\vec E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^3}\,r\,\hat r}, \qquad r<a.$$

若 $Q>0$，方向向外；若 $Q<0$，方向向內。

---

(b) $a<r<b$ 時的電場

此時高斯面已包住整個絕緣球，因此

$$Q_{\text{enc}}=Q.$$

由高斯定律：

$$E(4\pi r^2)=\frac{Q}{\varepsilon_0},$$

所以

$$\boxed{\vec E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,\hat r}, \qquad a<r<b.$$

---

(c) $b<r<c$ 時的電場

此區域位於金屬球殼內部。靜電平衡時金屬內部不能存在電場，因此

$$\boxed{\vec E(r)=0}, \qquad b<r<c.$$

由此也可求得金屬內表面的感應電荷。取位於金屬內部的高斯面，因為 $E=0$，故包覆總電荷必須為零：

$$Q+Q_{\text{inner}}=0.$$

因此

$$Q_{\text{inner}}=-Q.$$

若金屬球殼原本中性，外表面感應電荷為

$$Q_{\text{outer}}=+Q.$$

---

(d) $c<r$ 時的電場

在金屬球殼外部，高斯面包覆的總電荷為

$$Q+(-Q)+(+Q)=Q.$$

因此

$$\boxed{\vec E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,\hat r}, \qquad c<r.$$

外部電場等效於球心放置一個總電荷 $Q$ 的點電荷所產生的電場。

---

核心觀念

本題考查 Maxwell 方程組，以及假設存在磁單極後，電場與磁場方程式的對稱化。

原本的 Maxwell 方程組中：

• 電荷密度 $\rho_e$ 是電場的源；
• 電流密度 $\vec{J}_e$ 是磁場旋度的源；
• $\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0$ 表示不存在磁單極，磁力線必須形成封閉曲線。

若世界中存在磁單極，其磁荷密度記為 $\rho_m$，磁流密度記為 $\vec{J}_m$。若單一磁單極的磁荷量為 $p_m$，則可表示為

$$\rho_m(\vec r,t)=p_m\delta^{(3)}(\vec r-\vec r_m(t)).$$

磁單極存在時，磁場可以具有散度；若磁單極移動，也會形成磁流，並在 Faraday 定律中產生額外源項。

解題方法

將原 Maxwell 方程組中的「電荷—電流」結構與「磁荷—磁流」結構對應起來：

• $\rho_e$ 對應磁荷密度 $\rho_m$；
• $\vec{J}_e$ 對應磁流密度 $\vec{J}_m$；
• 原本的 $\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0$ 改為磁荷產生磁場散度；
• 原本的 Faraday 定律增加磁流密度項。

在 SI 制中，採用磁荷定義使 $\rho_m$ 的單位與電荷密度類似，廣義 Maxwell 方程組為

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho_e}{\epsilon_0},$$ $$\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = \mu_0\rho_m,$$ $$\vec{\nabla}\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} -\mu_0\vec{J}_m,$$ $$\vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_0\vec{J}_e + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.$$

其中：

• $\rho_e$：電荷密度；
• $\vec{J}_e$：電流密度；
• $\rho_m$：磁荷密度；
• $\vec{J}_m$：磁流密度；
• $\mu_0$：真空磁導率；
• $\epsilon_0$：真空電容率。

若磁單極以速度 $\vec v_m$ 移動，則其磁流密度為

$$\vec{J}_m=\rho_m\vec v_m.$$

因此，單一磁單極 $p_m$ 位於 $\vec r_m(t)$ 時，

$$\rho_m(\vec r,t) = p_m\delta^{(3)}(\vec r-\vec r_m(t)),$$ $$\vec{J}_m(\vec r,t) = p_m\vec v_m \delta^{(3)}(\vec r-\vec r_m(t)).$$

各方程式的物理意義

電場高斯定律

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho_e}{\epsilon_0}$$

電荷是電場的源。磁單極的存在不會直接改變此式，因此電場散度仍由電荷密度決定。

磁場高斯定律

原本為

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0.$$

存在磁荷後改為

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = \mu_0\rho_m.$$

核心觀念

本題考查「保守力與機械能守恆」。

物體受力為

$$F(x)=m\ddot{x}=-k_1x-k_2x^2$$

由於力只與位置 $x$ 有關，且不顯含時間，因此可定義位能 $U(x)$：

$$F(x)=-\frac{dU}{dx}$$

動能為

$$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2}$$

總能量定義為

$$E=T+U$$

必須求出 $U(x)$，再計算 $\dfrac{dE}{dt}$。

解題方法

1. 求位能

由

$$F(x)=-\frac{dU}{dx}=-k_1x-k_2x^2$$

可得

$$\frac{dU}{dx}=k_1x+k_2x^2$$

對 $x$ 積分：

$$U(x)=\int \left(k_1x+k_2x^2\right)\,dx$$

因此

$$U(x)=\frac{1}{2}k_1x^2+\frac{1}{3}k_2x^3+C$$

其中 $C$ 是任意位能基準常數，對能量守恆的判斷沒有影響。取 $C=0$，則

$$U(x)=\frac{1}{2}k_1x^2+\frac{1}{3}k_2x^3$$

所以總能量為

$$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2} +\frac{1}{2}k_1x^2 +\frac{1}{3}k_2x^3$$

2. 直接計算總能量的時間導數

對總能量對時間微分：

$$\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2} +\frac{1}{2}k_1x^2 +\frac{1}{3}k_2x^3 \right)$$

各項分別微分：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2}\right) =m\dot{x}\ddot{x}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}k_1x^2\right) =k_1x\dot{x}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}k_2x^3\right) =k_2x^2\dot{x}$$

因此

$$\frac{dE}{dt} = m\dot{x}\ddot{x} +k_1x\dot{x} +k_2x^2\dot{x}$$

提出 $\dot{x}$：

此題考驗對二階線性齊次微分方程的求解，特別是關於阻尼振動的特徵。

該微分方程為一個二階線性齊次常微分方程，其形式為 $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$。
為了求解此方程，我們假設其解的形式為 $x(t) = e^{\lambda t}$。將此解代入微分方程，得到其特徵方程：
$\lambda^2 e^{\lambda t} + 2\beta \lambda e^{\lambda t} + \omega_0^2 e^{\lambda t} = 0$。
由於 $e^{\lambda t} \neq 0$，我們可以除以 $e^{\lambda t}$，得到特徵方程：
$\lambda^2 + 2\beta\lambda + \omega_0^2 = 0$。

我們使用二次方程求根公式來求解 $\lambda$：
$\lambda = \frac{-2\beta \pm \sqrt{(2\beta)^2 - 4(1)(\omega_0^2)}}{2(1)}$
$\lambda = \frac{-2\beta \pm \sqrt{4\beta^2 - 4\omega_0^2}}{2}$
$\lambda = \frac{-2\beta \pm 2\sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}}{2}$
$\lambda = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}$。

題目給出的條件是 $\beta < \omega_0$。這意味著 $\beta^2 < \omega_0^2$，所以 $\beta^2 - \omega_0^2 < 0$。
因此，根 $\lambda$ 是複數。我們可以將根寫成：