115 年 國立成功大學太空與電漿科學研究所《普通物理學》

本題主要考查核反應的能量產生機制以及利用質能轉換公式計算反應能量。

核心觀念：核反應的能量來源是反應物與生成物的質量差，此質量差轉換為能量。

(a) 核反應產生能量的原因在於質量虧損。根據愛因斯坦的質能等價原理 $E=mc^2$，質量和能量是等價的。在一個能夠釋放能量的核反應中，反應物的總質量會大於生成物的總質量。這個質量上的差額（稱為質量虧損，$\Delta m$）會轉化為能量釋放出來。
對於題目中的反應：
$^2_1H + ^3_1H \rightarrow ^4_2He + ^1_0n$
若反應物的總質量 $m_{reactants} = m_D + m_T$ 大於生成物的總質量 $m_{products} = m_\alpha + m_n$，則質量虧損 $\Delta m = m_{reactants} - m_{products} > 0$，此質量虧損將轉化為能量 $E = \Delta m c^2$ 釋放。

(b) 計算核反應產生的能量。
首先，我們需要計算反應物和生成物的總質量。
已知數據：

• 氘 (D, $^2$H) 的質量 $m_D = 2.0141$ u
• 氚 (T, $^3$H) 的質量 $m_T = 3.0160$ u
• 氦原子核 ($\alpha$) 的質量 $m_\alpha = 4.0026$ u
• 中子 ($n$) 的質量 $m_n = 1.0086$ u
• 原子質量單位 $u = 1.66 \times 10^{-27}$ kg
• 光速 $c = 3 \times 10^8$ m/s

反應物的總質量：

本題考查放射性衰變的半衰期概念以及對自然界中放射性元素豐度的理解。

核心觀念：放射性物質的衰變遵循指數衰減定律，其速率由半衰期決定。

(a) 計算經過特定時間後放射性物質的剩餘量。
放射性物質的衰變遵循指數衰減定律：
$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$
其中：

• $N(t)$ 是經過時間 $t$ 後剩餘的物質量。
• $N_0$ 是初始物質量。
• $T_{1/2}$ 是半衰期。
• $t$ 是經過的時間。

題目給定：

• 初始質量 $m_0 = 1$ kg
• 半衰期 $T_{1/2} = 12.3$ 年
• 經過時間 $t = 123$ 年

計算經過的時間是半衰期的多少倍：
$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{123 \text{ 年}}{12.3 \text{ 年}} = 10$

所以，經過 123 年後，相當於經過了 10 個半衰期。
剩餘質量 $m(123)$ 可以用以下公式計算：
$m(123) = m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
$m(123) = 1 \text{ kg} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$

核心觀念

兩極板間可視為一維平行板電容器，令 $x$ 軸由陽極 $A$ 指向陰極 $K$：

• 陽極電位：$V(0)=10\ \mathrm{V}$
• 陰極電位：$V(10\ \mathrm{cm})=0$
• 電場與電位關係：
  $E_x=-\frac{dV}{dx}$
• 導體內部電場為 $0$。
• 介電質內：
  $\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E},\qquad \varepsilon=\kappa\varepsilon_0$
  其中 $\kappa>1$ 為相對介電常數。

以下只討論兩極板內側之間的區域，極板厚度不列入 $x$ 的距離。

(a) 未插入任何材料

極板間距為 $10\ \mathrm{cm}=0.10\ \mathrm{m}$，因此電場為均勻電場：

$$E_a=\frac{\Delta V}{L} =\frac{10}{0.10} =100\ \mathrm{V/m}$$

方向由陽極指向陰極，即 $+x$ 方向。

電位函數為

$$V_a(x)=10-\frac{10}{0.10}x =10-100x$$

其中 $x$ 以公尺為單位，$0\leq x\leq 0.10$。

因此：

• $V_a(x)$：由 $10\ \mathrm{V}$ 線性下降至 $0\ \mathrm{V}$
• $E_a(x)$：全區域為常數 $100\ \mathrm{V/m}$

(b) 插入厚度 $2\ \mathrm{cm}$ 的介電質

由圖可知介電質位於

$$4\ \mathrm{cm}\leq x\leq 6\ \mathrm{cm}$$

兩側真空區域各為 $4\ \mathrm{cm}$。

設介電質相對介電常數為 $\kappa$。由於介面上沒有額外自由面電荷，法向電位移相同：

$$D=\varepsilon_0 E_{\mathrm{vac}} =\kappa\varepsilon_0 E_{\mathrm{d}}$$

所以

$$E_{\mathrm{d}}=\frac{E_{\mathrm{vac}}}{\kappa}$$

總電位差為

$$10 =E_{\mathrm{vac}}(0.08) +E_{\mathrm{d}}(0.02)$$

代入 $E_{\mathrm{d}}=E_{\mathrm{vac}}/\kappa$：

$$10 =E_{\mathrm{vac}} \left(0.08+\frac{0.02}{\kappa}\right)$$

故真空區域的電場為

$$E_{\mathrm{vac}} = \frac{10}{0.08+0.02/\kappa}$$

介電質內的電場為

$$E_{\mathrm{d}} = \frac{1}{\kappa} \frac{10}{0.08+0.02/\kappa}$$

兩者方向皆為 $+x$。

電位函數

令 $E_{\mathrm{vac}}=E_b^{(\mathrm{vac})}$，則

$$V_b(x)= \begin{cases} 10-E_b^{(\mathrm{vac})}x, &0\leq x\leq0.04,\\[6pt] 10-0.04E_b^{(\mathrm{vac})} -\dfrac{E_b^{(\mathrm{vac})}}{\kappa}(x-0.04), &0.04\leq x\leq0.06,\\[8pt] E_b^{(\mathrm{vac})}(0.10-x), &0.06\leq x\leq0.10. \end{cases}$$

電位圖形特徵為：

• 真空區域電位下降較陡。
• 介電質內電場較小，因此電位下降較緩。
• 電位在介面處連續，但斜率改變。

電場函數為

本題考查的是環形線圈（toroid）產生的磁場。

核心觀念：環形線圈內部由於對稱性，磁場可以通過安培定律求解。

(a) 計算環形線圈內部任意一點的磁場。
環形線圈是一個將螺線管的兩端連接起來形成的環狀結構。它具有高度的軸對稱性。
考慮一個半徑為 $R$ 的閉合迴路，該迴路位於環形線圈的內部（即 $R_1 \le R \le R_0$）。
根據安培定律：
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc}$
其中：

• $\vec{B}$ 是磁場。
• $d\vec{l}$ 是積分路徑上的一小段。
• $\mu_0$ 是真空磁導率。
• $I_{enc}$ 是通過積分迴路所包圍面積的總電流。

由於環形線圈的對稱性，磁場 $\vec{B}$ 必定沿著圓周方向，且大小在半徑為 $R$ 的圓上是均勻的。因此，對於半徑為 $R$ 的圓形積分迴路，磁場 $\vec{B}$ 與 $d\vec{l}$ 方向相同，且 $|\vec{B}|$ 為常數。
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \oint dl = B (2\pi R)$
接下來計算穿過這個圓形迴路所包圍面積的總電流 $I_{enc}$。
假設線圈的總匝數為 $N$，總電流為 $I$。
穿過半徑為 $R$ 的圓形迴路的總電流是所有線圈匝數乘以電流。
$I_{enc} = N \times I$

將其代入安培定律：
$B (2\pi R) = \mu_0 N I$
因此，磁場 $B$ 為：
$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi R}$
這個公式適用於環形線圈的內部，即 $R_1 \le R \le R_0$。
在環形線圈的外部 ($R < R_1$ 或 $R > R_0$)，通過任意封閉迴路的總電流為零（因為每個線圈的電流在外部迴路所包圍的區域內相互抵消），因此外部磁場為零。

核心觀念

本題考查無摩擦斜面上的等加速度運動與機械能守恆。

球由 $\alpha$ 點由靜止開始，路徑中轉折處不損失速度，因此：

• 斜面方向加速度：

  $a=g\sin\theta=g\frac{\Delta h}{L}$

• 由靜止出發的等加速度位移：

  $L=\frac{1}{2}at^2$

• 機械能守恆：

  $\frac{1}{2}mv^2=mg\Delta h$

圖中取 $\alpha=(0,2)$、$\beta=(2,1)$，因此總下降高度為 $1\ \mathrm{m}$。以下採用球由靜止開始的條件。

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(a) 路徑 a

路徑 a 為直線，水平位移 $2\ \mathrm{m}$、垂直下降 $1\ \mathrm{m}$，所以斜面長度為

$L_a=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{m}$

斜面方向加速度為

$a_a=g\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{g}{\sqrt{5}}$

由

$L_a=\frac{1}{2}a_at_a^2$

得

$\sqrt{5}=\frac{1}{2}\frac{g}{\sqrt{5}}t_a^2$

$t_a=\sqrt{\frac{10}{g}}$

末速度由能量守恆決定：

$\frac{1}{2}mv_a^2=mg(1)$

$v_a=\sqrt{2g}$

若取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$：

$t_a\approx1.01\ \mathrm{s},\qquad v_a\approx4.43\ \mathrm{m/s}$

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(b) 路徑 b

第一段斜面

第一段由 $\alpha$ 到轉折點，水平、垂直位移皆為 $1\ \mathrm{m}$，所以

$L_{b1}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$

下降高度為 $1\ \mathrm{m}$，加速度為

$a_{b1}=g\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{g}{\sqrt{2}}$

因此

$\sqrt{2}=\frac{1}{2}\frac{g}{\sqrt{2}}t_{b1}^2$

$t_{b1}=\frac{2}{\sqrt{g}}$

到達轉折點時的速度為

$v_{b1}=\sqrt{2g}$

第二段水平面

水平面長度為 $1\ \mathrm{m}$，無摩擦，所以速度保持 $\sqrt{2g}$，所需時間為

$t_{b2}=\frac{1}{\sqrt{2g}}$

總時間：

$$t_b=t_{b1}+t_{b2} =\frac{2}{\sqrt{g}}+\frac{1}{\sqrt{2g}}$$

$t_b=\frac{2+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{g}}$

末速度仍為

$v_b=\sqrt{2g}$

若取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$：

$t_b\approx0.86\ \mathrm{s},\qquad v_b\approx4.43\ \mathrm{m/s}$

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(c) 路徑 c

第一段斜面

本題考查的是浮力與阿基米德原理，以及固體和液體密度關係。

核心觀念：

1. 阿基米德原理：浸在流體中的物體受到向上的浮力，其大小等於物體排開流體的重量。 $F_b = \rho_{fluid} g V_{submerged}$。
2. 浮體平衡：漂浮在液面上的物體，其重力等於所受的浮力。 $W_{object} = F_b$。
3. 密度：$\rho = m/V$。

情況 (a)：單一冰塊漂浮

• 冰塊漂浮在水面上，處於平衡狀態。
• 冰塊的重力 $W_{ice} = m_{ice} g$。
• 冰塊受到的浮力 $F_b = \rho_{water} g V_{submerged}$。
• 由於平衡， $W_{ice} = F_b$，即 $m_{ice} g = \rho_{water} g V_{submerged}$。
• 所以，冰塊排開水的體積 $V_{submerged} = \frac{m_{ice}}{\rho_{water}}$。

當冰塊完全熔化成水時，其質量不變，仍為 $m_{ice}$。
熔化後的冰塊變成同質量的水。這部分水的體積為 $V_{melted\_water} = \frac{m_{ice}}{\rho_{water}}$。

觀察水位的變化：
水位是由所有浸入水中的物體（包括冰塊本身浸入水中的部分）排開水的總體積決定的。
當冰塊熔化後，它所佔據的體積 $V_{submerged}$（即排開水的體積）被熔化後的水的體積 $V_{melted\_water}$ 所取代。
由於 $V_{submerged} = \frac{m_{ice}}{\rho_{water}}$ 且 $V_{melted\_water} = \frac{m_{ice}}{\rho_{water}}$，這兩個體積是相等的。
這意味著，當冰塊熔化後，它所排開的水的體積恰好等於它熔化後自身形成的水的體積。
因此，水面高度 H 不會改變。

為什麼？
因為漂浮的物體，它排開液體的重量等於它自身的重量。當它熔化成液體後，自身的重量並沒有改變，所以它所形成的液體體積，其重量也等於它自身的重量。由於水的密度是恆定的，所以它形成的液體體積也恰好等於它熔化前排開液體的體積。

情況 (b)：多個冰塊，至少一個接觸底部

• 在這個情況下，至少有一個冰塊接觸到杯底。
• 這意味著，這個冰塊可能不是完全漂浮的，它的重力可能大於它所受的浮力（如果它沉到底部，它就不是漂浮的了）。
• 然而，題目說「ice cubes in a glass of water」。通常冰塊會漂浮。
• 如果冰塊接觸底部，可能是因為冰塊的密度略大於水（但冰的密度比水小），或者是因為杯子太淺，或者是因為冰塊的堆疊方式。
• 最關鍵的點在於：如果一個物體「接觸底部」，它就不再是單純的「漂浮」狀態。
• 但是，如果冰塊仍然是冰（密度小於水），它應該是漂浮的。
• 讓我們假設題目指的是，冰塊雖然密度比水小，但由於其他冰塊的擠壓或杯子的高度限制，導致某個冰塊「靠在」底部，但仍然受到浮力。

重新思考：
如果冰塊接觸底部，這可能意味著：

1. 冰塊的密度略大於水（不可能，因為冰的密度總是小於水）。
2. 冰塊所受的浮力不足以支撐其全部重量，因此一部分重量由杯底承受。
3. 杯子很淺，冰塊的底部被固定在杯底。

讓我們從阿基米德原理出發：
對於漂浮的冰塊，排開的水的體積 $V_{submerged} = m_{ice} / \rho_{water}$。
當冰塊熔化成水後，其體積為 $V_{melted\_water} = m_{ice} / \rho_{water}$。
因此，對於所有漂浮的冰塊，熔化後水位的變化是零。

但是，在情況 (b) 中，至少有一個冰塊接觸底部。
這意味著，這個冰塊的重力 $W_{ice}$ 可能大於它所能獲得的浮力 $F_b$。
如果冰塊接觸底部，那麼它受到的浮力 $F_b$ 是由它排開水的體積決定的，即 $F_b = \rho_{water} g V_{submerged}$。
如果 $W_{ice} > F_b$，那麼杯底會對冰塊施加一個向上的支撐力。

一個更直接的理解：
當冰塊熔化成水時，它所佔據的體積（排開水的體積）被它熔化後自身形成的水的體積所取代。
如果冰塊是完全漂浮的（情況 a），那麼它排開水的體積等於它熔化後水的體積，水位不變。

在情況 (b) 中，如果一個冰塊接觸底部，這意味著它可能比完全漂浮時排開了更多的水，或者它所佔據的體積更大。
或者，更簡單地說：
如果冰塊接觸底部，這意味著它部分被浸沒，但同時又被底部支撐。
如果冰塊是完全浸沒在水中的，並且接觸到底部。
那麼，它排開水的體積 $V_{submerged}$。
熔化後，它形成的水的體積 $V_{melted\_water} = m_{ice} / \rho_{water}$。