115 年 國立成功大學地球科學研究所甲組《普通物理學》

本題考查一維無限位能井的薛丁格方程求解、邊界條件應用以及量子力學的機率解釋。

核心觀念：無限位能井的定態薛丁格方程、週期性邊界條件、機率密度。

(a) 求解無限位能井內的能階 $E_n$。
在無限位能井 $0 \le x \le a$ 區域內，位能 $U(x) = 0$，薛丁格方程變為
$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$
令 $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$，則方程變為
$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -k^2\psi(x)$
其通解為 $\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$。

由於位能為無限大，粒子在 $x < 0$ 和 $x > a$ 區域出現的機率必須為零，因此 $\psi(x) = 0$ 對於這些區域。根據波函數的連續性，必須滿足 $\psi(0) = 0$ 和 $\psi(a) = 0$。

應用邊界條件 $\psi(0) = 0$:
$\psi(0) = A \sin(k \cdot 0) + B \cos(k \cdot 0) = A \cdot 0 + B \cdot 1 = B$
所以 $B = 0$。
此時波函數為 $\psi(x) = A \sin(kx)$。

應用邊界條件 $\psi(a) = 0$:
$\psi(a) = A \sin(ka) = 0$
由於 $A \neq 0$ (否則波函數為零，沒有粒子存在)，因此必須滿足 $\sin(ka) = 0$。
這意味著 $ka = n\pi$, 其中 $n$ 為正整數 (若 $n=0$, $k=0$, $\psi(x)=0$；若 $n$ 為負整數，則與正整數情況重複，只是波函數符號不同)。
所以 $k_n = \frac{n\pi}{a}$。

將 $k_n$ 代入 $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$，我們得到能階 $E_n$:
$\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 = \frac{2mE_n}{\hbar^2}$
$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$
【答案】 $E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$

(b) 求解係數 $A$ 與 $B$。
由 (a) 的分析可知，根據邊界條件 $\psi(0) = 0$，我們得到 $B = 0$。
所以波函數的形式為 $\psi_n(x) = A \sin(k_n x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)$。

為了確定係數 $A$，我們需要對波函數進行歸一化，即粒子在整個空間出現的機率為 1。
$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_n(x)|^2 dx = 1$
在無限位能井中，粒子只存在於 $0 \le x \le a$ 區域，因此積分範圍為 $[0, a]$。
$\int_0^a |A \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)|^2 dx = 1$
$|A|^2 \int_0^a \sin^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx = 1$
利用積分公式 $\int \sin^2(ax) dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2ax)}{4a}$，或使用 Hint 中的公式 $\int \sin^2(ax) dx = \frac{1}{2a} \sin(ax) \cos(ax) + c$，這裡令 $u = \frac{n\pi x}{a}$，則 $du = \frac{n\pi}{a} dx$， $dx = \frac{a}{n\pi} du$。
$\int_0^a \sin^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx = \int_0^{n\pi} \sin^2(u) \frac{a}{n\pi} du = \frac{a}{n\pi} \int_0^{n\pi} \frac{1 - \cos(2u)}{2} du$

本題考查馬克士威方程組的物理意義、高斯磁定律以及電磁波的產生與傳播。

核心觀念：馬克士威方程組、高斯磁定律、波動方程式、坡印亭向量。

(a) 為什麼 (2) 式的等號右手邊為 0。
式 (2) 是馬克士威方程組中的高斯磁定律 (Gauss's law for magnetism)。
$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
這個定律表明，穿過任何閉合曲面的總磁通量恆為零。
其物理意義是：磁單極子不存在。
磁場線總是閉合的曲線，沒有起點也沒有終點。這與電場不同，電場可以從正電荷發散到負電荷，因此對於包含正電荷的閉合曲面，淨電通量通常不為零。
所以，無論選擇哪個閉合曲面，進入該曲面的磁力線數量必定等於離開該曲面的磁力線數量，因此總磁通量為零。

【答案】 磁單極子不存在，磁場線總是閉合的。

(b) 假設真空中的電磁波方程為 $\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$， $\psi$ 為電場 $\mathbf{E}$ 或是磁場 $\mathbf{B}$。試推導 $\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$ 為真空中電磁波的波速。

我們知道一維波動方程的形式為
$\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$
其中 $v$ 是波的傳播速度。
將題目給出的電磁波方程
$\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$
與標準的一維波動方程進行比較，我們可以看到
$\frac{1}{v^2} = \mu_0 \varepsilon_0$
因此，波速 $v$ 為
$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$
這個速度就是光在真空中的傳播速度，通常用 $c$ 表示。

推導過程：
馬克士威方程組在真空中（無自由電荷 $\rho=0$，無自由電流 $\mathbf{J}=0$）可以寫為：
(1) $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$
(2) $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
(3) $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
(4) $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

考慮沿 $z$ 方向傳播的平面電磁波，電場 $\mathbf{E} = E_y(z,t) \hat{\mathbf{j}}$，磁場 $\mathbf{B} = B_x(z,t) \hat{\mathbf{i}}$。
由 (3) 式：$\nabla \times \mathbf{E} = \left(\frac{\partial E_z}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{i}} + \left(\frac{\partial E_x}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{j}} + \left(\frac{\partial E_y}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{k}}$
由於 $\mathbf{E}$ 只有 $y$ 分量且只與 $z, t$ 有關， $\mathbf{B}$ 只有 $x$ 分量且只與 $z, t$ 有關。
$\nabla \times \mathbf{E} = \frac{\partial E_y}{\partial z} \hat{\mathbf{k}}$
$-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\frac{\partial B_x}{\partial t} \hat{\mathbf{i}}$
所以 $\frac{\partial E_y}{\partial z} \hat{\mathbf{k}} = -\frac{\partial B_x}{\partial t} \hat{\mathbf{i}}$。這要求 $\frac{\partial E_y}{\partial z} = 0$ 且 $-\frac{\partial B_x}{\partial t} = 0$，這與電磁波的傳播矛盾。
這裡的假設可能需要調整，或者理解為 $E_y$ 和 $B_x$ 是波的組成部分。
正確的處理方式是：
對 (3) 式取散度：$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \cdot (-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t})$。左邊為 0 (向量恆等式 $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$)。右邊為 $-\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \mathbf{B})$。由於 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ (由 (2) 式)，所以右邊也為 0。這沒有提供新資訊。

對 (3) 式取旋度：$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times (-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})$。
使用向量恆等式 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$。

本題考查簡諧運動 (Simple Harmonic Motion, SHM) 的基本概念，包括運動方程、能量守恆以及平衡點的穩定性。

核心觀念：牛頓第二定律、簡諧運動方程、能量守恆、平衡點穩定性。

(a) 求位置 $x(t)$ 與速度 $v(t)$ 的時間演化式。
根據牛頓第二定律，質點受到的合力為 $F = ma$。
題目給出的力方程為 $F = -kx$。
因此，$ma = -kx$。
其中 $a = \frac{d^2x}{dt^2}$。
$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$
$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0$
令 $\omega^2 = \frac{k}{m}$，其中 $\omega$ 是角頻率。則方程變為
$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$
這是一個標準的二階線性齊次微分方程，其通解為
$x(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)$。

我們需要利用初始條件來確定常數 $C_1$ 和 $C_2$。
初始條件為 $x(0) = x_0$ 且 $v(0) = 0$。
首先，計算速度 $v(t)$:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = -C_1 \omega \sin(\omega t) + C_2 \omega \cos(\omega t)$。

應用初始條件 $x(0) = x_0$:
$x(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = C_1$
所以，$C_1 = x_0$。

應用初始條件 $v(0) = 0$:
$v(0) = -C_1 \omega \sin(0) + C_2 \omega \cos(0) = -C_1 \omega \cdot 0 + C_2 \omega \cdot 1 = C_2 \omega$
所以，$C_2 \omega = 0$。由於 $\omega = \sqrt{k/m} > 0$, 因此 $C_2 = 0$。

將 $C_1 = x_0$ 和 $C_2 = 0$ 代入通解，得到位置的時間演化式：
$x(t) = x_0 \cos(\omega t)$。

將 $C_1 = x_0$ 和 $C_2 = 0$ 代入速度的表達式：
$v(t) = -x_0 \omega \sin(\omega t)$。

其中 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。

【答案】 $x(t) = x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)$, $v(t) = -x_0 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)$。

(b) 由 $\frac{dE}{dt}$ 的結果解釋該系統總能量是否守恆。
系統的總能量 $E$ 由動能 $K$ 和位能 $U$ 組成。
動能 $K = \frac{1}{2}mv^2$。
位能 $U = \frac{1}{2}kx^2$ (假設平衡位置為 $x=0$，位能為零)。
總能量 $E = K + U = \frac{1}{2}mv(t)^2 + \frac{1}{2}kx(t)^2$。

我們計算總能量對時間的變化率 $\frac{dE}{dt}$:
$\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2\right)$

本題考查理想氣體狀態方程、大氣靜力平衡方程的應用以及比熱的概念。

核心觀念：理想氣體狀態方程、靜力平衡、氣體密度隨高度變化、比熱。

理想氣體狀態方程：
理想氣體狀態方程描述了理想氣體的壓強 $P$、體積 $V$、物質的量 $n$ (或質量 $m$) 和絕對溫度 $T$ 之間關係。
常用的形式有：

1. $PV = nRT$
   其中 $P$ 是壓強 (pressure)， $V$ 是體積 (volume)， $n$ 是物質的量 (amount of substance)， $R$ 是理想氣體常數 (ideal gas constant)， $T$ 是絕對溫度 (absolute temperature)。
2. $PV = N k_B T$
   其中 $N$ 是分子數量，$k_B$ 是波茲曼常數 (Boltzmann constant)。 $R = N_A k_B$, 其中 $N_A$ 是亞佛加厥常數。
3. $P = \frac{\rho}{M} RT$ 或 $P = \frac{\rho}{m_{avg}} k_B T$
   其中 $\rho$ 是氣體密度 (density)， $M$ 是氣體的摩爾質量 (molar mass)， $m_{avg}$ 是平均分子質量。

物理量的意義：

• $P$ (壓強)：單位面積上所受的力，表示氣體分子碰撞器壁的平均作用。
• $V$ (體積)：氣體所佔空間的大小。
• $n$ (物質的量)：表示物質的量，單位為摩爾 (mole)。
• $R$ (理想氣體常數)：一個基本物理常數，數值約為 $8.314 \text{ J/(mol·K)}$。
• $T$ (絕對溫度)：表示氣體分子的平均動能，單位為克耳文 (Kelvin)。溫度越高，分子運動越劇烈。
• $N$ (分子數量)：氣體中包含的分子總數。
• $k_B$ (波茲曼常數)：將溫度與能量聯繫起來的常數，數值約為 $1.381 \times 10^{-23} \text{ J/K}$。
• $\rho$ (密度)：單位體積內的質量， $\rho = m/V$。
• $M$ (摩爾質量)：一摩爾物質的質量，單位為 g/mol 或 kg/mol。
• $m_{avg}$ (平均分子質量)：一個分子的平均質量。

【答案】 理想氣體狀態方程為 $PV = nRT$。 $P$ 為壓強，$V$ 為體積，$n$ 為物質的量，$R$ 為理想氣體常數，$T$ 為絕對溫度。

(a) 假設溫度 $T$ 為常數,求解 $\rho$ 與 $z$ 的關係式,以得出大氣密度會隨高度增加而減小。
我們使用靜力平衡方程 $\frac{dP}{dz} = -\rho g$。
並結合理想氣體狀態方程，將密度 $\rho$ 表示出來：
$P = \frac{\rho}{M} RT \implies \rho = \frac{PM}{RT}$。
將此 $\rho$ 代入靜力平衡方程：
$\frac{dP}{dz} = -\left(\frac{PM}{RT}\right) g$
$\frac{dP}{dz} = -\frac{Mg}{RT} P$
這是一個關於壓強 $P$ 和高度 $z$ 的微分方程。由於 $M, g, R, T$ 都是常數，我們可以將其寫成
$\frac{1}{P} \frac{dP}{dz} = -\frac{Mg}{RT}$
對兩邊從高度 $z=0$ (地面，壓強為 $P_0$) 到任意高度 $z$ (壓強為 $P(z)$) 積分：
$\int_{P_0}^{P(z)} \frac{1}{P'} dP' = \int_0^z -\frac{Mg}{RT} dz'$
$[\ln P']_{P_0}^{P(z)} = -\frac{Mg}{RT} [z']_0^z$