114 年 國立成功大學太空與電漿科學研究所《普通物理學》

此題主要在於釐清基本電學單位 electronvolt (eV) 與 volt (V) 的定義及其差異。

Electronvolt (eV)：
Electronvolt 是一種能量單位。它被定義為一個基本電荷（例如一個電子）在電位差為 1 伏特（1 V）的電場中移動時，所獲得或失去的動能。
數學上，能量 $E$ 可以表示為電荷 $q$ 乘以電位差 $V$：
$E = qV$
對於一個電子（其基本電荷為 $e$），當它在 1 伏特的電位差下移動時，其獲得或失去的能量為：
$1 \text{ eV} = e \times 1 \text{ V}$
其中 $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ 庫侖 (C)。因此，1 eV 等於：
$1 \text{ eV} = (1.602 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (1 \text{ V}) = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}$ (焦耳)。
Electronvolt 是一個在原子物理、粒子物理和固態物理中常用的能量單位，因為它的大小與原子能階的變化量相近。

Volt (V)：
Volt 是電勢差（電位差）或電動勢的單位。它代表在單位電荷（1 庫侖）之間做功 1 焦耳 (J) 所需的能量。

此題考驗學生將能量單位 eV 轉換為熱力學溫標 K 的能力，這通常透過波茲曼常數 $k_B$ 來連結。

在統計力學中，一個系統的平均熱能與溫度 $T$ 大致成正比，其比例常數為波茲曼常數 $k_B$。在常溫下，能量 $E$ 與溫度 $T$ 的關係近似為：
$E \approx k_B T$

題目給定能量 $E = 1 \text{ eV}$。
我們需要將 eV 轉換為焦耳 (J)：
$1 \text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}$ (使用題目提供的近似值 $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ C，則 $1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$)

題目提供的波茲曼常數為 $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$。

本題考查光子的能量與其波長的關係，這是量子力學和電磁學的結合。

光子的能量 $E$ 與其對應的電磁波波長 $\lambda$ 之間的關係由普朗克-愛因斯坦關係式給出：
$E = hf$
其中 $h$ 是普朗克常數， $f$ 是電磁波的頻率。
又因為光速 $c = \lambda f$，所以頻率 $f = \frac{c}{\lambda}$。
將頻率代入能量公式，得到能量與波長的關係：
$E = \frac{hc}{\lambda}$

題目給定光子的能量 $E = 1 \text{ keV}$。
首先，需要將能量單位 keV 轉換為焦耳 (J)。
$1 \text{ keV} = 1000 \text{ eV}$
$1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$ (根據題目提供的基本電荷值)
所以，$E = 1000 \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ J}) = 1.6 \times 10^{-16} \text{ J}$。

題目提供的常數值：
普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}$
光速 $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$

現在，我們可以重新排列公式 $E = \frac{hc}{\lambda}$ 來求解波長 $\lambda$：
$\lambda = \frac{hc}{E}$

此題涉及相對論性粒子力學，需要計算電子的靜止能量、總能量、動量及速度。

已知條件：
電子質量 $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$
動能 $K = 2 \text{ MeV}$
光速 $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
基本電荷 $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$

首先，將動能從 MeV 轉換為焦耳 (J)：
$K = 2 \text{ MeV} = 2 \times 10^6 \text{ eV}$
$K = 2 \times 10^6 \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ J}) = 3.2 \times 10^{-13} \text{ J}$

1. 靜止能量 (Rest Energy)
根據愛因斯坦的質能等價原理，物體的靜止能量 $E_0$ 為：
$E_0 = m_e c^2$
$E_0 = (9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2$
$E_0 = (9.1 \times 10^{-31}) \times (9 \times 10^{16}) \text{ J}$
$E_0 = 81.9 \times 10^{-15} \text{ J} = 8.19 \times 10^{-14} \text{ J}$

為了方便與動能比較，我們也可以將靜止能量轉換為 MeV。
$E_0 = \frac{8.19 \times 10^{-14} \text{ J}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ J/eV}} = \frac{8.19}{1.6} \times 10^5 \text{ eV} \approx 5.12 \times 10^5 \text{ eV} = 0.512 \text{ MeV}$
（更精確的電子靜止能量約為 0.511 MeV）

2. 總能量 (Total Energy)
總能量 $E$ 是靜止能量 $E_0$ 與動能 $K$ 的總和：
$E = E_0 + K$
使用 MeV 作為單位方便計算：
$E = 0.511 \text{ MeV} + 2 \text{ MeV} = 2.511 \text{ MeV}$

將總能量轉換回焦耳：
$E = 2.511 \times 10^6 \text{ eV} \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ J/eV}) = 4.0176 \times 10^{-13} \text{ J}$

3. 動量 (Momentum)
相對論性的總能量、動量 $p$ 和靜止能量的關係為：
$E^2 = (pc)^2 + E_0^2$
我們可以由此解出動量 $p$：
$(pc)^2 = E^2 - E_0^2$
$pc = \sqrt{E^2 - E_0^2}$
$p = \frac{\sqrt{E^2 - E_0^2}}{c}$

使用 MeV 作為單位計算 $pc$：
$E = 2.511 \text{ MeV}$
$E_0 = 0.511 \text{ MeV}$
$pc = \sqrt{(2.511 \text{ MeV})^2 - (0.511 \text{ MeV})^2}$

本題考查帶電粒子在均勻磁場中做圓周運動的現象，涉及動能、洛倫茲力、向心力以及週期和半徑的計算。

已知條件：
電子動能 $K = 1 \text{ keV}$
磁感應強度 $B = 1 \text{ G}$
電子質量 $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$
電子電荷量 $q_e = -e = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ (取絕對值計算，因運動方向與磁場垂直，所以 $|q_e| = e$)
光速 $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$

首先，將動能 $K$ 轉換為焦耳 (J)：
$K = 1 \text{ keV} = 1000 \text{ eV}$
$K = 1000 \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ J}) = 1.6 \times 10^{-16} \text{ J}$

1. 計算速度 $v$
動能的相對論性公式為 $K = (\gamma - 1)m_e c^2$。
然而，對於 1 keV 的動能，相較於電子靜止能量 (約 0.511 MeV)，這個能量相對較小，我們可以使用非相對論性的動能公式 $K = \frac{1}{2}m_e v^2$ 來近似計算速度。
$\frac{1}{2}m_e v^2 = K$
$v^2 = \frac{2K}{m_e}$
$v = \sqrt{\frac{2K}{m_e}}$
$v = \sqrt{\frac{2 \times (1.6 \times 10^{-16} \text{ J})}{9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}}}$
$v = \sqrt{\frac{3.2 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}}} \text{ m/s}$
$v = \sqrt{0.3516 \times 10^{15}} \text{ m/s}$
$v = \sqrt{3.516 \times 10^{14}} \text{ m/s}$
$v \approx 1.875 \times 10^7 \text{ m/s}$

我們也檢查一下相對論效應：
$\gamma = \frac{E}{E_0} = \frac{E_0+K}{E_0} = 1 + \frac{K}{E_0} = 1 + \frac{1 \text{ keV}}{511 \text{ keV}} \approx 1.00196$
由於 $\gamma$ 非常接近 1，所以使用非相對論公式是合理的。

2. 計算迴旋頻率 (Cyclotron Frequency)
帶電粒子在垂直於磁場方向的速度 $v$ 所受到的洛倫茲力提供其做圓周運動的向心力。
洛倫茲力 $F_L = |q_e|vB$
向心力 $F_c = \frac{m_e v^2}{r}$
令 $F_L = F_c$：
$|q_e|vB = \frac{m_e v^2}{r}$

迴旋頻率 $\omega$ (角頻率) 定義為 $\omega = \frac{v}{r}$。
從上述方程，我們可以得到：
$|q_e|B = \frac{m_e v}{r} = m_e \omega$

本題是關於 RLC 串聯交流電路的基本分析，需要計算阻抗、相位角以及各元件上的電壓。

已知參數：
電阻 $R = 9 \, \Omega$
電容 $C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F} = 10^{-4} \, \text{F}$
電感 $L = 0.04 \, \text{H}$
電源頻率 $f = 50 \, \text{Hz}$
電源峰值電壓 $V_p = 100 \, \text{V}$

1. 計算各元件的電抗 (Reactance)

• 電感電抗 (Inductive Reactance) $X_L$:
  $X_L = \omega L = 2\pi f L$
  $X_L = 2\pi \times 50 \, \text{Hz} \times 0.04 \, \text{H}$
  $X_L = 100\pi \times 0.04 \, \Omega = 4\pi \, \Omega \approx 12.57 \, \Omega$

• 電容電抗 (Capacitive Reactance) $X_C$:
  $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$
  $X_C = \frac{1}{2\pi \times 50 \, \text{Hz} \times 10^{-4} \, \text{F}}$
  $X_C = \frac{1}{100\pi \times 10^{-4}} \, \Omega = \frac{1}{0.01\pi} \, \Omega = \frac{100}{\pi} \, \Omega \approx 31.83 \, \Omega$

2. 計算電路的總阻抗 (Impedance)
總阻抗 $Z$ 在 RLC 串聯電路中由電阻 $R$、電感電抗 $X_L$ 和電容電抗 $X_C$ 決定：
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{(9 \, \Omega)^2 + (4\pi \, \Omega - \frac{100}{\pi} \, \Omega)^2}$
$Z = \sqrt{81 + (12.57 - 31.83)^2} \, \Omega$
$Z = \sqrt{81 + (-19.26)^2} \, \Omega$
$Z = \sqrt{81 + 371.0076} \, \Omega$
$Z = \sqrt{452.0076} \, \Omega \approx 21.26 \, \Omega$

3. 計算相位角 (Phase Angle)
相位角 $\phi$ 是電壓超前電流的角度，定義為：
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
$\tan \phi = \frac{4\pi - \frac{100}{\pi}}{9} = \frac{12.57 - 31.83}{9} = \frac{-19.26}{9} \approx -2.14$

核心觀念

本題考查高斯定律與對稱性在無限大均勻帶電平板中的應用。

題目給定非導體平板的厚度為 $d$，體電荷密度為 $p$。由於平板在水平方向無限延伸，電場只會沿著垂直平板的方向，且電場大小只與垂直位置有關。

以下假設平板為無限大平板，中心位於 $x=0$，因此平板範圍為

$$-\frac{d}{2}\le x\le \frac{d}{2}.$$

其中 $x$ 軸垂直於平板表面，$p$ 為均勻體電荷密度。若以通常符號表示，體電荷密度常寫作 $\rho$，本題依題目使用 $p$。

所使用的高斯定律為

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

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解題方法

1. 利用對稱性判斷電場方向

平板在 $y$、$z$ 方向均勻分布，因此：

• 電場不可能偏向 $y$ 或 $z$ 方向；
• 電場只能沿著 $x$ 軸；
• 對於位於 $x$ 與 $-x$ 的兩點，電場大小相同，方向依電荷正負決定。

若 $p>0$，電場由平板向外發散；若 $p<0$，電場則指向平板。

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2. 選取高斯面

取一個長方柱形高斯面，其兩個面積為 $A$ 的端面分別位於 $x$ 與 $-x$，且端面平行於平板表面。

由於電場與端面垂直，且在兩端面上的大小相同，通量為

$$\Phi_E=EA+EA=2EA.$$

高斯面內所包覆的電荷量，取決於高斯面是否位於平板內部。

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平板內部的電場

考慮 $0\le x\le d/2$，高斯面從 $-x$ 延伸到 $x$。

高斯面內的體積為

$$V=2xA.$$

因此包覆電荷為

$$Q_{\mathrm{enc}}=p(2xA).$$

代入高斯定律：

$$2EA=\frac{p(2xA)}{\varepsilon_0}.$$

約去 $2A$，得到

$$E(x)=\frac{px}{\varepsilon_0}, \qquad 0\le x\le \frac{d}{2}.$$

寫成向量形式：

$$\mathbf{E}(x)=\frac{px}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}, \qquad -\frac{d}{2}\le x\le \frac{d}{2}.$$

這個結果同時適用於平板左半部與右半部：

• $x>0$ 時，電場沿 $+\hat{\mathbf{x}}$；
• $x<0$ 時，電場沿 $-\hat{\mathbf{x}}$；
• 中心 $x=0$ 處，電場為零。

因此，平板內部的電場大小為

$$|\mathbf{E}(x)|=\frac{|p|\,|x|}{\varepsilon_0}.$$

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平板外部的電場

當 $x>d/2$ 時，高斯面已經包覆整個厚度 $d$ 的平板。

高斯面內的電荷量為

$$Q_{\mathrm{enc}}=p(dA).$$

代入高斯定律：

$$2EA=\frac{pdA}{\varepsilon_0}.$$

因此

$$E=\frac{pd}{2\varepsilon_0}.$$

右側平板外部的向量電場為

$$\mathbf{E}(x)=\frac{pd}{2\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}, \qquad x>\frac{d}{2}.$$

左側平板外部的電場方向相反，因此

$$\mathbf{E}(x)=-\frac{pd}{2\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}, \qquad x<-\frac{d}{2}.$$

綜合表示為

馬克士威方程組是描述電場、磁場和它們與電荷、電流之間關係的四個基本方程。它們是古典電磁學的基石。

以下是馬克士威方程組的微分形式和積分形式，以及它們的物理意義。

1. 馬克士威-高斯定律 (Maxwell-Gauss's Law for Electricity)

• 微分形式：
  $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$
  或寫成向量形式：
  $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$

• 物理意義：
  這個方程描述了電場的源。它指出，電場的散度（一個點的電場線的淨散出率）與該點的電荷密度 $\rho$ 成正比。換句話說，正電荷是電場線的源，負電荷是電場線的匯。如果一個區域內沒有淨電荷，那麼該區域的電場線是連續且沒有淨散出的（即散度為零）。這個方程是高斯定律的現代形式，它將電場與其電荷源聯繫起來。

2. 馬克士威-高斯定律 (Maxwell-Gauss's Law for Magnetism)

• 微分形式：
  $\nabla \cdot \vec{B} = 0$
  或寫成向量形式：
  $\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$

• 物理意義：
  這個方程描述了磁場的性質。它指出，磁場的散度處處為零。這意味著沒有單獨的磁單極子存在。磁場線總是形成閉合迴路，從來沒有起點或終點。任何時候進入一個封閉曲面的磁場線，都必然會從該曲面離開，因此穿過任何閉合曲面的淨磁通量總是零。

3. 法拉第感應定律 (Faraday's Law of Induction)

• 微分形式：
  $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
  或寫成向量形式：
  $\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
  其中 $\Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{A}$ 是通過曲面 $S$ 的磁通量。

• 物理意義：
  這個方程描述了變化的磁場如何產生電場。它指出，一個隨時間變化的磁場（磁通量變化率）會在空間中產生一個旋度（渦旋狀）的電場。這個感應電場可以驅動電荷運動，形成感應電流。負號表示感應電場的方向總是使得它引起的磁場趨向於抵抗磁通量的變化（楞次定律）。

此題要求證明理想氣體在絕熱膨脹過程中，外界對氣體所做的功等於 $C_V(T_1 - T_2)$，其中 $C_V$ 是定容莫耳熱容。

絕熱過程的定義：
絕熱過程是指系統與外界沒有熱量交換的過程，即 $Q = 0$。

熱力學第一定律：
熱力學第一定律表達了能量守恆，對於一個系統，其內能的變化 $\Delta U$ 等於傳入系統的熱量 $Q$ 減去系統對外做的功 $W$：
$\Delta U = Q - W$
在這裡，我們將 $W$ 定義為氣體對外做的功。

對於理想氣體，其內能 $U$ 僅僅是溫度的函數，即 $U = U(T)$。
內能的變化可以表示為：
$\Delta U = n C_V \Delta T = n C_V (T_2 - T_1)$
其中 $n$ 是氣體的莫耳數，$C_V$ 是定容莫耳熱容。

應用於絕熱過程：
在絕熱過程中，$Q = 0$。
因此，熱力學第一定律變成：
$\Delta U = -W$
$n C_V (T_2 - T_1) = -W$

我們要求證的是「氣體對外做的功」為 $C_V(T_1 - T_2)$。
從上面的公式，我們有：
$W = -n C_V (T_2 - T_1)$
$W = n C_V (T_1 - T_2)$

如果題目中的 $C_V$ 指的是「莫耳熱容」，那麼這個結果就是我們要證明的。
但是，題目中寫的是 "$C_V (T_1 - T_2)$"，沒有明確說明 $C_V$ 是否包含莫耳數 $n$。
在工程和某些物理領域，有時會使用「比熱容」而不是「莫耳熱容」，比熱容是指單位質量氣體的熱容。如果 $C_V$ 是指單位質量的比熱容，那麼功應該是 $m C_V (T_1 - T_2)$，其中 $m$ 是氣體的總質量。
然而，在討論理想氣體的熱力學性質時，更常用的是莫耳熱容。假設題目中的 $C_V$ 是指「定容莫耳熱容」，那麼我們需要證明的是 $W = n C_V (T_1 - T_2)$。

我們已經推導出 $W = n C_V (T_1 - T_2)$。
這與題目的要求 $C_V (T_1 - T_2)$ 形式上略有不同，缺少了莫耳數 $n$。
有兩種可能的解釋：

1. 題目中的 $C_V$ 實際上是指「單位莫耳」的定容熱容，而沒有寫出莫耳數 $n$。這在某些簡化表述中可能出現。
2. 題目中的 $C_V$ 指的是「每單位質量的」定容熱容，則功應為 $m C_V (T_1 - T_2)$。
3. 題目中的 $C_V$ 指的是「每單位莫耳」的定容熱容，而題目想表達的是「每莫耳」氣體做的功。

最常見的理解是，題目要求證明「每莫耳」理想氣體在絕熱膨脹過程中，對外做的功是 $C_V(T_1 - T_2)$。
如果我們考慮的是 1 莫耳的理想氣體，則 $n=1$。
那麼，對於 1 莫耳的理想氣體：
$\Delta U = C_V (T_2 - T_1)$
$Q = 0$
$\Delta U = Q - W$
$C_V (T_2 - T_1) = 0 - W$
$W = -C_V (T_2 - T_1)$
$W = C_V (T_1 - T_2)$

這就證明了對於 1 莫耳的理想氣體，絕熱膨脹過程中氣體對外做的功是 $C_V(T_1 - T_2)$。
如果題目是針對任意莫耳數 $n$ 的氣體，那麼功是 $n C_V (T_1 - T_2)$。
考慮到題目的表述 "$C_V (T_1 - T_2)$"，最合理的解釋是題目假設我們討論的是「每莫耳」氣體，或者 $C_V$ 已經包含了莫耳數（這不太規範）。假設題目意指的是「每莫耳」氣體。

證明步驟總結：

1. 絕熱過程的定義：熱量交換 $Q = 0$。
2. 熱力學第一定律：$\Delta U = Q - W$。
3. 理想氣體的內能變化：$\Delta U = n C_V \Delta T = n C_V (T_2 - T_1)$。
4. 結合上述定律：對於絕熱過程，$\Delta U = -W$。
   所以，$n C_V (T_2 - T_1) = -W$。
5. 求解功 $W$：
   $W = -n C_V (T_2 - T_1) = n C_V (T_1 - T_2)$。
6. 考慮題目表述：如果題目意指「每莫耳」氣體，則 $n=1$，功為 $W = C_V (T_1 - T_2)$。