114 年 國立成功大學太空與電漿科學研究所《應用數學》

本題主要考驗學生對三角函數積分及反三角函數積分的掌握程度。

(a) $\int \cos^3 x \, dx$
此題可將 $\cos^3 x$ 分解為 $\cos^2 x \cdot \cos x$，然後利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 進行代換。
令 $u = \sin x$，則 $du = \cos x \, dx$。
$\int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x (\cos x \, dx) = \int (1 - \sin^2 x) (\cos x \, dx)$
$= \int (1 - u^2) \, du = u - \frac{1}{3}u^3 + C$
將 $u = \sin x$ 代回，得：
$= \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x + C$
【答案】$\sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x + C$

(b) $\int \cos^2 x \, dx$
此題可利用倍角公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ 進行降冪積分。
$\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C$
$= \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$
【答案】$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

(c) $\int \cos x \, dx$
此為基本積分公式。
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
【答案】$\sin x + C$

(d) $\int \cos^4 x \, dx$
此題可連續使用倍角公式降冪。
首先，$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$。
接著，將 $\cos^2(2x)$ 再次使用倍角公式：$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$。
$\cos^4 x = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right)$

本題考驗對向量微分算子（nabla）運算的理解，特別是散度（divergence）和旋度（curl）的複合運算。

題目要求計算 $\nabla \cdot (\nabla \times A)$。
首先，我們知道向量 $A$ 的旋度定義為：
$\nabla \times A = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\hat{j} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\hat{k}$
令 $B = \nabla \times A = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$，其中
$B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}$
$B_y = \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}$
$B_z = \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}$

接著，我們要計算 $B$ 的散度，即 $\nabla \cdot B = \nabla \cdot (\nabla \times A)$：
$\nabla \cdot B = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}$
代入 $B_x, B_y, B_z$ 的表達式：

核心觀念

上三角矩陣的特徵值就是主對角線上的元素，且特徵多項式為

因此，矩陣 $A$ 的特徵值必為

題目給定只有一個相異特徵值 $\lambda$，代表三個特徵值必須全部相等。

解題方法

由於 $A$ 為上三角矩陣，直接讀取主對角線即可：

若只有一個相異特徵值，必須同時滿足

然而 $1\neq 2$，此條件不可能成立。因此，不論 $a$ 為何，矩陣 $A$ 至少都有兩個相異特徵值 $1$ 與 $2$。

(a) 特徵值與 $a$ 的可能值

由特徵多項式

本題考驗學生對向量微積分中散度定理（Divergence Theorem）的應用。題目要求計算一個向量場 $\mathbf{F}$ 通過一個封閉曲面 $S$ 的通量。

向量場為 $\mathbf{F} = xz^2\hat{i} + \frac{1}{3}y^3\hat{j} + x^2z\hat{k}$。
封閉曲面 $S$ 是半徑為 $R$ 的球面，其方程為 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$。
題目要求計算通量 $I = \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} \, \hat{n}$。
注意：題目中的 $d\mathbf{A} \, \hat{n}$ 實際上就是向量面積元素 $d\mathbf{S}$，所以積分是 $I = \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$。

散度定理（高斯定律）指出，對於一個向量場 $\mathbf{F}$ 和一個封閉曲面 $S$，其所圍成的體積為 $V$，則：
$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$
其中 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 是向量場 $\mathbf{F}$ 的散度。

首先，我們計算向量場 $\mathbf{F}$ 的散度：
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(xz^2) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{3}y^3\right) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2z)$
$= z^2 + y^2 + x^2$
$= x^2 + y^2 + z^2$

接著，我們需要計算體積分 $\iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV$，其中 $V$ 是由球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 所圍成的實心球體。
為了方便計算這個積分，我們轉換到球座標系。
球座標轉換如下：
$x = \rho \sin\phi \cos\theta$

本題考驗學生求解耦合微分方程組的能力，以及處理初始條件的能力。

給定的耦合微分方程組為：

1. $\frac{df}{dx} = 2g$
2. $\frac{dg}{dx} = 8f$
   初始條件為 $f(0) = a$ 和 $g(0) = b$。

我們可以通過將一個方程代入另一個方程來消去其中一個變數，從而得到一個二階常係數齊次線性微分方程。

從方程 (1)，我們有 $g = \frac{1}{2}\frac{df}{dx}$。
將此代入方程 (2)：
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\frac{df}{dx}\right) = 8f$
$\frac{1}{2}\frac{d^2f}{dx^2} = 8f$
$\frac{d^2f}{dx^2} = 16f$
$\frac{d^2f}{dx^2} - 16f = 0$

這是一個二階常係數齊次線性微分方程。其特徵方程為：
$r^2 - 16 = 0$
$r^2 = 16$
$r = \pm 4$

因此，函數 $f(x)$ 的通解為：
$f(x) = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-4x}$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是待定常數。

現在，我們需要找到 $g(x)$。從方程 (1)，$\frac{df}{dx} = 2g$。
首先計算 $\frac{df}{dx}$:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(c_1 e^{4x} + c_2 e^{-4x}) = 4c_1 e^{4x} - 4c_2 e^{-4x}$
所以，$g(x) = \frac{1}{2}\frac{df}{dx} = \frac{1}{2}(4c_1 e^{4x} - 4c_2 e^{-4x}) = 2c_1 e^{4x} - 2c_2 e^{-4x}$。

現在我們使用初始條件來確定常數 $c_1$ 和 $c_2$。
初始條件是 $f(0) = a$ 和 $g(0) = b$。

將 $x=0$ 代入 $f(x)$ 的表達式：
$f(0) = c_1 e^{4(0)} + c_2 e^{-4(0)} = c_1 + c_2$
所以，$c_1 + c_2 = a$ (Equation A)

將 $x=0$ 代入 $g(x)$ 的表達式：
$g(0) = 2c_1 e^{4(0)} - 2c_2 e^{-4(0)} = 2c_1 - 2c_2$
所以，$2c_1 - 2c_2 = b$ (Equation B)

現在我們解方程組 (A) 和 (B) 來求 $c_1$ 和 $c_2$。
從 (A)，$c_2 = a - c_1$。
將此代入 (B)：
$2c_1 - 2(a - c_1) = b$
$2c_1 - 2a + 2c_1 = b$
$4c_1 = b + 2a$
$c_1 = \frac{b + 2a}{4}$

將 $c_1$ 的值代回 $c_2 = a - c_1$:
$c_2 = a - \frac{b + 2a}{4} = \frac{4a - (b + 2a)}{4} = \frac{4a - b - 2a}{4} = \frac{2a - b}{4}$

現在我們將 $c_1$ 和 $c_2$ 的值代回 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的表達式。

$f(x) = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-4x} = \frac{b + 2a}{4} e^{4x} + \frac{2a - b}{4} e^{-4x}$
$f(x) = \frac{1}{4} \left( (2a+b)e^{4x} + (2a-b)e^{-4x} \right)$

$g(x) = 2c_1 e^{4x} - 2c_2 e^{-4x} = 2\left(\frac{b + 2a}{4}\right) e^{4x} - 2\left(\frac{2a - b}{4}\right) e^{-4x}$
$g(x) = \frac{b + 2a}{2} e^{4x} - \frac{2a - b}{2} e^{-4x}$
$g(x) = \frac{1}{2} \left( (2a+b)e^{4x} - (2a-b)e^{-4x} \right)$

我們可以驗證一下解是否滿足初始條件：
$f(0) = \frac{1}{4} \left( (2a+b)e^0 + (2a-b)e^0 \right) = \frac{1}{4} (2a+b + 2a-b) = \frac{1}{4}(4a) = a$ (正確)
$g(0) = \frac{1}{2} \left( (2a+b)e^0 - (2a-b)e^0 \right) = \frac{1}{2} (2a+b - (2a-b)) = \frac{1}{2} (2a+b - 2a+b) = \frac{1}{2}(2b) = b$ (正確)