114 年 國立中山大學物理學系碩士班《近代物理》

核心觀念

本題考察光子能量公式，屬於量子力學的基礎概念。

光具有波粒二象性（wave-particle duality）。當光被視為粒子（光子，photon）時，單一光子的能量 $E$ 由以下公式決定：

$E = hf = \frac{hc}{\lambda} = \frac{\hbar c \cdot 2\pi}{\lambda}$

其中：

• $h = 2\pi\hbar$ 為普朗克常數（Planck's constant）
• $f$ 為光的頻率
• $\lambda$ 為光的波長
• $c$ 為光速

題目已知 $\hbar$，因此使用含 $\hbar$ 的形式最為直接：

$E = \frac{2\pi\hbar c}{\lambda}$

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解題方法

已知條件整理：

• $\hbar = 1.1 \times 10^{-34} \text{ J·s}$
• $c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}$
• $\lambda = 650 \text{ nm} = 650 \times 10^{-9} \text{ m} = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$
• $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$

步驟一：計算光子能量（單位 J）

$E = \frac{2\pi\hbar c}{\lambda}$

代入數值：

$E = \frac{2\pi \times (1.1 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{6.5 \times 10^{-7}}$

先計算分子：

$2\pi \times 1.1 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8$
$= 2 \times 3.1416 \times 3.3 \times 10^{-26}$
$= 6.2832 \times 3.3 \times 10^{-26}$
$\approx 20.73 \times 10^{-26}$
$= 2.073 \times 10^{-25} \text{ J·m}$

再除以波長：

$E = \frac{2.073 \times 10^{-25}}{6.5 \times 10^{-7}} \approx 3.19 \times 10^{-19} \text{ J}$

步驟二：換算為電子伏特（eV）

$E \text{（eV）} = \frac{E \text{（J）}}{e} = \frac{3.19 \times 10^{-19} \text{ J}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} \approx 1.99 \text{ eV} \approx 2.0 \text{ eV}$

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選項分析

(A) $5.1 \times 10^{-20} \text{ eV}$　→ 錯誤

核心觀念

本題考查**勞侖茲轉換（Lorentz Transformation）下的不變量（Lorentz Invariant）**概念。

在狹義相對論中，不同慣性參考座標系（Inertial Frames）之間的轉換由勞侖茲轉換描述。大多數物理量在轉換後會改變數值，但有些特定組合保持不變——這類量稱為勞侖茲不變量（Lorentz Scalar）。

關鍵工具是四維向量（4-vector）與其內積（inner product）。在閔可夫斯基時空（Minkowski Spacetime）中，兩個四維向量的內積在所有慣性系下數值相同，即為勞侖茲不變量。

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解題方法

以**四動量向量（4-momentum）**為核心切入。

定義四動量（Four-momentum）為：

$p^\mu = \left(\frac{E}{c},\, p_x,\, p_y,\, p_z\right)$

其閔可夫斯基內積為：

$p^\mu p_\mu = -\frac{E^2}{c^2} + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2$

（採用 $(-,+,+,+)$ 度規；採用 $(+,-,-,-)$ 度規則符號相反，結論相同）

由相對論性能量—動量關係：

$E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$

代入內積：

$p^\mu p_\mu = -\frac{(pc)^2 + (m_0 c^2)^2}{c^2} + p^2 = -m_0^2 c^2$

因此：

$\boxed{p^\mu p_\mu = -m_0^2 c^2 = \text{常數（與參考系無關）}}$

這個數值只依賴靜止質量（rest mass）$m_0$，而 $m_0$ 本身在所有慣性系下皆相同，故靜止質量是勞侖茲不變量。

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選項分析

(A) 長度（Length）——❌ 非不變量

長度在勞侖茲轉換下發生長度收縮（Length Contraction）：

$L = \frac{L_0}{\gamma}$

其中 $L_0$ 為靜止長度（固有長度），$\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2} \geq 1$。在相對靜止系以外的任何觀測者所量到的長度皆比 $L_0$ 短。長度不是不變量。

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(B) 時間（Time）——❌ 非不變量

時間間隔在勞侖茲轉換下發生時間膨脹（Time Dilation）：

$\Delta t = \gamma\, \Delta\tau$

其中 $\Delta\tau$ 為固有時間（Proper Time），$\Delta t$ 為運動中觀測者量到的時間。不同慣性系中的時間間隔數值不同。

核心觀念：狹義相對論之愛因斯坦速度加法定理

在一維運動中，設參考系 $S'$ 相對於參考系 $S$ 以速度 $V$ 運動；若一物體相對於 $S$ 系的速度為 $u$，則該物體相對於 $S'$ 系的速度 $u'$ 為：
$u' = \frac{u - V}{1 - \frac{u V}{c^2}}$

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解析與推導

觀念與定理

在位置空間中，動量算符為 $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$，因此動量平方算符為：
$\hat{p}^2 = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$

波函數的時間相因子 $e^{-\frac{iEt}{\hbar}}$ 為純純相因子，在計算模平方與期待值時相銷。定義歸一化的空間波函數為 $\psi(x) = \left(\frac{a}{\pi}\right)^{1/4} e^{-\frac{ax^2}{2}}$，動量平方之期望值可表為：
$\langle p^2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \hat{p}^2 \psi(x) \, dx$

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詳細推導步驟

利用動量算符的厄米特（Hermitian）性質，將期望值積分轉化為一階導數模平方的形式：
$\langle p^2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \left( -i\hbar \frac{d\psi}{dx} \right)^* \left( -i\hbar \frac{d\psi}{dx} \right) dx = \hbar^2 \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{d\psi}{dx} \right)^2 dx$

核心概念
本題測驗的是光子的能量與動量之間的關係。光子是無質量的相對論性粒子，滿足
$E = h\nu,\qquad p = \frac{h}{\lambda}\,,$
且光速 $c$ 與頻率、波長滿足 $\nu\lambda = c$。由此可推出光子的能量與動量直接相連的關係式 $E = pc$。

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(a) 由基本關係式推導 $E$ 與 $p$ 的關係

1. 能量‑頻率關係
   $E = h\nu$
   這是普朗克假設，說光子的能量與其振盪頻率 $\nu$ 成正比，比例常數為普朗克常數 $h$。

2. 動量‑波長關係
   $p = \frac{h}{\lambda}$
   這是德布羅意波長與動量的關係式，對光子同樣適用。

3. 頻率與波長的光速關係
   $c = \nu\lambda\;\;\Longrightarrow\;\;\nu = \frac{c}{\lambda}$

4. 把 $\nu$ 用 $\lambda$ 取代，代入能量公式

$E = h\nu = h\frac{c}{\lambda}$

5. 把 $\lambda$ 用動量 $p$ 取代
   由 $p = h/\lambda \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{h}{p}$，代入上式得到

$E = h\frac{c}{\displaystyle \frac{h}{p}} = pc$

結論：光子的能量正好等於其動量與光速的乘積

自旋半數（spin-1/2）之全同粒子屬於費米子（Fermions），服從費米-狄拉克統計（Fermi-Dirac statistics）。

在溫度 $T$ 下，費米粒子佔據能量 $E$ 之量子態的平均機率分佈函數為：
$f(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E-E_F}{k_B T}\right) + 1}$

第 7 題　超導體的基本性質

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核心觀念

本題考查**超導現象（Superconductivity）**的基礎物理概念，涵蓋：

1. 臨界溫度 $T_c$（Critical Temperature）：材料轉變為超導態所需降至的特定溫度，各材料不同。
2. 零電阻特性：超導態下直流電阻精確等於零，$R = 0$。
3. 超導與熱力學定律的相容性：超導是一種量子相變，並不違反任何熱力學定律。

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解題方法

本題為概念辨別型選擇題，逐一審查每個選項是否符合已知的超導物理實驗事實與理論。

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選項分析

(A) All materials become superconducting below 30 K
（所有材料在 30 K 以下都會變成超導體）

❌ 錯誤。

超導性並非所有材料皆具備。已知的事實如下：

• 鐵（Fe）、銅（Cu）、金（Au）、銀（Ag）等常見金屬在任何溫度下都不具備超導性。
• 不同材料的臨界溫度 $T_c$ 差異極大：例如汞（Hg）的 $T_c \approx 4.2\,\text{K}$、鈮（Nb）的 $T_c \approx 9.3\,\text{K}$。
• 高溫超導體（如 YBCO，釔鋇銅氧化物）的 $T_c \approx 93\,\text{K}$，遠超過 30 K。

因此，「所有材料在 30 K 以下都成為超導體」完全不符合實驗事實，選項 (A) 錯誤。

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(B) The resistance of a superconductor is zero
（超導體的電阻為零）

✅ 正確。

這是超導現象最根本的定義性特徵。1911 年荷蘭物理學家 Kamerlingh Onnes 首次在液氦冷卻的汞中觀測到：當溫度降至 $T_c$ 以下，電阻突然降為零，而非僅僅「非常小」。

數學上，超導態的直流電阻精確為：

$R = 0$

實驗驗證方法為在超導環中感應電流（持久電流），觀測到電流在數年內無可量測的衰減，對應的電阻上限低至 $R < 10^{-25}\,\Omega$，視為嚴格的零。

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(C) Superconductivity violates the first law of thermodynamics
（超導現象違反熱力學第一定律）

❌ 錯誤。

核心觀念

本題考查「近代物理發展史」中各重要諾貝爾物理學獎得主的獲獎原因。考生必須熟記近代物理中奠基性實驗與理論的提出者，以及諾貝爾獎委員會的具體頒獎理由，而非泛泛地知道某人「很有名」。

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解題方法

本題為「找出配對錯誤者」的單選題，切入點是逐一核實每位科學家的諾貝爾獎得獎原因。對近代物理而言，愛因斯坦的獲獎原因是最常被混淆的考點——許多考生直覺認為他得獎是因為相對論或量子力學，卻忽略實際頒獎理由。

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選項分析

(A) Niels Bohr ── 原子模型（atomic model） ✅ 正確配對

波耳於 1913 年提出波耳氫原子模型（Bohr model），以量子化角動量條件 $L = n\hbar$ 解釋氫原子的不連續光譜。1922 年諾貝爾物理學獎頒給波耳，得獎理由正是「對原子結構和原子輻射的研究」。此選項配對正確。

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(B) Louis de Broglie ── 波粒二象性（wave-particle duality） ✅ 正確配對

德布羅意於 1924 年提出物質波（matter wave）假說，認為任何具有動量 $p$ 的粒子皆具有等效波長：

$\lambda = \frac{h}{p}$

此概念將波粒二象性從光子推廣到所有物質粒子，是量子力學的基石之一。1929 年諾貝爾物理學獎頒給德布羅意，得獎理由正是「發現電子的波動性質（wave nature of electrons）」，即波粒二象性。此選項配對正確。

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(C) Albert Einstein ── 量子糾纏（quantum entanglement） ❌ 錯誤配對

這是本題的答案所在。愛因斯坦的諾貝爾物理學獎頒於 1921 年，得獎理由是「發現光電效應定律（the photoelectric effect）」：

$E_k = h\nu - \phi$

其中 $\phi$ 為材料功函數，$h\nu$ 為入射光子能量。

核心觀念

本題考查量子力學的歷史發展脈絡，要求考生辨別哪一項物理發現對量子力學的建立「沒有貢獻」。解題關鍵在於區分「量子力學體系」與「廣義相對論體系」這兩條在二十世紀初平行發展、彼此獨立的物理革命路線。

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選項分析

（A）氫原子光譜（Hydrogen spectrum）——對量子力學有直接貢獻

19世紀末，Balmer（1885）、Rydberg（1888）等人歸納出氫原子光譜的離散線系公式：

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \quad n_2 > n_1 \in \mathbb{Z}^+$

古典電動力學完全無法解釋這種「離散性」。1913年，Bohr 以量子化角動量條件 $L = n\hbar$ 為假設，成功推導出氫原子能階與光譜頻率，成為舊量子論（Old Quantum Theory）的核心成果，並直接推動後來 Heisenberg 矩陣力學與 Schrödinger 波動方程式的建立。氫原子光譜是量子力學發展的重要驅動力之一。

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（B）廣義相對論（General relativity）——對量子力學無直接貢獻 ✓（正確答案選項）

廣義相對論（1915年，Einstein）描述的是重力場與時空彎曲的宏觀幾何理論，其核心是 Einstein 場方程式：

$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

廣義相對論的適用尺度是天文、宇宙學等宏觀大質量場景，與量子力學所處理的微觀粒子行為屬於不同的物理域。事實上，「量子引力」（quantum gravity）至今仍是未解難題，正是因為廣義相對論與量子力學在理論框架上存在根本衝突、難以統一。

量子力學的建立所依賴的歷史關鍵發現包括：黑體輻射（Planck，1900）、光電效應（Einstein，1905，屬於狹義相對論同年但獨立貢獻）、氫原子光譜、Compton 散射、波粒二象性等。廣義相對論從未出現在量子力學的理論奠基鏈上。

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（C）能量量子（Energy quanta）——對量子力學有直接貢獻

1900年，Planck 為解釋黑體輻射的能量密度分布，提出電磁波能量只能以離散單元（量子）被吸收或發射的假說：

$E = h\nu, \quad h = 6.626 \times 10^{-34}\ \text{J·s}$

此為「量子」概念的誕生，是整個量子力學的起點。後來 Einstein 以「光量子（光子）」解釋光電效應，Bohr 以能量量子化建立原子模型，Planck 常數 $h$ 更成為量子力學中最核心的基本常數。

核心觀念

本題考察雷射（Laser）的基本特性。LASER 是「Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation（受激輻射光放大）」的縮寫，其運作原理是利用粒子數反轉（population inversion）與受激輻射（stimulated emission）產生光放大效果，並藉由光學共振腔（optical resonator）將光來回反射以建立正反饋。這些物理機制決定了雷射有哪些獨特性質，也決定了哪些性質不屬於雷射。

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解題方法

採用逐項排除法：將雷射的四大公認特性（單色性、同調性、方向性、高強度）與各選項對應，找出「不屬於雷射特性」的選項。

關鍵提示：雷射光與一般光（如太陽光、燈泡）最大的差別，在於它是由受激輻射產生的高度有序光，而非自發輻射的無序光。至於「傳播速度」，電磁波在真空中的速度由 Maxwell 方程組決定，與光的來源（雷射或非雷射）完全無關。

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選項分析

(A) High monochromaticity（高單色性）✅ 是雷射的特性

雷射光源自特定能階間的躍遷，光子能量 $E = h\nu$ 極為精確，因此頻率分佈極窄。理論上，完美雷射的線寬趨近於零（受 Schawlow–Townes 極限約束），頻率純度遠優於任何濾光片或氣體放電燈。高單色性是雷射的核心特徵之一。

(B) High coherence（高同調性）✅ 是雷射的特性

同調性分為時間同調性（temporal coherence）與空間同調性（spatial coherence）：

• 時間同調性與單色性直接相關：線寬 $\Delta\nu$ 越窄，同調長度 $l_c = c/\Delta\nu$ 越長。
• 空間同調性源自雷射共振腔對橫模（transverse mode）的選擇：單模雷射的波前高度規律。

受激輻射產生的光子與觸發光子相位、頻率、方向、偏振完全相同，這正是高同調性的物理根源。

(C) High directivity（高方向性）✅ 是雷射的特性

核心觀念

圖中的位能 $U(x)$ 是以 $x=0$ 為最低點的拋物線，對應一維束縛系統。束縛態的基態波函數沒有節點；因此機率密度 $|\psi(x)|^2$ 應在位能最低處最大，並向兩側逐漸衰減。

若視為簡諧振子，基態機率密度為

$$|\psi_0(x)|^2 \propto \exp\left(-\frac{m\omega x^2}{\hbar}\right),$$

呈現以 $x=0$ 為中心的單峰鐘形分布。

解題方法

先看位能最低點：圖中位能在 $x=0$ 最低，所以基態粒子最可能出現在原點附近。再用「基態沒有節點」判斷：機率密度應只有一個中央峰，不會在中央或其他位置降為零後再形成多個峰。

核心觀念

一維定態薛丁格方程為

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+U(x)\psi=E\psi$$

在 Region III，圖中的位能 $U$ 高於粒子能量 $E$，屬於經典禁制區。令

$$\kappa=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}$$

薛丁格方程可化為 $\frac{d^2\psi}{dx^2}=\kappa^2\psi$，其通解是遞增與遞減指數函數的線性組合。

解題方法

將 Region III 的 $U>E$ 代入定態薛丁格方程：

$$\frac{d^2\psi}{dx^2} = \frac{2m(U-E)}{\hbar^2}\psi = \kappa^2\psi$$

因此波函數為

$$\psi_{\mathrm{III}}(x)=C_+e^{\kappa x}+C_-e^{-\kappa x}$$

核心觀念
此題考查 相對論性動量與能量守恆 在光子與質點彈性散射（光子被完全反射）情形下的應用。必須同時寫下四動量守恆式，利用

$$E_{\text{ph}} = pc,\qquad E_{\text{particle}} = \gamma mc^{2},\qquad p_{\text{particle}} = \gamma mv$$

以及 $\gamma = 1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$ 來解出碰撞後質點的動量 $p'$。

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(a) 寫下守恆方程式

1. 動量守恆（沿 $x$ 軸）
   初始：光子向 $+x$ 方向, 動量 $+p$；質點靜止，動量 $0$。
   最終：光子反射至 $-x$ 方向，動量 $-p'$（$p'$ 為光子反射後的大小），質點向 $+x$ 方向移動，動量為 $p_{\text{particle}}'$。

$$p = -p' + p_{\text{particle}}' \qquad\Longrightarrow\qquad p_{\text{particle}}' = p + p'. \tag{1}$$

2. 能量守恆

$$pc + mc^{2}=p'c+\gamma mc^{2}. \tag{2}$$

其中 $\gamma = 1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$ 為質點的洛倫茲因子，$v$ 為碰撞後的速度。

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(b) 消除光子出射動量 $p'$

從 (2) 解出 $\gamma$：

$$\gamma mc^{2}=pc+mc^{2}-p'c \;\Longrightarrow\; \gamma =\frac{p+m c-p'}{mc}. \tag{3}$$

把 (1) 代入質點的相對論動量定義：

核心觀念

本題考查質量與束縛能（binding energy）的關係，以及中子衰變的質量不等式。

涉及的核心定理／公式：

1. 質量虧損（mass defect）：任何穩定的束縛系統（原子核或原子），其質量小於組成粒子的自由質量之和：
   $M_{\text{bound}} = \sum m_i - \frac{B}{c^2} \quad (B > 0)$

2. 中子衰變不等式：題目給的提示揭示 $n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$ 是自發衰變，能量守恆要求：
   $m_n c^2 > m_p c^2 + m_e c^2 \implies m_n > m_p + m_e$
   （衰變釋放動能 $Q \approx 0.782\ \text{MeV}$，即 $m_n - m_p - m_e \approx 0.782\ \text{MeV}/c^2 > 0$。）

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解題方法：將各選項統一用自由粒子質量表示

定義符號：

• $m_p$：質子質量
• $m_n$：中子質量
• $m_e$：電子質量
• $B_{\text{nuc}}$：He-4 原子核的核束縛能（$\approx 28.3\ \text{MeV}$，為正值）
• $B_{\text{atom}}$：He-4 原子中兩個電子的原子束縛能（$\approx 79\ \text{eV}$，為正值）

把每個選項的質量用 $m_p,\, m_n,\, m_e$ 展開：

選項	物理內容	展開式
(A)	He-4 原子（核 + 2電子，有核束縛 + 原子束縛）	$2m_p + 2m_n + 2m_e - \dfrac{B_{\text{nuc}}}{c^2} - \dfrac{B_{\text{atom}}}{c^2}$
(B)	$\alpha$ 粒子（He-4 裸核）+ 2個自由電子	$2m_p + 2m_n + 2m_e - \dfrac{B_{\text{nuc}}}{c^2}$
(C)	2個自由質子 + 2個自由中子 + 2個自由電子	$2m_p + 2m_n + 2m_e$
(D)	1個質子 + 3個中子 + 1個電子	$m_p + 3m_n + m_e$

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選項分析

第 15 題　詳解

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核心觀念

本題考查量子力學中角動量的大小（magnitude）與量子數的關係。

角動量在量子力學中有兩個重要的可觀測量：

1. 大小（magnitude）：$|\vec{S}|$，以算符 $\hat{S}^2$ 的本徵值表示。
2. 某方向的分量（projection）：$S_z$，以 $\hat{S}_z$ 的本徵值表示。

這兩者常被混淆，是本題最核心的陷阱所在。

關鍵公式如下：

$|\vec{S}| = \sqrt{s(s+1)}\,\hbar$

$S_z = m_s\,\hbar, \quad m_s = -s,\,-s+1,\,\cdots,\,+s$

其中 $s$ 為自旋量子數（spin quantum number），$m_s$ 為磁量子數（magnetic quantum number）。

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解題方法

第一步：確認自旋量子數

題目明確給出：「spin-1/2 particle」，即

$s = \frac{1}{2}$

第二步：代入角動量大小公式

$|\vec{S}| = \sqrt{s(s+1)}\,\hbar = \sqrt{\frac{1}{2}\!\cdot\!\left(\frac{1}{2}+1\right)}\,\hbar = \sqrt{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}}\,\hbar = \sqrt{\frac{3}{4}}\,\hbar = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\hbar$

答案為選項 (C)。

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選項分析

(A) $s = \dfrac{\hbar}{2}$　❌ 錯誤

$\dfrac{\hbar}{2}$ 是 $S_z$ 在 $m_s = +\dfrac{1}{2}$ 時的分量值（即自旋「向上」時 $z$ 方向的投影），不是角動量向量的大小。混淆分量與大小，是最常見的錯誤。

(B) $s = \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}}$　❌ 錯誤

此值對應的是 $\sqrt{\dfrac{1}{2}}\,\hbar$，沒有任何標準量子數對應此結果，是干擾選項，無物理意義。

(C) $s = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\hbar$　✅ 正確

由公式 $|\vec{S}| = \sqrt{s(s+1)}\,\hbar$，代入 $s=\dfrac{1}{2}$：

觀念與解析

本題考查雙量子位元系統（Two-qubit system）的量子測量與波函數塌縮（Wavefunction collapse）。

系統初始量子態為：
$|\psi\rangle = 0.6 |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B + 0.8 |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B$

1. Alice 進行測量與波函數塌縮：
   當 Alice 測得結果為 $1$ 時，系統態會投影至 Alice 的本徵態 $|1\rangle_A$ 上。

第 17 題 詳解

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核心觀念

本題考查**四種基本交互作用（四大基本力）的性質，以及核能的物理機制。核能（Nuclear Power）包含核分裂（Fission）與核融合（Fusion）**兩種形式，理解何種力將核子束縛在一起、以及釋放能量的根本來源，是作答關鍵。

四大基本力的基本性質整理如下：

作用力	媒介粒子	作用範圍	相對強度（以強力為基準）
強力（Strong Force）	膠子（Gluon）	$\sim 10^{-15}$ m（費米尺度）	$1$
電磁力（EM Force）	光子（Photon）	$\infty$（但有屏蔽效應）	$\sim 10^{-2}$
弱力（Weak Force）	$W^{\pm},\, Z^0$	$\sim 10^{-18}$ m	$\sim 10^{-5}$
重力（Gravitational Force）	重力子（Graviton，理論）	$\infty$	$\sim 10^{-38}$

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解題方法

切入點：從核能的物理機制逆推主宰的力

核能的本質是利用**核結合能（Nuclear Binding Energy）**的差值來對外做功。無論是核分裂還是核融合，其能量來源都直接來自強力（Strong Force）對核子（質子與中子）的束縛。

強力的作用機制：

在夸克層次，強力由膠子傳遞，將夸克束縛成核子（質子、中子）。在核子層次，強力的「剩餘效應（Residual Strong Interaction）」，即由介子（Meson，如 $\pi$ 介子）傳遞的核力（Nuclear Force），將質子與中子束縛在原子核內。

核結合能可用**質量虧損（Mass Defect）**表示：

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2$

其中 $\Delta m$ 為自由核子質量總和減去核質量的差值。這個能量差正是強力創造核結合能的體現。

• 核分裂：重核（如 $^{235}\text{U}$）吸收中子後，分裂為較小的核，因為中等質量核的每核子結合能（Binding Energy per Nucleon）較高，總結合能增加，差額以動能與射線形式釋放。

核心觀念

本題核心考點為全同粒子系統（Identical Particles System）的波函數對稱性與包立不相容原理（Pauli Exclusion Principle）：

1. 費米子反對稱原理（Anti-symmetrization Postulate）：
   電子為自旋 $s = 1/2$ 的費米子（Fermion）。由量子力學全同粒子原理，任意兩顆電子在交換所有座標（包含空間位置與自旋態）時，總波函數必須呈反對稱（Anti-symmetric）：
   $\Psi(x_2, s_2; x_1, s_1) = -\Psi(x_1, s_1; x_2, s_2)$

2. 空間與自旋波函數的組合對稱性：
   雙粒子總波函數寫為空間部分 $\psi(x_1, x_2)$ 與自旋部分 $\chi(s_1, s_2)$ 的乘積。若總波函數須為反對稱，則空間態與自旋態的對稱性必須滿足：

   • 若自旋波函數為反對稱（如 Spin Singlet，單態），則空間波函數必須為對稱（Symmetric）。
   • 若自旋波函數為對稱（如 Spin Triplet，三態），則空間波函數必須為反對稱（Anti-symmetric）。

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解題方法

由題意，兩電子總波函數為：
$\Psi(x_1, s_1; x_2, s_2) = \psi_\alpha(x_1, x_2)\chi_\alpha(s_1, s_2) + \psi_\beta(x_1, x_2)\chi_\beta(s_1, s_2)$

其中已知：

• $\chi_\alpha(s_2, s_1) = -\chi_\alpha(s_1, s_2)$ （$\chi_\alpha$ 為反對稱自旋態）
• $\chi_\beta(s_2, s_1) = \chi_\beta(s_1, s_2)$ （$\chi_\beta$ 為對稱自旋態）

將粒子 1 與粒子 2 的所有自由度進行交換（$1 \leftrightarrow 2$）：
$\Psi(x_2, s_2; x_1, s_1) = \psi_\alpha(x_2, x_1)\chi_\alpha(s_2, s_1) + \psi_\beta(x_2, x_1)\chi_\beta(s_2, s_1)$
代入 $\chi_\alpha$ 與 $\chi_\beta$ 的自旋對稱性可得：
$\Psi(x_2, s_2; x_1, s_1) = -\psi_\alpha(x_2, x_1)\chi_\alpha(s_1, s_2) + \psi_\beta(x_2, x_1)\chi_\beta(s_1, s_2)$

另一方面，由全同費米子波函數反對稱性要求：
$\Psi(x_2, s_2; x_1, s_1) = -\Psi(x_1, s_1; x_2, s_2) = -\psi_\alpha(x_1, x_2)\chi_\alpha(s_1, s_2) - \psi_\beta(x_1, x_2)\chi_\beta(s_1, s_2)$

由於正交自旋態的係數必須分別相等，比較上述兩式對應的自旋分量：

1. 對應 $\chi_\alpha$ 分量：
   $-\psi_\alpha(x_2, x_1) = -\psi_\alpha(x_1, x_2) \implies \psi_\alpha(x_2, x_1) = \psi_\alpha(x_1, x_2)$
   說明 $\psi_\alpha$ 的空間波函數為對稱態。

核心觀念

本題考查**狹義相對論（Special Relativity）中的時間膨脹（Time Dilation）**現象與相對運動距離計算。

關鍵觀念與公式如下：

1. 固有時間（原時，Proper Time, $\Delta t_0$）：在相對於衰變粒子（繆子 $\mu$）靜止的參考系中所測得的壽命。本題中繆子的固有壽命為 $\Delta t_0 = 2.0\text{ }\mu\text{s}$。
2. 勞侖茲因子（Lorentz Factor, $\gamma$）：
   $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
3. 時間膨脹公式：地球上的靜止觀測者測得繆子在高速運動狀態下的壽命 $\Delta t$ 會變長（膨脹）：
   $\Delta t = \gamma \Delta t_0$
4. 觀測距離：地球觀測者測得繆子飛行的距離 $d$ 為繆子相對於地球的速度 $v$ 與地球參考系時間 $\Delta t$ 的乘積：
   $d = v \Delta t = v \cdot \gamma \Delta t_0$

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解題方法

步驟一：計算勞侖茲因子 $\gamma$
已知繆子相對於地球的飛行速度 $v = 0.60c$：
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.60)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.36}} = \frac{1}{\sqrt{0.64}} = \frac{1}{0.8} = 1.25$

步驟二：計算地球觀測者測得的繆子壽命 $\Delta t$
將固有時間 $\Delta t_0 = 2.0\text{ }\mu\text{s} = 2.0 \times 10^{-6}\text{ s}$ 代入時間膨脹公式：
$\Delta t = \gamma \Delta t_0 = 1.25 \times 2.0 \times 10^{-6}\text{ s} = 2.5 \times 10^{-6}\text{ s}$

步驟三：計算地球觀測者測得的飛行距離 $d$
光速 $c = 3.0 \times 10^8\text{ m/s}$，故 $v = 0.60 \times 3.0 \times 10^8\text{ m/s} = 1.8 \times 10^8\text{ m/s}$。
飛行距離為：
$d = v \Delta t = (1.8 \times 10^8\text{ m/s}) \times (2.5 \times 10^{-6}\text{ s}) = 4.5 \times 10^2\text{ m}$

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選項分析

• (A) $2.9 \times 10^2\text{ m}$ 錯誤：
  此選項為誤將時間膨脹公式倒置計算（誤認為時間收縮 $\Delta t = \Delta t_0 / \gamma$）所致。

核心觀念

量子力學中波函數歸一化條件為全空間找到粒子的總機率等於 $1$：
$\iiint_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,y,z,t)|^2 \, dx dy dz = 1$

題目選項包含衰減參數 $\alpha$，考量物理合理性，波函數應包含空間衰減因子（例如 $e^{-\alpha r}$），即完整波函數為 $\Psi(\vec{r}, t) = A e^{-\alpha r} \exp\left( i \frac{Et - \vec{p} \cdot \vec{r}}{\hbar} \right)$。

推導步驟

1. 計算機率密度：
   由於複數相位項的模長 $|\exp(i\theta)| = 1$，模平方為：
   $|\Psi|^2 = \Psi^* \Psi = |A|^2 e^{-2\alpha r}$

2. 球面坐標全空間積分：
   利用球對稱性，體積元素取 $d^3r = 4\pi r^2 dr$：