112 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班《微積分》

本題考查函數的臨界點判斷與極值分類。

首先，我們需要計算函數 $f(x)$ 的一階導數 $f'(x)$，並令其等於零來找出臨界點。
$f(x) = 2 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$
$f'(x) = -4 + 12x - 12x^2 + 4x^3$

令 $f'(x) = 0$：
$4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 0$
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$
這是一個立方公式 $(x-1)^3 = 0$。
因此，臨界點為 $x^* = 1$。

接下來，我們需要判斷在 $x^*=1$ 處的極值。我們可以使用二階導數檢定法。
計算二階導數 $f''(x)$：
$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2 + 12x - 4)$
$f''(x) = 12x^2 - 24x + 12$

在臨界點 $x^*=1$ 處計算二階導數：
$f''(1) = 12(1)^2 - 24(1) + 12 = 12 - 24 + 12 = 0$

由於二階導數為零，二階導數檢定法失效。我們需要使用其他方法，例如考慮三階導數或觀察一階導數的符號變化。

計算三階導數 $f'''(x)$：
$f'''(x) = \frac{d}{dx}(12x^2 - 24x + 12)$
$f'''(x) = 24x - 24$
$f'''(1) = 24(1) - 24 = 0$

本題考查連鎖法則和對數函數的微分。

第一部分：計算 $\frac{d}{dx} [10(x^4+2)^{1/2}]$
我們使用連鎖法則。令 $u = x^4+2$，則原式變為 $10 u^{1/2}$。
$\frac{d}{dx} [10(x^4+2)^{1/2}] = 10 \cdot \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dx}$
$= 5 u^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x^4+2)$
$= 5 (x^4+2)^{-1/2} \cdot (4x^3)$
$= 20x^3 (x^4+2)^{-1/2}$
$= \frac{20x^3}{\sqrt{x^4+2}}$

第二部分：計算 $\frac{d}{dx} [\log_{10}(e^{x^2+1})]$
首先，我們將 $\log_{10}$ 轉換為自然對數 $\ln$ 以便微分。

本題考查多元函數的定性判斷，通常透過其二次型矩陣的特徵值或主子式來判斷。

首先，我們需要將函數 $f(x,y,z)$ 表示為二次型。
$f(x,y,z) = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$
其中 $A$ 是對稱矩陣。

二次型的係數如下：
$x^2$ 的係數是 $2$
$y^2$ 的係數是 $3$
$z^2$ 的係數是 $-1$
$xy$ 的係數是 $6$，所以 $A_{12} = A_{21} = 6/2 = 3$
$xz$ 的係數是 $-8$，所以 $A_{13} = A_{31} = -8/2 = -4$
$yz$ 的係數是 $-2$，所以 $A_{23} = A_{32} = -2/2 = -1$

因此，二次型矩陣 $A$ 為：
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & 3 & -1 \\ -4 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

接下來，我們計算矩陣 $A$ 的主子式 (leading principal minors)。
第一個主子式 $D_1 = \det(A_{11}) = 2$。
第二個主子式 $D_2 = \det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} = (2)(3) - (3)(3) = 6 - 9 = -3$。

核心觀念

題目給的是反需求函數：

$$P=100+Q-Q^3.$$

價格彈性定義為：

$$\frac{dQ}{dP}\frac{P}{Q}.$$

由於已知的是 $P$ 對 $Q$ 的函數，先求 $\frac{dP}{dQ}$，再利用反函數微分關係：

$$\frac{dQ}{dP}=\frac{1}{\frac{dP}{dQ}}.$$

解題方法

對反需求函數兩邊對 $Q$ 微分：

$$\frac{dP}{dQ}=1-3Q^2.$$

因此：

$$\frac{dQ}{dP}=\frac{1}{1-3Q^2}.$$

又因為：

$$\frac{P}{Q} = \frac{100+Q-Q^3}{Q},$$

代入價格彈性公式：

$$\frac{dQ}{dP}\frac{P}{Q} = \frac{1}{1-3Q^2} \cdot \frac{100+Q-Q^3}{Q}.$$

所以：

本題考查 IS-LM 模型中 IS 曲線斜率的推導，主要運用全微分和連鎖法則。

IS 曲線代表商品市場的均衡，即總產出 $Y$ 等於總需求。總需求由消費 $C$、投資 $I$ 和政府支出 $G_0$ 組成。

給定的商品市場均衡條件：
$Y = C(Y^d) + I(r) + G_0$
其中 $Y^d = Y - T(Y)$。

我們需要找出 IS 曲線的斜率 $\frac{dr}{dY}$，這表示當所得 $Y$ 變動時，為維持商品市場均衡，利率 $r$ 需要如何變動。我們將對上述方程進行全微分。

首先，將 $Y^d$ 代入 $C$ 的函數中：
$Y = C(Y - T(Y)) + I(r) + G_0$

對兩邊進行全微分 $dY$ 和 $dr$：
$dY = \frac{\partial C}{\partial Y^d} \cdot dY^d + \frac{\partial I}{\partial r} \cdot dr + dG_0$
由於 $G_0$ 是外生變數，所以 $dG_0 = 0$。

計算 $dY^d$：
$dY^d = d(Y - T(Y)) = dY - dT(Y)$
$dT(Y) = T'(Y) dY$
所以，$dY^d = dY - T'(Y) dY = (1 - T'(Y)) dY$

將 $dY^d$ 代入全微分方程：
$dY = C'(Y^d) \cdot (1 - T'(Y)) dY + I'(r) dr$

整理此方程，使 $dr$ 和 $dY$ 的項分離：
$dY - C'(Y^d) (1 - T'(Y)) dY = I'(r) dr$
$dY [1 - C'(Y^d)(1 - T'(Y))] = I'(r) dr$

本題考查 LM 曲線斜率的推導，主要運用全微分。

LM 曲線代表貨幣市場的均衡，即貨幣需求 $L$ 等於貨幣供給 $M_0$。

給定的貨幣市場均衡條件：
$L(Y,r) = M_0$

其中 $L(Y,r)$ 是貨幣需求函數，我們已知：
$L_Y = \frac{\partial L}{\partial Y} > 0$ (所得越高，貨幣需求越高)
$L_r = \frac{\partial L}{\partial r} < 0$ (利率越高，貨幣需求越低)
$M_0$ 是外生變數，所以 $dM_0 = 0$。

我們需要找出 LM 曲線的斜率 $\frac{dr}{dY}$，這表示當所得 $Y$ 變動時，為維持貨幣市場均衡，利率 $r$ 需要如何變動。我們將對上述方程進行全微分。

對 $L(Y,r) = M_0$ 進行全微分：
$dL = dM_0$

核心觀念

本題考查：

1. 均衡所得與均衡利率由商品市場與貨幣市場共同決定。
2. 利用隱函數定理，求政府支出 $G_0$ 改變時，均衡解 $Y^*$ 與 $r^*$ 的比較靜態效果。
3. 根據偏導數的符號，判斷 $\dfrac{dY^*}{dG_0}$ 與 $\dfrac{dr^*}{dG_0}$ 的大小關係。

依承上題的設定，均衡條件為

$$Y=C(Y)+I(r)+G_0$$

以及

$$\frac{M}{P}=L(Y,r).$$

其中通常有

$$0<C_Y<1,\qquad I_r<0,\qquad L_Y>0,\qquad L_r<0.$$

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解題方法：建立聯立方程式

將均衡條件寫成

$$F_1(Y,r,G_0)=Y-C(Y)-I(r)-G_0=0,$$ $$F_2(Y,r)=L(Y,r)-\frac{M}{P}=0.$$

在均衡點 $(Y^*,r^*)$ 附近，對 $G_0$ 作全微分。

第一式為

$$(1-C_Y)dY-I_rdr-dG_0=0,$$

因此

$$(1-C_Y)dY-I_rdr=dG_0.$$

第二式為

$$L_YdY+L_rdr=0.$$

所以可整理成矩陣形式：

$$\begin{bmatrix} 1-C_Y & -I_r\\ L_Y & L_r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{dY^*}{dG_0}\\[4pt] \dfrac{dr^*}{dG_0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}.$$

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求 $\dfrac{dY^*}{dG_0}$

令

$$A=1-C_Y>0,\qquad B=-I_r>0,\qquad R=-L_r>0.$$

由於 $I_r<0$、$L_r<0$，上述聯立方程式可寫成

$$A\frac{dY^*}{dG_0} +B\frac{dr^*}{dG_0}=1,$$ $$L_Y\frac{dY^*}{dG_0} -R\frac{dr^*}{dG_0}=0.$$

由第二式得

$$\frac{dr^*}{dG_0} = \frac{L_Y}{R}\frac{dY^*}{dG_0}.$$

代回第一式：

$$A\frac{dY^*}{dG_0} + B\frac{L_Y}{R}\frac{dY^*}{dG_0} =1.$$

因此

$$\frac{dY^*}{dG_0} = \frac{R}{AR+BL_Y}.$$

本題考查生產理論中的成本極小化問題，以及邊際成本的概念。

首先，我們需要找到使總產量為 100 件產品時，成本 $c(q_1, q_2)$ 極小的 $(q_1, q_2)$ 組合。
總產量限制為 $q_1 + q_2 = 100$。
從這個限制式，我們可以將 $q_2$ 表示為 $q_2 = 100 - q_1$。
將此代入成本函數：
$c(q_1) = q_1^2 + 4q_1 + 64(100 - q_1) + 1000$
$c(q_1) = q_1^2 + 4q_1 + 6400 - 64q_1 + 1000$
$c(q_1) = q_1^2 - 60q_1 + 7400$

為了找出成本極小值，我們需要對 $c(q_1)$ 求一階導數並令其為零：
$\frac{dc}{dq_1} = 2q_1 - 60$
令 $\frac{dc}{dq_1} = 0$：
$2q_1 - 60 = 0$
$2q_1 = 60$
$q_1 = 30$

為了確認這是極小值，我們計算二階導數：
$\frac{d^2c}{dq_1^2} = 2$
由於二階導數大於零，所以 $q_1 = 30$ 是成本極小點。

現在，我們計算此時的 $q_2$：
$q_2 = 100 - q_1 = 100 - 30 = 70$

所以，成本極小的產量組合是 $(q_1, q_2) = (30, 70)$。

接下來，我們計算此時的最小總成本：
$c(30) = 30^2 - 60(30) + 7400$
$c(30) = 900 - 1800 + 7400$
$c(30) = 6500$

第二部分：若總產量增加 1 單位，最適成本會隨之增加多少。
這相當於求總產量 $Q = q_1 + q_2$ 對成本 $c$ 的邊際成本。
我們已經將成本函數表示為 $q_1$ 的函數 $c(q_1) = q_1^2 - 60q_1 + 7400$，其中 $q_1$ 是總產量 $Q$ 的函數。
但是，我們應該從更根本的生產約束來考慮。

我們發現，當我們將 $q_2 = 100 - q_1$ 代入時，我們得到了總成本 $c(q_1)$。
這個函數 $c(q_1)$ 的最小值發生在 $q_1=30$，此時總成本為 6500。
這意味著，當總產量固定為 100 時，成本極小化點是 $(30, 70)$。

現在，題目問「若總產量增加 1 單位，最適成本會隨之增加」。
這意味著我們需要考慮當總產量 $Q$ 變動時，最低成本的變化率。
也就是求 $\frac{dc}{dQ}$，其中 $Q = q_1 + q_2$。

我們應該重新思考問題。這是一個成本極小化問題，但約束是 $q_1+q_2=Q$，而不是固定為 100。
成本函數為 $c(q_1, q_2) = q_1^2 + 4q_1 + 64q_2 + 1000$。
約束為 $q_1 + q_2 = Q$。

我們可以使用拉格朗日乘數法。
目標函數：$L(q_1, q_2, \lambda) = q_1^2 + 4q_1 + 64q_2 + 1000 - \lambda(q_1 + q_2 - Q)$。

核心觀念

本題考查消費者在預算限制下的效用極大化。由於效用函數為準線性形式：

$$u(x_1,x_2)=\alpha_1\ln x_1+\alpha_2x_2$$

且預算限制為：

$$p_1x_1+p_2x_2=w$$

在內解下，最適消費組合滿足邊際替代率等於價格比：

$$\frac{MU_{x_1}}{MU_{x_2}}=\frac{p_1}{p_2}$$

其中：

$$MU_{x_1}=\frac{\alpha_1}{x_1},\qquad MU_{x_2}=\alpha_2$$

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解題方法

以預算限制解出 $x_2$：

$$x_2=\frac{w-p_1x_1}{p_2} =\frac{w}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}x_1$$

代回效用函數，得到只含 $x_1$ 的效用：

$$u(x_1)=\alpha_1\ln x_1 +\alpha_2\left(\frac{w}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}x_1\right)$$

對 $x_1$ 微分並令其等於零：

$$\frac{du}{dx_1} =\frac{\alpha_1}{x_1} -\frac{\alpha_2p_1}{p_2}=0$$

因此：

$$\frac{\alpha_1}{x_1} =\frac{\alpha_2p_1}{p_2}$$

解得：

$$x_1^*=\frac{\alpha_1p_2}{\alpha_2p_1}$$

再利用預算限制求得 $x_2^*$：

$$x_2^* =\frac{w-p_1x_1^*}{p_2}$$

代入 $x_1^*$：

$$x_2^* =\frac{w-p_1\left(\frac{\alpha_1p_2}{\alpha_2p_1}\right)}{p_2} =\frac{w-\frac{\alpha_1p_2}{\alpha_2}}{p_2}$$

所以：

$$x_2^*=\frac{w}{p_2}-\frac{\alpha_1}{\alpha_2}$$

將最適消費組合代入效用函數：

核心觀念

本題考查「間接效用函數」與 Roy's identity 的關係。若消費者面對價格 $(p_1,p_2)$ 與所得 $w$，間接效用函數為

$$v^*(p_1,p_2,w)=u\bigl(x_1^*(p_1,p_2,w),x_2^*(p_1,p_2,w)\bigr),$$

則 Roy's identity 為

$$x_i^* = -\frac{\partial v^*/\partial p_i}{\partial v^*/\partial w}.$$

因此，

$$\frac{\partial v^*}{\partial p_i} = -x_i^*\frac{\partial v^*}{\partial w}.$$

其中負號反映價格上升會降低間接效用，而所得上升會提高間接效用。

解題方法

由 Roy's identity，對商品 $1$ 有

$$x_1^* = -\frac{\partial v^*/\partial p_1}{\partial v^*/\partial w},$$

整理得

$$\frac{\partial v^*}{\partial p_1} = -x_1^*\frac{\partial v^*}{\partial w}.$$

同理，對商品 $2$ 有

$$x_2^* = -\frac{\partial v^*/\partial p_2}{\partial v^*/\partial w},$$

因此

$$\frac{\partial v^*}{\partial p_2} = -x_2^*\frac{\partial v^*}{\partial w}.$$

至於所得的偏微分，必須由上一題求得的間接效用函數 $v^*$ 直接對 $w$ 微分：

$$\frac{\partial v^*}{\partial w} = \frac{\partial}{\partial w} v^*(p_1,p_2,w).$$

所以本題的一般答案為

$$\boxed{ \frac{\partial v^*}{\partial p_1} = -x_1^*\frac{\partial v^*}{\partial w} }$$