112 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班《經濟學》

核心觀念

本題考查供需均衡、從量稅的價格楔子、價格管制，以及消費者剩餘與生產者剩餘的計算。

需求反函數表示消費者願意支付的價格，供給反函數表示生產者願意接受的價格。市場交易量為 $Q$ 時：

• 消費者剩餘（$CS$）：需求曲線與消費者支付價格之間的面積。
• 生產者剩餘（$PS$）：生產者收到的價格與供給曲線之間的面積。
• 從量稅會使消費者支付價格與生產者實收價格相差稅額。

解題方法

先求無政策時的均衡，再逐一求各政策下的交易價格與交易量，最後比較各選項。

無政策均衡

令需求價格等於供給價格：

$$100-2Q=2Q$$

因此：

$$Q=25,\qquad P=50$$

政策 I、II：每單位課稅 $20

不論課在消費者或生產者身上，市場均衡都須滿足消費者支付價格比生產者實收價格高 $20。令消費者支付價格為 $P_c$，生產者實收價格為 $P_s$：

$$P_c=100-2Q,\qquad P_s=2Q,\qquad P_c-P_s=20$$

代入得：

$$100-2Q=2Q+20$$ $$Q=20,\qquad P_c=60,\qquad P_s=40$$

所以兩種課稅政策下，交易量都是 $20$。課稅法定對象不同，不改變此題的均衡結果。

剩餘為：

$$CS=\frac{1}{2}(100-60)(20)=400$$ $$PS=\frac{1}{2}(40-0)(20)=400$$

政策 III：價格上限 $40

價格上限低於均衡價格 $50，因此具有約束力。在價格 $40 時：

$$Q^D=\frac{100-40}{2}=30,\qquad Q^S=\frac{40}{2}=20$$

市場短缺，實際交易量由供給量決定，為 $20$。依標準題型假設，這 $20$ 單位分配給願付價格最高的消費者。

核心觀念

完全替代品的特徵是：消費者願意以固定比例交換兩種商品，因此其無異曲線為直線，邊際替代率為常數。常見代表性效用函數為：

$$U=aX+bY,\qquad a,b>0$$

效用函數經過嚴格遞增轉換後，仍代表相同偏好。因此，只要效用函數是 $X+Y$ 的嚴格遞增函數，就與 $U=X+Y$ 代表相同偏好。

解題方法

逐一檢查選項是否為 $X+Y$ 的嚴格遞增函數；若是，代表的偏好與 $U=X+Y$ 相同。若無異曲線不是直線、邊際替代率會隨消費組合改變，便不符合完全替代品的特徵。

選項分析

(A) $U=X+Y$：可以代表。

這是完全替代品的標準線性效用函數。其邊際效用為 $MU_X=MU_Y=1$，因此邊際替代率為常數。

(B) $U=(X+Y)^2$：可以代表。

核心觀念

本題考的是價格變動對需求量的兩種效果：

• 替代效果：在效用維持不變的情況下，相對價格改變所造成的需求量變化。當 $X$ 的價格上升、$Y$ 的價格不變，$X$ 相對變貴，消費者會減少 $X$ 的需求量。
• 所得效果：價格變動改變消費者實質購買力後，對需求量造成的影響。$X$ 價格上升會使實質所得下降；由於 $X$ 是劣等財，實質所得下降會使 $X$ 的需求量增加。
• 總效果：替代效果與所得效果合併後的需求量變化。題目指出 $X$ 並非季芬財，表示價格上升的總效果仍是需求量減少。

解題方法

先分別判斷三種效果的方向：

1. 替代效果：$X$ 相對於 $Y$ 變貴，消費者以其他商品取代 $X$，所以 $X$ 需求量減少。
2. 所得效果：$X$ 價格上升使實質購買力下降。劣等財在所得下降時需求量增加，因此 $X$ 需求量增加。
3. 總效果：劣等財的所得效果會抵銷一部分替代效果。

核心觀念

補償變量（CV）與對等變量（EV）衡量價格變動造成的福利損失或利益：

• CV：價格變動後，需補償消費者多少所得，才能維持價格變動前的效用。
• EV：價格變動前，需拿走或給予消費者多少所得，才會造成與價格變動後相同的效用。

令價格由 $p_0$ 變為 $p_1$，支出函數為 $e(p,u)$，初始與變動後效用分別為 $u_0$、$u_1$。以價格上漲時福利損失為正的符號慣例：

$$CV=e(p_1,u_0)-e(p_0,u_0)$$ $$EV=e(p_1,u_1)-e(p_0,u_1)$$

若對 $X$ 的需求沒有所得效果，價格改變造成的支出差額不隨效用水準改變，CV 與 EV 就會相等。準線性效用 $U=v(X)+Y$ 在內點解下具有這項性質。

解題方法

選項中，只有 (C) 可直接寫成準線性形式：

$$U=\sqrt{X}+Y$$

將 $Y$ 視為計價物，令其價格為 $1$。在內點解下，達到效用 $u$ 所需的支出為

$$e(p,u)=\min_X\{pX+u-\sqrt{X}\}$$

一階條件為

$$p-\frac{1}{2\sqrt{X}}=0$$

因此 $X^*=\frac{1}{4p^2}$，代回支出函數：

$$e(p,u)=p\left(\frac{1}{4p^2}\right)+u-\frac{1}{2p} =u-\frac{1}{4p}$$

價格變動造成的支出差額與效用水準 $u$ 無關。因此：

核心觀念

本題考查風險貼水與確定等值。消費者面對不確定財富時，先計算各種可能結果的期望效用，再找出能帶來相同期望效用的確定財富。

確定等值（$CE$）滿足：

$$U(CE)=E[U(M)]$$

風險貼水（$RP$）是期望財富與確定等值的差額：

$$RP=E[M]-CE$$

解題方法

財富有兩種可能：以 $10\%$ 的機率為 $900，以 $90\%$ 的機率為 $100。效用函數為 $U(M)=\sqrt{M}$。

先計算期望效用：

$$E[U(M)] =0.1\sqrt{900}+0.9\sqrt{100} =0.1(30)+0.9(10) =12$$

令確定等值財富為 $CE$。使確定財富帶來的效用等於期望效用：

$$\sqrt{CE}=12$$

因此：

$$CE=144$$

再計算期望財富：

核心觀念

邊際技術替代率（MRTS）描述在產量固定時，增加一單位勞動可替代多少資本。等產量曲線的斜率為

$$\left.\frac{dK}{dL}\right|_{Q\text{ 固定}} =-\frac{MP_L}{MP_K}$$

其中 $MP_L=\frac{\partial Q}{\partial L}$，$MP_K=\frac{\partial Q}{\partial K}$。本題選項以負值表示等產量曲線斜率，因此依此慣例作答。

解題方法

生產函數為

$$Q=L^{1/4}K^{3/4}$$

先分別對勞動與資本求偏導：

$$MP_L=\frac{\partial Q}{\partial L} =\frac{1}{4}L^{-3/4}K^{3/4}$$ $$MP_K=\frac{\partial Q}{\partial K} =\frac{3}{4}L^{1/4}K^{-1/4}$$

代入等產量曲線斜率公式：

核心觀念

短期內資本固定為 $K=1$，廠商只能調整勞動投入 $L$。在完全競爭下，廠商選擇勞動，使勞動的邊際收益產品等於工資：

$$P \cdot MPL = w$$

其中 $MPL$ 是勞動的邊際產量，$P \cdot MPL$ 則是勞動的邊際收益產品。

解題方法

將 $K=1$ 代入生產函數：

$$Q=L^{1/2}K^{1/2}=L^{1/2}$$

因此，勞動的邊際產量為：

$$MPL=\frac{dQ}{dL}=\frac{1}{2\sqrt{L}}$$

令邊際收益產品等於工資：

$$P \cdot \frac{1}{2\sqrt{L}}=w$$

整理可得：

$$\sqrt{L}=\frac{P}{2w} \qquad\Longrightarrow\qquad L=\frac{P^2}{4w^2}$$

故短期勞動需求函數為 $L=\frac{P^2}{4w^2}$。

核心觀念

兩部收費由兩部分組成：每單位價格 $P$，以及固定費 $F$。在只有一位代表性消費者、且廠商能按消費者剩餘設定固定費的情況下：

• 消費者的最高願付固定費等於其在單位價格 $P$ 下的消費者剩餘。
• 廠商選擇 $P$ 與 $F$，使總利潤最大。
• 最適單位價格為邊際成本；固定費則用來收取消費者剩餘。

解題方法

先將需求式改寫成反需求函數：

$$Q=80-0.5P \quad\Longrightarrow\quad P=160-2Q$$

成本函數為 $C=40Q$，因此邊際成本為 $MC=40$。兩部收費下，廠商可用固定費收取消費者剩餘，故每單位價格設為邊際成本，以達到有效率的交易量：

$$P^*=MC=40$$

代回需求函數：

$$Q^*=80-0.5(40)=60$$

此時消費者剩餘是需求曲線與價格線之間的三角形面積：

$$F^*=CS =\frac{1}{2}(160-40)(60) =3600$$

廠商的單位銷售利潤為零，因為 $P^*=MC$；全部利潤來自固定費：

$$\pi^*=F^*+(P^*-40)Q^* =3600+(40-40)(60) =3600$$

核心觀念

本題考 古諾雙占模型：兩家廠商同時選擇產量，各自把對手的產量視為既定，再選擇能使自身利潤最大的產量。這個利潤最大化選擇稱為廠商的反應函數。

廠商 $A$ 的反應函數由其利潤函數對 $Q_A$ 微分，並令一階條件等於零求得。

解題方法

市場總產量為 $Q=Q_A+Q_B$，因此市場價格為

$$P=a-b(Q_A+Q_B)$$

廠商 $A$ 的利潤等於銷售收入減去成本：

$$\pi_A=P Q_A-C_A$$

代入價格與成本函數 $C_A=cQ_A$：

$$\pi_A=[a-b(Q_A+Q_B)]Q_A-cQ_A$$

整理後：

$$\pi_A=(a-c-bQ_B)Q_A-bQ_A^2$$

將 $Q_B$ 視為既定，對 $Q_A$ 求一階導數：

$$\frac{\partial \pi_A}{\partial Q_A} =a-c-bQ_B-2bQ_A$$

利潤最大化的一階條件為：

$$a-c-bQ_B-2bQ_A=0$$

解出廠商 $A$ 的最適產量：

$$Q_A=\frac{a-c-bQ_B}{2b}$$

核心觀念

單純策略 Nash 均衡是指：在其他參與者的策略固定時，任何一位參與者都無法單方面改變策略來提高自己的報酬。判斷時，逐一找出雙方的最佳反應；同一格若同時是雙方的最佳反應，才是單純策略 Nash 均衡。

解題方法

依原卷圖，列的玩家是 $X$，行動為 $A、B$；欄的玩家是 $Y$，行動也為 $A、B$。各格支付依序為 $(X,Y)$：左上 $(2,-1)$、右上 $(1,2)$、左下 $(1,2)$、右下 $(2,-1)$。

先看 $X$ 的最佳反應：

• 若 $Y$ 選 $A$，$X$ 選 $A$ 得 $2$，選 $B$ 得 $1$，所以 $X$ 的最佳反應是 $A$。
• 若 $Y$ 選 $B$，$X$ 選 $A$ 得 $1$，選 $B$ 得 $2$，所以 $X$ 的最佳反應是 $B$。

再看 $Y$ 的最佳反應：

• 若 $X$ 選 $A$，$Y$ 選 $A$ 得 $-1$，選 $B$ 得 $2$，所以 $Y$ 的最佳反應是 $B$。
• 若 $X$ 選 $B$，$Y$ 選 $A$ 得 $2$，選 $B$ 得 $-1$，所以 $Y$ 的最佳反應是 $A$。

核心觀念

政府支出乘數衡量政府支出增加一單位時，均衡所得增加多少。在簡單凱因斯模型中，若實質利率及其他外生條件固定，政府支出乘數為：

$$\frac{\Delta Y}{\Delta G}$$

題目給定的 IS 曲線為 $Y=100-r+2G$，其中 $G$ 的係數表示實質利率固定時，政府支出對實質 GDP 的邊際影響。

解題方法

將 $r$ 固定，對 IS 曲線中的 $G$ 求偏導數：

$$\frac{\partial Y}{\partial G}=2$$

因此，政府支出乘數為 $2$，大於 $1$。

核心觀念

題目考的是 IS-LM 模型中的政府支出乘數。政府支出乘數定義為：在物價水準固定時，政府支出增加一單位所帶動的均衡實質 GDP 增加量：

$$\text{政府支出乘數} = \left.\frac{\partial Y}{\partial G}\right|_{P}$$

題目給定的 AD 關係為：

$$Y=100-P+0.5G$$

在固定物價水準 $P$ 下，政府支出每增加一單位，均衡實質 GDP 增加 $0.5$ 單位。

解題方法

將 AD 方程式視為 IS-LM 均衡所得的總需求關係，固定 $P$，對 $G$ 求偏導：

核心觀念

本題考查如何由總合需求（AD）曲線與商品市場均衡的 IS 曲線，反推出貨幣需求函數。貨幣市場均衡時，實質貨幣供給等於實質貨幣需求；若以名目金額表示，則是 $M=M^d$。因此，將 AD 與 IS 聯立，可找出貨幣供給 $M$ 和 $P、Y、r$ 之間的關係。

解題方法

先將 AD 式整理成 $M$ 的表示式：

$$2Y=100-P+0.5G+0.5M$$

兩邊乘以 $2$，再移項：

$$4Y=200-2P+G+M$$ $$M=4Y-200+2P-G$$

由 IS 曲線可得：

$$Y=100-r+0.5G$$

移項後：

$$G=2Y-200+2r$$

代回 $M$ 的表示式：

$$\begin{aligned} M &=4Y-200+2P-(2Y-200+2r)\\ &=2Y+2P-2r\\ &=2(P+Y-r) \end{aligned}$$

核心觀念

本題考查勞動市場均衡如何決定充分就業產出，以及在總合需求—總合供給（AD-AS）模型中，政府支出乘數的意義。

政府支出乘數定義為政府支出變動所引起的實質產出變動：

$$\frac{\Delta Y}{\Delta G}$$

若勞動市場均衡與生產技術決定的產出不因總合需求變動而改變，則總合供給為垂直線；政府支出增加只會改變物價水準，不會改變實質 GDP，政府支出乘數便為 $0$。

解題方法

先由勞動需求等於勞動供給求出均衡僱用量與工資：

$$N^d=N^s$$ $$50-w=w \quad\Rightarrow\quad w=25$$

代回勞動需求或供給曲線：

$$N=50-25=25$$

再代入生產函數，求出由勞動市場均衡所決定的產出：

$$Y=N^{0.5}=25^{0.5}=5$$

勞動市場時時刻刻處於均衡，且題目給定的勞動需求、勞動供給與生產函數不隨政府支出改變，因此均衡僱用量維持 $25$，實質產出維持 $5$。在 AD-AS 模型中，政府支出增加使總合需求右移；

核心觀念

本題考查政府支出乘數，也就是其他外生變數固定時，政府支出增加對均衡實質 GDP 的影響：

$$\frac{dY}{dG}$$

題目同時給定勞動市場、商品市場與貨幣市場條件，因此須聯立均衡條件，並以 LM 曲線檢查推導出的結果是否符合貨幣市場均衡。

解題方法

先由勞動市場均衡 $N^d=N^s$ 求出均衡工資與僱用量：

$$50-w=w+2r$$

整理得：

$$w=25-r$$

將均衡工資代回勞動需求：

$$N=50-w=50-(25-r)=25+r$$

由生產函數 $Y=N$，可得：

$$Y=25+r$$

再與 IS 曲線聯立：

$$25+r=100-r+2G$$

因此：

$$2r=75+2G,\qquad r=37.5+G$$

代回 $Y=25+r$：

$$Y=62.5+G$$

所以，在其他外生變數固定時：

$$\frac{dY}{dG}=1$$

核心觀念

本題考查開放經濟下固定匯率與浮動匯率的財政、貨幣政策效果。以三條曲線的均衡條件比較政策乘數：

• 固定匯率下，實質匯率 $e$ 固定；貨幣供給 $M$ 會配合外匯市場干預調整。
• 浮動匯率下，貨幣供給 $M$ 固定；實質匯率 $e$ 可調整。
• 政策效果以產出變動衡量，分別比較 $\frac{dY}{dG}$ 與 $\frac{dY}{dM}$。

解題方法

對各條曲線取變動量，並依匯率制度設定固定變數，再聯立求出產出乘數。由於 $a^0>0$，所以 $a^0+1>0$，不會出現分母為零的情況。

一、財政政策

固定匯率下 $de=0$，由 IS 與 BP：

$$dY=-dr+0.5\,dG$$ $$dY=a^0dr$$

聯立可得：

$$(a^0+1)dr=0.5\,dG$$

因此固定匯率下的財政乘數為：

$$\left.\frac{dY}{dG}\right|_{\text{固定匯率}} =\frac{0.5a^0}{a^0+1}$$

浮動匯率下 $dM=0$，由 LM 得 $dY=dr$。將 IS 與 BP 的產出變動式相等：

$$-dr+0.5\,dG+de=a^0dr+de$$

因此：

$$(a^0+1)dr=0.5\,dG$$

又因為 $dY=dr$，浮動匯率下的財政乘數為：

$$\left.\frac{dY}{dG}\right|_{\text{浮動匯率}} =\frac{0.5}{a^0+1}$$

兩者相減：

$$\left.\frac{dY}{dG}\right|_{\text{固定匯率}} - \left.\frac{dY}{dG}\right|_{\text{浮動匯率}} =\frac{0.5(a^0-1)}{a^0+1}$$

因此，$a^0>1$ 時固定匯率下財政政策較有效；$0<a^0<1$ 時浮動匯率下較有效；$a^0=1$ 時兩者效果相同。

核心觀念

本題考固定匯率與浮動匯率制度下，財政政策對所得的影響。令 IS 式中的正係數 $b^0>0$ 表示匯率對所得的影響；依 IS、BP 曲線的設定，$r$ 是利率，$e$ 是匯率變數。

在固定匯率下，$e$ 不變，貨幣供給可為維持外部均衡而調整；在浮動匯率下，貨幣供給固定，匯率則調整至國際收支均衡。因此，比較財政政策效果時，要分別依制度設定求出所得變動率 $\dfrac{dY}{dG}$。

解題方法

對各曲線取變動量：

$$\begin{aligned} \text{IS：}\quad dY&=-dr+0.5\,dG+b^0\,de,\\ \text{LM：}\quad dY&=dr+dM,\\ \text{BP：}\quad dY&=2\,dr+de. \end{aligned}$$

固定匯率下的財政政策效果

固定匯率代表 $de=0$。此時，以 IS 與 BP 的均衡條件聯立；貨幣供給可配合調整。

$$dY=-dr+0.5\,dG$$ $$dY=2\,dr$$

令兩式相等：

$$2\,dr=-dr+0.5\,dG$$ $$dr=\frac{1}{6}dG,\qquad \frac{dY}{dG}=2\frac{dr}{dG}=\frac{1}{3}$$

浮動匯率下的財政政策效果

浮動匯率下，貨幣供給固定，所以 $dM=0$，LM 式給出 $dY=dr$。再由 LM 與 BP 相等：

核心觀念

本題考查勞動市場均衡、商品市場均衡所形成的 IS 曲線、貨幣中立性，以及節儉的矛盾與財政政策乘數。

• 勞動市場均衡：令勞動需求等於勞動供給，求得均衡工資與僱用量；再由生產函數求產出。
• IS 曲線：封閉經濟的商品市場均衡條件為 $Y=C+I+G$。代入消費、投資與政府支出函數，可得到商品市場均衡關係。
• 節儉的矛盾：若家戶提高儲蓄意願，消費支出可能下降，導致總所得下降；絕對所得假說本身不會使這個機制消失。
• 貨幣中立性：貨幣供給改變若只帶動物價調整，而不改變產出、就業等實質變數，便符合貨幣中立性。
• 財政政策乘數：衡量政府支出變動對均衡產出的影響。須依題目給定的市場均衡條件判斷，不能只憑消費函數的邊際消費傾向下結論。

解題方法

先由勞動市場求出充分就業產出，再逐項檢驗敘述。

勞動市場均衡時，$N^d=N^s$，因此：

$$32-w=w$$ $$w=16,\qquad N=16$$

由生產函數 $Y=N$，得到充分就業產出：

$$Y=16$$

接著代入商品市場均衡式。因為 $C=100+0.5Y$、$I=200-r$、$G=100$：

$$Y=C+I+G$$ $$Y=100+0.5Y+200-r+100$$

整理後的 IS 關係為：

$$Y=800-2r$$

這說明敘述 (iii) 正確。IS 是商品市場均衡關係；勞動市場均衡另行限制實際產出為充分就業水準。

五項敘述判斷

(i) 錯誤。
消費函數符合絕對所得假說，表示消費與當期所得相關；這不代表節儉的矛盾不成立。若家戶提高儲蓄意願、減少消費支出，在總需求不足且產出可調整的情況下，所得可能下降，進而使總儲蓄未如預期增加。消費函數的形式並未排除這種效果。

核心觀念

本題考的是：某個總體經濟模型被稱為凱因斯學派的分析工具，是否就必然代表古典二分、節儉矛盾、李嘉圖恆等論或貨幣中立性一定成立或不成立。判斷關鍵在於：這些命題都取決於模型的假設，不能只憑模型名稱下結論。

解題方法

原卷第 19 題列出四項關於 IS-LM-AD-AS 架構的敘述，沒有提供圖形或額外數據。逐項檢查「一定」二字：只要某命題在合理的模型設定下可以成立或不成立，題目所稱的必然關係就不成立。

(i) **錯誤。**古典二分指名目變數與實質變數可以分開決定。IS-LM-AD-AS 架構本身不排除這種結果；例如長期價格調整完成後，貨幣可能只影響名目變數。因此不能說古典二分在此架構中「一定不成立」。

(ii) **錯誤。**節儉矛盾是指家戶增加儲蓄意願，可能使總需求與所得下降，最後總儲蓄未增加。這種結果在特定短期假設下會出現，但會受投資反應、利率調整等因素影響，並非只要使用 IS-LM-AD-AS 就「一定成立」。

核心觀念

Solow 成長模型把儲蓄率視為外生給定，資本累積由儲蓄與折舊等因素決定。令 $k=K/(AL)$ 為每單位有效勞動的資本，則資本累積式為

$$\dot{k}=s f(k)-(n+g+\delta)k$$

其中 $s$ 為儲蓄率，$n$ 為人口成長率，$g$ 為技術進步率，$\delta$ 為折舊率。

Golden Rule（黃金律）指的是使穩態消費達到最大的資本水準。穩態消費為

$$c^*=f(k^*)-(n+g+\delta)k^*$$

因此 Golden Rule 資本水準滿足

$$f'(k_{\mathrm{GR}})=n+g+\delta$$

黃金律關心的是穩態消費水準，不是經濟成長率。

解題方法

逐一判斷選項是否符合 Solow 模型的假設與穩態性質。要特別分清楚兩件事：廠商是否在利潤極大下決定要素需求，以及總體投資是否由廠商的動態最適化決定。Solow 模型中，投資由外生儲蓄率決定，$I=sY$；廠商的利潤極大化則用來描述要素需求與要素價格。

比較 Golden Rule 與其他穩態時，儲蓄率會影響穩態資本與消費的水準，但不會改變穩態每人消費的成長率。若模型有技術進步，兩種穩態下每人消費的成長率皆為 $g$；若沒有技術進步，兩者皆為零。

選項分析

核心觀念

此題考考布—道格拉斯效用函數的最適需求、需求價格彈性與恩格爾曲線。對於效用函數

$$U=X^\alpha Y^\beta$$

在預算限制 $P_X X+P_Y Y=M$ 下，消費者會將所得的 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 用於購買 $X$，將所得的 $\frac{\beta}{\alpha+\beta}$ 用於購買 $Y$。本題 $\alpha=\frac13$、$\beta=\frac23$，兩者相加為 $1$，因此所得支出比例分別為 $\frac13$ 與 $\frac23$。

解題方法

先由效用最大化推得個別需求，再依序代入題目資料，計算最適消費量、價格彈性與恩格爾曲線斜率。

(A) 最適消費選擇

最適需求為

$$X^*=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{M}{P_X}, \qquad Y^*=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{M}{P_Y}.$$

代入 $\alpha=\frac13$、$\beta=\frac23$、$M=30$、$P_X=1$、$P_Y=2$：

$$X^*=\frac13\cdot\frac{30}{1}=10, \qquad Y^*=\frac23\cdot\frac{30}{2}=10.$$

因此最適消費選擇為 $(X,Y)=(10,10)$。預算檢查：$1\cdot10+2\cdot10=30$，恰好用完所得。

核心觀念

本題考驗獨佔廠商的第三級差別取價。廠商能區隔兩個市場，並分別訂價；若兩市場間沒有轉售，利潤極大時，各市場的邊際收益都須等於共同的邊際成本：

$$MR_1=MR_2=MC$$

成本函數為 $C=20Q$，因此邊際成本為 $MC=20$。由於總成本是兩市場總銷量的函數，廠商在兩市場各自銷售一單位所增加的成本相同。

解題方法

先將兩市場的需求函數改寫成反需求函數，再分別求邊際收益，並令各市場的邊際收益等於邊際成本。

住宅市場

需求函數為 $Q_R=100-P_R$，反需求函數為：

$$P_R=100-Q_R$$

總收益為 $TR_R=P_RQ_R=100Q_R-Q_R^2$，所以邊際收益為：

$$MR_R=\frac{dTR_R}{dQ_R}=100-2Q_R$$

令 $MR_R=MC$：

$$100-2Q_R=20$$ $$Q_R=40$$

代回住宅市場需求函數：

$$P_R=100-40=60$$

商業市場

核心觀念

本題考的是**兩期稟賦經濟模型（Two-Period Endowment Economy）**中的跨期消費決策，涉及以下觀念：

• 對數效用函數下的最適消費選擇（Lagrangian 求解）
• 跨期預算限制式與終身財富
• 邊際消費傾向（MPC out of wealth）
• 市場結清條件（Market Clearing）求均衡利率
• 借方（Borrower）與貸方（Lender）的判定：比較 $C_0^i$ 與 $Y_0^i$ 的大小

原卷圖上確認的關鍵條件：效用函數 $U = \ln C_0^i + 0.8 \ln C_1^i$；(C) 小題條件為 $Y_0^A + Y_0^B + Y_0^D = Y_1^A + Y_1^B + Y_1^D$；(D) 小題條件為 $Y_0^A = Y_0^B = 0.4(Y_0^A + Y_0^B + Y_0^D)$ 且 $Y_1^B = Y_1^D = 0.4(Y_1^A + Y_1^B + Y_1^D)$。

---

解題方法

(A) 求 $\phi$（第 26 格）

家戶 $i$ 的最適化問題為：

$$\max_{C_0^i, C_1^i} \; \ln C_0^i + 0.8 \ln C_1^i \quad \text{s.t.} \quad C_0^i + \frac{C_1^i}{1+r} = Y_0^i + \frac{Y_1^i}{1+r} \equiv W^i$$

設 Lagrangian：

$$\mathcal{L} = \ln C_0^i + 0.8 \ln C_1^i + \lambda \left( W^i - C_0^i - \frac{C_1^i}{1+r} \right)$$

一階條件：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_0^i} = \frac{1}{C_0^i} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{C_0^i}$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_1^i} = \frac{0.8}{C_1^i} - \frac{\lambda}{1+r} = 0 \implies \lambda = \frac{0.8(1+r)}{C_1^i}$$

由兩式相等：

$$\frac{1}{C_0^i} = \frac{0.8(1+r)}{C_1^i} \implies C_1^i = 0.8(1+r) C_0^i$$

將 $C_1^i$ 代入預算限制式：

$$C_0^i + \frac{0.8(1+r)C_0^i}{1+r} = W^i$$ $$C_0^i + 0.8 C_0^i = W^i$$ $$1.8 \, C_0^i = W^i$$ $$C_0^i = \frac{1}{1.8} W^i = \frac{5}{9} \left( Y_0^i + \frac{Y_1^i}{1+r} \right)$$

故 $\phi = \dfrac{5}{9}$。

---

(B) 邊際消費傾向（第 27 格）

消費函數為：

$$C_0^i = \frac{5}{9} \left( Y_0^i + \frac{Y_1^i}{1+r} \right)$$

此函數中，終身財富的邊際消費傾向即為 $\phi$ 本身，也就是 $C_0^i$ 對終身財富 $W^i$ 的偏微分：

$$\text{MPC} = \frac{\partial C_0^i}{\partial W^i} = \frac{5}{9}$$

---

(C) 市場均衡利率（第 28 格）

第 0 期商品市場結清條件為：

$$\sum_{i \in \{A,B,D\}} C_0^i = \sum_{i \in \{A,B,D\}} Y_0^i$$

將消費函數代入：

$$\frac{5}{9} \sum_i \left( Y_0^i + \frac{Y_1^i}{1+r} \right) = \sum_i Y_0^i$$

令 $E = Y_0^A + Y_0^B + Y_0^D = Y_1^A + Y_1^B + Y_1^D$（題目條件），則：

$$\frac{5}{9} \left( E + \frac{E}{1+r} \right) = E$$

兩邊同除 $E$（$E > 0$）：

$$\frac{5}{9} \left( 1 + \frac{1}{1+r} \right) = 1$$ $$1 + \frac{1}{1+r} = \frac{9}{5}$$ $$\frac{1}{1+r} = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$$ $$1 + r = \frac{5}{4} \implies r = \frac{1}{4} = 0.25$$

故市場均衡利率 $r = 0.25$（即 25%）。