108 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班乙組《經濟學》

此題在考消費者理論中，無異曲線（Indifference Curves）不相交的假設基礎。無異曲線代表兩種商品組合，使得消費者獲得相同效用。無異曲線之所以不能相交，是源於「偏好一致性」（transitivity）的假設。

偏好一致性是指，若消費者偏好 A 大於 B，且偏好 B 大於 C，則必然偏好 A 大於 C。若無異曲線相交，則會違反此一假設。假設有兩條無異曲線 IC1 和 IC2 相交於點 E。點 A 在 IC1 上，點 B 在 IC2 上，而點 C 則同時在 IC1 和 IC2 上。若消費者偏好 A，則表示 A 和 C 在同一條無異曲線 IC1 上，故 A 與 C 的效用相同。若消費者偏好 B，則表示 B 和 C 在同一條無異曲線 IC2 上，故 B 與 C 的效用相同。因此，A、B、C 三點的效用皆相同。然而，若我們進一步假設「越多越好」（more is better），則點 A 相較於點 C，A 擁有較多的商品，其效用應較高；而點 B 相較於點 C，B 擁有較多的商品，其效用應較高。

此題考驗對列物品（Leontief）效用函數的理解，以及其對應的收入擴張曲線（Income Offer Curve）。列物品效用函數的形式為 $U = \min\{ax_1, bx_2\}$，代表消費者必須按照固定的比例 $a:b$ 來消費兩種商品，才能獲得相同的效用。在此題中，效用函數為 $U = \min\{x_1, x_2\}$，代表消費者必須以 $1:1$ 的比例消費 $x_1$ 和 $x_2$ 才能獲得相同的效用。

在列物品的效用函數下，最適消費點（optimal consumption bundle）必定落在 $ax_1 = bx_2$ 的線上。在此題中，即 $x_1 = x_2$ 的線上。

核心觀念

本題探討複合型效用函數（混合完全替代與完全互補）之消費者最適選擇：

1. 完全替代財的選擇準則（兩階段最適化）：在次群組 $V(y, z) = 3y + 2z$ 中，$y$ 與 $z$ 呈完全替代關係。理性的消費者會比較兩者的「每元邊際效用」（$\frac{MU_i}{P_i}$）或「單位效用的購買成本」（$\frac{P_i}{MU_i}$），將購買該次群組的預算全部投入性價比最高（或單位效用成本最低）的財貨。
2. 完全互補財（Leontief）的最適條件：效用函數為 $U = \min\{x, V\}$，消費者為了避免所得浪費，最適消費組合必落在無異曲線的折角處，即滿足 $x = V$。

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解題方法

本題可透過「兩階段最適化法」求解：

第一階段：決定 $y$ 與 $z$ 的消費組合

觀察效用函數中 $y$ 與 $z$ 的部分 $V(y, z) = 3y + 2z$：

• 財貨 $y$ 的每元邊際效用：
  $\frac{MU_y}{P_y} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
• 財貨 $z$ 的每元邊際效用：
  $\frac{MU_z}{P_z} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

由於 $\frac{MU_y}{P_y} = \frac{1}{3} > \frac{1}{4} = \frac{MU_z}{P_z}$，代表購買 $y$ 帶來效用的效率高於 $z$，因此消費者在 $y$ 與 $z$ 之間會完全選擇 $y$ 而不購買 $z$：
$z^* = 0$

第二階段：求解 $x$ 與 $y$ 的最適需求量

將 $z^* = 0$ 代入原效用函數，簡化為標準的完全互補效用函數：
$U = \min\{x, 3y\}$

依據完全互補之最適消費條件，消費點必滿足：
$x = 3y \implies y = \frac{x}{3}$

核心觀念

1. 實質稟賦與預算限制式（Budget Constraint with Endowment）：
   在純粹交換或具備稟賦的經濟體系中，消費者的名目所得（$I$）來自於其所擁有的初始稟賦在市場上的總價值：
   $I = P_x \omega_x + P_y \omega_y$
   其中 $(\omega_x, \omega_y)$ 為初始稟賦數量，$P_x, P_y$ 為市場價格。消費者面臨的預算限制式為：
   $P_x x + P_y y = P_x \omega_x + P_y \omega_y$

2. Cobb-Douglas 效用極大化：
   當效用函數為 $U(x, y) = x^\alpha y^\beta$ 時，在內部解的情況下，消費者會依據指數比例將所得配置於兩財貨的支出上。兩財貨的支出份額分別為固定比例：
   $P_x x^* = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} I \quad \text{與} \quad P_y y^* = \frac{\beta}{\alpha + \beta} I$

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解題方法

步驟一：計算總稟賦價值（名目所得）
Michael 擁有的初始稟賦為 $\omega_x = 25$、$\omega_y = 20$，市場價格分別為 $P_x = 4$、$P_y = 1$。
將稟賦折算為市場價值：
$I = P_x \omega_x + P_y \omega_y = 4 \times 25 + 1 \times 20 = 100 + 20 = 120$
因此預算限制式為：
$4x + 1y = 120$

步驟二：求解最適消費組合條件
效用函數為 $U(x, y) = xy$，其邊際效用分別為：
$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = y, \quad MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = x$
根據效用極大化之切點條件（邊際替代率等於相對價格比）：

此題考驗對不同類型商品（正常品、劣等品、吉芬財）的定義及其相互關係的理解。

首先，我們定義這些商品：

• 正常品 (Normal Good)：所得增加時，需求量也增加的商品。
• 劣等品 (Inferior Good)：所得增加時，需求量反而減少的商品。
• 季芬財 (Giffen Good)：價格上漲時，需求量反而增加的商品。這是一種非常罕見的商品，其所得效果（income effect）的負向效應大於替代效果（substitution effect）的負向效應。
• 普通財 (Ordinary Good)：價格上漲時，需求量減少的商品。所有正常品和大多數劣等品都是普通財。

接著，我們分析各選項：

(A) An inferior good must be a Giffen good.
這句話的意思是，如果一種商品是劣等品，那麼它一定是吉芬財。
劣等品是指所得效果為負（所得增加，需求減少）。吉芬財是指總效果（價格效果）為正（價格上漲，需求增加），也就是說，負的所得效果必須大於負的替代效果。
一個劣等品不一定會是吉芬財。例如，當價格上漲時，替代效果會使需求減少；所得效果也會使需求減少（因為消費者實質所得下降，而劣等品在此情況下需求會增加，但這不是說所得效果為正，而是指若所得直接減少，對劣等品的總需求會減少。這裡的所得效果是相對於價格變化而言，當價格上升，實質所得下降，對劣等品而言，需求會增加，因此所得效果是正的。但如果所得效果的增加量小於替代效果的減少量，則總效果仍是負的，該品仍是普通財）。
更精確地說，吉芬財的定義是價格上升，需求上升。劣等品的定義是所得上升，需求下降。
一個商品是劣等品，代表其所得效果為負 (當所得上升，需求下降)。
一個商品是吉芬財，代表其總效果為正 (當價格上升，需求上升)。
價格效果 = 替代效果 + 所得效果。
對於吉芬財，價格上升（替代效果為負），所得下降（所得效果為負）。但吉芬財的總效果是正的，意味著負的所得效果（對劣等品而言，所得下降，需求上升）必須大於負的替代效果。
一個劣等品，其所得效果是負的。當價格上升時，替代效果是負的。如果這個劣等品的所得效果的正面效應（即所得下降，對劣等品需求增加）大於替代效果的負面效應（價格上升，需求下降），則該商品就是吉芬財。
然而，並非所有的劣等品都會滿足這個條件。

此題考驗價格變動對廠商總收益（Total Revenue, TR）的影響，這與需求彈性（Price Elasticity of Demand, PED）密切相關。

總收益（TR）的定義是：
$TR = P \times Q$
其中 $P$ 是價格，$Q$ 是需求量。

當價格 $P$ 變動時，需求量 $Q$ 也會隨之變動，兩者的變動方向和幅度取決於需求曲線的彈性。

價格彈性 (Price Elasticity of Demand, $E_d$) 的定義是：
$E_d = \frac{\%\Delta Q^d}{\%\Delta P}$

我們有三種情況：

1. 彈性大於 1 ( $|E_d| > 1$ )，即需求富有彈性 (Elastic Demand)：
   當價格上漲（$\%\Delta P > 0$），需求量會按比例大幅減少（$\%\Delta Q^d < 0$），且需求量減少的百分比大於價格上漲的百分比。
   例如，如果價格上漲 10%，需求量可能減少 20%。
   此時，總收益 $TR = P \times Q$ 的變化：
   $\%\Delta TR \approx \%\Delta P + \%\Delta Q^d$
   由於 $\%\Delta Q^d$ 的絕對值大於 $\%\Delta P$，且方向相反，所以 $\%\Delta TR < 0$。
   結論：價格上漲，總收益會減少。

此題考驗獨占廠商（Monopolist）的利潤最大化問題。獨占廠商追求的目標是利潤最大化，而利潤最大化的條件是邊際收益（Marginal Revenue, MR）等於邊際成本（Marginal Cost, MC）。

獨占廠商面對的反需求函數（Inverse Demand Function）為 $p = 30-2q$。
廠商的總收益（Total Revenue, TR）為：

此題考驗對生產函數、邊際產量、規模報酬以及短期生產特性的理解。
生產函數為 $y = 4L^{1/3}K^{2/3}$。在短期，K 是固定投入，L 是變動投入。

首先，我們計算勞動的邊際產量（Marginal Product of Labor, MPL）。
$MPL = \frac{\partial y}{\partial L} = \frac{\partial}{\partial L} (4L^{1/3}K^{2/3})$
$MPL = 4 \times (\frac{1}{3}L^{\frac{1}{3}-1}) K^{2/3}$
$MPL = \frac{4}{3}L^{-2/3}K^{2/3} = \frac{4}{3}(\frac{K}{L})^{2/3}$

現在我們來分析各選項：

(A) For any level of K in the short run, the marginal product of L is diminishing.
邊際產量遞減（Diminishing Marginal Product）是指，當其他投入固定時，增加某一種投入，其邊際產量會逐漸下降。我們需要計算 $MPL$ 對 $L$ 的二階導數：
$\frac{\partial MPL}{\partial L} = \frac{\partial}{\partial L} (\frac{4}{3}L^{-2/3}K^{2/3})$
$\frac{\partial MPL}{\partial L} = \frac{4}{3} \times (-\frac{2}{3}L^{-\frac{2}{3}-1}) K^{2/3}$
$\frac{\partial MPL}{\partial L} = -\frac{8}{9}L^{-5/3}K^{2/3}$
由於 $L$ 和 $K$ 都是正數，且指數 $-5/3$ 為負，所以 $\frac{\partial MPL}{\partial L} < 0$。
這表示，在短期（K 固定）下，隨著勞動投入 $L$ 的增加，勞動的邊際產量是遞減的。此敘述為 正確。

(B) The marginal product of L increases with K.
我們已經計算出 $MPL = \frac{4}{3}L^{-2/3}K^{2/3}$。
若要判斷 $MPL$ 是否隨 $K$ 增加而增加，我們需要看 $MPL$ 對 $K$ 的一階導數：

核心觀念

本題考查純策略 Nash equilibrium（納許均衡）的最佳回應條件。

若某一組策略為納許均衡，表示在其他玩家策略固定下，任何一方單方面改變策略，都不能提高自己的報酬。

考察題目指定的策略組合：

• 玩家 A 選擇 Bottom；
• 玩家 B 選擇 Right。

因此，必須同時滿足：

1. 給定 B 選擇 Right，A 選 Bottom 的報酬不低於 Top。
2. 給定 A 選擇 Bottom，B 選 Right 的報酬不低於 Left。

解題方法

玩家 A 的最佳回應

當玩家 B 選擇 Right 時：

• A 選 Top 的報酬為 $b$；
• A 選 Bottom 的報酬為 $1$。

要使 A 願意選擇 Bottom，必須有

$$1 \geq b$$

亦即

$$b \leq 1$$

若題目採用「均衡策略必須是嚴格最佳回應」的考試慣例，則寫成

$$b<1$$

玩家 B 的最佳回應

當玩家 A 選擇 Bottom 時：

• B 選 Left 的報酬為 $c$；
• B 選 Right 的報酬為 $d$。

要使 B 願意選擇 Right，必須有

$$d \geq c$$

亦即

$$c \leq d$$

若採用嚴格最佳回應的解讀，則為

$$c<d$$

因此，依照本題選項所採用的嚴格不等式判斷，得到

$$b<1,\qquad c<d$$

選項分析

（A）$b>1$ 且 $d<1$

錯誤。

此題考驗廠商短期平均成本（Average Cost, AC）最小化的問題。
總成本函數（Total Cost, TC）為 $C(y) = 2y^2 + 72$。
其中，變動成本（Variable Cost, VC）為 $2y^2$，固定成本（Fixed Cost, FC）為 $72$。

平均成本（AC）的定義是總成本除以產量：
$AC(y) = \frac{C(y)}{y} = \frac{2y^2 + 72}{y} = 2y + \frac{72}{y}$

平均成本最小化的條件是，平均成本對產量 $y$ 的一階導數等於零：
$\frac{dAC}{dy} = 0$

計算 $AC(y)$ 對 $y$ 的導數：
$\frac{dAC}{dy} = \frac{d}{dy} (2y + 72y^{-1})$
$\frac{dAC}{dy} = 2 + 72 \times (-1)y^{-2}$
$\frac{dAC}{dy} = 2 - \frac{72}{y^2}$

令導數等於零來求解最小化產量：
$2 - \frac{72}{y^2} = 0$
$2 = \frac{72}{y^2}$
$2y^2 = 72$
$y^2 = \frac{72}{2} = 36$

此題考驗對 GDP 平減指數（GDP Deflator）的理解和計算。

GDP 平減指數是衡量一個經濟體在特定時期內，整體價格水平變動的指標。它衡量了名目 GDP（Nominal GDP）相對於實質 GDP（Real GDP）的價格水平。

GDP 平減指數的計算公式為：
$\text{GDP Deflator} = \frac{\text{Nominal GDP}}{\text{Real GDP}} \times 100$

題目給定的數據：

• 實質 GDP (Real GDP) = 2000 億
• 名目 GDP (Nominal GDP) = 2500 億

將這些數據代入公式：
$\text{GDP Deflator} = \frac{2500 \text{ billion}}{2000 \text{ billion}} \times 100$

此題考驗對菲利浦曲線（Phillips Curve）的定義和其所描述的經濟關係的理解。

菲利浦曲線最初由經濟學家 A.W. Phillips 提出，他發現英國的貨幣工資變動率與失業率之間存在一種負相關關係。後來，經濟學家進一步將其延伸到物價膨脹率和失業率之間的關係。

傳統的菲利浦曲線（Original Phillips Curve）描述了 物價膨脹率（inflation rate） 與 失業率（unemployment rate） 之間的負相關關係。也就是說，當失業率較低時，物價膨脹率較高；反之，當失業率較高時，物價膨脹率較低。這背後的原因是，當經濟景氣好，失業率低時，勞動力市場緊張，工資上漲壓力增大，進而推動物價上漲；反之，當經濟蕭條，失業率高時，勞動力市場鬆弛，工資上漲壓力減小，物價上漲壓力也隨之減小。

此題考驗聯準會（Federal Reserve, Fed）公開市場操作（Open Market Operations）對 IS-LM 模型中 IS 曲線和 LM 曲線的影響。

公開市場操作是中央銀行影響貨幣供給最常用的工具。

• 聯準會賣出債券 (selling bonds)：
  當聯準會賣出債券時，它從公眾（銀行或個人）手中購買債券，並從公眾手中取得貨幣。這會導致市場上的貨幣供給減少。
  貨幣供給減少會使得貨幣市場的均衡利率上升（在 LM 曲線的邏輯中）。
  LM 曲線描述的是貨幣市場的均衡，其方程式通常表示為 $M/P = L(Y, r)$，其中 $M$ 是名目貨幣供給，$P$ 是物價水平，$L$ 是對所得 $Y$ 正向相關、對利率 $r$ 負向相關的貨幣需求。
  當聯準會賣出債券，名目貨幣供給 $M$ 減少。在物價水平 $P$ 和所得 $Y$ 不變的情況下，為了使 $M/P = L(Y, r)$ 達到均衡，利率 $r$ 必須上升。
  LM 曲線是以 $(Y, r)$ 為座標軸。利率 $r$ 上升，表示在任何給定的所得水平 $Y$ 下，均衡利率都更高。這意味著 LM 曲線會向左或向上移動。

此題考驗國際金融市場中，利率變動對匯率和淨出口（Net Exports）的影響。我們將分析美國利率上升的情況。

1. 利率上升對匯率的影響：
當一個國家的利率上升時，該國的金融資產（例如債券、存款）對外國投資者而言變得更具吸引力，因為它們能提供更高的回報。這會導致外國投資者增加對該國金融資產的需求，進而增加對該國貨幣的需求。
例如，美國利率上升，會吸引國際資本流入美國，尋求更高的投資回報。為了購買美國的債券或進行其他投資，外國人需要購買美元。
美元需求的增加，會導致美元升值（appreciates）。

2. 利率上升對淨出口的影響：
淨出口（Net Exports, NX）是指出口（Exports, X）減去進口（Imports, M）。
$NX = X - M$

• 對出口的影響：美國利率上升導致美元升值。當美元升值時，對於外國購買者來說，美國的商品和服務變得更貴。這會導致美國的出口減少。

核心觀念

本題考查財務經濟學與總體經濟學中的貨幣時間價值（Time Value of Money, TVM）與折現現金流量分析（Discounted Cash Flow, DCF）。

1. 現值（Present Value, $PV$）定義：指未來不同時點所產生的現金流量，經由特定市場利率（折現率 $r$）折算至當前時點（$t = 0$）的實質價值。
2. 多期現值計算公式：
   $PV = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t} = CF_0 + \frac{CF_1}{(1 + r)} + \frac{CF_2}{(1 + r)^2} + \cdots + \frac{CF_n}{(1 + r)^n}$
   其中 $CF_t$ 為第 $t$ 期期末的現金流入量，$r$ 為折現率（本題 $r = 10\% = 0.10$）。

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解題方法

將各選項在不同時期的現金流量，統一以市場利率 $r = 10\%$ 折算至當期（$t = 0$）的現值（$PV$），並進行大小比較，現值數值最高者即為最佳選擇。

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選項分析

• (A) 錯誤。

  • 現金流量：第 0 期（現在）獲得 $100。
  • 現值計算：
    $PV_A = 100$

• (B) 正確。

  • 現金流量：第 0 期獲得 $50，第 1 期末獲得 $60。
  • 現值計算：
    $PV_B = 50 + \frac{60}{1 + 0.10} = 50 + \frac{60}{1.1} = 50 + 54.\overline{54} \approx 104.55$
  • 經比較，$PV_B \approx 104.55$ 為所有選項中現值最高者。

• (C) 錯誤。

  • 現金流量：第 1 期末獲得 $110。
  • 現值計算：
    $PV_C = \frac{110}{1 + 0.10} = \frac{110}{1.1} = 100$

此題考驗對短期總合供給曲線（Short-Run Aggregate Supply, SRAS）斜率成因的理解。

短期總合供給曲線（SRAS）之所以呈現向上傾斜的斜率，是因為在短期內，至少有一種生產要素的價格（通常是名目工資）是僵固的（sticky）或黏滯的，而商品或服務的價格（物價水平）則相對靈活，可以變動。

短期總合供給曲線的成因：
當總合需求（Aggregate Demand, AD）增加，導致物價水平（Price Level, P）上漲時，廠商的產品價格也隨之上漲。
然而，在短期內，名目工資（Money Wage Rate, $W$）通常不會立即隨之調整，而是相對固定或緩慢調整。
因此，廠商面對的情況是：

• 產品價格（$P$）上升。
• 生產要素價格（例如名目工資 $W$）相對固定。

這意味著廠商的實質工資（Real Wage Rate, $W/P$）下降了（因為 $P$ 上升而 $W$ 不變或上升較慢）。
當實質工資下降時，勞動對廠商而言變得相對便宜，因此廠商會傾向於增加勞動僱用量，進而提高產量（Output, $Y$）。
所以，當物價水平 $P$ 上漲時，廠商的產量 $Y$ 也會隨之增加。這就形成了向上傾斜的短期總合供給曲線。

關鍵在於「名目工資的僵固性」。

此題考驗總合供給-總合需求（AS-AD）模型中，政府支出增加對實質 GDP 和物價水平的影響。

AS-AD 模型中：

• 總合需求曲線 (Aggregate Demand, AD)：表示在不同物價水平下，經濟體對商品和服務的總需求量。AD 曲線向下傾斜，因為物價水平上升會導致實質貨幣供給減少、資產價值下降、出口競爭力減弱，從而減少總需求。
• 總合供給曲線 (Aggregate Supply, AS)：
  • 短期總合供給曲線 (SRAS)：向上傾斜，表示在短期內，物價水平上升會刺激廠商增加產量。
  • 長期總合供給曲線 (LRAS)：垂直於實質 GDP 軸，表示長期而言，產量由生產要素決定，與物價水平無關。

情境分析：政府增加政府支出 (G)
政府增加政府支出（$G$）是總合需求（$AD$）的組成部分之一（$AD = C + I + G + NX$）。
當政府支出 $G$ 增加時，在其他條件不變的情況下，總合需求會直接增加。
這將導致總合需求曲線 (AD) 向右移動。

此題考驗對「一價定律」（Law of One Price）的理解及其應用。一價定律是指在沒有交易成本、運輸成本和市場壁壘的情況下，相同商品在不同地點的價格，在轉換為同一貨幣後，應該是相同的。

首先，我們需要將兩種價格轉換為同一種貨幣單位。題目給定了台幣（NTD）和港幣（HKD）之間的匯率：$1 \text{ HKD} = 4 \text{ NTD}$。

計算台灣的 iPhone 價格（以港幣計價）：
台灣價格 = $36,000 \text{ NTD}$
由於 $1 \text{ HKD} = 4 \text{ NTD}$，所以 $1 \text{ NTD} = \frac{1}{4} \text{ HKD}$。
台灣價格（以 HKD 計價）= $36,000 \text{ NTD} \times \frac{1 \text{ HKD}}{4 \text{ NTD}} = 9,000 \text{ HKD}$。

比較兩地價格：

• 台灣價格（以 HKD 計價）= $9,000 \text{ HKD}$
• 香港價格 = $8,000 \text{ HKD}$

目前，台灣的 iPhone 價格（以港幣計價）高於香港的價格。為了讓一價定律成立，價格較高的台灣 iPhone 價格需要下降，或者價格較低的香港 iPhone 價格需要上升，直到兩者相等。

然而，題目問的是「HKD 應該如何變動」。這意味著我們需要觀察匯率的變動。
一價定律成立的條件是：$P_{Taiwan} = S \times P_{Hong Kong}$，其中 $S$ 是匯率（表示 1 單位外幣等於多少本國貨幣）。
在這裡，我們假設以台幣為本國貨幣，港幣為外幣。

此題考驗對存款乘數（Deposit Multiplier）和法定準備率（Required Reserve Ratio）之間關係的理解。

存款乘數是指銀行體系中，當有新增準備金時，能夠創造出多少倍的存款。
存款乘數的公式為：
$\text{Deposit Multiplier} = \frac{1}{r}$
其中 $r$ 是法定準備率（Required Reserve Ratio）。

題目給定存款乘數為 5。
$5 = \frac{1}{r}$

此題考驗對失業率（Unemployment Rate）計算的理解。

失業率的計算公式是：
$\text{Unemployment Rate} = \frac{\text{Number of Unemployed}}{\text{Labor Force}} \times 100\%$

首先，我們需要計算勞動力（Labor Force）。
勞動力（Labor Force）等於就業人數（Employed）加上失業人數（Unemployed）。
勞動力（Labor Force）也等於成年人口（Adult Population）乘以勞動力參與率（Labor Force Participation Rate）。

題目給定的數據：

• 成年人口 (Adult Population) = 200 百萬
• 勞動力參與率 (Labor Force Participation Rate) = 40% = 0.4
• 失業人數 (Number of Unemployed) = 4 百萬

步驟 1：計算勞動力 (Labor Force)
Labor Force = Adult Population $\times$ Labor Force Participation Rate

此題考驗消費者理論中，補償變異（Compensating Variation, CV）與等價變異（Equivalent Variation, EV）的計算，涉及列物品（Leontief）效用函數。

基本資訊：
效用函數：$U = \min\{x_1, 2x_2\}$
初始價格：$p_1 = 1, p_2 = 1$
所得：$m = 30$
價格變動：$p_1$ 從 1 上升到 2。$p_2$ 和 $m$ 保持不變。

步驟 1：計算初始最適消費點
在列物品效用函數 $U = \min\{A, B\}$ 下，最適消費點滿足 $A = B$。
在此題中，最適消費點滿足 $x_1 = 2x_2$。

初始預算線：$p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \implies 1x_1 + 1x_2 = 30$。
將 $x_1 = 2x_2$ 代入預算線：
$1(2x_2) + 1x_2 = 30$
$2x_2 + x_2 = 30$
$3x_2 = 30 \implies x_2 = 10$。
則 $x_1 = 2x_2 = 2(10) = 20$。
初始消費點：$(x_1, x_2) = (20, 10)$。
初始效用水平：$U_0 = \min\{20, 2 \times 10\} = \min\{20, 20\} = 20$。

步驟 2：計算變動後的最適消費點（新價格下的消費）
新價格：$p_1' = 2, p_2 = 1$。
新預算線：$p_1' x_1 + p_2 x_2 = m \implies 2x_1 + 1x_2 = 30$。
最適消費條件不變：$x_1 = 2x_2$。
將 $x_1 = 2x_2$ 代入新預算線：
$2(2x_2) + 1x_2 = 30$
$4x_2 + x_2 = 30$
$5x_2 = 30 \implies x_2' = 6$。
則 $x_1' = 2x_2' = 2(6) = 12$。
新消費點：$(x_1', x_2') = (12, 6)$。
新效用水平：$U_1 = \min\{12, 2 \times 6\} = \min\{12, 12\} = 12$。

此題考驗古諾競爭（Cournot Competition）與史特克伯競爭（Stackelberg Competition）模型。

基本資訊：
市場需求函數：$p = 60 - q_1 - q_2$
廠商 1 的邊際成本：$MC_1 = 20$
廠商 2 的邊際成本：$MC_2 = 10$

2(a) 古諾競爭均衡
在古諾模型中，兩家廠商同時決定產量，並假設對方的產量固定。

廠商 1 的反應函數 (Reaction Function)：
廠商 1 的總收益 $TR_1 = p \times q_1 = (60 - q_1 - q_2)q_1 = 60q_1 - q_1^2 - q_1q_2$。
廠商 1 的邊際收益 $MR_1 = \frac{dTR_1}{dq_1} = 60 - 2q_1 - q_2$。
利潤最大化條件：$MR_1 = MC_1$。
$60 - 2q_1 - q_2 = 20$
$40 - q_2 = 2q_1$
$q_1 = \frac{40 - q_2}{2} = 20 - \frac{1}{2}q_2$ （廠商 1 的反應函數）

廠商 2 的反應函數 (Reaction Function)：
廠商 2 的總收益 $TR_2 = p \times q_2 = (60 - q_1 - q_2)q_2 = 60q_2 - q_1q_2 - q_2^2$。
廠商 2 的邊際收益 $MR_2 = \frac{dTR_2}{dq_2} = 60 - q_1 - 2q_2$。
利潤最大化條件：$MR_2 = MC_2$。
$60 - q_1 - 2q_2 = 10$
$50 - q_1 = 2q_2$
$q_2 = \frac{50 - q_1}{2} = 25 - \frac{1}{2}q_1$ （廠商 2 的反應函數）

古諾均衡點：
聯立兩家廠商的反應函數：
$q_1 = 20 - \frac{1}{2}q_2$
$q_2 = 25 - \frac{1}{2}q_1$

將第二式代入第一式：
$q_1 = 20 - \frac{1}{2}(25 - \frac{1}{2}q_1)$
$q_1 = 20 - 12.5 + \frac{1}{4}q_1$
$q_1 - \frac{1}{4}q_1 = 7.5$
$\frac{3}{4}q_1 = 7.5$

此題考驗政府支出乘數（Government Spending Multiplier）的計算，該乘數適用於有自動穩定器（automatic stabilizer）的情況，例如比例稅制。

在一個存在比例稅制的簡單凱因斯模型中，總消費 $C$ 的函數形式通常是：
$C = c_0 + MPC \times (Y - T)$
其中 $Y$ 是所得，$T$ 是稅收，$c_0$ 是自發性消費。
比例稅制表示稅收 $T$ 是所得 $Y$ 的一個比例：$T = tY$，其中 $t$ 是稅率。

將 $T = tY$ 代入消費函數：
$C = c_0 + MPC \times (Y - tY)$
$C = c_0 + MPC \times (1-t)Y$

總合需求（AD）為：$AD = C + I + G$ （假設 $I$ 和 $G$ 為外生變數，且為簡單封閉經濟體）。
$AD = c_0 + MPC \times (1-t)Y + I + G$

在均衡時，$Y = AD$。
$Y = c_0 + MPC \times (1-t)Y + I + G$
$Y - MPC \times (1-t)Y = c_0 + I + G$
$Y [1 - MPC(1-t)] = c_0 + I + G$

此題考驗 IS-LM 模型中，推導 IS 曲線和 LM 曲線的方程式，並求出均衡所得與利率。

基本資訊：
消費函數：$C = 100 + 0.5(Y - T)$
投資函數：$I = 100 - 10r$
政府支出與稅收：$G = T = 50$
名目貨幣供給：$M^s = 500$
物價水平：$P = 2$
實質貨幣需求：$M^D/P = Y - 30r$

步驟 1：推導 IS 曲線方程式
IS 曲線代表商品市場的均衡，即總合支出（AD）等於所得（Y）。
$Y = C + I + G$
將給定函數代入：
$Y = [100 + 0.5(Y - T)] + [100 - 10r] + G$
代入 $T=50$ 和 $G=50$：
$Y = 100 + 0.5(Y - 50) + 100 - 10r + 50$
$Y = 100 + 0.5Y - 25 + 100 - 10r + 50$
$Y = 225 + 0.5Y - 10r$
將包含 Y 的項移到左邊：
$Y - 0.5Y = 225 - 10r$
$0.5Y = 225 - 10r$
兩邊乘以 2，得到 Y 的形式：
$Y = 450 - 20r$
這就是 IS 曲線的方程式。

步驟 2：推導 LM 曲線方程式
LM 曲線代表貨幣市場的均衡，即實質貨幣供給等於實質貨幣需求。
實質貨幣供給：$M^s/P = 500 / 2 = 250$。
實質貨幣需求：$M^D/P = Y - 30r$。
均衡條件：$M^s/P = M^D/P$。
$250 = Y - 30r$
這就是 LM 曲線的方程式。通常我們將 $Y$ 表示為 $r$ 的函數，或者將 $r$ 表示為 $Y$ 的函數。
將 $r$ 表示為 $Y$ 的函數：
$30r = Y - 250$