108 年國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班甲組《個體經濟學》考古題與詳解

Question 1

1. Sean consumes two goods, $x1$ and $x2$. His utility function is $U(x1, x2) = x1^2 x2$. The prices of the two goods are $p1=$\$2 and $p2=$\$2, and Sean's income is $30$. (a) Find Sean's optimal consumption bundle $(x1^, x2^) = $ . (b) Suppose that the price of $x1$ increases from $2$ to $4$, while the price of $x2$ and Sean's income do not change. Find the Slutsky substitution effect and Slutsky income effect of the change in $x1$ due to this price change. The substitution effect is $\Delta x1^s = $ (1), and the income effect is $\Delta x1^i = $ (2).

Accepted Answer

核心觀念 本題評量消費者理論中的兩大核心主題： 1. 柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas）效用函數之最適選擇： 對於標準 Cobb-Douglas 效用函數 $U(x1, x2) = x1^\alpha x2^\beta$，消費者將固定比例 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 的所得支出於商品 1，固定比例 $\frac{\beta}{\alpha+\beta}$ 的所得支出於商品 2。 2. 史拉斯基（Slutsky）價格效果分解： 當商品價格變動時，總效果（Total Effect, $\mathrm{TE}$）可拆解為替代效果（Substitution Effect, $\mathrm{SE}$）與所得效果（Income Effect, $\mathrm{IE}$）： $$\Delta x1 = \Delta x1^s + \Delta x1^i$$ - 史拉斯基實質所得不變：以「維持原購買力」為基準，給定新價格條件下，補償消費者使其「恰好能購買原始最適消費組合」所需的所得 $m'$。 - 替代效果（$\Delta x1^s$）：在新價格與補償所得 $m'$ 下求出中間組合 $x1^s$，計算 $\Delta x1^s = x1^s - x1^$。 - 所得效果（$\Delta x1^i$）：從中間組合變動至最終最適組合 $x1^{}$，計算 $\Delta x1^i = x1^{} - x1^s$。 --- 解題方法 (a) 求解初始最適消費組合 $(x1^, x2^)$ 消費者的效用極大化問題（Utility Maximization Problem, UMP）為： $$\max{x1, x2} U(x1, x2) = x1^2 x2 \quad 	ext{s.t.} \quad p1 x1 + p2 x2 = m$$ 代入已知參數 $p1 = 2$、$p2 = 2$、$m = 30$： $$2x1 + 2x2 = 30$$ 由一階最適條件，邊際替代率等於相對價格比（$MRS{12} = \frac{p1}{p2}$）： $$MRS{12} = \frac{MU1}{MU2} = \frac{2 x1 x2}{x1^2} = \frac{2 x2}{x1} = \frac{2}{2} = 1 \implies x1 = 2 x2$$ 將 $x1 = 2 x2$ 代入預算限制式： $$2(2 x2) + 2 x2 = 30 \implies 6 x2 = 30 \implies x2^ = 5$$ $$x1^ = 2(5) = 10$$ 初始最適消費組合為： $$(x1^, x2^) = (10, 5)$$ --- (b) 求解史拉斯基替代效果與所得效果 步驟 1：求價格變動後的最終最適消費組合 $(x1^{}, x2…

Question 2

2. Consider a market of automobiles where the inverse supply curve is $P = 10 + 2Q$ and the inverse demand curve is $P = 40 - Q$. Suppose that the government imposes a price ceiling which equals $20$. The equilibrium quantity is (3), the consumer surplus is (4), and the producer surplus is (5).

Accepted Answer

核心觀念 本題旨在測驗政府價格管制（價格上限）之市場均衡與福利分析，核心觀念包含： 1. 有效價格上限（Binding Price Ceiling）：當政府設定的最高價格上限 $\bar{P}$ 低於自由市場均衡價格 $P^$ 時，價格上限具有實質約束力，將導致市場出現超額需求（Shortage）。 2. 短邊原則（Short-Side Rule）：在市場失衡時，實際市場交易量取決於供給量與需求量中的較小者，即 $Qe = \min(Qs, Qd)$。 3. 福利衡量（Welfare Analysis）： - 生產者剩餘（Producer Surplus, PS）：廠商實際收到的總收入與其願受最低價格（反供給曲線）之間的差額面積。 - 消費者剩餘（Consumer Surplus, CS）：在標準經濟學考題（預設為有效率配給，Efficient Rationing，即保留價格最高的消費者優先購得產品）下，消費者願付最高價格（反需求曲線）與實際支付價格之間的差額面積。 --- 解題方法 步驟一：求自由市場均衡（無管制基準點） 由市場反需求與反供給函數： - 反需求函數：$P = 40 - Q$ - 反供給函數：$P = 10 + 2Q$ 令需求價格等於供給價格（$PD = PS$）： $$40 - Q = 10 + 2Q \implies 3Q = 30 \implies Q^ = 10$$ 將 $Q^ = 10$ 代回反需求函數求得自由市場均衡價格： $$P^ = 40 - 10 = 30$$ 步驟二：判斷價格上限之有效性 政府設定價格上限 $\bar{P} = 20$。 因為 $\bar{P} = 20 < P^ = 30$，此價格上限低於自由市場均衡價格，為有效（具有約束力）之價格上限。 步驟三：計算管制後的市場交易數量（第 (3) 格） 在管制價格 $\bar{P} = 20$ 下： - 供給量（$Qs$）：代入反供給函數 $20 = 10 + 2Qs \implies 2Qs = 10 \implies Qs = 5$ - 需求量（$Qd$）：代入反需求函數 $20 = 40 - Qd \implies Qd = 20$ 市場產生超額需求 $Qd - Qs = 20 - 5 = 15$。 根據短邊原則，實際市場均衡交易量由供給側決定： $$Qe = \min(Qs, Qd) = 5$$ 步驟四：計算生產者剩餘（第 (5) 格） 供給曲線截距（$Q = 0$ 時之最低願受價格）為 $P = 10$。 在交易量 $Qe = 5$ 且價格為 $\bar{P} = 20$ 時，生產者剩餘為底為 $Qe = 5$、高為 $(20 - 10)$ 之三角形面積： $$PS = \frac{1}{2} 	imes (	ext{價格} - 	ext{供給截距})…

Question 3

3. In the base period $(t=0)$, the prices of good 1 and good 2 are $p1^0=1$ and $p2^0=2$, and quantities of consumption are $q1^0=20$ and $q2^0=5$. In the current period $(t=1)$, the prices are $p1^1=3$ and $p2^1=4$, and quantities of consumption are $q1^1=10$ and $q2^1=10$. The Paasche price index is (7).

Accepted Answer

本題考驗價格指數的計算，特別是 Paasche 價格指數。 Paasche 價格指數 Paasche 價格指數使用當期 (current period) 的消費籃子作為權數，來衡量當期價格相較於基期價格的變動。其公式為： $$P{Paasche} = \frac{\sum{i} pi^1 qi^1}{\sum{i} pi^0 qi^1}$$ 其中，$pi^1$ 是當期商品 $i$ 的價格，$qi^1$ 是當期商品 $i$ 的消費量。 $pi^0$ 是基期商品 $i$ 的價格，$qi^1$ 是當期商品 $i$ 的消費量。 計算參數： 基期 $(t=0)$： $p1^0 = 1$, $p2^0 = 2$ $q1^0 = 20$, $q2^0 = 5$

Question 4

4. Henry has 16 hours of free time every day. He can allocate the 16 hours on either work or leisure. If he works, he can make $w$ dollars every hour. In addition to the income he earns from working, Henry also gets $m$ dollars from his parents every day. His utility function is $U=C^2L$, where $C$ is the money (dollar) spent on consumption, and $L$ is the time (hour) spent on leisure. (a) Write down Henry's budget constraint (expressed by $C, L, w,$ and $m$): (8). (b) If $w = 10$ and $m = 20$, Henry will work (9) hours a day.

Accepted Answer

核心觀念 本題考「勞動—休閒選擇模型」： - 每日可支配時間為 $16$ 小時，分配於工作與休閒。 - 工作所得為 $w(16-L)$。 - 父母給予的非勞動所得為 $m$。 - 消費支出 $C$ 必須等於總所得。 - 透過效用最大化求出最適休閒時間，再由總時間扣除休閒時間得到工作時數。 效用函數為： $$ U=C^2L $$ 其中 $C$ 為消費，$L$ 為休閒時間。 解題方法 （a）預算限制式 Henry 每日工作時間為： $$ 16-L $$ 因此工作所得為： $$ w(16-L) $$ 加上父母給予的 $m$ 元，總所得為： $$ w(16-L)+m $$ 假設所得全部用於消費，預算限制式為： $$ \boxed{C=w(16-L)+m} $$ 整理後可寫成： $$ \boxed{C=16w+m-wL} $$ 此外，時間限制為： $$ 0\leq L\leq 16 $$ （b）求最適工作時數 將預算限制式代入效用函數： $$ U=\left(16w+m-wL\right)^2L $$ 較方便的方法是最大化效用函數的對數： $$ \ln U=2\ln C+\ln L $$ 其一階條件為： $$ \frac{\partial \ln U}{\partial L} = 2\frac{1}{C}\frac{\partial C}{\partial L} +\frac{1}{L} =0 $$ 由於： $$ \frac{\partial C}{\partial L}=-w $$ 所以：

Question 5

5. Jackson's income in the current period $(t=0)$ is $100$, and his income in the next period $(t=1)$ is $150$. If the present value of his total income in the two periods is $225$, the interest rate is (10).

Accepted Answer

本題考驗現值 (Present Value) 的計算，以及利率的求解。 現值計算 現值是指未來一筆或一系列現金流在當期的價值。其計算公式為： $$PV = \frac{FV}{(1+r)^t}$$ 其中，$PV$ 是現值，$FV$ 是未來價值，$r$ 是利率，$t$ 是時間期數。 對於跨期決策，我們通常將未來的所得折算到當期 (t=0)。 Jackson 在當期 $(t=0)$ 的所得為 $Y0 = 100$。 Jackson 在下一期 $(t=1)$ 的所得為 $Y1 = 150$。 利率為 $r$。 Jackson 在當期的總所得的現值 (Present Value of Total Income, PVTI) 是當期所得加上下一期所得折算到當期的價值： $PVTI = Y0 + \frac{Y1}{(1+r)^1}$。 題目告知，Jackson 在兩期的總所得的現值為 $225$。 所以，$PVTI = 225$。 求解利率 $r$

Question 6

Part II: Answer the following 10 questions. Each question accounts for 5 points.

Consider a production function for a graduate school applicant, $s = f(x, a)$ . $s$ is the student's potential score as a function of her extracurricular activities $x$ and academic works $a$ in college. The corresponding cost function $c(s) = c(t_x, t_a; s)$ is the time this student has to spend to achieve any $s$ , where $t_x$ and $t_a$ are the hours spent on extracurricular activities $x$ and academic works $a$ , respectively.
(a) Write down the production function and cost function when the admission committee grade the score based on the worst performance in either extracurricular activities or academic works.
(b) Write down the production function and cost function when the admission committee grade the score based on the performance in both extracurricular activities or academic works.
(c) Explain duality between production and cost functions using the answers above.

Accepted Answer

本題主要探討生產理論中的生產函數與成本函數的關係，以及兩者之間的對偶性 (duality)。

(a) 最差表現法則下的生產函數與成本函數

若成績 $s$ 是由課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 的「最差表現」決定，這意味著成績 $s$ 等於 $x$ 和 $a$ 中較小的那一個。
生產函數 $s = f(x, a)$ 可以寫成：
$s = \min(x, a)$ 。
這裡 $x$ 和 $a$ 是學生投入的「成果」（例如，某種量化的表現分數），而不是時間。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需花費的時間。假設學生在課外活動上花費 $t_x$ 小時，學術工作上花費 $t_a$ 小時。
如果成績是基於最差表現，那麼要達到成績 $s$ ，則必須確保課外活動的表現 $x \ge s$ 且學術工作的表現 $a \ge s$ 。
假設投入時間 $t_x$ 可以產生表現 $x$ ，投入時間 $t_a$ 可以產生表現 $a$ 。
題目中提到「 $t_x$ 和 $t_a$ 是花費在課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 上的時間」。這句話有點模糊，一般情況下，投入的時間是生產的要素，而產出是成績。
我們假設時間 $t_x$ 和 $t_a$ 直接對應到表現 $x$ 和 $a$ 。最常見的假設是時間投入直接決定表現，例如 $x = g(t_x)$ 和 $a = h(t_a)$ ，或者更簡單的，假設時間投入就是表現，即 $x=t_x$ 和 $a=t_a$ 。

如果我們假設投入時間 $t_x$ 和 $t_a$ 就是學術表現 $x$ 和 $a$ 的量化指標，那麼：
$s = \min(t_x, t_a)$ 。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需的最小總時間 $T = t_x + t_a$ 。
為了最小化 $T = t_x + t_a$ ，同時滿足 $s = \min(t_x, t_a)$ 。
這表示我們需要 $t_x \ge s$ 且 $t_a \ge s$ 。
要最小化 $t_x + t_a$ ，我們應該選擇 $t_x = s$ 和 $t_a = s$ 。
因此，達成成績 $s$ 所需的最小時間是 $c(s) = s + s = 2s$ 。
成本函數為 $c(s) = 2s$ 。

生產函數： $s = \min(x, a)$ (其中 $x, a$ 為投入的成果，或假設為時間 $t_x, t_a$ )
成本函數： $c(s) = 2s$ (其中 $s$ 為達成的成績，代表最小時間投入)

(b) 兩者表現都考慮下的生產函數與成本函數

若成績 $s$ 是由課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 的「兩者表現」共同決定，這通常意味著成績是它們的某種函數，例如加總。
生產函數 $s = f(x, a)$ 可以寫成：
$s = x + a$ 。
同樣，假設 $x = t_x$ 和 $a = t_a$ ，則
$s = t_x + t_a$ 。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需花費的最小總時間 $T = t_x + t_a$ 。
在此情況下，我們要求 $t_x + t_a = s$ 。
要最小化 $T = t_x + t_a$ 同時滿足 $t_x + t_a = s$ ，最小的 $T$ 就是 $s$ 。
因此，成本函數為 $c(s) = s$ 。

生產函數： $s = x + a$ (其中 $x, a$ 為投入的成果，或假設為時間 $t_x, t_a$ )
成本函數： $c(s) = s$ (其中 $s$ 為達成的成績，代表最小時間投入)

(c) 解釋生產函數與成本函數的對偶性

生產函數與成本函數的對偶性 (duality) 指的是，在競爭性市場中，企業的利潤極大化問題與成本極小化問題是等價的。換句話說，給定生產函數，我們可以推導出成本函數；反之，給定成本函數，我們也可以推導出生產函數（在某些條件下）。

Question 7

2. Adverse selection for health insurance company means that, everything else equal, people with worse health status are more likely to buy insurance; the most healthy people would be the last one to get covered. Consider each insured person as a product of insurance company. Insuring people with worse health status means this "product" would require higher marginal cost to produce than the other people, because the medical expense for people with worse health status are likely higher. (a) Depict the average cost and marginal cost curve of a health insurance company as their customers increase. Think about the sequence of people to get insured based on their health status. (b) Based on the answers above, propose an empirical test on the existence of adverse selection in a given data with s…

Accepted Answer

本題探討逆選擇 (Adverse Selection) 在健康保險市場中的應用，以及政府如何透過國民健康保險來解決此問題。

(a) 說明醫療保險公司的平均成本與邊際成本曲線

逆選擇的核心在於，保險公司無法準確區分投保人的健康風險，而風險較高者（健康狀況較差者）更傾向於購買保險。

假設保險公司承保的客戶是按照健康狀況從差到好（或從風險高到低）的順序加入的。

第一批加入者： 健康狀況最差（風險最高）的客戶。他們預期會有較高的醫療支出，因此需要較高的保費。對保險公司而言，這些客戶的平均醫療成本 (Average Cost, AC) 和邊際醫療成本 (Marginal Cost, MC) 都會比較高。
後續加入者： 隨著承保的客戶群擴大，健康狀況越來越好（風險越來越低）的客戶加入。
- 邊際成本 (MC)： 當一個新的客戶加入時，他的醫療成本就是該客戶的邊際成本。由於後續加入的客戶健康狀況較好，其預期醫療成本會低於前面加入的客戶。因此，隨著客戶群從健康差的往健康好的擴展，邊際成本曲線是遞減的。
- 平均成本 (AC)： 平均成本是所有已承保客戶的總醫療成本除以客戶數量。當一開始加入的是高風險客戶時，AC 會很高。當越來越多低風險客戶加入時，他們會拉低整體的平均醫療成本。因此，平均成本曲線也是遞減的。

圖示說明：
想像一個圖，橫軸是客戶數量 (Q)，縱軸是成本 (AC, MC)。

MC 曲線是一條向下傾斜的直線或曲線。
AC 曲線也會向下傾斜，並且始終高於 MC 曲線（在 MC 遞減的區域，AC 始終高於 MC）。
AC 曲線在 MC 曲線的上方，並且兩者都隨著 Q 的增加而下降。

總結： 在逆選擇的情況下，由於低風險者最後才可能加入，保險公司隨著客戶數量的增加，邊際成本和平均成本都會下降。

(b) 提出檢驗逆選擇存在的實證檢驗方法

基於上述 AC 和 MC 的特性，我們可以設計實證檢驗方法：

數據要求： 需要收集保險公司的數據，包括：
- 投保人的個人健康狀況指標（例如，既往病史、年齡、BMI、生活習慣等）。
- 投保人的醫療支出（或保險公司支付的理賠金額）。
- 投保的時間點。
- 保險公司的平均成本 (AC) 和邊際成本 (MC) 的估計值（可以基於平均醫療支出和新加入者醫療支出來估計）。
檢驗方法：
- 方法一：比較不同健康群體的成本。
  - 將投保人根據其健康狀況分成不同群體（例如，健康、中等、差）。
  - 比較不同群體的平均醫療支出（作為成本的代理變數）。
  - 如果存在逆選擇，則健康狀況較差群體的平均醫療支出（即保險公司的平均成本）應顯著高於健康狀況較好群體。
  - 更進一步，可以觀察新加入的投保人，如果新加入者的平均健康狀況（或預期醫療成本）隨時間推移而改善，這也支持逆選擇的存在（因為保險公司在初期吸引了高風險者，後期才吸引到低風險者）。
- 方法二：觀察保費與健康狀況的關係。
  - 在沒有逆選擇的情況下，保險公司會根據風險定價，預期醫療成本高的個人應支付更高的保費。
  - 在存在逆選擇的情況下，如果保險公司採用統一保費，那麼低風險者會覺得保費過高而不購買，高風險者會覺得保費划算而積極購買。
  - 可以檢驗：在同一保險計劃下，投保人實際的醫療支出（成本）是否與其健康狀況（風險）高度相關，且健康狀況差者佔據了更高的比例。
  - 或者，觀察保險公司如何根據健康狀況來調整保費，如果保費與實際風險的匹配度不高，可能存在逆選擇。
- 方法三：觀察市場退出行為。
  - 如果保險公司基於平均成本定價，而平均成本又受逆選擇影響而偏高，那麼健康狀況較好、預期醫療支出較低的個人可能會發現市場上的保費過高（相較於他們的風險），從而選擇不購買保險，或者退出保險市場。這會進一步加劇逆選擇。
  - 可以檢驗：健康狀況較好者在保險市場中的參與度是否較低，或者他們是否更傾向於選擇其他更適合他們的保險產品。

實證檢驗的核心： 觀察保險公司承保的客戶群體，其平均風險/成本是否隨著時間推移（或客戶數量的增加）而呈現下降趨勢，並且低風險者在初期參與度較低。

(c) 逆選擇與健康保險公司的規模報酬的關係

規模報酬 (Returns to Scale, RTS) 描述了當所有生產要素同比例增加時，產出的變化情況。在保險業中，產出可以理解為承保的風險單位或客戶數量。

規模報酬遞減 (Diminishing RTS)： 當公司擴大業務規模時，其平均成本開始上升。
規模報酬不變 (Constant RTS)： 當公司擴大業務規模時，其平均成本保持不變。

Question 8

3. As the owner of the only tennis club in an isolated wealthy community, you must decide on membership dues and fees for court time. There are two types of tennis players. Serious players have demand $Q1 = 10-P$, where $Q1$ is hours per week and $P$ is the fee per hour for each individual player. There are also occasional players with demand $Q2 = 4-0.25P$. Assume that there are 1000 players of each type. Because you have plenty of tennis courts, the marginal cost of each hour is zero. You have fixed costs of $10,000$ per week, though. Serious and occasional players look alike, so you must charge them the same prices. (a) Suppose that to maintain a professional atmosphere, you want to limit membership to serious players. How should you set the annual membership to maximize profits? (b) Fo…

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是「兩部制訂價」（two-part tariff）： 1. 會員費（membership fee）：先支付固定費用，取得使用球場資格。 2. 使用費（court fee）：每使用一小時支付的價格。 在會員看得見、且業者無法區分兩類消費者時： - 會員費最高可設定為會員的消費者剩餘（consumer surplus）。 - 使用費會影響每週使用量與消費者剩餘。 - 若只吸引某一類型，會員費可擷取該類型的全部消費者剩餘。 - 若同時吸引兩類型，會員費至多只能設定為消費者剩餘較低者的水準。 以下以一年 $52$ 週計算。 --- （a）只招收 serious players 時的年會員費 嚴肅型玩家的需求為 $$ Q1=10-P $$ 其反需求函數為 $$ P=10-Q1 $$ 由於每小時邊際成本為零，若只考慮使用效率，最適球場費應為 $$ P=MC=0 $$ 此時每位嚴肅型玩家每週使用 $$ Q1=10 $$ 消費者剩餘為需求曲線下、價格線上的三角形面積： $$ CS1=\frac{1}{2}	imes 10	imes 10=50 $$ 因此，業者若要使嚴肅型玩家仍願意加入，年會員費最高為其一年消費者剩餘： $$ F1=50	imes 52=2600 $$ 會員費設定為 $2,600$ 時，玩家剛好願意加入；再提高便會退出。 --- （b）只招收 serious players 時的每週球場費 因為每小時邊際成本為零，且會員費已經可以擷取消費者剩餘，所以使用費應設定為邊際成本： $$ P=MC=0 $$ 此時： $$ Q1=10-0=10 $$ 每位玩家每週的使用費收入為 $$ P Q1=0	imes 10=0 $$ 會員費收入為 $$ 1000	imes 50=50,000 $$ 扣除每週固定成本 $10,000$，每週利潤為 $$ \pi1=50,000-10,000=40,000 $$ 因此，只招收嚴肅型玩家時，最適定價為： - 年會員費：$2,600$ - 每小時球場費：$0$ - 每週利潤：$40,000$ --- （c）同時招收兩種類型是否更有利？ 朋友的說法正確。必須找出同時招收兩類玩家時的最適兩部制訂價，並與（a）、（b）的利潤比較。 第一步：計算兩類玩家的消費者剩餘 嚴肅型玩家： $$ Q1=10-P $$ 其消費者剩餘為 $$ CS1(P)=\frac{1}{2}(10-P)(10-P) =\frac{1}{2}(10-P)^2 $$ 偶爾型玩家： $$ Q2=4-0.25P $$ 其反需求函數為 $$ P=16-4Q2 $$ 因此其消費者剩餘為 $$ CS2(P) =\frac{1}{2}(16-P)\left(4-0.25Pight) =\frac{1}{8}(16-P)^2 $$ 為使兩類玩家都加入，會員…

Question 9

Part II: Answer the following 10 questions. Each question accounts for 5 points.

Consider a production function for a graduate school applicant, $s = f(x, a)$ . $s$ is the student's potential score as a function of her extracurricular activities $x$ and academic works $a$ in college. The corresponding cost function $c(s) = c(t_x, t_a; s)$ is the time this student has to spend to achieve any $s$ , where $t_x$ and $t_a$ are the hours spent on extracurricular activities $x$ and academic works $a$ , respectively.
(a) Write down the production function and cost function when the admission committee grade the score based on the worst performance in either extracurricular activities or academic works.
(b) Write down the production function and cost function when the admission committee grade the score based on the performance in both extracurricular activities or academic works.
(c) Explain duality between production and cost functions using the answers above.

Accepted Answer

本題主要探討生產理論中的生產函數與成本函數的關係，以及兩者之間的對偶性 (duality)。

(a) 最差表現法則下的生產函數與成本函數

若成績 $s$ 是由課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 的「最差表現」決定，這意味著成績 $s$ 等於 $x$ 和 $a$ 中較小的那一個。
生產函數 $s = f(x, a)$ 可以寫成：
$s = \min(x, a)$ 。
這裡 $x$ 和 $a$ 是學生投入的「成果」（例如，某種量化的表現分數），而不是時間。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需花費的時間。假設學生在課外活動上花費 $t_x$ 小時，學術工作上花費 $t_a$ 小時。
如果成績是基於最差表現，那麼要達到成績 $s$ ，則必須確保課外活動的表現 $x \ge s$ 且學術工作的表現 $a \ge s$ 。
假設投入時間 $t_x$ 可以產生表現 $x$ ，投入時間 $t_a$ 可以產生表現 $a$ 。
題目中提到「 $t_x$ 和 $t_a$ 是花費在課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 上的時間」。這句話有點模糊，一般情況下，投入的時間是生產的要素，而產出是成績。
我們假設時間 $t_x$ 和 $t_a$ 直接對應到表現 $x$ 和 $a$ 。最常見的假設是時間投入直接決定表現，例如 $x = g(t_x)$ 和 $a = h(t_a)$ ，或者更簡單的，假設時間投入就是表現，即 $x=t_x$ 和 $a=t_a$ 。

如果我們假設投入時間 $t_x$ 和 $t_a$ 就是學術表現 $x$ 和 $a$ 的量化指標，那麼：
$s = \min(t_x, t_a)$ 。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需的最小總時間 $T = t_x + t_a$ 。
為了最小化 $T = t_x + t_a$ ，同時滿足 $s = \min(t_x, t_a)$ 。
這表示我們需要 $t_x \ge s$ 且 $t_a \ge s$ 。
要最小化 $t_x + t_a$ ，我們應該選擇 $t_x = s$ 和 $t_a = s$ 。
因此，達成成績 $s$ 所需的最小時間是 $c(s) = s + s = 2s$ 。
成本函數為 $c(s) = 2s$ 。

生產函數： $s = \min(x, a)$ (其中 $x, a$ 為投入的成果，或假設為時間 $t_x, t_a$ )
成本函數： $c(s) = 2s$ (其中 $s$ 為達成的成績，代表最小時間投入)

(b) 兩者表現都考慮下的生產函數與成本函數

若成績 $s$ 是由課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 的「兩者表現」共同決定，這通常意味著成績是它們的某種函數，例如加總。
生產函數 $s = f(x, a)$ 可以寫成：
$s = x + a$ 。
同樣，假設 $x = t_x$ 和 $a = t_a$ ，則
$s = t_x + t_a$ 。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需花費的最小總時間 $T = t_x + t_a$ 。
在此情況下，我們要求 $t_x + t_a = s$ 。
要最小化 $T = t_x + t_a$ 同時滿足 $t_x + t_a = s$ ，最小的 $T$ 就是 $s$ 。
因此，成本函數為 $c(s) = s$ 。

生產函數： $s = x + a$ (其中 $x, a$ 為投入的成果，或假設為時間 $t_x, t_a$ )
成本函數： $c(s) = s$ (其中 $s$ 為達成的成績，代表最小時間投入)

(c) 解釋生產函數與成本函數的對偶性

生產函數與成本函數的對偶性 (duality) 指的是，在競爭性市場中，企業的利潤極大化問題與成本極小化問題是等價的。換句話說，給定生產函數，我們可以推導出成本函數；反之，給定成本函數，我們也可以推導出生產函數（在某些條件下）。

Question 10

2. Adverse selection for health insurance company means that, everything else equal, people with worse health status are more likely to buy insurance; the most healthy people would be the last one to get covered. Consider each insured person as a product of insurance company. Insuring people with worse health status means this "product" would require higher marginal cost to produce than the other people, because the medical expense for people with worse health status are likely higher. (a) Depict the average cost and marginal cost curve of a health insurance company as their customers increase. Think about the sequence of people to get insured based on their health status. (b) Based on the answers above, propose an empirical test on the existence of adverse selection in a given data with s…

Accepted Answer

本題探討逆選擇 (Adverse Selection) 在健康保險市場中的應用，以及政府如何透過國民健康保險來解決此問題。

(a) 說明醫療保險公司的平均成本與邊際成本曲線

逆選擇的核心在於，保險公司無法準確區分投保人的健康風險，而風險較高者（健康狀況較差者）更傾向於購買保險。

假設保險公司承保的客戶是按照健康狀況從差到好（或從風險高到低）的順序加入的。

第一批加入者： 健康狀況最差（風險最高）的客戶。他們預期會有較高的醫療支出，因此需要較高的保費。對保險公司而言，這些客戶的平均醫療成本 (Average Cost, AC) 和邊際醫療成本 (Marginal Cost, MC) 都會比較高。
後續加入者： 隨著承保的客戶群擴大，健康狀況越來越好（風險越來越低）的客戶加入。
- 邊際成本 (MC)： 當一個新的客戶加入時，他的醫療成本就是該客戶的邊際成本。由於後續加入的客戶健康狀況較好，其預期醫療成本會低於前面加入的客戶。因此，隨著客戶群從健康差的往健康好的擴展，邊際成本曲線是遞減的。
- 平均成本 (AC)： 平均成本是所有已承保客戶的總醫療成本除以客戶數量。當一開始加入的是高風險客戶時，AC 會很高。當越來越多低風險客戶加入時，他們會拉低整體的平均醫療成本。因此，平均成本曲線也是遞減的。

圖示說明：
想像一個圖，橫軸是客戶數量 (Q)，縱軸是成本 (AC, MC)。

MC 曲線是一條向下傾斜的直線或曲線。
AC 曲線也會向下傾斜，並且始終高於 MC 曲線（在 MC 遞減的區域，AC 始終高於 MC）。
AC 曲線在 MC 曲線的上方，並且兩者都隨著 Q 的增加而下降。

總結： 在逆選擇的情況下，由於低風險者最後才可能加入，保險公司隨著客戶數量的增加，邊際成本和平均成本都會下降。

(b) 提出檢驗逆選擇存在的實證檢驗方法

基於上述 AC 和 MC 的特性，我們可以設計實證檢驗方法：

數據要求： 需要收集保險公司的數據，包括：
- 投保人的個人健康狀況指標（例如，既往病史、年齡、BMI、生活習慣等）。
- 投保人的醫療支出（或保險公司支付的理賠金額）。
- 投保的時間點。
- 保險公司的平均成本 (AC) 和邊際成本 (MC) 的估計值（可以基於平均醫療支出和新加入者醫療支出來估計）。
檢驗方法：
- 方法一：比較不同健康群體的成本。
  - 將投保人根據其健康狀況分成不同群體（例如，健康、中等、差）。
  - 比較不同群體的平均醫療支出（作為成本的代理變數）。
  - 如果存在逆選擇，則健康狀況較差群體的平均醫療支出（即保險公司的平均成本）應顯著高於健康狀況較好群體。
  - 更進一步，可以觀察新加入的投保人，如果新加入者的平均健康狀況（或預期醫療成本）隨時間推移而改善，這也支持逆選擇的存在（因為保險公司在初期吸引了高風險者，後期才吸引到低風險者）。
- 方法二：觀察保費與健康狀況的關係。
  - 在沒有逆選擇的情況下，保險公司會根據風險定價，預期醫療成本高的個人應支付更高的保費。
  - 在存在逆選擇的情況下，如果保險公司採用統一保費，那麼低風險者會覺得保費過高而不購買，高風險者會覺得保費划算而積極購買。
  - 可以檢驗：在同一保險計劃下，投保人實際的醫療支出（成本）是否與其健康狀況（風險）高度相關，且健康狀況差者佔據了更高的比例。
  - 或者，觀察保險公司如何根據健康狀況來調整保費，如果保費與實際風險的匹配度不高，可能存在逆選擇。
- 方法三：觀察市場退出行為。
  - 如果保險公司基於平均成本定價，而平均成本又受逆選擇影響而偏高，那麼健康狀況較好、預期醫療支出較低的個人可能會發現市場上的保費過高（相較於他們的風險），從而選擇不購買保險，或者退出保險市場。這會進一步加劇逆選擇。
  - 可以檢驗：健康狀況較好者在保險市場中的參與度是否較低，或者他們是否更傾向於選擇其他更適合他們的保險產品。

實證檢驗的核心： 觀察保險公司承保的客戶群體，其平均風險/成本是否隨著時間推移（或客戶數量的增加）而呈現下降趨勢，並且低風險者在初期參與度較低。

(c) 逆選擇與健康保險公司的規模報酬的關係

規模報酬 (Returns to Scale, RTS) 描述了當所有生產要素同比例增加時，產出的變化情況。在保險業中，產出可以理解為承保的風險單位或客戶數量。

規模報酬遞減 (Diminishing RTS)： 當公司擴大業務規模時，其平均成本開始上升。
規模報酬不變 (Constant RTS)： 當公司擴大業務規模時，其平均成本保持不變。

Question 11

3. As the owner of the only tennis club in an isolated wealthy community, you must decide on membership dues and fees for court time. There are two types of tennis players. Serious players have demand $Q1 = 10-P$, where $Q1$ is hours per week and $P$ is the fee per hour for each individual player. There are also occasional players with demand $Q2 = 4-0.25P$. Assume that there are 1000 players of each type. Because you have plenty of tennis courts, the marginal cost of each hour is zero. You have fixed costs of $10,000$ per week, though. Serious and occasional players look alike, so you must charge them the same prices. (a) Suppose that to maintain a professional atmosphere, you want to limit membership to serious players. How should you set the annual membership to maximize profits? (b) Fo…

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是「兩部制訂價」（two-part tariff）： 1. 會員費（membership fee）：先支付固定費用，取得使用球場資格。 2. 使用費（court fee）：每使用一小時支付的價格。 在會員看得見、且業者無法區分兩類消費者時： - 會員費最高可設定為會員的消費者剩餘（consumer surplus）。 - 使用費會影響每週使用量與消費者剩餘。 - 若只吸引某一類型，會員費可擷取該類型的全部消費者剩餘。 - 若同時吸引兩類型，會員費至多只能設定為消費者剩餘較低者的水準。 以下以一年 $52$ 週計算。 --- （a）只招收 serious players 時的年會員費 嚴肅型玩家的需求為 $$ Q1=10-P $$ 其反需求函數為 $$ P=10-Q1 $$ 由於每小時邊際成本為零，若只考慮使用效率，最適球場費應為 $$ P=MC=0 $$ 此時每位嚴肅型玩家每週使用 $$ Q1=10 $$ 消費者剩餘為需求曲線下、價格線上的三角形面積： $$ CS1=\frac{1}{2}	imes 10	imes 10=50 $$ 因此，業者若要使嚴肅型玩家仍願意加入，年會員費最高為其一年消費者剩餘： $$ F1=50	imes 52=2600 $$ 會員費設定為 $2,600$ 時，玩家剛好願意加入；再提高便會退出。 --- （b）只招收 serious players 時的每週球場費 因為每小時邊際成本為零，且會員費已經可以擷取消費者剩餘，所以使用費應設定為邊際成本： $$ P=MC=0 $$ 此時： $$ Q1=10-0=10 $$ 每位玩家每週的使用費收入為 $$ P Q1=0	imes 10=0 $$ 會員費收入為 $$ 1000	imes 50=50,000 $$ 扣除每週固定成本 $10,000$，每週利潤為 $$ \pi1=50,000-10,000=40,000 $$ 因此，只招收嚴肅型玩家時，最適定價為： - 年會員費：$2,600$ - 每小時球場費：$0$ - 每週利潤：$40,000$ --- （c）同時招收兩種類型是否更有利？ 朋友的說法正確。必須找出同時招收兩類玩家時的最適兩部制訂價，並與（a）、（b）的利潤比較。 第一步：計算兩類玩家的消費者剩餘 嚴肅型玩家： $$ Q1=10-P $$ 其消費者剩餘為 $$ CS1(P)=\frac{1}{2}(10-P)(10-P) =\frac{1}{2}(10-P)^2 $$ 偶爾型玩家： $$ Q2=4-0.25P $$ 其反需求函數為 $$ P=16-4Q2 $$ 因此其消費者剩餘為 $$ CS2(P) =\frac{1}{2}(16-P)\left(4-0.25Pight) =\frac{1}{8}(16-P)^2 $$ 為使兩類玩家都加入，會員…

Question 12

4. As the owner of the only tennis club in an isolated wealthy community, you must decide on membership dues and fees for court time. There are two types of tennis players. Serious players have demand $Q1 = 10-P$, where $Q1$ is hours per week and $P$ is the fee per hour for each individual player. There are also occasional players with demand $Q2 = 4-0.25P$. Assume that there are 1000 players of each type. Because you have plenty of tennis courts, the marginal cost of each hour is zero. You have fixed costs of $10,000$ per week, though. Serious and occasional players look alike, so you must charge them the same prices. (a) Suppose that to maintain a professional atmosphere, you want to limit membership to serious players. How should you set the annual membership to maximize profits? (b) Fo…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查獨占廠商的兩段式定價法（Two-Part Tariff）與異質消費者差別取價（Price Discrimination with Heterogeneous Consumers）。 1. 兩段式定價架構： 廠商收取定額會費（Entry Fee / Membership Due, $T$）以及每單位使用費（User Fee / Court Fee, $P$）。 2. 單一消費者類型下的最適定價： 若僅服務單一族群，廠商應將使用費訂在邊際成本（$P = MC$），並將會費訂為該族群在此價格下的全部消費者剩餘（$T = CS(P)$），藉此完全榨取消費者剩餘並消除無謂損失（Deadweight Loss）。 3. 兩類消費者並存時的次級差別取價／統一兩段式定價： 若廠商無法區分消費者（兩者外觀一致），且希望兩類消費者皆加入： - 會費 $T(P)$ 受到參與限制（Participation Constraint）約束，只能收取兩者中較低的消費者剩餘：$T(P) = \min \{CS1(P), CS2(P)\}$。 - 廠商最適的使用費通常會高於邊際成本（$P MC$），藉由提高使用費縮小高需求與低需求者之間的剩餘差距，從而提高定額會費，極大化總利潤。 --- 解題方法與詳細推導 基本設定與個別需求函數 - 認真型球員（Serious players, 第 1 類）：$Q1 = 10 - P$，$N1 = 1,000$ 人。 - 休閒型球員（Occasional players, 第 2 類）：$Q2 = 4 - 0.25P$，$N2 = 1,000$ 人。 - 成本結構：邊際成本 $MC = 0$；每週固定成本 $FC = $\$10,000。 - 時間單位：題目給定需求為每週時數（hours per week），一年通常以 52 週計算。 個別球員在每小時場地費為 $P$ 時的每週消費者剩餘（$CS$）： - 第 1 類（認真型）： 反需求函數為 $P = 10 - Q1$，其消費者剩餘為： $$CS1(P) = \frac{1}{2} (10 - P) \cdot Q1 = \frac{1}{2}(10 - P)^2$$ - 第 2 類（休閒型）： 反需求函數為 $P = 16 - 4Q2$（截距為 16），其消費者剩餘為： $$CS2(P) = \frac{1}{2} (16 - P) \cdot (4 - 0.25P) = \frac{1}{8}(16 - P)^2$$ --- (a) 與 (b) 僅招收認真型球員（Serious Players Only） 若俱樂部欲將會員資格限制在認真型球員，且使利潤最大化： 1. 每週場地費（Court Fee, $P$）設定： 為極大化認真型球員的剩餘以轉化為會費，場地費應等於邊際成本： $$P…

Question 13

Part II: Answer the following 10 questions. Each question accounts for 5 points.

Consider a production function for a graduate school applicant, $s = f(x, a)$ . $s$ is the student's potential score as a function of her extracurricular activities $x$ and academic works $a$ in college. The corresponding cost function $c(s) = c(t_x, t_a; s)$ is the time this student has to spend to achieve any $s$ , where $t_x$ and $t_a$ are the hours spent on extracurricular activities $x$ and academic works $a$ , respectively.
(a) Write down the production function and cost function when the admission committee grade the score based on the worst performance in either extracurricular activities or academic works.
(b) Write down the production function and cost function when the admission committee grade the score based on the performance in both extracurricular activities or academic works.
(c) Explain duality between production and cost functions using the answers above.

Accepted Answer

本題主要探討生產理論中的生產函數與成本函數的關係，以及兩者之間的對偶性 (duality)。

(a) 最差表現法則下的生產函數與成本函數

若成績 $s$ 是由課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 的「最差表現」決定，這意味著成績 $s$ 等於 $x$ 和 $a$ 中較小的那一個。
生產函數 $s = f(x, a)$ 可以寫成：
$s = \min(x, a)$ 。
這裡 $x$ 和 $a$ 是學生投入的「成果」（例如，某種量化的表現分數），而不是時間。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需花費的時間。假設學生在課外活動上花費 $t_x$ 小時，學術工作上花費 $t_a$ 小時。
如果成績是基於最差表現，那麼要達到成績 $s$ ，則必須確保課外活動的表現 $x \ge s$ 且學術工作的表現 $a \ge s$ 。
假設投入時間 $t_x$ 可以產生表現 $x$ ，投入時間 $t_a$ 可以產生表現 $a$ 。
題目中提到「 $t_x$ 和 $t_a$ 是花費在課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 上的時間」。這句話有點模糊，一般情況下，投入的時間是生產的要素，而產出是成績。
我們假設時間 $t_x$ 和 $t_a$ 直接對應到表現 $x$ 和 $a$ 。最常見的假設是時間投入直接決定表現，例如 $x = g(t_x)$ 和 $a = h(t_a)$ ，或者更簡單的，假設時間投入就是表現，即 $x=t_x$ 和 $a=t_a$ 。

如果我們假設投入時間 $t_x$ 和 $t_a$ 就是學術表現 $x$ 和 $a$ 的量化指標，那麼：
$s = \min(t_x, t_a)$ 。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需的最小總時間 $T = t_x + t_a$ 。
為了最小化 $T = t_x + t_a$ ，同時滿足 $s = \min(t_x, t_a)$ 。
這表示我們需要 $t_x \ge s$ 且 $t_a \ge s$ 。
要最小化 $t_x + t_a$ ，我們應該選擇 $t_x = s$ 和 $t_a = s$ 。
因此，達成成績 $s$ 所需的最小時間是 $c(s) = s + s = 2s$ 。
成本函數為 $c(s) = 2s$ 。

生產函數： $s = \min(x, a)$ (其中 $x, a$ 為投入的成果，或假設為時間 $t_x, t_a$ )
成本函數： $c(s) = 2s$ (其中 $s$ 為達成的成績，代表最小時間投入)

(b) 兩者表現都考慮下的生產函數與成本函數

若成績 $s$ 是由課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 的「兩者表現」共同決定，這通常意味著成績是它們的某種函數，例如加總。
生產函數 $s = f(x, a)$ 可以寫成：
$s = x + a$ 。
同樣，假設 $x = t_x$ 和 $a = t_a$ ，則
$s = t_x + t_a$ 。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需花費的最小總時間 $T = t_x + t_a$ 。
在此情況下，我們要求 $t_x + t_a = s$ 。
要最小化 $T = t_x + t_a$ 同時滿足 $t_x + t_a = s$ ，最小的 $T$ 就是 $s$ 。
因此，成本函數為 $c(s) = s$ 。

生產函數： $s = x + a$ (其中 $x, a$ 為投入的成果，或假設為時間 $t_x, t_a$ )
成本函數： $c(s) = s$ (其中 $s$ 為達成的成績，代表最小時間投入)

(c) 解釋生產函數與成本函數的對偶性

生產函數與成本函數的對偶性 (duality) 指的是，在競爭性市場中，企業的利潤極大化問題與成本極小化問題是等價的。換句話說，給定生產函數，我們可以推導出成本函數；反之，給定成本函數，我們也可以推導出生產函數（在某些條件下）。

Question 14

2. Adverse selection for health insurance company means that, everything else equal, people with worse health status are more likely to buy insurance; the most healthy people would be the last one to get covered. Consider each insured person as a product of insurance company. Insuring people with worse health status means this "product" would require higher marginal cost to produce than the other people, because the medical expense for people with worse health status are likely higher. (a) Depict the average cost and marginal cost curve of a health insurance company as their customers increase. Think about the sequence of people to get insured based on their health status. (b) Based on the answers above, propose an empirical test on the existence of adverse selection in a given data with s…

Accepted Answer

本題探討逆選擇 (Adverse Selection) 在健康保險市場中的應用，以及政府如何透過國民健康保險來解決此問題。

(a) 說明醫療保險公司的平均成本與邊際成本曲線

逆選擇的核心在於，保險公司無法準確區分投保人的健康風險，而風險較高者（健康狀況較差者）更傾向於購買保險。

假設保險公司承保的客戶是按照健康狀況從差到好（或從風險高到低）的順序加入的。

第一批加入者： 健康狀況最差（風險最高）的客戶。他們預期會有較高的醫療支出，因此需要較高的保費。對保險公司而言，這些客戶的平均醫療成本 (Average Cost, AC) 和邊際醫療成本 (Marginal Cost, MC) 都會比較高。
後續加入者： 隨著承保的客戶群擴大，健康狀況越來越好（風險越來越低）的客戶加入。
- 邊際成本 (MC)： 當一個新的客戶加入時，他的醫療成本就是該客戶的邊際成本。由於後續加入的客戶健康狀況較好，其預期醫療成本會低於前面加入的客戶。因此，隨著客戶群從健康差的往健康好的擴展，邊際成本曲線是遞減的。
- 平均成本 (AC)： 平均成本是所有已承保客戶的總醫療成本除以客戶數量。當一開始加入的是高風險客戶時，AC 會很高。當越來越多低風險客戶加入時，他們會拉低整體的平均醫療成本。因此，平均成本曲線也是遞減的。

圖示說明：
想像一個圖，橫軸是客戶數量 (Q)，縱軸是成本 (AC, MC)。

MC 曲線是一條向下傾斜的直線或曲線。
AC 曲線也會向下傾斜，並且始終高於 MC 曲線（在 MC 遞減的區域，AC 始終高於 MC）。
AC 曲線在 MC 曲線的上方，並且兩者都隨著 Q 的增加而下降。

總結： 在逆選擇的情況下，由於低風險者最後才可能加入，保險公司隨著客戶數量的增加，邊際成本和平均成本都會下降。

(b) 提出檢驗逆選擇存在的實證檢驗方法

基於上述 AC 和 MC 的特性，我們可以設計實證檢驗方法：

數據要求： 需要收集保險公司的數據，包括：
- 投保人的個人健康狀況指標（例如，既往病史、年齡、BMI、生活習慣等）。
- 投保人的醫療支出（或保險公司支付的理賠金額）。
- 投保的時間點。
- 保險公司的平均成本 (AC) 和邊際成本 (MC) 的估計值（可以基於平均醫療支出和新加入者醫療支出來估計）。
檢驗方法：
- 方法一：比較不同健康群體的成本。
  - 將投保人根據其健康狀況分成不同群體（例如，健康、中等、差）。
  - 比較不同群體的平均醫療支出（作為成本的代理變數）。
  - 如果存在逆選擇，則健康狀況較差群體的平均醫療支出（即保險公司的平均成本）應顯著高於健康狀況較好群體。
  - 更進一步，可以觀察新加入的投保人，如果新加入者的平均健康狀況（或預期醫療成本）隨時間推移而改善，這也支持逆選擇的存在（因為保險公司在初期吸引了高風險者，後期才吸引到低風險者）。
- 方法二：觀察保費與健康狀況的關係。
  - 在沒有逆選擇的情況下，保險公司會根據風險定價，預期醫療成本高的個人應支付更高的保費。
  - 在存在逆選擇的情況下，如果保險公司採用統一保費，那麼低風險者會覺得保費過高而不購買，高風險者會覺得保費划算而積極購買。
  - 可以檢驗：在同一保險計劃下，投保人實際的醫療支出（成本）是否與其健康狀況（風險）高度相關，且健康狀況差者佔據了更高的比例。
  - 或者，觀察保險公司如何根據健康狀況來調整保費，如果保費與實際風險的匹配度不高，可能存在逆選擇。
- 方法三：觀察市場退出行為。
  - 如果保險公司基於平均成本定價，而平均成本又受逆選擇影響而偏高，那麼健康狀況較好、預期醫療支出較低的個人可能會發現市場上的保費過高（相較於他們的風險），從而選擇不購買保險，或者退出保險市場。這會進一步加劇逆選擇。
  - 可以檢驗：健康狀況較好者在保險市場中的參與度是否較低，或者他們是否更傾向於選擇其他更適合他們的保險產品。

實證檢驗的核心： 觀察保險公司承保的客戶群體，其平均風險/成本是否隨著時間推移（或客戶數量的增加）而呈現下降趨勢，並且低風險者在初期參與度較低。

(c) 逆選擇與健康保險公司的規模報酬的關係

規模報酬 (Returns to Scale, RTS) 描述了當所有生產要素同比例增加時，產出的變化情況。在保險業中，產出可以理解為承保的風險單位或客戶數量。

規模報酬遞減 (Diminishing RTS)： 當公司擴大業務規模時，其平均成本開始上升。
規模報酬不變 (Constant RTS)： 當公司擴大業務規模時，其平均成本保持不變。

Question 15

3. As the owner of the only tennis club in an isolated wealthy community, you must decide on membership dues and fees for court time. There are two types of tennis players. Serious players have demand $Q1 = 10-P$, where $Q1$ is hours per week and $P$ is the fee per hour for each individual player. There are also occasional players with demand $Q2 = 4-0.25P$. Assume that there are 1000 players of each type. Because you have plenty of tennis courts, the marginal cost of each hour is zero. You have fixed costs of $10,000$ per week, though. Serious and occasional players look alike, so you must charge them the same prices. (a) Suppose that to maintain a professional atmosphere, you want to limit membership to serious players. How should you set the annual membership to maximize profits? (b) Fo…

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是「兩部制訂價」（two-part tariff）： 1. 會員費（membership fee）：先支付固定費用，取得使用球場資格。 2. 使用費（court fee）：每使用一小時支付的價格。 在會員看得見、且業者無法區分兩類消費者時： - 會員費最高可設定為會員的消費者剩餘（consumer surplus）。 - 使用費會影響每週使用量與消費者剩餘。 - 若只吸引某一類型，會員費可擷取該類型的全部消費者剩餘。 - 若同時吸引兩類型，會員費至多只能設定為消費者剩餘較低者的水準。 以下以一年 $52$ 週計算。 --- （a）只招收 serious players 時的年會員費 嚴肅型玩家的需求為 $$ Q1=10-P $$ 其反需求函數為 $$ P=10-Q1 $$ 由於每小時邊際成本為零，若只考慮使用效率，最適球場費應為 $$ P=MC=0 $$ 此時每位嚴肅型玩家每週使用 $$ Q1=10 $$ 消費者剩餘為需求曲線下、價格線上的三角形面積： $$ CS1=\frac{1}{2}	imes 10	imes 10=50 $$ 因此，業者若要使嚴肅型玩家仍願意加入，年會員費最高為其一年消費者剩餘： $$ F1=50	imes 52=2600 $$ 會員費設定為 $2,600$ 時，玩家剛好願意加入；再提高便會退出。 --- （b）只招收 serious players 時的每週球場費 因為每小時邊際成本為零，且會員費已經可以擷取消費者剩餘，所以使用費應設定為邊際成本： $$ P=MC=0 $$ 此時： $$ Q1=10-0=10 $$ 每位玩家每週的使用費收入為 $$ P Q1=0	imes 10=0 $$ 會員費收入為 $$ 1000	imes 50=50,000 $$ 扣除每週固定成本 $10,000$，每週利潤為 $$ \pi1=50,000-10,000=40,000 $$ 因此，只招收嚴肅型玩家時，最適定價為： - 年會員費：$2,600$ - 每小時球場費：$0$ - 每週利潤：$40,000$ --- （c）同時招收兩種類型是否更有利？ 朋友的說法正確。必須找出同時招收兩類玩家時的最適兩部制訂價，並與（a）、（b）的利潤比較。 第一步：計算兩類玩家的消費者剩餘 嚴肅型玩家： $$ Q1=10-P $$ 其消費者剩餘為 $$ CS1(P)=\frac{1}{2}(10-P)(10-P) =\frac{1}{2}(10-P)^2 $$ 偶爾型玩家： $$ Q2=4-0.25P $$ 其反需求函數為 $$ P=16-4Q2 $$ 因此其消費者剩餘為 $$ CS2(P) =\frac{1}{2}(16-P)\left(4-0.25Pight) =\frac{1}{8}(16-P)^2 $$ 為使兩類玩家都加入，會員…

Question 16

4. As the owner of the only tennis club in an isolated wealthy community, you must decide on membership dues and fees for court time. There are two types of tennis players. Serious players have demand $Q1 = 10-P$, where $Q1$ is hours per week and $P$ is the fee per hour for each individual player. There are also occasional players with demand $Q2 = 4-0.25P$. Assume that there are 1000 players of each type. Because you have plenty of tennis courts, the marginal cost of each hour is zero. You have fixed costs of $10,000$ per week, though. Serious and occasional players look alike, so you must charge them the same prices. (a) Suppose that to maintain a professional atmosphere, you want to limit membership to serious players. How should you set the annual membership to maximize profits? (b) Fo…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查獨占廠商的兩段式定價法（Two-Part Tariff）與異質消費者差別取價（Price Discrimination with Heterogeneous Consumers）。 1. 兩段式定價架構： 廠商收取定額會費（Entry Fee / Membership Due, $T$）以及每單位使用費（User Fee / Court Fee, $P$）。 2. 單一消費者類型下的最適定價： 若僅服務單一族群，廠商應將使用費訂在邊際成本（$P = MC$），並將會費訂為該族群在此價格下的全部消費者剩餘（$T = CS(P)$），藉此完全榨取消費者剩餘並消除無謂損失（Deadweight Loss）。 3. 兩類消費者並存時的次級差別取價／統一兩段式定價： 若廠商無法區分消費者（兩者外觀一致），且希望兩類消費者皆加入： - 會費 $T(P)$ 受到參與限制（Participation Constraint）約束，只能收取兩者中較低的消費者剩餘：$T(P) = \min \{CS1(P), CS2(P)\}$。 - 廠商最適的使用費通常會高於邊際成本（$P MC$），藉由提高使用費縮小高需求與低需求者之間的剩餘差距，從而提高定額會費，極大化總利潤。 --- 解題方法與詳細推導 基本設定與個別需求函數 - 認真型球員（Serious players, 第 1 類）：$Q1 = 10 - P$，$N1 = 1,000$ 人。 - 休閒型球員（Occasional players, 第 2 類）：$Q2 = 4 - 0.25P$，$N2 = 1,000$ 人。 - 成本結構：邊際成本 $MC = 0$；每週固定成本 $FC = $\$10,000。 - 時間單位：題目給定需求為每週時數（hours per week），一年通常以 52 週計算。 個別球員在每小時場地費為 $P$ 時的每週消費者剩餘（$CS$）： - 第 1 類（認真型）： 反需求函數為 $P = 10 - Q1$，其消費者剩餘為： $$CS1(P) = \frac{1}{2} (10 - P) \cdot Q1 = \frac{1}{2}(10 - P)^2$$ - 第 2 類（休閒型）： 反需求函數為 $P = 16 - 4Q2$（截距為 16），其消費者剩餘為： $$CS2(P) = \frac{1}{2} (16 - P) \cdot (4 - 0.25P) = \frac{1}{8}(16 - P)^2$$ --- (a) 與 (b) 僅招收認真型球員（Serious Players Only） 若俱樂部欲將會員資格限制在認真型球員，且使利潤最大化： 1. 每週場地費（Court Fee, $P$）設定： 為極大化認真型球員的剩餘以轉化為會費，場地費應等於邊際成本： $$P…

Question 17

5. As the owner of the only tennis club in an isolated wealthy community, you must decide on membership dues and fees for court time. There are two types of tennis players. Serious players have demand $Q1 = 10-P$, where $Q1$ is hours per week and $P$ is the fee per hour for each individual player. There are also occasional players with demand $Q2 = 4-0.25P$. Assume that there are 1000 players of each type. Because you have plenty of tennis courts, the marginal cost of each hour is zero. You have fixed costs of $10,000$ per week, though. Serious and occasional players look alike, so you must charge them the same prices. (a) Suppose that to maintain a professional atmosphere, you want to limit membership to serious players. How should you set the annual membership to maximize profits? (b) Fo…

Accepted Answer

核心觀念 本題旨在考驗不完全競爭市場（獨占）下的非線性定價策略——兩部收費制（Two-Part Tariff）與市場區隔決策。核心觀念包含： 1. 兩部收費制（Two-Part Tariff）：由「定額入會費（Fixed Membership Dues, $T$）」與「每單位使用費（Court Fee, $P$）」組成。廠商透過使用費 $P$ 調整消費量，並藉由入會費 $T$ 擷取消費者的剩餘。 2. 消費者剩餘（Consumer Surplus, $CS$）與完全榨取： - 當廠商僅鎖定單一客群時，利潤極大化的定價法則是令使用費等於邊際成本（$P = MC$），使總剩餘最大化，再令固定會費等於該客群之全部消費者剩餘（$T = CS$），將剩餘全數轉化為利潤。 - 若同時向多個異質客群收費且無法進行第三級差別取價時，固定會費 $T$ 受限於剩餘較少者的支付意願（即 $T = \min\{CS1(P), CS2(P)\}$）。 3. 客群選擇與利潤比較：廠商面臨「僅服務高剩餘客群（放棄低客群）」與「以較高的使用費縮小剩餘差距、同時服務兩類客群」之間的權衡（Trade-off）。 --- 解題方法與推導 一、基本模型設定與個別消費者剩餘 - 重度球員（Serious Players, 代號 1）：$N1 = 1,000$ 人 - 每週需求函數：$Q1 = 10 - P$（反需求函數：$P = 10 - Q1$） - 消費者剩餘： $$CS1(P) = \frac{1}{2}(10 - P)Q1 = \frac{1}{2}(10 - P)^2 \quad (	ext{當 } P \le 10)$$ - 偶爾球員（Occasional Players, 代號 2）：$N2 = 1,000$ 人 - 每週需求函數：$Q2 = 4 - 0.25P$（反需求函數：$P = 16 - 4Q2$） - 消費者剩餘： $$CS2(P) = \frac{1}{2}(16 - P)Q2 = \frac{1}{2}(16 - P)(4 - 0.25P) = \frac{1}{8}(16 - P)^2 \quad (	ext{當 } P \le 16)$$ - 成本結構：邊際成本 $MC = 0$；固定成本 $FC = $\$$10,000/	ext{週}$。 --- (a) 與 (b)：僅鎖定重度球員（Serious Players Only）之定價 若俱樂部僅吸引重度球員加入，並排除偶爾球員： 1. 場地使用費（Court Fee, $P$）： 欲使重度球員的總效益最大以利榨取，應將使用費訂於邊際成本： $$P = MC = 0$$ 2. 每週與年入會費（Membership Dues, $T$）： 在 $P = 0$ 時，兩類球員的每週消費者剩餘分別為： $$CS1(0)…

Question 18

Part II: Answer the following 10 questions. Each question accounts for 5 points.

Consider a production function for a graduate school applicant, $s = f(x, a)$ . $s$ is the student's potential score as a function of her extracurricular activities $x$ and academic works $a$ in college. The corresponding cost function $c(s) = c(t_x, t_a; s)$ is the time this student has to spend to achieve any $s$ , where $t_x$ and $t_a$ are the hours spent on extracurricular activities $x$ and academic works $a$ , respectively.
(a) Write down the production function and cost function when the admission committee grade the score based on the worst performance in either extracurricular activities or academic works.
(b) Write down the production function and cost function when the admission committee grade the score based on the performance in both extracurricular activities or academic works.
(c) Explain duality between production and cost functions using the answers above.

Accepted Answer

本題主要探討生產理論中的生產函數與成本函數的關係，以及兩者之間的對偶性 (duality)。

(a) 最差表現法則下的生產函數與成本函數

若成績 $s$ 是由課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 的「最差表現」決定，這意味著成績 $s$ 等於 $x$ 和 $a$ 中較小的那一個。
生產函數 $s = f(x, a)$ 可以寫成：
$s = \min(x, a)$ 。
這裡 $x$ 和 $a$ 是學生投入的「成果」（例如，某種量化的表現分數），而不是時間。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需花費的時間。假設學生在課外活動上花費 $t_x$ 小時，學術工作上花費 $t_a$ 小時。
如果成績是基於最差表現，那麼要達到成績 $s$ ，則必須確保課外活動的表現 $x \ge s$ 且學術工作的表現 $a \ge s$ 。
假設投入時間 $t_x$ 可以產生表現 $x$ ，投入時間 $t_a$ 可以產生表現 $a$ 。
題目中提到「 $t_x$ 和 $t_a$ 是花費在課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 上的時間」。這句話有點模糊，一般情況下，投入的時間是生產的要素，而產出是成績。
我們假設時間 $t_x$ 和 $t_a$ 直接對應到表現 $x$ 和 $a$ 。最常見的假設是時間投入直接決定表現，例如 $x = g(t_x)$ 和 $a = h(t_a)$ ，或者更簡單的，假設時間投入就是表現，即 $x=t_x$ 和 $a=t_a$ 。

如果我們假設投入時間 $t_x$ 和 $t_a$ 就是學術表現 $x$ 和 $a$ 的量化指標，那麼：
$s = \min(t_x, t_a)$ 。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需的最小總時間 $T = t_x + t_a$ 。
為了最小化 $T = t_x + t_a$ ，同時滿足 $s = \min(t_x, t_a)$ 。
這表示我們需要 $t_x \ge s$ 且 $t_a \ge s$ 。
要最小化 $t_x + t_a$ ，我們應該選擇 $t_x = s$ 和 $t_a = s$ 。
因此，達成成績 $s$ 所需的最小時間是 $c(s) = s + s = 2s$ 。
成本函數為 $c(s) = 2s$ 。

生產函數： $s = \min(x, a)$ (其中 $x, a$ 為投入的成果，或假設為時間 $t_x, t_a$ )
成本函數： $c(s) = 2s$ (其中 $s$ 為達成的成績，代表最小時間投入)

(b) 兩者表現都考慮下的生產函數與成本函數

若成績 $s$ 是由課外活動 $x$ 和學術工作 $a$ 的「兩者表現」共同決定，這通常意味著成績是它們的某種函數，例如加總。
生產函數 $s = f(x, a)$ 可以寫成：
$s = x + a$ 。
同樣，假設 $x = t_x$ 和 $a = t_a$ ，則
$s = t_x + t_a$ 。

成本函數 $c(s)$ 是達成目標成績 $s$ 所需花費的最小總時間 $T = t_x + t_a$ 。
在此情況下，我們要求 $t_x + t_a = s$ 。
要最小化 $T = t_x + t_a$ 同時滿足 $t_x + t_a = s$ ，最小的 $T$ 就是 $s$ 。
因此，成本函數為 $c(s) = s$ 。

生產函數： $s = x + a$ (其中 $x, a$ 為投入的成果，或假設為時間 $t_x, t_a$ )
成本函數： $c(s) = s$ (其中 $s$ 為達成的成績，代表最小時間投入)

(c) 解釋生產函數與成本函數的對偶性

生產函數與成本函數的對偶性 (duality) 指的是，在競爭性市場中，企業的利潤極大化問題與成本極小化問題是等價的。換句話說，給定生產函數，我們可以推導出成本函數；反之，給定成本函數，我們也可以推導出生產函數（在某些條件下）。

Question 19

2. Adverse selection for health insurance company means that, everything else equal, people with worse health status are more likely to buy insurance; the most healthy people would be the last one to get covered. Consider each insured person as a product of insurance company. Insuring people with worse health status means this "product" would require higher marginal cost to produce than the other people, because the medical expense for people with worse health status are likely higher. (a) Depict the average cost and marginal cost curve of a health insurance company as their customers increase. Think about the sequence of people to get insured based on their health status. (b) Based on the answers above, propose an empirical test on the existence of adverse selection in a given data with s…

Accepted Answer

本題探討逆選擇 (Adverse Selection) 在健康保險市場中的應用，以及政府如何透過國民健康保險來解決此問題。

(a) 說明醫療保險公司的平均成本與邊際成本曲線

逆選擇的核心在於，保險公司無法準確區分投保人的健康風險，而風險較高者（健康狀況較差者）更傾向於購買保險。

假設保險公司承保的客戶是按照健康狀況從差到好（或從風險高到低）的順序加入的。

第一批加入者： 健康狀況最差（風險最高）的客戶。他們預期會有較高的醫療支出，因此需要較高的保費。對保險公司而言，這些客戶的平均醫療成本 (Average Cost, AC) 和邊際醫療成本 (Marginal Cost, MC) 都會比較高。
後續加入者： 隨著承保的客戶群擴大，健康狀況越來越好（風險越來越低）的客戶加入。
- 邊際成本 (MC)： 當一個新的客戶加入時，他的醫療成本就是該客戶的邊際成本。由於後續加入的客戶健康狀況較好，其預期醫療成本會低於前面加入的客戶。因此，隨著客戶群從健康差的往健康好的擴展，邊際成本曲線是遞減的。
- 平均成本 (AC)： 平均成本是所有已承保客戶的總醫療成本除以客戶數量。當一開始加入的是高風險客戶時，AC 會很高。當越來越多低風險客戶加入時，他們會拉低整體的平均醫療成本。因此，平均成本曲線也是遞減的。

圖示說明：
想像一個圖，橫軸是客戶數量 (Q)，縱軸是成本 (AC, MC)。

MC 曲線是一條向下傾斜的直線或曲線。
AC 曲線也會向下傾斜，並且始終高於 MC 曲線（在 MC 遞減的區域，AC 始終高於 MC）。
AC 曲線在 MC 曲線的上方，並且兩者都隨著 Q 的增加而下降。

總結： 在逆選擇的情況下，由於低風險者最後才可能加入，保險公司隨著客戶數量的增加，邊際成本和平均成本都會下降。

(b) 提出檢驗逆選擇存在的實證檢驗方法

基於上述 AC 和 MC 的特性，我們可以設計實證檢驗方法：

數據要求： 需要收集保險公司的數據，包括：
- 投保人的個人健康狀況指標（例如，既往病史、年齡、BMI、生活習慣等）。
- 投保人的醫療支出（或保險公司支付的理賠金額）。
- 投保的時間點。
- 保險公司的平均成本 (AC) 和邊際成本 (MC) 的估計值（可以基於平均醫療支出和新加入者醫療支出來估計）。
檢驗方法：
- 方法一：比較不同健康群體的成本。
  - 將投保人根據其健康狀況分成不同群體（例如，健康、中等、差）。
  - 比較不同群體的平均醫療支出（作為成本的代理變數）。
  - 如果存在逆選擇，則健康狀況較差群體的平均醫療支出（即保險公司的平均成本）應顯著高於健康狀況較好群體。
  - 更進一步，可以觀察新加入的投保人，如果新加入者的平均健康狀況（或預期醫療成本）隨時間推移而改善，這也支持逆選擇的存在（因為保險公司在初期吸引了高風險者，後期才吸引到低風險者）。
- 方法二：觀察保費與健康狀況的關係。
  - 在沒有逆選擇的情況下，保險公司會根據風險定價，預期醫療成本高的個人應支付更高的保費。
  - 在存在逆選擇的情況下，如果保險公司採用統一保費，那麼低風險者會覺得保費過高而不購買，高風險者會覺得保費划算而積極購買。
  - 可以檢驗：在同一保險計劃下，投保人實際的醫療支出（成本）是否與其健康狀況（風險）高度相關，且健康狀況差者佔據了更高的比例。
  - 或者，觀察保險公司如何根據健康狀況來調整保費，如果保費與實際風險的匹配度不高，可能存在逆選擇。
- 方法三：觀察市場退出行為。
  - 如果保險公司基於平均成本定價，而平均成本又受逆選擇影響而偏高，那麼健康狀況較好、預期醫療支出較低的個人可能會發現市場上的保費過高（相較於他們的風險），從而選擇不購買保險，或者退出保險市場。這會進一步加劇逆選擇。
  - 可以檢驗：健康狀況較好者在保險市場中的參與度是否較低，或者他們是否更傾向於選擇其他更適合他們的保險產品。

實證檢驗的核心： 觀察保險公司承保的客戶群體，其平均風險/成本是否隨著時間推移（或客戶數量的增加）而呈現下降趨勢，並且低風險者在初期參與度較低。

(c) 逆選擇與健康保險公司的規模報酬的關係

規模報酬 (Returns to Scale, RTS) 描述了當所有生產要素同比例增加時，產出的變化情況。在保險業中，產出可以理解為承保的風險單位或客戶數量。

規模報酬遞減 (Diminishing RTS)： 當公司擴大業務規模時，其平均成本開始上升。
規模報酬不變 (Constant RTS)： 當公司擴大業務規模時，其平均成本保持不變。

Question 20

4. As the owner of the only tennis club in an isolated wealthy community, you must decide on membership dues and fees for court time. There are two types of tennis players. Serious players have demand $Q1 = 10-P$, where $Q1$ is hours per week and $P$ is the fee per hour for each individual player. There are also occasional players with demand $Q2 = 4-0.25P$. Assume that there are 1000 players of each type. Because you have plenty of tennis courts, the marginal cost of each hour is zero. You have fixed costs of $10,000$ per week, though. Serious and occasional players look alike, so you must charge them the same prices. (a) Suppose that to maintain a professional atmosphere, you want to limit membership to serious players. How should you set the annual membership to maximize profits? (b) Fo…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查獨占廠商的兩段式定價法（Two-Part Tariff）與異質消費者差別取價（Price Discrimination with Heterogeneous Consumers）。 1. 兩段式定價架構： 廠商收取定額會費（Entry Fee / Membership Due, $T$）以及每單位使用費（User Fee / Court Fee, $P$）。 2. 單一消費者類型下的最適定價： 若僅服務單一族群，廠商應將使用費訂在邊際成本（$P = MC$），並將會費訂為該族群在此價格下的全部消費者剩餘（$T = CS(P)$），藉此完全榨取消費者剩餘並消除無謂損失（Deadweight Loss）。 3. 兩類消費者並存時的次級差別取價／統一兩段式定價： 若廠商無法區分消費者（兩者外觀一致），且希望兩類消費者皆加入： - 會費 $T(P)$ 受到參與限制（Participation Constraint）約束，只能收取兩者中較低的消費者剩餘：$T(P) = \min \{CS1(P), CS2(P)\}$。 - 廠商最適的使用費通常會高於邊際成本（$P MC$），藉由提高使用費縮小高需求與低需求者之間的剩餘差距，從而提高定額會費，極大化總利潤。 --- 解題方法與詳細推導 基本設定與個別需求函數 - 認真型球員（Serious players, 第 1 類）：$Q1 = 10 - P$，$N1 = 1,000$ 人。 - 休閒型球員（Occasional players, 第 2 類）：$Q2 = 4 - 0.25P$，$N2 = 1,000$ 人。 - 成本結構：邊際成本 $MC = 0$；每週固定成本 $FC = $\$10,000。 - 時間單位：題目給定需求為每週時數（hours per week），一年通常以 52 週計算。 個別球員在每小時場地費為 $P$ 時的每週消費者剩餘（$CS$）： - 第 1 類（認真型）： 反需求函數為 $P = 10 - Q1$，其消費者剩餘為： $$CS1(P) = \frac{1}{2} (10 - P) \cdot Q1 = \frac{1}{2}(10 - P)^2$$ - 第 2 類（休閒型）： 反需求函數為 $P = 16 - 4Q2$（截距為 16），其消費者剩餘為： $$CS2(P) = \frac{1}{2} (16 - P) \cdot (4 - 0.25P) = \frac{1}{8}(16 - P)^2$$ --- (a) 與 (b) 僅招收認真型球員（Serious Players Only） 若俱樂部欲將會員資格限制在認真型球員，且使利潤最大化： 1. 每週場地費（Court Fee, $P$）設定： 為極大化認真型球員的剩餘以轉化為會費，場地費應等於邊際成本： $$P…

Question 21

5. As the owner of the only tennis club in an isolated wealthy community, you must decide on membership dues and fees for court time. There are two types of tennis players. Serious players have demand $Q1 = 10-P$, where $Q1$ is hours per week and $P$ is the fee per hour for each individual player. There are also occasional players with demand $Q2 = 4-0.25P$. Assume that there are 1000 players of each type. Because you have plenty of tennis courts, the marginal cost of each hour is zero. You have fixed costs of $10,000$ per week, though. Serious and occasional players look alike, so you must charge them the same prices. (a) Suppose that to maintain a professional atmosphere, you want to limit membership to serious players. How should you set the annual membership to maximize profits? (b) Fo…

Accepted Answer

核心觀念 本題旨在考驗不完全競爭市場（獨占）下的非線性定價策略——兩部收費制（Two-Part Tariff）與市場區隔決策。核心觀念包含： 1. 兩部收費制（Two-Part Tariff）：由「定額入會費（Fixed Membership Dues, $T$）」與「每單位使用費（Court Fee, $P$）」組成。廠商透過使用費 $P$ 調整消費量，並藉由入會費 $T$ 擷取消費者的剩餘。 2. 消費者剩餘（Consumer Surplus, $CS$）與完全榨取： - 當廠商僅鎖定單一客群時，利潤極大化的定價法則是令使用費等於邊際成本（$P = MC$），使總剩餘最大化，再令固定會費等於該客群之全部消費者剩餘（$T = CS$），將剩餘全數轉化為利潤。 - 若同時向多個異質客群收費且無法進行第三級差別取價時，固定會費 $T$ 受限於剩餘較少者的支付意願（即 $T = \min\{CS1(P), CS2(P)\}$）。 3. 客群選擇與利潤比較：廠商面臨「僅服務高剩餘客群（放棄低客群）」與「以較高的使用費縮小剩餘差距、同時服務兩類客群」之間的權衡（Trade-off）。 --- 解題方法與推導 一、基本模型設定與個別消費者剩餘 - 重度球員（Serious Players, 代號 1）：$N1 = 1,000$ 人 - 每週需求函數：$Q1 = 10 - P$（反需求函數：$P = 10 - Q1$） - 消費者剩餘： $$CS1(P) = \frac{1}{2}(10 - P)Q1 = \frac{1}{2}(10 - P)^2 \quad (	ext{當 } P \le 10)$$ - 偶爾球員（Occasional Players, 代號 2）：$N2 = 1,000$ 人 - 每週需求函數：$Q2 = 4 - 0.25P$（反需求函數：$P = 16 - 4Q2$） - 消費者剩餘： $$CS2(P) = \frac{1}{2}(16 - P)Q2 = \frac{1}{2}(16 - P)(4 - 0.25P) = \frac{1}{8}(16 - P)^2 \quad (	ext{當 } P \le 16)$$ - 成本結構：邊際成本 $MC = 0$；固定成本 $FC = $\$$10,000/	ext{週}$。 --- (a) 與 (b)：僅鎖定重度球員（Serious Players Only）之定價 若俱樂部僅吸引重度球員加入，並排除偶爾球員： 1. 場地使用費（Court Fee, $P$）： 欲使重度球員的總效益最大以利榨取，應將使用費訂於邊際成本： $$P = MC = 0$$ 2. 每週與年入會費（Membership Dues, $T$）： 在 $P = 0$ 時，兩類球員的每週消費者剩餘分別為： $$CS1(0)…

108 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班甲組《個體經濟學》

第 1 題

核心觀念

解題方法

(a) 求解初始最適消費組合 (x1∗,x2∗)(x_1^*, x_2^*)(x1∗​,x2∗​)

(b) 求解史拉斯基替代效果與所得效果

步驟 1：求價格變動後的最終最適消費組合 (x1∗∗,x2∗∗)(x_1^{**}, x_2^{**})(x1∗∗​,x2∗∗​)

第 2 題

核心觀念

解題方法

步驟一：求自由市場均衡（無管制基準點）

步驟二：判斷價格上限之有效性

步驟三：計算管制後的市場交易數量（第 (3) 格）

步驟四：計算生產者剩餘（第 (5) 格）

步驟五：計算消費者剩餘（第 (4) 格）

第 3 題

第 4 題

核心觀念

解題方法

（a）預算限制式

（b）求最適工作時數

第 5 題

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 3 題5 分

（a）只招收 serious players 時的年會員費

（b）只招收 serious players 時的每週球場費

（c）同時招收兩種類型是否更有利？

第一步：計算兩類玩家的消費者剩餘

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 3 題5 分

（a）只招收 serious players 時的年會員費

（b）只招收 serious players 時的每週球場費

（c）同時招收兩種類型是否更有利？

第一步：計算兩類玩家的消費者剩餘

第 4 題5 分

核心觀念

解題方法與詳細推導

基本設定與個別需求函數

(a) 與 (b) 僅招收認真型球員（Serious Players Only）

(c) 評估是否應同時招收兩類球員（Encouraging Both Types to Join）

步驟一：比較兩類球員的消費者剩餘大小

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 3 題5 分

（a）只招收 serious players 時的年會員費

（b）只招收 serious players 時的每週球場費

（c）同時招收兩種類型是否更有利？

第一步：計算兩類玩家的消費者剩餘

第 4 題5 分

核心觀念

解題方法與詳細推導

基本設定與個別需求函數

(a) 與 (b) 僅招收認真型球員（Serious Players Only）

(c) 評估是否應同時招收兩類球員（Encouraging Both Types to Join）

步驟一：比較兩類球員的消費者剩餘大小

第 5 題5 分

核心觀念

解題方法與推導

一、基本模型設定與個別消費者剩餘

(a) 與 (b)：僅鎖定重度球員（Serious Players Only）之定價

(c) 同時吸引兩類球員加入（Serve Both Types）之可行性證明

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 4 題5 分

核心觀念

解題方法與詳細推導

基本設定與個別需求函數

(a) 與 (b) 僅招收認真型球員（Serious Players Only）

(c) 評估是否應同時招收兩類球員（Encouraging Both Types to Join）

步驟一：比較兩類球員的消費者剩餘大小

第 5 題5 分

核心觀念

解題方法與推導

一、基本模型設定與個別消費者剩餘

(a) 與 (b)：僅鎖定重度球員（Serious Players Only）之定價

(c) 同時吸引兩類球員加入（Serve Both Types）之可行性證明

其他考古題

108 年中正大學的其他科目

108 年國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班甲組《個體經濟學》

**(a) 求解初始最適消費組合 $(x_1^, x_2^)$**

步驟 1：求價格變動後的最終最適消費組合 $(x_1^{}, x_2^{})$