108 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班乙組《統計學》

本題主要考驗機率的基本概念，包括條件機率、聯合機率以及聯集機率的計算。

核心觀念：

1. 條件機率公式： $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
2. 聯合機率： $P(A \cap B) = P(B|A) P(A)$
3. 聯集機率公式： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
4. 對稱性： $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

解題過程：

已知 $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}$，事件 $A = \{\omega_1, \omega_2\}$，事件 $B = \{\omega_2, \omega_4\}$，事件 $C = \{\omega_4\}$。
已知 $P(A) = 2/3$， $P(B) = 1/3$， $P(B|A) = 1/3$。

(a) 計算 $P(C)$
題目中並未直接給出 $P(C)$ 的值，也未給出足夠資訊（如所有基本事件機率）來直接計算 $P(C)$。然而，題目要求填入 (a) 的值，並且在後續的 $P(A|B)$ 和 $P(A \cup B)$ 的計算中，並沒有用到 $P(C)$。這表示 $P(C)$ 的值可能無法從已知資訊推導出來，或者題目在設計上，(a) 的填空處可能有誤，或者與其他部分無關。

仔細檢查題目與常見考法：
在填空題中，通常所有 (a), (b), (c) 等欄位的值都應該是可以從已知條件推導出來的。
我們已知 $B = \{\omega_2, \omega_4\}$， $C = \{\omega_4\}$。
若要計算 $P(C)$，我們需要知道 $P(\omega_4)$。
我們知道 $P(B) = P(\omega_2) + P(\omega_4) = 1/3$。
我們也知道 $P(A) = P(\omega_1) + P(\omega_2) = 2/3$。
以及 $P(B|A) = 1/3$。

由 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$，我們可以計算 $P(A \cap B)$。
$A \cap B = \{\omega_1, \omega_2\} \cap \{\omega_2, \omega_4\} = \{\omega_2\}$。
所以 $P(A \cap B) = P(\omega_2)$。
$P(B|A) = \frac{P(\omega_2)}{P(A)} \implies \frac{1}{3} = \frac{P(\omega_2)}{2/3}$
$P(\omega_2) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。

現在我們知道 $P(\omega_2) = 2/9$。
從 $P(B) = P(\omega_2) + P(\omega_4) = 1/3$，我們可以計算 $P(\omega_4)$：

本題考驗連續隨機變數的機率計算、期望值、動差生成函數以及函數轉換的機率密度函數求法。

核心觀念：

1. 連續隨機變數的機率： 對於連續隨機變數，單一點的機率為零，即 $P(X=c)=0$。
2. 累積分布函數 (CDF)： $P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt$。
3. 動差生成函數 (MGF)： $M_X(t) = E(e^{tX}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f_X(x) dx$。
4. 期望值與變異數： 若 $f_X(x)$ 是標準常態分布 $N(0, 1)$ 的 PDF，則 $E(X)=0$, $Var(X)=1$。
5. 高階期望值： 對於標準常態分布 $N(0, 1)$，偶數階中心動差 $E(X^{2k}) = (2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k k!}$。
6. 函數轉換： 若 $Y = aX + b$，則 $f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X(\frac{y-b}{a})$。

解題過程：

給定的機率密度函數 (PDF) 是 $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$。這是一個標準常態分布 $N(0, 1)$ 的 PDF。

(d) 計算 $P(X=0)$
對於任何連續隨機變數，任何單一點的機率都為 0。
因此，$P(X=0) = 0$。

(e) 計算 $P(X \le 0)$
標準常態分布是左右對稱的，其平均值為 0。因此，$P(X \le 0)$ 是 PDF 在負半軸的積分，這佔了總機率的一半。
$P(X \le 0) = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx$。
由於對稱性，$P(X \le 0) = P(X \ge 0) = 1/2$。

(f) 計算動差生成函數 $M_X(t)$
對於標準常態分布 $N(0, 1)$，其動差生成函數是已知的標準結果：
$M_X(t) = E(e^{tX}) = e^{t^2/2}$。
（若需推導：$M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(x^2/2 - tx)} dx$
$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x^2 - 2tx)} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}((x-t)^2 - t^2)} dx$
$= e^{t^2/2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x-t)^2} dx$
令 $u = x-t$，則 $du = dx$。積分變為 $e^{t^2/2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2} du$。
最後一個積分是標準常態分布 PDF 在整個實數軸上的積分，其值為 1。
所以，$M_X(t) = e^{t^2/2}$。）

本題考驗最大概似估計量 (MLE) 的求法以及其期望值。

核心觀念：

1. 概似函數 (Likelihood Function)： 對於獨立同分布 (i.i.d.) 的樣本 $X_1, \dots, X_n$，其概似函數為樣本 PDF 的乘積：$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta)$。
2. 對數概似函數 (Log-Likelihood Function)： $l(\theta) = \ln L(\theta)$。通常取對數是為了簡化計算，因為 $\ln$ 是一個單調遞增函數，最大化 $L(\theta)$ 等同於最大化 $l(\theta)$。
3. 最大概似估計量 (MLE)： 通過對 $l(\theta)$ 對 $\theta$ 微分，並令導數為零來求解：$\frac{dl(\theta)}{d\theta} = 0$。
4. 指數分布 (Exponential Distribution)： 給定的 PDF $f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}$，其中 $\theta > 0$，描述的是參數為 $\theta$ 的指數分布。指數分布的期望值為 $E(X) = \theta$，變異數為 $Var(X) = \theta^2$。
5. 樣本平均數的期望值： 對於 i.i.d. 樣本 $X_1, \dots, X_n$，樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 的期望值為 $E(\bar{X}) = E(X) = \theta$。

解題過程：

給定的 PDF 是 $f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}$，對於 $x > 0$ 且 $\theta > 0$。

第一步：建立概似函數 $L(\theta)$
對於樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$，概似函數為：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \left(\frac{1}{\theta}e^{-X_i/\theta}\right)$
$L(\theta) = \left(\frac{1}{\theta}\right)^n \exp\left(-\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{\theta}\right)$
$L(\theta) = \theta^{-n} \exp\left(-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n X_i\right)$

第二步：建立對數概似函數 $l(\theta)$
$l(\theta) = \ln L(\theta) = \ln(\theta^{-n}) + \ln\left(\exp\left(-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n X_i\right)\right)$
$l(\theta) = -n \ln(\theta) - \frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n X_i$

第三步：最大化對數概似函數以求解 MLE
對 $l(\theta)$ 對 $\theta$ 微分，並令其為零：

核心觀念

本題比較兩種線性迴歸模型的 OLS 估計量：

1. 無截距模型：$Y_i=\beta_2X_i+u_i$
2. 只有截距模型：$Y_i=\beta_1+u_i$

OLS 的基本原則是選擇參數，使殘差平方和最小。若誤差項滿足標準假設：

$$E(u_i\mid X)=0,\qquad Var(u_i\mid X)=\sigma^2,\qquad Cov(u_i,u_j\mid X)=0\quad (i\neq j)$$

則估計量具有不偏性，且可推導其變異數。

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（a）無截距模型

解題方法

模型為

$$Y_i=\beta_2X_i+u_i$$

此模型沒有截距項，因此 OLS 是讓殘差平方和

$$SSR(\beta_2)=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\beta_2X_i)^2$$

達到最小。

對 $\beta_2$ 微分並令其等於零：

$$\frac{\partial SSR}{\partial \beta_2} = -2\sum_{i=1}^{n}X_i(Y_i-\beta_2X_i)=0$$

因此

$$\sum_{i=1}^{n}X_iY_i = \beta_2\sum_{i=1}^{n}X_i^2$$

得到 OLS 估計量

$$\hat{\beta}_2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}X_iY_i}{\sum_{i=1}^{n}X_i^2}$$

此處分母必須滿足 $\sum_{i=1}^{n}X_i^2>0$。

變異數推導

將 $Y_i=\beta_2X_i+u_i$ 代入估計量：

$$\hat{\beta}_2 = \frac{\sum X_i(\beta_2X_i+u_i)}{\sum X_i^2}$$

整理得

$$\hat{\beta}_2 = \beta_2+ \frac{\sum X_iu_i}{\sum X_i^2}$$

所以

$$\hat{\beta}_2-\beta_2 = \frac{\sum X_iu_i}{\sum X_i^2}$$

在給定 $X$ 下，其變異數為

$$Var(\hat{\beta}_2\mid X) = Var\left( \frac{\sum X_iu_i}{\sum X_i^2} \middle|X \right)$$

由於 $X_i$ 視為固定值，且誤差項彼此不相關：

$$Var\left(\sum X_iu_i\mid X\right) = \sum X_i^2Var(u_i\mid X) = \sigma^2\sum X_i^2$$

因此

$$Var(\hat{\beta}_2\mid X) = \frac{\sigma^2\sum X_i^2}{\left(\sum X_i^2\right)^2} = \frac{\sigma^2}{\sum X_i^2}$$

故

$$\boxed{ \hat{\beta}_2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}X_iY_i}{\sum_{i=1}^{n}X_i^2} }$$ $$\boxed{ Var(\hat{\beta}_2\mid X) = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^{n}X_i^2} }$$

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（b）只有截距模型

解題方法

模型為

$$Y_i=\beta_1+u_i$$

本題考驗決定係數 ($R^2$) 的定義、意義及其極端情況的判斷。

核心觀念：

1. 決定係數 ($R^2$)： 衡量迴歸模型對因變數變異的解釋程度。它表示因變數的總變異中，有多少比例可以被自變數的迴歸模型所解釋。
2. 總平方和 (Total Sum of Squares, TSS)： $TSS = \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$。它衡量因變數 $Y_i$ 相對於其平均數 $\bar{Y}$ 的總變異。
3. 迴歸平方和 (Explained Sum of Squares, ESS)： $ESS = \sum_{i=1}^n (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2$。它衡量迴歸線預測值 $\hat{Y}_i$ 相對於 $\bar{Y}$ 的變異，代表模型解釋的部分。
4. 殘差平方和 (Residual Sum of Squares, RSS)： $RSS = \sum_{i=1}^n (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2$。它衡量實際值 $Y_i$ 與預測值 $\hat{Y}_i$ 之間的差異，代表模型未解釋的部分。
5. 恆等式： 在簡單線性迴歸中，總變異可以分解為解釋變異和未解釋變異：$TSS = ESS + RSS$。
6. $R^2$ 的定義： $R^2 = \frac{ESS}{TSS} = 1 - \frac{RSS}{TSS}$。

部分 (1): 定義 $R^2$

定義：
決定係數 $R^2$ 定義為迴歸模型所解釋的因變數總變異的比例。
數學上，它有兩種等價的表達方式：

1. $R^2 = \frac{ESS}{TSS} = \frac{\sum_{i=1}^n (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2}{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2}$
2. $R^2 = 1 - \frac{RSS}{TSS} = 1 - \frac{\sum_{i=1}^n (Y_i - \hat{Y}_i)^2}{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2}$

$R^2$ 的值介於 0 和 1 之間（在簡單線性迴歸中，若無特殊情況，通常是 0 到 1）。
$R^2$ 值越大，表示迴歸模型對因變數的解釋能力越強。

部分 (2): $R^2 = 1$ 的情況

討論：
$R^2 = 1$ 表示模型完美地解釋了因變數的所有變異。
根據定義 $R^2 = 1 - \frac{RSS}{TSS}$，如果 $R^2 = 1$，則必須有 $\frac{RSS}{TSS} = 0$。
由於 $TSS = \sum (Y_i - \bar{Y})^2$ 必須大於零（除非所有 $Y_i$ 都相等，這種情況下迴歸沒有意義），所以這意味著 $RSS = 0$。
$RSS = \sum_{i=1}^n (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = 0$。
平方和為零，意味著每一項都必須為零：
$Y_i - \hat{Y}_i = 0$ 對於所有的 $i$。
這意味著 $Y_i = \hat{Y}_i$ 對於所有的 $i$。
換句話說，所有觀察點都精確地落在迴歸線上。

在簡單線性迴歸 $Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_i$ 中，這意味著誤差項 $u_i$ 必須為零，即 $Y_i = \hat{Y}_i = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_i$ 對所有 $i$。
因此，$R^2 = 1$ 的情況發生在：

1. 所有樣本點都落在迴歸線上。
2. 誤差項 $u_i$ 恆等於零。
3. 自變數 $X_i$ 與因變數 $Y_i$ 之間存在完美的線性關係。

部分 (3): $R^2 = 0$ 的情況