109 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班甲組《統計學》

此題主要考驗連續隨機變數的聯合機率密度函數性質、期望值、共變異數、條件機率密度函數、邊際機率密度函數以及動差生成函數。

核心觀念：

1. 常數 c 的求解：聯合機率密度函數在整個定義域上的積分必須等於 1。
2. 期望值 E(XY²)：利用聯合機率密度函數計算。
3. 共變異數 cov(X,Y)：首先計算 E(X), E(Y), E(XY)。由於 X 和 Y 獨立，E(XY) = E(X)E(Y)。
4. 條件機率密度函數 $f_{Y|X=x}(y)$：由聯合機率密度函數除以 X 的邊際機率密度函數 $f_X(x)$ 得到。
5. Z = X + Y 的機率密度函數 $f_Z(z)$：可以利用卷积 (convolution) 或動差生成函數來求解。
6. Z = X + Y 的動差生成函數 $M_Z(t)$：若 X 和 Y 獨立，則 $M_{X+Y}(t) = M_X(t)M_Y(t)$。

解題步驟：

(a) 求解常數 c
聯合機率密度函數為 $f_{XY}(x, y) = c e^{-x-y}$，定義域為 $x \ge 0, y \ge 0$。
在整個定義域上的積分必須為 1：
$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y) \, dx \, dy = 1$
$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} c e^{-x-y} \, dx \, dy = 1$
由於 $e^{-x-y} = e^{-x} e^{-y}$，積分可以分解：
$c \left( \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx \right) \left( \int_{0}^{\infty} e^{-y} \, dy \right) = 1$
計算單一積分：
$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = -e^{-\infty} - (-e^{0}) = 0 - (-1) = 1$
所以，
$c (1)(1) = 1 \implies c = 1$
因此，(a) = 1。

(b) 求解 E(XY²)
$E(XY^2) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy^2 f_{XY}(x, y) \, dx \, dy$
$E(XY^2) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} xy^2 (1) e^{-x-y} \, dx \, dy$
$E(XY^2) = \left( \int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx \right) \left( \int_{0}^{\infty} y^2 e^{-y} \, dy \right)$
計算第一個積分 (期望值為參數為 1 的指數分佈)：
$\int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx = E(X) \text{ where } X \sim Exp(1) = 1$
計算第二個積分 (期望值為參數為 1 的指數分佈的平方)：
$\int_{0}^{\infty} y^2 e^{-y} \, dy$
這可以通過分部積分或利用 Gamma 函數來計算。Gamma 函數定義為 $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$。
所以，$\int_{0}^{\infty} y^2 e^{-y} \, dy = \Gamma(3) = (3-1)! = 2! = 2$。
或者，使用分部積分：
令 $u = y^2, dv = e^{-y}dy \implies du = 2y dy, v = -e^{-y}$
$\int_{0}^{\infty} y^2 e^{-y} \, dy = [-y^2 e^{-y}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-y})(2y) \, dy$
$= (0 - 0) + 2 \int_{0}^{\infty} y e^{-y} \, dy$
我們知道 $\int_{0}^{\infty} y e^{-y} \, dy = 1$ (如前面計算 E(X) 所示)。
所以，$2 \times 1 = 2$
因此，$E(XY^2) = (1)(2) = 2$。
因此，(b) = 2。

(c) 求解 cov(X,Y)
首先，我們需要 E(X), E(Y), E(XY)。
從 $f_{XY}(x, y) = e^{-x-y}$，我們可以推斷 X 和 Y 是獨立的，且都服從參數為 1 的指數分佈 (Exponential distribution with rate $\lambda=1$)。
若 $X \sim Exp(\lambda)$, 則 $E(X) = 1/\lambda$ 且 $Var(X) = 1/\lambda^2$。
在此情況下，$\lambda=1$，所以 $E(X) = 1$ 且 $Var(X) = 1$。
同理，$E(Y) = 1$ 且 $Var(Y) = 1$。
由於 X 和 Y 獨立，
$E(XY) = E(X)E(Y) = (1)(1) = 1$。
共變異數的定義是：
$cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
$cov(X,Y) = 1 - (1)(1) = 0$。
因此，(c) = 0。

核心觀念

本題考查三個觀念：

1. 動差法估計量（Method of Moments Estimator）
2. Cramér–Rao 下限（CRLB）
3. 常態分配的線性轉換

已知

$$X_i\sim N(\theta,1),$$

其中 $\theta$ 未知，且母體平均數為

$$E(X)=\theta.$$

---

（g）動差法估計量

題目給定動差條件：

$$E[X-\theta]=0.$$

由期望值的線性性質，

$$E(X)-\theta=0,$$

因此

$$E(X)=\theta.$$

動差法以樣本平均數 $\bar X_n$ 估計母體平均數 $E(X)$，所以將樣本動差代入：

$$\bar X_n-\hat\theta_n=0.$$

解得

$$\boxed{\hat\theta_n=\bar X_n}.$$

---

（h）Cramér–Rao 下限

方法一：利用常態分配的 Fisher information

單一觀測值的機率密度函數為

$$f_X(x;\theta) =(2\pi)^{-1/2} \exp\left[-\frac{1}{2}(x-\theta)^2\right].$$

其對數概似函數為

$$\ell(\theta) =-\frac{1}{2}\log(2\pi)-\frac{1}{2}(x-\theta)^2.$$

對 $\theta$ 微分：

$$\frac{\partial \ell(\theta)}{\partial\theta} =x-\theta.$$

再微分一次：

$$\frac{\partial^2 \ell(\theta)}{\partial\theta^2} =-1.$$

因此單一觀測值的 Fisher information 為

$$I_1(\theta) =-E\left[ \frac{\partial^2 \ell(\theta)} {\partial\theta^2} \right] =1.$$

$n$ 個獨立樣本的總 Fisher information 為

$$I_n(\theta)=nI_1(\theta)=n.$$

對任何以 $\theta$ 為估計目標的無偏估計量，Cramér–Rao 下限為

此題考驗的是線性迴歸模型中的參數關係與殘差平方和 (RSS) 的比較，特別是在有嚴格的恆等式關係存在時。

核心觀念：

1. 模型參數關係：當模型之間存在內生性或定義上的關係時，參數之間可能存在關聯。
2. 殘差平方和 (RSS)：衡量模型擬合優度的指標，是實際值與預測值之間差異的平方和。

解題步驟：

(a) 參數 $\alpha_1, \beta_1$ 及 $\alpha_2, \beta_2$ 的關係

已知恆等式：$X_t = Y_t + Z_t$。
我們有兩個迴歸模型：
(1) $Y_t = \alpha_1 + \alpha_2 X_t + U_t$ (Consumption function)
(2) $Z_t = \beta_1 + \beta_2 X_t + V_t$ (Savings function)

將模型 (1) 和 (2) 代入恆等式 $X_t = Y_t + Z_t$：
$X_t = (\alpha_1 + \alpha_2 X_t + U_t) + (\beta_1 + \beta_2 X_t + V_t)$
$X_t = (\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2) X_t + (U_t + V_t)$

為了使這個恆等式在期望值意義上成立，或者說，在沒有隨機誤差項的情況下成立，我們需要比較等式兩邊的常數項和 $X_t$ 的係數。

比較常數項：
$0 = (\alpha_1 + \beta_1)$
這意味著 $\alpha_1 + \beta_1 = 0$，或者 $\beta_1 = -\alpha_1$。

比較 $X_t$ 的係數：
$1 = (\alpha_2 + \beta_2)$
這意味著 $\alpha_2 + \beta_2 = 1$，或者 $\beta_2 = 1 - \alpha_2$。

關於誤差項 $U_t$ 和 $V_t$：
如果 $U_t$ 和 $V_t$ 是隨機誤差項，那麼 $U_t + V_t$ 也是一個隨機誤差項。
在標準迴歸假設下，我們通常假設誤差項的期望值為零。
$E(U_t) = 0$ 且 $E(V_t) = 0$。
因此，$E(U_t + V_t) = E(U_t) + E(V_t) = 0 + 0 = 0$。
所以，恆等式 $X_t = Y_t + Z_t$ 在考慮了誤差項後，在期望值層面上是成立的，且我們推導出的參數關係也是有效的。

結論：
$\alpha_1$ 和 $\beta_1$ 的關係是 $\alpha_1 + \beta_1 = 0$。
$\alpha_2$ 和 $\beta_2$ 的關係是 $\alpha_2 + \beta_2 = 1$。

(b) 殘差平方和 (RSS) 是否相同？

殘差平方和 (RSS) 是模型擬合優度的度量，其計算方式為：
$RSS = \sum_{t=1}^n e_t^2$，其中 $e_t$ 是殘差。

對於消費函數模型：
殘差為 $\hat{U}_t = Y_t - (\hat{\alpha}_1 + \hat{\alpha}_2 X_t)$
$RSS_Y = \sum_{t=1}^n \hat{U}_t^2 = \sum_{t=1}^n (Y_t - \hat{\alpha}_1 - \hat{\alpha}_2 X_t)^2$

對於儲蓄函數模型：
殘差為 $\hat{V}_t = Z_t - (\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 X_t)$
$RSS_Z = \sum_{t=1}^n \hat{V}_t^2 = \sum_{t=1}^n (Z_t - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_t)^2$

為什麼 RSS 通常不會相同？

1. 估計的參數不同：即使在理想情況下（即 $\beta_1 = -\alpha_1$ 且 $\beta_2 = 1 - \alpha_2$），在實際估計中，由於樣本數據的隨機性，我們得到的估計值 $\hat{\alpha}_1, \hat{\alpha}_2$ 和 $\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$ 可能不會精確地滿足這些關係。
   例如，即使真實參數滿足 $\beta_1 = -\alpha_1$，但樣本估計值 $\hat{\beta}_1$ 不一定等於 $-\hat{\alpha}_1$。
   $\hat{U}_t = Y_t - \hat{\alpha}_1 - \hat{\alpha}_2 X_t$
   $\hat{V}_t = Z_t - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_t$
   我們知道 $Y_t + Z_t = X_t$。
   代入 $\hat{U}_t$：
   $\hat{U}_t = Y_t - \hat{\alpha}_1 - \hat{\alpha}_2 X_t$
   $\hat{U}_t = (X_t - Z_t) - \hat{\alpha}_1 - \hat{\alpha}_2 X_t$
   $\hat{U}_t = X_t(1 - \hat{\alpha}_2) - Z_t - \hat{\alpha}_1$
   如果我們假設 $\hat{\beta}_2 = 1 - \hat{\alpha}_2$ 且 $\hat{\beta}_1 = -\hat{\alpha}_1$，那麼：
   $\hat{U}_t = X_t \hat{\beta}_2 - Z_t + \hat{\beta}_1$
   $\hat{U}_t = \hat{\beta}_2 X_t - (Z_t - \hat{\beta}_1)$
   $\hat{U}_t = \hat{\beta}_2 X_t - \hat{V}_t$
   這表明殘差 $\hat{U}_t$ 和 $\hat{V}_t$ 之間存在關係。
   $\hat{U}_t = \hat{\beta}_2 X_t - (Z_t - \hat{\beta}_1)$
   $\hat{U}_t = \hat{\beta}_2 X_t - ( (X_t - Y_t) - \hat{\beta}_1 )$
   $\hat{U}_t = \hat{\beta}_2 X_t - X_t + Y_t + \hat{\beta}_1$
   $\hat{U}_t = Y_t + \hat{\beta}_1 + (\hat{\beta}_2 - 1) X_t$
   如果 $\hat{\beta}_2 = 1 - \hat{\alpha}_2$ 且 $\hat{\beta}_1 = -\hat{\alpha}_1$，則 $\hat{\beta}_2 - 1 = -\hat{\alpha}_2$。
   $\hat{U}_t = Y_t - \hat{\alpha}_1 - \hat{\alpha}_2 X_t$
   這回到了消費函數的殘差定義。

   問題在於，OLS (Ordinary Least Squares) 估計量 $\hat{\alpha}_1, \hat{\alpha}_2$ 是基於最小化 $RSS_Y$ 得到的，而 $\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$ 是基於最小化 $RSS_Z$ 得到的。

此題考驗的是多元迴歸分析中的 ANOVA 表格填寫、判定係數 ($R^2$) 的計算與解釋，以及調整後的判定係數 (adjusted $R^2$) 的計算與解釋。

核心觀念：

1. ANOVA 表格：總平方和 (SST)、迴歸平方和 (SSR) 和殘差平方和 (SSE) 的關係，以及自由度 (DF) 和均方 (MS) 的計算。
2. 判定係數 $R^2$：衡量迴歸模型解釋變異能力的指標，定義為 $R^2 = SSR / SST$。
3. 調整後的判定係數 adjusted $R^2$：考慮了模型中解釋變數數目的 $R^2$ 版本，用於比較不同數量解釋變數的模型。

解題步驟：

基本關係式：

• $SST = SSR + SSE$
• $MS = SS / DF$
• $F = MS_{Regression} / MS_{Error}$
• $R^2 = SSR / SST$
• $adjusted R^2 = 1 - \frac{SSE/(n-k-1)}{SST/(n-1)}$，其中 n 是樣本數，k 是解釋變數的數量。

已知資訊：

• 總觀測數 n = 26。
• Table 1 顯示有 5 個解釋變數 ($X_1$ 到 $X_5$)，所以 k = 5。
• Table 1 顯示迴歸係數，但我們主要需要 Table 2 的 ANOVA 資訊。
• Table 2 顯示：
  • SSR (Regression SS) = 100
  • SST (Total SS) = 140

(a) 填寫 ANOVA 表格 (A 到 G)

• D (Total DF)：總自由度等於觀測數減 1。
  $D = n - 1 = 26 - 1 = 25$。

• B (Regression DF)：迴歸自由度等於解釋變數的數量。
  $B = k = 5$。

• C (Error DF)：殘差自由度等於總自由度減去迴歸自由度。
  $C = D - B = 25 - 5 = 20$。

• A (Error SS)：根據 $SST = SSR + SSE$，可以計算 SSE。
  $SSE = SST - SSR = 140 - 100 = 40$。
  所以 A = 40。

• E (MS Regression)：迴歸均方等於迴歸平方和除以迴歸自由度。
  $E = MS_{Regression} = SSR / B = 100 / 5 = 20$。

• F (MS Error)：殘差均方等於殘差平方和除以殘差自由度。
  $F = MS_{Error} = A / C = 40 / 20 = 2$。

• G (F statistic)：F 統計量等於迴歸均方除以殘差均方。
  $G = F = E / F = 20 / 2 = 10$。

填寫完成的 ANOVA 表格：

Source	SS	DF	MS	F statistic¹
Regression	100	5	20	10
Error	40	20	2
Total	140	25

所以，
(a) A = 40, B = 5, C = 20, D = 25, E = 20, F = 2, G = 10。

(b) 計算判定係數 $R^2$ 並解釋

$R^2$ 的計算：
$R^2 = SSR / SST = 100 / 140$
$R^2 = 10 / 14 = 5 / 7$
$R^2 \approx 0.7143$