113 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班《統計學》

本題考驗條件機率的定義。

根據條件機率的定義，事件 $A_3$ 在事件 $B_4$ 發生的條件下發生的機率 $P(A_3|B_4)$ 為：
$P(A_3|B_4) = \frac{P(A_3 \cap B_4)}{P(B_4)}$
從表格中，我們可以看到：
$P(A_3 \cap B_4)$ 即為 $P_{34}$。

核心觀念

本題考查集合運算的基本定律：

• 德摩根定律：
  $\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B,\qquad \overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B$
• 交集對聯集的分配律：
  $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
• 互斥事件不必然獨立。事件 $E,F$ 獨立的條件為：
  $P(E\cap F)=P(E)P(F)$

解題方法

逐一利用集合恆等式化簡；涉及「獨立」的選項，則直接套用獨立事件的定義判斷。

選項分析

(A) 錯誤

由德摩根定律：

$$\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B$$

而選項左側為：

$$A\cup\bar B$$

其中 $A$ 並不能直接替代 $\bar A$，因此一般而言：

$$A\cup\bar B\ne\overline{A\cap B}$$

例如令樣本空間為 $S=\{1,2\}$，$A=B=\{1\}$，則：

$$A\cup\bar B=\{1\}\cup\{2\}=S$$

但：

$$\overline{A\cap B}=\overline{\{1\}}=\{2\}$$

兩者不相等。

(B) 正確

集合交集對聯集具有分配律：

$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$$

因此選項正確。

(C) 錯誤

令：

$$E=A\cap B,\qquad F=\bar A\cap\bar B$$

由於 $E$ 中的元素屬於 $A$，而 $F$ 中的元素屬於 $\bar A$，兩者不可能同時發生，因此：

$$E\cap F=\varnothing$$

這表示 $E$ 與 $F$ 互斥，但互斥不代表獨立。

若兩事件獨立，必須滿足：

$$P(E\cap F)=P(E)P(F)$$

本題考驗對二項隨機實驗（Binomial Experiment）的定義與特性的理解。

二項隨機實驗的定義與特性如下：

1. 實驗包含固定次數 ($n$) 的試行。
2. 每一次試行只有兩種互斥的結果，通常稱為「成功」與「失敗」。
3. 每次試行的成功機率 ($p$) 是相同的，且每次試行的失敗機率 ($1-p$) 也是相同的。
4. 各次試行之間是獨立的。

現在我們逐一檢視選項：
(A) 每一次試行只有兩種互斥的可能結果,不是成功,就是失敗。
這是二項隨機實驗的標準定義之一。所以此特性是具備的。

核心觀念

型一錯誤 $\alpha$ 是「$H_0$ 為真卻落入拒絕域」的機率，畫在 $H_0$ 分配底下；型二錯誤 $\beta$ 是「$H_1$ 為真卻落入接受域」的機率，畫在 $H_1$ 分配底下。從圖上兩條曲線的中心與拒絕域的方向，就能讀出假設的寫法。

讀圖（原卷附圖）

• 左邊的常態曲線中心在 $0$：這是 $H_0$ 下的抽樣分配，所以 $H_0:\mu=0$。
• 右邊的常態曲線中心在 $15$：這是對立假設下（真實 $\mu=15$）的分配。
• 臨界值 $9$ 畫成一條直線；$9$ 右側、$H_0$ 曲線尾端的陰影是 $\alpha$，$9$ 左側、$H_1$ 曲線底下標示 $\beta$。

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的大樣本信賴區間。抽樣結果為：

$$N=5000,\qquad n=60,\qquad x=7$$

其中 $x$ 為瑕疵品數，因此樣本瑕疵率為

$$\hat p=\frac{x}{n}=\frac{7}{60}\approx 0.1167$$

雙尾檢定的 $95\%$ 信賴區間，其顯著水準為

$$\alpha=0.05$$

故臨界值為

$$Z_{\alpha/2}=Z_{0.025}=1.96$$

母體比例的近似信賴區間公式為

$$\hat p\pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$$

由於抽樣比例

$$\frac{60}{5000}=0.012$$

僅為 $1.2\%$，可視為小比例抽樣，採用一般比例信賴區間公式即可；有限母體修正對結果影響極小。

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解題方法

先計算樣本瑕疵率：

$$\hat p=\frac{7}{60}\approx 0.1167$$

因此

$$1-\hat p=1-0.1167=0.8833$$

樣本比例的標準誤為

$$SE(\hat p) = \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{(0.1167)(0.8833)}{60}} \approx 0.0415$$

$95\%$ 信賴區間的誤差範圍為

$$E=1.96(0.0415)\approx 0.081$$

所以

$$p=\hat p\pm E$$

即

$$p=0.117\pm 0.081$$

得到

$$0.036\le p\le 0.198$$

因此瑕疵率 $p$ 的 $95\%$ 信賴區間約為

$$\boxed{0.036\le p\le 0.198}$$

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選項分析

核心觀念

本題考查「常態母體變異數的卡方信賴區間」，重點在於：母體平均數是否已知、估計量的分母，以及卡方臨界值的記號慣例。

原題未定義卡方臨界值記號，以下採上尾機率記號，並在常態母體、平均數未知的標準設定下判定，正確選項為 (D)。

設 $X_1,\ldots,X_n$ 為來自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的獨立隨機樣本。當 $\mu$ 未知時，定義樣本變異數與變異數的最大概似估計量：

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2, \qquad \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2.$$

兩者滿足

$$n\hat{\sigma}^2=(n-1)S^2,$$

因此有卡方樞紐量

$$Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} =\frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \sim\chi^2_{n-1}.$$

若 $Q\sim\chi^2_\nu$，其平均數與變異數分別為

$$E(Q)=\nu,\qquad \operatorname{Var}(Q)=2\nu.$$

解題方法

利用卡方樞紐量建立中央機率為 $1-\alpha$ 的區間，再反解出 $\sigma^2$。

採上尾機率記號，$\chi^2_{p,\nu}$ 定義為

$$P\!\left(Q>\chi^2_{p,\nu}\right)=p.$$

所以，上尾機率越小，臨界值越大：

$$\chi^2_{\alpha/2,\nu}> \chi^2_{1-\alpha/2,\nu}.$$

取 $\nu=n-1$，可得

$$P\!\left( \chi^2_{1-\alpha/2,n-1} \le \frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{\alpha/2,n-1} \right)=1-\alpha.$$

由於各項皆為正數，取倒數時不等號方向反轉，整理得

$$P\!\left( \frac{n\hat{\sigma}^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}} \le \sigma^2 \le \frac{n\hat{\sigma}^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}} \right)=1-\alpha.$$

這正是選項 (D) 的信賴區間。

選項分析

(A) 錯誤：信賴區間並不以 $S^2$ 為中心。

區間上下限為

$$L=\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}}, \qquad U=\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}.$$

核心觀念

本題考查「根據研究問題決定假設檢定方向」。

設機器生產不良品的比例為 $p$。正常狀態下，平均每 $100$ 個產品有 $1$ 個不良品，因此正常比例為

$$p_0=0.01$$

題目問機器「是否正常」，表示只要不良率偏高或偏低，都可能代表機器狀況異常。因此應檢定：

$$H_0:p=0.01$$ $$H_1:p\ne 0.01$$

由於對立假設是不等於，故屬於雙尾檢定。

解題方法

抽查 $n=150$ 個產品，發現不良品 $X=3$ 個，樣本不良率為

$$\hat p=\frac{3}{150}=0.02$$

雖然樣本結果顯示不良率高於 $0.01$，但檢定方向不能依據抽查結果才決定，而必須依照題目的研究問題事先設定。

「是否正常」的判斷包含兩種異常情形：

• 不良率過高：$p>0.01$，表示機器劣化。
• 不良率過低：$p<0.01$，也表示實際生產狀況偏離正常標準。

因此對立假設應寫成

$$H_1:p\ne 0.01$$

這代表拒絕域分布在左右兩端，為雙尾檢定。顯著水準 $\alpha=0.05$ 只用來決定拒絕域大小，不影響檢定類型的判斷。

若進一步進行比例檢定，由於

$$np_0=150(0.01)=1.5$$

期望不良品數偏小，常態近似的條件不足，正式計算宜採二項分配的精確檢定；但本題只詢問檢定類型，不需要進行臨界值計算。

選項分析

核心觀念

本題考查：

1. 單一母體平均數的假設檢定。
2. 右尾檢定的假設設定。
3. 母體標準差未知且樣本數小於 30 時，使用 $t$ 分配。
4. 檢定統計量與臨界值的比較。

令 $\mu$ 表示該門市每日中午時段便當銷售量的母體平均數。店長每日進貨 30 個，若要能應付消費者需求，必須確認平均需求量是否大於 30 個。

因此，本題真正關心的是：

$$\mu>30$$

這是右尾檢定。

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解題方法

1. 建立假設

「進貨量 30 個無法應付需求」代表平均銷售量大於 30 個，因此設為對立假設：

$$H_1:\mu>30$$

其餘情況歸入虛無假設：

$$H_0:\mu\le 30$$

故假設為：

$$H_0:\mu\le 30,\qquad H_1:\mu>30$$

2. 判斷使用的分配

題目提供：

• 樣本數：$n=15$
• 樣本平均數：$\bar{x}=33.4$
• 樣本標準差：$s=8.2$
• 檢定基準值：$\mu_0=30$

由於母體標準差未知，且樣本數 $n=15<30$，應使用自由度為

$$df=n-1=14$$

的 $t$ 分配，而不是 $Z$ 分配。

3. 計算檢定統計量

單一母體平均數的 $t$ 檢定統計量為：

$$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

代入資料：

$$t=\frac{33.4-30}{8.2/\sqrt{15}}$$

先計算標準誤：

$$\frac{8.2}{\sqrt{15}}\approx 2.117$$

因此：

$$t=\frac{3.4}{2.117}\approx 1.606$$

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 的右尾檢定下，自由度為 14，臨界值為：

$$t_{0.05,14}\approx 1.761$$

拒絕域為：

$$t>1.761$$

由於：

$$1.606<1.761$$

所以檢定統計量未落入拒絕域，無法拒絕 $H_0$。

核心觀念

本題考查「兩獨立母體平均數差的 pooled two-sample $t$ 檢定」所隱含的統計假設。

當兩母體變異數未知，但假設相等時，使用合併樣本變異數：

$$S_p^2= \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2} {n_1+n_2-2}$$

其標準誤為：

$$S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$

因此，標準的檢定統計量應寫成：

$$t= \frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)} {S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

在虛無假設成立且母體近似常態下，此統計量服從自由度為

$$n_1+n_2-2$$

的 $t$ 分配。

這種方法隱含的主要條件為：

1. 兩組樣本彼此獨立。
2. 兩母體變異數未知。
3. 兩母體變異數相等。
4. 通常應用於小樣本情況，且母體需近似常態。

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解題方法

判斷選項時，關鍵在於觀察 $S_p$ 的形式：

$$S_p^2= \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2} {n_1+n_2-2}$$

這是將兩組樣本變異數加權合併的「合併變異數估計量」。只有在假設兩母體變異數相等時，合併兩組資訊才具有合理性。

若兩母體變異數不假設相等，應使用 Welch $t$ 檢定，其統計量為：

$$t= \frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)} {\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$

因此，本題雖然前面的分母寫成 Welch $t$ 檢定形式，但題目另外明確給出 $S_p$，依選項設計可判斷其 intended method 為「等變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定」。在此標準解讀下，正確選項為 A、B、C、D。

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選項分析

(A) 小樣本

正確。

核心觀念

本題考辨「獨立事件」與「互斥事件」的定義。

事件 $A$、$B$ 獨立，表示一事件是否發生不改變另一事件的機率，等價於：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

若 $P(A)>0$，也可寫成 $P(B\mid A)=P(B)$。

事件 $A$、$B$ 互斥，則表示兩事件不能同時發生，即：

$$A\cap B=\varnothing$$

因此，互斥關注的是「能否同時發生」；獨立關注的是「發生與否是否影響機率」。

解題方法

逐一對照選項與上述定義。涉及三個互斥事件時，若它們兩兩互斥，三事件的交集必為空集合，機率為 $0$。獨立事件則不能直接解讀為「沒有共同元素」。

選項分析

• (A) 錯誤。「沒有共同元素」表示 $A\cap B=\varnothing$，這是互斥的定義。獨立事件可以同時發生，例如擲兩次硬幣，第一次正面與第二次正面是獨立事件，兩者可以同時發生。

• **(B) 錯誤。**若 $A$、$B$ 獨立且 $P(A)>0$，正確關係是：

核心觀念

本題考查含截距之一元線性迴歸的 OLS 估計，以及殘差的基本性質。

主要公式如下：

$$\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$$

因為

$$\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0,$$

所以

$$\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})y_i.$$

截距估計值為

$$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}.$$

含截距的 OLS 迴歸具有兩個重要殘差性質：

$$\sum_{i=1}^n e_i=0, \qquad \sum_{i=1}^n x_i e_i=0.$$

解題方法

1. 求 $\hat{\beta}$

題目給定：

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=10$$

以及

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})y_i=20.$$

由於 $\sum (x_i-\bar{x})=0$，有

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})y_i =20.$$

因此

$$\hat{\beta} = \frac{20}{10} =2.$$

所以

$$\boxed{(2)=2}.$$

2. 求 $\hat{\alpha}$

利用

$$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x},$$

代入 $\bar{x}=2$、$\bar{y}=5$ 與 $\hat{\beta}=2$：

$$\hat{\alpha}=5-2(2)=1.$$

所以

$$\boxed{(1)=1}.$$

3. 求殘差平方平均

迴歸平方和為

$$SSR=\hat{\beta}S_{xy},$$

其中

$$S_{xy}=20.$$

因此

$$SSR=2(20)=40.$$

總平方和為

$$SST=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=50.$$

由平方和分解：

$$SST=SSR+SSE,$$

可得殘差平方和：

$$SSE=50-40=10.$$

又因為