109 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班甲組《個體經濟學》

本題考驗消費者預算線的變動。
原始預算線的方程式為 $p_x x + p_y y = I$。
當商品 x 和 y 的價格都加倍，且所得增加為三倍時，新的價格為 $2p_x$ 和 $2p_y$，新的所得為 $3I$。
新的預算線方程式為 $2p_x x + 2p_y y = 3I$。
為了比較斜率，我們將預算線改寫成 $y$ 對 $x$ 的形式：
原始預算線：$p_y y = I - p_x x \implies y = \frac{I}{p_y} - \frac{p_x}{p_y} x$。斜率為 $-\frac{p_x}{p_y}$。

本題考驗消費者效用函數的選擇。效用函數應反映消費者對商品 x（運動）的喜好程度以及對商品 y（功課）的厭惡程度。

• 商品 x (運動)： Jim 喜歡運動，所以運動量 x 越多，效用應該越高。
• 商品 y (功課)： Jim 討厭功課，所以功課量 y 越多，效用應該越低。

我們逐一檢視選項：

(A) $U(x,y) = x + y$
此效用函數假設 Jim 對運動和功課都是喜歡的（或至少是偏好的，不厭惡），因為 x 和 y 的係數都是正的。這不符合 Jim 討厭功課的描述。

(B) $U(x,y) = \frac{x}{y}$
在這個函數中，x 越多，效用越高；y 越多，效用越低。這符合 Jim 喜歡運動且討厭功課的特性。

本題考驗價格彈性（Price Elasticity of Demand）的計算。

價格彈性定義為：
$E_d = \frac{\%\Delta Q^d}{\%\Delta P} = \frac{\frac{\Delta Q^d}{Q}}{\frac{\Delta P}{P}} = \frac{\Delta Q^d}{\Delta P} \times \frac{P}{Q}$

給定的需求函數為 $Q = 40 - 2p$。
我們需要計算在 $p=5$ 時的價格彈性。

本題考驗列昂惕夫 (Leontief) 型效用函數下的消費者選擇，以及價格消費曲線 (Price Consumption Curve, PCC) 和所得消費曲線 (Income Consumption Curve, ICC) 的概念。

列昂惕夫效用函數 $U = \min\{2x, y\}$ 表示消費者需要以固定的比例 $y=2x$ 來消費商品 x 和 y 才能獲得滿足。這代表 x 和 y 是完全互補品，且最佳消費組合中，y 的數量是 x 的兩倍。

消費者的預算線為 $p_x x + p_y y = I$。
消費者會在預算線和 $y=2x$ 這條線上找到效用最大化的組合。由於 $y=2x$ 是固定比例的消費組合，這條線本身就是消費者的「擴張曲線」或「最佳反應路徑」。

• 價格消費曲線 (PCC)： 當其中一種商品（例如 $p_x$）的價格變動，而另一種商品 ($p_y$) 的價格和所得 ($I$) 保持不變時，消費者選擇的組合點連成的曲線。
• 所得消費曲線 (ICC)： 當所得 ($I$) 變動，而所有商品 ($p_x, p_y$) 的價格都保持不變時，消費者選擇的組合點連成的曲線。

本題考驗根據消費者的選擇來推斷其偏好（Revealed Preference Theory）。我們需要比較兩種情況下的消費選擇，並判斷是否能推斷出偏好關係。

情況一：
價格 $(p_x, p_y) = (2, 2)$
消費組合 A $(x_A, y_A) = (3, 3)$
在此情況下，Leo 選擇了組合 A。他花費的總金額為 $2 \times 3 + 2 \times 3 = 6 + 6 = 12$。
由於他的預算線是 $2x + 2y = 12$，他也可以負擔組合 B $(x_B, y_B) = (2, 1)$，因為 $2 \times 2 + 2 \times 1 = 4 + 2 = 6 \le 12$。
因為 Leo 在有能力購買組合 B 的情況下，選擇了組合 A，根據弱化公理 (Weak Axiom of Revealed Preference, WARP)，這意味著 Leo 至少認為組合 A 不劣於 組合 B (A $\succsim$ B)。

本題考驗消費者跨期選擇問題，涉及動態規劃和預算約束。Jenny 的效用函數是標準的柯布-道格拉斯形式，表示她對兩期的消費都有偏好，且兩期消費是互補的。

1. 建立跨期預算約束：
Jenny 的總所得是兩期所得的現值。
第一期所得 $I_1 = 100$
第二期所得 $I_2 = 110$
市場利率 $r = 20\% = 0.2$

Jenny 可以選擇在第一期消費 $x_1$ 並儲蓄或借款，然後在第二期消費 $x_2$。
第一期消費後剩餘的金額（儲蓄）為 $S = I_1 - x_1 = 100 - x_1$。
如果 $S > 0$，則這筆儲蓄在第二期將變成 $S(1+r) = (100 - x_1)(1.2)$。
如果 $S < 0$，則 Jenny 在第一期借款 $|S| = x_1 - 100$。這筆借款在第二期需要償還的金額為 $(x_1 - 100)(1+r) = (x_1 - 100)(1.2)$。

因此，第二期的總消費 $x_2$ 可以寫成：
$x_2 = I_2 + S(1+r) = I_2 + (I_1 - x_1)(1+r)$
$x_2 = 110 + (100 - x_1)(1.2)$
$x_2 = 110 + 120 - 1.2x_1$
$x_2 = 230 - 1.2x_1$

這條線是 Jenny 的跨期預算線。她可以在這條線上選擇 $(x_1, x_2)$ 的組合來最大化她的效用 $U = x_1^{1/2}x_2^{1/2}$。

2. 最大化效用：
我們可以使用拉格朗日乘數法或邊際替代率等於價格比率來求解。
效用函數 $U = x_1^{1/2}x_2^{1/2}$ 的邊際效用分別為：
$MU_1 = \frac{\partial U}{\partial x_1} = \frac{1}{2} x_1^{-1/2} x_2^{1/2}$
$MU_2 = \frac{\partial U}{\partial x_2} = \frac{1}{2} x_1^{1/2} x_2^{-1/2}$

MRS (Marginal Rate of Substitution) 為：
$MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\frac{1}{2} x_1^{-1/2} x_2^{1/2}}{\frac{1}{2} x_1^{1/2} x_2^{-1/2}} = \frac{x_2}{x_1}$

跨期預算線的斜率是 $-\frac{p_1}{p_2}$。在這裡，$p_1$ 是第一期消費的「價格」，$p_2$ 是第二期消費的「價格」。
從預算線 $x_2 = 230 - 1.2x_1$ 可以看出，斜率是 $-1.2$。

核心觀念

本題考的是價格變動下的補償變量（Compensating Variation, $CV$）與等價變量（Equivalent Variation, $EV$）。

設價格由 $p$ 變為 $p'$，原效用為 $u_0$，新效用為 $u_1$，支出函數為 $e(p,u)$，則：

因此，$CV=EV$ 的關鍵條件是：

也就是支出函數中，與價格 $p_1$ 有關的部分不能影響不同效用水準之間的支出差額。

這正是「準線性效用函數」（quasilinear utility）的特性。若效用函數為

則 $y$ 是線性貨幣效用，所得效果消失，$CV$ 與 $EV$ 相等。

解題方法

逐一求各效用函數的支出函數，判斷不同效用水準間的支出差額是否會受到 $p_1$ 影響。

選項（B）：$U=\sqrt{x}+y$

此效用函數可寫成：

其中 $v(x)=\sqrt{x}$，因此它是準線性效用函數。

以 $p_2$ 表示商品 $y$ 的價格，消費者選擇 $x,y$ 以最小化支出：

限制條件為：

內點解下，切線條件為：

所以：

又因為：

代入支出函數：

因此：

其中 $c(p_1,p_2)$ 與效用水準 $u$ 無關。故：

本題考驗供給的完全無彈性 (Perfectly Inelastic Supply) 的概念。

當供給完全無彈性時，表示無論價格如何變動，供給的數量都是固定的。這意味著供給曲線是垂直線。

我們來分析各選項：

(A) The supply curve is horizontal.
水平的供給曲線表示供給是完全有彈性的 (Perfectly Elastic Supply)，即價格不變，供給量可以無限變動。這與完全無彈性相反。所以此選項錯誤。

(B) The equilibrium quantity is independent of the price.
當供給完全無彈性時，供給曲線是一條垂直線，假設供給量為 $Q_s = \bar{Q}$。
市場均衡發生在供給曲線與需求曲線的交點。
均衡價格 $P_e$ 取決於需求曲線的位置，但均衡數量 $Q_e$ 永遠等於 $\bar{Q}$。
因此，均衡數量 $Q_e$ 是固定的，不受價格 $P_e$ 的影響。這句話是正確的。

(C) An increase in demand will change the equilibrium quantity but not the price.

本題考驗廠商利潤最大化的問題。廠商的目標是在給定生產函數、產出價格和要素價格的情況下，選擇要素投入量以最大化利潤。

1. 建立利潤函數：
利潤 $\pi$ 等於總收益 (Total Revenue, TR) 減去總成本 (Total Cost, TC)。
總收益 $TR = p_y \cdot y$
總成本 $TC = p_x \cdot x$ (假設只有一種投入要素 x)

生產函數為 $y = 2x^{1/2}$。
從生產函數可以得到投入要素 x 和產出 y 的關係。為了計算利潤，我們需要將利潤函數表示成關於單一變數（投入 x 或產出 y）的函數。通常，將利潤表示為關於投入要素的函數比較直接。

將生產函數改寫成 $x$ 的形式：
$y = 2x^{1/2}$
$\frac{y}{2} = x^{1/2}$
$x = (\frac{y}{2})^2 = \frac{y^2}{4}$

現在，我們將 $x$ 表達式代入總成本：
$TC = p_x \cdot x = 2 \cdot \frac{y^2}{4} = \frac{y^2}{2}$

利潤函數 $\pi$ 表示為關於產出 y 的函數：
$\pi(y) = TR - TC = p_y \cdot y - \frac{y^2}{2}$
$\pi(y) = 10y - \frac{y^2}{2}$

2. 最大化利潤：
為了找到最大化利潤的產出水平，我們對利潤函數 $\pi(y)$ 對 $y$ 求一階導數，並令其等於零。
$\frac{d\pi}{dy} = \frac{d}{dy}(10y - \frac{y^2}{2}) = 10 - \frac{2y}{2} = 10 - y$

令一階導數等於零：
$10 - y = 0$
$y = 10$

這是最大化利潤的產出水平。

本題考驗成本函數的基本概念。我們需要逐一檢視各個敘述是否正確。

基本成本函數定義：

• 總成本 (TC) = 總固定成本 (TFC) + 總變動成本 (TVC)
• 平均總成本 (ATC) = TC / Q = AFC + AVC
• 平均固定成本 (AFC) = TFC / Q
• 平均變動成本 (AVC) = TVC / Q
• 邊際成本 (MC) = $\Delta$TC / $\Delta$Q (或 dTC/dQ)

分析各選項：

(A) The average fixed cost does not change with the quantity of output.
平均固定成本 (AFC) 的定義是 $AFC = TFC / Q$。
由於總固定成本 (TFC) 是固定不變的，隨著產量 Q 的增加，AFC 會持續下降。
例如，如果 TFC = 100，當 Q=10 時，AFC=10；當 Q=20 時，AFC=5。
因此，AFC 會隨著產量增加而下降，它不是不變的。此敘述是錯誤的。

(B) The difference between the average cost and the average variable cost is the marginal cost.
平均總成本 (ATC) 和平均變動成本 (AVC) 的關係是：
ATC = AFC + AVC
所以，ATC - AVC = AFC。
平均固定成本 (AFC) 是平均總成本和平均變動成本之間的差額，而不是邊際成本 (MC)。
邊際成本 (MC) 是總成本或總變動成本隨產量增加一個單位的變動量。此敘述是錯誤的。

(C) If the marginal cost is greater than the average variable cost, the average cost will be decreasing with an increase in the quantity of output.
這句話混淆了邊際成本與平均變動成本、平均總成本的關係。
我們知道：

• 當 MC < AVC 時，AVC 下降。
• 當 MC > AVC 時，AVC 上升。
• 當 MC < ATC 時，ATC 下降。
• 當 MC > ATC 時，ATC 上升。

這句話提到 MC > AVC。當 MC > AVC 時，AVC 會上升。
然而，它說 ATC 會下降。這不一定正確。
例如，MC 可能大於 AVC，但仍然小於 ATC，此時 ATC 會下降。
但若 MC 同時也大於 ATC，則 ATC 會上升。
舉例：

本題考驗工會對勞動市場的影響，特別是當工會成功減少勞動力供給時。我們假設勞動市場是競爭性的，勞動需求曲線由廠商的邊際生產力決定。

1. 市場模型：

• 勞動供給 (Labor Supply, $L_S$)： 工會的目標是減少勞動供給。在競爭性勞動市場中，勞動供給曲線通常是向上傾斜的，表示隨著工資率的提高，願意工作的勞動者數量增加。工會透過某些手段（如限制會員資格、罷工等）來使供給曲線向左移動（減少供給）。
• 勞動需求 (Labor Demand, $L_D$)： 廠商對勞動的需求曲線通常是向下傾斜的，表示隨著工資率的提高，廠商僱用的勞動數量減少。這取決於勞動的邊際生產力 (Marginal Product of Labor, MPL) 和邊際收益生產力 (Marginal Revenue Product of Labor, MRPL = $MPL \times P$)。題目假設工會無法影響勞動需求，意味著需求曲線的位置和斜率保持不變。

2. 工會的作用：
工會成功地減少了勞動供給。這意味著在任何給定的工資率下，願意工作的勞動者人數都減少了。在圖形上，這表現為勞動供給曲線向左移動（或向上移動，取決於橫軸和縱軸的設定，但意涵是供給減少）。

3. 均衡分析：
我們將分析工會行動前後的均衡點。

• 初始均衡： 勞動供給曲線 ($L_S^1$) 與勞動需求曲線 ($L_D$) 相交於一點，確定了初始的均衡工資率 ($W_1$) 和均衡僱用量 (

核心觀念

本題考「工會如何增加會員勞動需求」。廠商對勞動的需求是衍生需求，取決於勞動所生產商品的需求，以及勞動的邊際生產力。

勞動的邊際收益產品為：

其中：

• $P$：產品價格；
• $MP_L$：勞動的邊際產量。

若工會能提高會員所生產商品的需求、提高會員的生產力，或使替代性勞工的成本上升，就能提高對工會會員勞動的需求。

解題方法

逐一判斷各選項是否能使工會會員的勞動邊際收益產品提高，或使會員相對於其他勞工更具吸引力。

本題中，支持最低工資法可能提高非工會勞工的工資，使非工會勞工的雇用成本上升。若工會會員與非工會勞工具有替代性，廠商會增加對工會會員的需求，因為工會會員相對變得較便宜或較具競爭力。

因此，支持最低工資法是工會增加會員勞動需求的方法。

選項分析

(A) Decrease the marginal product of union members.

錯誤。

工會若使會員的邊際生產力下降，則：

中的 $MP_L$ 下降，導致勞動的邊際收益產品下降。廠商願意支付的工資與雇用數量都可能降低，對工會會員的勞動需求反而減少。

因此，工會應設法提高而非降低會員的邊際生產力。

(B) Support minimum wage laws.

正確。

核心觀念

本題考察完全競爭勞動市場與買方獨占（monopsony）的均衡判定：

• 買方獨占廠商選擇 $MCL=D$ 的勞動數量。
• 再由勞動供給曲線 $S$ 決定實際支付工資。
• 完全競爭均衡則由 $S=D$ 決定。
• 買方獨占下，適當的最低工資可能提高雇用量。

解題方法

由圖可讀得：

1. $MCL$ 與勞動需求曲線 $D$ 相交於：

因此，買方獨占廠商雇用 $100$ 小時勞動。

2. 雇用 $100$ 小時時，必須依勞動供給曲線 $S$ 支付工資。由圖可知：

所以買方獨占工資為 $6$ 美元。

3. 完全競爭均衡由 $S$ 與 $D$ 的交點決定：

本題考驗風險態度的判斷以及期望效用的計算。Mel 的效用函數是關於財富的，我們可以從給定的數據中判斷他的風險態度。

1. 判斷 Mel 的風險態度：
我們有三個點的效用數據：

• $W=3000 \implies U=130$
• $W=5000 \implies U=160$
• $W=9000 \implies U=190$

我們需要計算在 $W=3000$ 和 $W=5000$ 之間的邊際效用，以及在 $W=5000$ 和 $W=9000$ 之間的邊際效用。

• 從 $3000 到$5000：
  財富增加 $5000 - 3000 = 2000$。
  效用增加 $160 - 130 = 30$。
  平均邊際效用 $\approx \frac{30}{2000} = 0.015$。

• 從 $5000 到$9000：
  財富增加 $9000 - 5000 = 4000$。
  效用增加 $190 - 160 = 30$。
  平均邊際效用 $\approx \frac{30}{4000} = 0.0075$。

由於隨著財富的增加，邊際效用遞減（從 0.015 降到 0.0075），Mel 是一個風險厭惡者 (Risk Averse)。

本題考驗風險厭惡者購買保險的決策。保險的價格是保險費，而保險提供的保障是補償損失。最大願意支付的保險費，等於保險所能帶來的期望效用，與沒有保險情況下的期望效用之間的差額。更簡單地說，最大願意支付的保險費，是使購買保險後的確定性財富所帶來的效用，等於沒有保險情況下的期望效用時，他所支付的保險費。

1. 分析 Dane 的情況：

• 無保險情況下的期望效用：

  • 正常情況：財富為 $20,000，效用為$U(20000) = 80$。
  • 事故情況：財富變為 $0$（車子損失），效用為 $U(0) = 0$。
  • 事故發生機率為 5% (0.05)。
  • 正常情況發生機率為 95% (0.95)。
  • 期望效用 $EU_{\text{no insurance}} = 0.95 \times U(20000) + 0.05 \times U(0)$
  • $EU_{\text{no insurance}} = 0.95 \times 80 + 0.05 \times 0 = 76$。

• 保險的作用：
  假設 Dane 購買保險，支付保險費 $P_{ins}$。
  保險補償損失。如果發生事故，保險會賠償他損失的價值，即 $20,000。 **保險的目標是將他的財富變成確定值。** 如果 Dane 購買了保險，他將支付保險費$P_{ins}$。

本題考驗保險公司在風險中立假設下的定價，以及消費者（Anna）的風險態度。保險公司為了能夠提供保險，至少需要收取足夠的保費來覆蓋其預期賠付額。

1. 分析 Anna 的情況：

• 初始財富： Anna 的全部財富 $100,000$ 用於建造海灘房屋。
• 風險： 有 10% (0.1) 的機率房屋被颱風摧毀（財富變為 $0$）。
• 正常情況： 90% (0.9) 的機率房屋完好無損。
• 效用表：

  Wealth (dollars)	Total utility
  0	0
  20,000	200
  40,000	245
  60,000	270
  80,000	287
  100,000	300

2. 計算 Anna 沒有保險時的期望效用：
在沒有保險的情況下，Anna 的財富是 $100,000$（房屋完好）或 $0$（房屋被毀）。

• 沒有事故時的效用：$U(100,000) = 300$
• 事故時的效用：$U(0) = 0$
• 事故機率：10% (0.1)
• 正常機率：90% (0.9)
• 期望效用 $EU_{\text{no insurance}} = 0.9 \times U(100,000) + 0.1 \times U(0)$
• $EU_{\text{no insurance}} = 0.9 \times 300 + 0.1 \times 0 = 270$。

3. 保險公司最低要求支付的保費：
保險公司要能夠盈利（或至少不虧損），其收取的總保費必須等於其預期的賠付額。
保險公司提供一個保險單，如果房屋被毀，賠付 $100,000$。
假設 Anna 購買了這個保險，支付了保險費 $P_{ins}$。

• 購買保險後的財富狀態：
  • 正常情況（無事故）： Anna 原有 $100,000$ 的房屋，沒有被毀。她支付了保險費 $P_{ins}$。所以她的財富是 $100,000 - P_{ins}$。
  • 事故情況（房屋被毀）： Anna 原有 $100,000$ 的房屋，被毀，價值變為 $0$。保險公司賠付 $100,000$。她支付了保險費 $P_{ins}$。所以她的最終財富是 $0 + 100,000 - P_{ins} = 100,000 - P_{ins}$。

本題是緊接上一題，考驗消費者（Anna）最大願意支付的保險費。

1. 回顧 Anna 的情況：

• 初始財富（房屋價值）：$100,000$。
• 風險：10% 機率房屋被毀（財富為 $0$），90% 機率房屋完好（財富為 $100,000$）。
• 效用表：

  Wealth (dollars)	Total utility
  0	0
  20,000	200
  40,000	245
  60,000	270
  80,000	287
  100,000	300

• 保險賠付：若房屋被毀，保險賠付 $100,000$。

2. 計算 Anna 沒有保險時的期望效用：
如上一題計算：
$EU_{\text{no insurance}} = 0.9 \times U(100,000) + 0.1 \times U(0)$
$EU_{\text{no insurance}} = 0.9 \times 300 + 0.1 \times 0 = 270$。

核心觀念

本題考的是「資訊不對稱」下，買方對純經驗財（pure experience goods）的評價方式。

二手車在購買前無法辨識品質，且市場沒有保固等訊號，因此買方不能分辨 peaches 與 lemons，只能依據市場中各類車的比例，計算一輛隨機二手車的期望價值：

其中：

• peaches 價值為 $10{,}000$ 美元，比例為 $\frac34$
• lemons 價值為 $6{,}000$ 美元，比例為 $\frac14$

解題方法

在沒有訊號的市場中，買方以平均品質作為願付價格的基礎。因此，市場中車輛的平均價值為：

因此，平均價值為 $9{,}000$ 美元，選擇 (C)。

選項分析

核心觀念

本題考查完全競爭廠商的短期停工決策，以及平均變動成本（Average Variable Cost, $AVC$）與邊際成本（Marginal Cost, $MC$）的關係。

完全競爭廠商若生產正產量 $q>0$，其利潤極大化條件為：

短期停工條件為：

因此，廠商生產正產量時，只能確定：

但不能直接推出嚴格不等式 $P>AVC(q)$。

解題方法

判斷選項中的「ALWAYS true」是否成立，關鍵在於檢查停工臨界點。

若：

廠商會選擇正產量，且在正常的向上傾斜 $MC$ 曲線上，通常有：

所以：

然而，當市場價格恰好等於平均變動成本的最低點時：

此時廠商可能選擇一個正產量 $q^*$，滿足：

廠商生產 $q^*$ 與停工生產 $0$ 的利潤相同，均為固定成本的負值。因此，「廠商生產一些產量」並不能排除這個臨界情況。

選項分析

本題考驗獨占 (Monopoly) 市場的特徵。我們需要識別出獨占市場獨有的特性。

獨占市場的定義與特徵：
獨占市場是指只有一個生產者（廠商）在市場上提供某種商品或服務，並且該商品或服務沒有緊密的替代品。

我們來分析各選項：

(A) The firm faces competition from a few other firms.
這是寡占 (Oligopoly) 市場的特徵，而不是獨占。獨占廠商面對的是零競爭者。此選項錯誤。

(B) The firm produces a product that has many close substitutes.
如果產品有許多緊密的替代品，那麼廠商將面臨較大的競爭壓力，這與獨占的定義（沒有緊密的替代品）相悖。這更像是完全競爭或壟斷競爭的特徵。此選項錯誤。

本題考驗形成獨占 (Monopoly) 的原因。獨占的形成通常是因為存在進入壁壘 (Barriers to Entry)。我們需要識別哪些因素可以構成進入壁壘。

分析各項因素：

I. high prices (高價格)
高價格本身並不是形成獨占的原因，而是獨占廠商可能採取的定價策略。高價格是獨占的結果，而不是原因。如果一個市場存在高價格，反而可能吸引新的廠商進入（如果沒有進入壁壘）。因此，高價格不能構成進入壁壘。此項錯誤。

II. public franchise (公共特許)
公共特許是指政府授予特定企業在特定區域內獨家提供某項公共服務（如電力、供水、郵政）的權利。這構成了一個法律上的進入壁壘，阻止其他廠商進入，從而創造了獨占。此項正確。

核心觀念

完全價格歧視（perfect price discrimination）下，廠商能向每位消費者收取其最高願付價格，因此：

• 邊際收益曲線等於需求曲線。
• 生產量決定於需求價格等於邊際成本，即 $P=MC$。
• 消費者剩餘全部被廠商轉化為利潤。

解題方法

由圖可知：

• 需求曲線由 $(Q=0,P=60)$ 下降至 $(Q=30,P=0)$。
• $MC=ATC=20$。
• 需求曲線與 $MC=20$ 的交點為 $Q=20$。

因此，完全價格歧視下的最適產量為 $20$ 單位。

每單位產品的願付價格高於邊際成本所形成的利潤，是需求曲線與 $MC$ 之間的面積：

也可用總收益減總成本表示：

本題考驗單一價格獨占者 (Single-Price Monopolist) 的定價行為。獨占者面對的是向下傾斜的需求曲線。

獨占者的定價與銷售行為：
獨占者為了增加銷售量，必須降低價格。這是因為整個市場的需求曲線是向下傾斜的。

• 如果獨占者想賣出第 Q+1 單位，它需要將價格從 $P_Q$ 降低到 $P_{Q+1}$。
• 這意味著，為了賣出多一單位，它必須將所有 Q 單位以及新增的第 Q+1 單位，都以新的較低價格 $P_{Q+1}$ 來出售。

分析各選項：
(A) lower the price on just the last unit sold.
這是不可能的。獨占者設定的是單一價格。

本題考驗壟斷性競爭 (Monopolistic Competition) 市場結構與完全競爭 (Perfect Competition) 市場結構的區別。

完全競爭市場的特徵：

1. 眾多買者和賣者 (many sellers and buyers)。
2. 產品同質 (homogeneous product)。
3. 自由進入和退出 (free entry and exit)，無進入壁壘。
4. 資訊完全 (perfect information)。

壟斷性競爭市場的特徵：

1. 眾多賣者 (many sellers)，但比完全競爭少。
2. 產品差異化 (product differentiation)，產品之間存在差異，但彼此是緊密替代品。
3. 相對自由的進入和退出 (relatively free entry and exit)，進入壁壘較低。
4. 廠商之間存在一定的相互影響，但不如寡占明顯。

分析各選項：

本題考驗賽局理論中「福利定理」(Folk Theorems) 的核心訊息。福利定理主要討論在重複賽局 (Repeated Games) 中，非 Nash 均衡的合作結果是否能夠實現。

重複賽局與福利定理：
在重複賽局中，參與者會根據過去的互動來決定未來的策略。這使得合作行為（即使對單一方來說不是即時的最優選擇）有可能透過威脅或承諾來維持。
福利定理的核心思想是：在無限重複賽局或無限重複期的有限賽局中，只要參與者對未來的重視程度足夠高（即貼現因子 $\delta$ 夠大），那麼任何「可支付的」和「嚴格優於」對應 Nash 均衡的結果，都可以透過適當的策略（如「觸發策略」Trigger Strategy）來維持為一個賽局的均衡。

分析各選項：

(A) Nash equilibria may not be sustainable over many replications of a game.
這是福利定理的反論。福利定理恰恰說明了，透過重複博弈和懲罰機制，很多非 Nash 均衡的合作結果（通常比 Nash 均衡的支付更高）是可以維持的。所以此選項錯誤。

本題考驗古諾模型 (Cournot Model) 中的 Nash 均衡分析。在古諾模型中，廠商同時決定其產量，並假設對手的產量是固定的。

1. 設定模型：

• 市場需求函數 (逆需求函數)：$p = 100 - q_1 - q_2$
• 兩種產品，q₁ 和 q₂，是同質的。
• 沒有生產成本，即邊際成本 MC = 0。

2. 廠商 1 的利潤函數：
廠商 1 的利潤 $\pi_1$ 等於其總收益 (TR₁) 減去總成本 (TC₁)。
$TR_1 = p \cdot q_1 = (100 - q_1 - q_2) q_1 = 100q_1 - q_1^2 - q_1 q_2$
由於 TC₁ = 0，利潤函數為：
$\pi_1(q_1, q_2) = 100q_1 - q_1^2 - q_1 q_2$

3. 廠商 1 的反應函數 (Reaction Function)：
廠商 1 為了最大化利潤，會選擇 $q_1$，假設 $q_2$ 是固定的。對 $\pi_1$ 對 $q_1$ 求一階導數，並令其等於零。
$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 100 - 2q_1 - q_2 = 0$
$2q_1 = 100 - q_2$
$q_1 = 50 - \frac{1}{2}q_2$
這是廠商 1 的反應函數。它表示在給定廠商 2 的產量 $q_2$ 的情況下，廠商 1 的最优產量 $q_1$。

4. 廠商 2 的反應函數：
由於市場是對稱的（產品同質，成本相同），廠商 2 的反應函數與廠商 1 的形式相同。
$\pi_2(q_1, q_2) = p \cdot q_2 = (100 - q_1 - q_2) q_2 = 100q_2 - q_1 q_2 - q_2^2$

本題考驗古諾模型 (Cournot Model) 在序列決策下的子賽局完美 Nash 均衡 (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE)。這是一種 Stackelberg 模型，其中一個廠商（領導者）先行動，另一個廠商（追隨者）在觀察到領導者的行動後再行動。

1. 設定模型：

• 逆需求函數：$p = 100 - q_1 - q_2$
• 沒有生產成本，MC = 0。
• Firm 1 是領導者，先決定 $q_1$。
• Firm 2 是追隨者，在觀察到 $q_1$ 後決定 $q_2$。

2. 追隨者 (Firm 2) 的決策：
Firm 2 作為追隨者，其目標是最大化利潤，同時知道 Firm 1 已經決定了 $q_1$。Firm 2 的利潤函數與古諾模型中的相同，但現在 $q_1$ 被視為一個給定值：
$\pi_2(q_1, q_2) = p \cdot q_2 = (100 - q_1 - q_2) q_2 = 100q_2 - q_1 q_2 - q_2^2$
Firm 2 最大化其利潤對 $q_2$ 求一階導數，並令其等於零：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 100 - q_1 - 2q_2 = 0$
$2q_2 = 100 - q_1$
$q_2 = 50 - \frac{1}{2}q_1$
這是 Firm 2 的反應函數。它表示 Firm 2 在給定 Firm 1 的產量 $q_1$ 下的最優產量 $q_2$。

3. 領導者 (Firm 1) 的決策：
Firm 1 作為領導者，它知道 Firm 2 會如何反應（根據 Firm 2 的反應函數）。Firm 1 在決定其產量 $q_1$ 時，會將 Firm 2 的反應考慮在內。Firm 1 的目標是最大化其利潤 $\pi_1$，其中 $q_2$ 是 Firm 2 的反應函數。
$\pi_1(q_1, q_2) = p \cdot q_1 = (100 - q_1 - q_2) q_1$

本題考驗賽局理論中「觸發策略」(Trigger Strategy) 的定義。觸發策略是一種在重複賽局 (Repeated Games) 中常用的策略，用於維持合作行為。

觸發策略的核心思想是：參與者在開始時採取合作行為，並持續合作，只要對手也持續合作。一旦對手採取了背叛（或稱「欺騙」）行為，該參與者就會永久地轉為採取背叛行為。

我們來分析各選項：

(A) cooperates in the current period if the other player cooperated in the previous period, but cheats in the current period only if the other player cheated in the previous period.
這個描述不完全是觸發策略。它表示如果對手合作，我就合作；但如果對手背叛，我也只在對手背叛時才背叛。這更像是一種「tit-for-tat」（以牙還牙）的策略，但「only if」的條件限制了它。觸發策略通常是永久性地轉為背叛。

(B) cheats in the current period if the other player cooperated in the previous period, but cooperates in the current period if the other player cheated in the previous period.
這個策略是「以德報怨」，與觸發策略或 tit-for-tat 完全相反。

本題考驗壟斷性競爭 (Monopolistic Competition) 市場的長期均衡。我們需要根據圖示分析該市場的短期狀況，並推斷其長期演變。

1. 分析圖示：
圖中顯示了一家壟斷性競爭廠商的短期狀況：

• D (Demand Curve)： 廠商面對的需求曲線，是向下傾斜的，表明廠商具有一定的市場力量。
• MR (Marginal Revenue Curve)： 邊際收益曲線，位於 D 曲線下方。
• MC (Marginal Cost Curve)： 邊際成本曲線，向上傾斜。
• ATC (Average Total Cost Curve)： 平均總成本曲線，呈 U 型。

從圖中可以看出：

• 廠商選擇產量 $Q$ 使得 $MR = MC$。
• 在此產量 $Q$ 下，對應的價格 $P$ 由需求曲線 D 決定。
• 在 $Q$ 處，價格 $P$ 高於平均總成本 $ATC$ ($P > ATC$)。

2. 短期狀況：
由於 $P > ATC$，廠商在此短期均衡點上獲得了正的經濟利潤。

3. 長期均衡的調整：
在壟斷性競爭市場中，如果存在正的經濟利潤，這會吸引新的廠商進入市場。

• 進入行為： 新廠商的進入會導致：
  • 對現有廠商的需求曲線 D 向左移動（因為市場總需求被分散到更多廠商）。
  • 廠商面對的需求曲線變得更具彈性（因為有更多替代品）。
• 結果： 隨著廠商數量的增加和需求曲線的左移，現有廠商的價格 P 和利潤都會下降。

4. 長期均衡的條件：
壟斷性競爭市場的長期均衡條件是：

• 廠商選擇產量 $Q^*$ 使得 $MR = MC$。
• 在此產量 $Q^*$ 下，價格 $P^*$ 由需求曲線 D 決定，且 $P^* = ATC$。

本題考驗外部性 (Externality) 問題，特別是負外部性（污染）對市場效率的影響，以及科斯定理 (Coase Theorem) 的應用。

1. 理解圖示：

• MC (Private Marginal Cost)： 化學工廠生產化學品時的私人邊際成本。
• MSC (Marginal Social Cost)： 社會總邊際成本，等於私人邊際成本加上外部成本（污染對漁業造成的損害）。MSC > MC。
• MSB (Marginal Social Benefit) / D (Demand)： 社會總邊際效益，代表生產化學品的總效益（包括對化工廠的效益和對漁業的效益，但圖示中 D=MSB 表示的是化工廠的私人邊際效益）。
• 圖示顯示，MSC 曲線在 MC 曲線上方，表示存在負外部性。
• MSB (D) 曲線與 MC 曲線的交點決定了私人市場的產量。
• MSC 曲線與 MSB (D) 曲線的交點決定了社會最优的產量。

2. 分析圖示中的關鍵點：

• MC 與 D (MSB) 的交點：約在 Q=4 噸。此時 $P=MC \approx 20$。這是私人市場的產量。
• MSC 與 D (MSB) 的交點：約在 Q=2 噸。此時 $P=MSC \approx 30$。這是社會最优的產量。
• MSC 曲線似乎是 MC 曲線上方的一條平行線，如果 MC 曲線是水平的。但 MC 曲線是向上傾斜的。MSC 似乎是 MC 加上一個固定的外部成本。
• 從圖上看，MC 曲線似乎經過 (0, 10) 和 (12, 40)。斜率 $(40-10)/(12-0) = 30/12 = 2.5$。$MC(Q) = 10 + 2.5Q$。
• D (MSB) 曲線似乎經過 (0, 30) 和 (12, 30)。這是一條水平線 $D=MSB=30$。
• MSC 曲線：如果外部成本是固定的，MSC = MC + External Cost。
  如果 $D=MSB=30$ 是水平的，那麼私人市場的均衡是 $MC=D$，即 $10 + 2.5Q = 30 \implies 2.5Q = 20 \implies Q=8$。
  但是圖示顯示 MC 和 D 的交點在 Q=4。這意味著 D 曲線不是水平線。

重新解讀圖示：

• MC 曲線：經過 (0, 10) 和 (12, 40)。斜率 2.5。$MC(Q) = 10 + 2.5Q$。
• D (MSB) 曲線：經過 (0, 30) 和 (12, 20)。斜率 $(20-30)/(12-0) = -10/12 = -5/6$。$D(Q) = 30 - \frac{5}{6}Q$。
• MSC 曲線：MSC = MC + External Cost。
  私人均衡：MC = D。$10 + 2.5Q = 30 - \frac{5}{6}Q$。
  $2.5Q + \frac{5}{6}Q = 20$。
  $(\frac{5}{2} + \frac{5}{6})Q = 20$。
  $(\frac{15+5}{6})Q = 20$。
  $\frac{20}{6}Q = 20$。
  $Q = 6$。
  此時 $P = 30 - \frac{5}{6}(6) = 30 - 5 = 25$。
  MC 在 Q=6 時，$MC = 10 + 2.5(6) = 10 + 15 = 25$。

核心觀念

效用函數為 $U=\min\{4x,2y\}+z$。其中 $\min\{4x,2y\}$ 是固定比例的互補品效用：若 $4x\neq 2y$，較多的那種商品不會提高這部分效用。因此，消費者會令兩者相等：

此外，$z$ 每增加一單位，效用增加一單位。比較固定比例商品組合與 $z$ 的每單位效用成本，就能決定所得應如何分配。

解題方法

令固定比例組合所帶來的效用為 $t=\min\{4x,2y\}$。在有效率的消費組合中，$4x=2y=t$，所以

取得 $t$ 單位的固定比例組合，所需支出為

核心觀念

本題考的是期望效用：面對有風險的選擇時，先計算各種結果的效用，再依其發生機率加權平均。Lucy 的效用函數是 $U(m)=\sqrt{m}$，其中 $m$ 為最終所得。

比較時，必須把「不下注」的效用與「下注後的期望效用」放在同一基準上。Lucy 會接受賭局的條件是下注的期望效用至少不低於不下注的效用。

解題方法

不下注時，Lucy 保有 $100，效用為

下注後有兩種結果：

• 以 $50\%$ 機率輸掉 $100，最終所得為 $0$，效用為 $U(0)=0$。
• 以 $50\%$ 機率贏得賭局，最終所得為 $x$，效用為 $U(x)=\sqrt{x}$。

因此，下注的期望效用為

核心觀念

效用函數 $U=x^{1/3}y^{2/3}$ 屬於 Cobb–Douglas 型。對於 $U=x^\alpha y^\beta$，在預算限制下，商品 $x$ 的支出占所得比例為 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$。本題 $\alpha+\beta=1$，因此消費者將所得的 $\frac13$ 用於購買 $x$。

Engel 曲線描述所得 $m$ 與商品需求量 $x$ 的關係。題目指定 $x$ 在水平軸，故縱軸為所得 $m$，曲線斜率應為 $\frac{dm}{dx}$。

解題方法

極大化效用等同於極大化其對數：

建立拉格朗日函數：

一階條件為：

兩式相除，可得：

核心觀念

本題考查單位貨物稅造成的無謂損失（deadweight loss, DWL）。課稅後，消費者支付價格高於生產者實收價格，兩者差額就是每單位稅額；稅負使交易量減少，原本可由買賣雙方分享、但課稅後未能實現的交易利益形成無謂損失。

線性供需曲線下，無謂損失為稅額與交易量減少幅度所形成的三角形面積：

解題方法

先求未課稅時的均衡交易量。令需求價格等於供給價格：

核心觀念

這題考的是廠商在給定產量下的成本最小化。成本最小的內部解符合切線條件：

其中 $MP_i$ 是第 $i$ 種投入的邊際產量，$w_i$ 是其價格。左側是兩種投入的邊際技術替代率，右側是投入的相對價格。