114 年 國立中正大學經濟學系國際經濟學碩士班甲組《經濟學》

核心觀念

完全替代商品的效用可寫成兩商品數量的線性加總，例如 $U=X_1+X_2$；兩者間的邊際替代率固定。完全互補商品的效用則呈現「取較小者」的形式，例如 $U=\min(A,X_3)$；效用取決於兩部分中較不足的一方。

本題可先把 $X_1+X_2$ 視為一個合成項，再與 $X_3$ 比較。

解題方法

效用函數為

$$U=\min(X_1+X_2,\ X_3)$$

首先，$X_1$ 與 $X_2$ 以加總形式 $X_1+X_2$ 出現。增加一單位 $X_1$ 與增加一單位 $X_2$ 對這個加總的效果相同，因此兩者為完全替代商品。

其次，合成項 $X_1+X_2$ 與 $X_3$ 位於 $\min(\cdot)$ 的兩側。要提高效用，兩側都必須提高；若其中一側高於另一側，較高的一側增加並不會提高效用。兩側相等時形成折角，呈現完全互補的特性。

此題考驗消費者理論中的效用最大化問題，需要利用預算約束和邊際效用相等來求解。

消費者的效用函數為 $U(X_1, X_2) = X_1 + 2X_2^{1/2}$。
預算約束式為 $P_1 X_1 + P_2 X_2 = I$，其中 $P_1=1$, $P_2=1$, $I=4$。
所以預算約束式為 $X_1 + X_2 = 4$。

效用最大化條件為邊際效用比等於價格比：
$\frac{MU_{X_1}}{MU_{X_2}} = \frac{P_1}{P_2}$

計算邊際效用：
$MU_{X_1} = \frac{\partial U}{\partial X_1} = 1$
$MU_{X_2} = \frac{\partial U}{\partial X_2} = 2 \times \frac{1}{2} X_2^{-1/2} = X_2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{X_2}}$

將邊際效用代入效用最大化條件：
$\frac{1}{1/\sqrt{X_2}} = \frac{1}{1}$
$\sqrt{X_2} = 1$
$X_2 = 1^2 = 1$

將 $X_2=1$ 代入預算約束式 $X_1 + X_2 = 4$：
$X_1 + 1 = 4$
$X_1 = 3$

所以，效用最大化的消費組合為 $(X_1, X_2) = (3, 1)$。
此時的效用為 $U = 3 + 2(1)^{1/2} = 3 + 2 = 5$。

現在我們檢查選項：
(A) $X_1 = 0, X_2 = 4$。預算約束：$0+4=4$ (滿足)。效用：$U = 0 + 2(4)^{1/2} = 2 \times 2 = 4$。
(B) $X_1 = 1, X_2 = 3$。預算約束：$1+3=4$ (滿足)。效用：$U = 1 + 2(3)^{1/2} = 1 + 2\sqrt{3} \approx 1 + 2 \times 1.732 = 1 + 3.464 = 4.464$。
(C) $X_1 = 3, X_2 = 1$。

此題考驗消費者理論中劣等財的替代效果與所得效果的判斷。

根據希克斯(Hicksian)與史拉茨基(Slutsky)分解法，任何一種財貨的總效果（價格變動導致的需求量變動）都可以分解為替代效果與所得效果。

1. 替代效果 (Substitution Effect)：
   當一種商品（例如商品 $x$）的價格下降時，相對於其他商品，它變得更便宜了。消費者會傾向於購買更多這種相對便宜的商品，而減少購買其他相對昂貴的商品。因此，替代效果總是使該商品的需求量增加。

核心觀念

本題考查顯示性偏好的弱公理（WARP）。

若消費者在價格向量 $p^a$ 下選擇消費組合 $x^a$，且另一組合 $x^b$ 在該價格下負擔得起，即

$$p^a\cdot x^b\le p^a\cdot x^a,$$

則稱 $x^a$ 直接顯示偏好於 $x^b$。

若兩期選擇分別滿足：

$$p^1\cdot x^2\le p^1\cdot x^1$$

以及

$$p^2\cdot x^1\le p^2\cdot x^2,$$

代表兩個消費組合彼此都負擔得起，卻分別被選擇。當兩組合不同時，即違反 WARP。

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解題方法

第一期價格與消費組合為：

$$p^1=(1,2),\qquad x^1=(3,6).$$

第一期所得為：

$$m_1=1(3)+2(6)=15.$$

第二期價格與消費組合為：

$$p^2=(2,1),\qquad x^2=(4,K).$$

第二期所得為：

$$m_2=2(4)+1(K)=8+K.$$

條件一：第二期消費組合在第一期負擔得起

將第二期組合 $(4,K)$ 代入第一期價格：

$$1(4)+2(K)\le 15.$$

因此：

$$4+2K\le 15$$ $$K\le \frac{11}{2}=5.5.$$

由選項中的整數判斷，$K$ 必須不大於 $5$。

條件二：第一期消費組合在第二期負擔得起

將第一期組合 $(3,6)$ 代入第二期價格：

$$2(3)+1(6)\le 8+K.$$

因此：

$$12\le 8+K$$ $$K\ge 4.$$

綜合兩項條件：

此題考驗風險態度的判斷與期望效用的計算。風險態度（風險規避、風險中立、風險愛好）可以通過效用函數的二階導數來判斷，而選擇哪種彩券則取決於哪種彩券的期望效用更高。

1. 判斷風險態度：
   效用函數為 $U(W) = \sqrt{W}$。
   一階導數 $U'(W) = \frac{1}{2\sqrt{W}}$。
   二階導數 $U''(W) = \frac{d}{dW} (\frac{1}{2}W^{-1/2}) = \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) W^{-3/2} = -\frac{1}{4}W^{-3/2} = -\frac{1}{4(\sqrt{W})^3}$。
   由於 $W$ 代表獎金， $W > 0$，所以 $U''(W) < 0$。
   當效用函數的二階導數為負時，消費者是風險規避者 (risk-averse)。

2. 計算彩券 A 的期望效用：
   彩券 A 的結果是確定的，獎金 $W_A = 100$。
   期望效用 $E[U(A)] = U(100) = \sqrt{100} = 10$。

3. 計算彩券 B 的期望效用：
   彩券 B 的結果是隨機的：

   • 50% 的機率得到 0 元 ($W_{B1} = 0$)
   • 50% 的機率得到 300 元 ($W_{B2} = 300$)

此題考驗對獨佔性競爭市場結構特徵的理解。獨佔性競爭市場結合了獨佔與完全競爭市場的部分特徵。

讓我們逐一分析各選項：

(A) 廠商家數眾多 (Many firms)。
這是獨佔性競爭市場的關鍵特徵之一，與完全競爭市場類似。眾多廠商意味著單一廠商的市場佔有率很小，對市場價格沒有顯著影響，並且廠商的行為不會引起其他廠商的直接反應。
此敘述是正確的。

(B) 廠商生產同質產品 (Homogeneous products)。
這是獨佔性競爭市場的錯誤特徵。在獨佔性競爭市場中，廠商生產的是差異化產品 (differentiated products)，而不是同質產品。差異化產品意味著每家廠商的產品在品質、設計、品牌、服務、地理位置等方面存在差異，使得消費者對不同廠商的產品有不同的偏好。這使得每家廠商都擁有一點點的市場力量（類似獨佔），其需求曲線是向下傾斜的。
在完全競爭市場中，廠商生產同質產品。

此題考驗對生產函數規模報酬的判斷。規模報酬是指當所有生產要素的投入量同時按比例增加時，總產出的比例變化情況。

• 固定規模報酬 (Constant Returns to Scale, CRS)：所有要素投入量增加 $\lambda$ 倍，總產出也恰好增加 $\lambda$ 倍。即 $f(\lambda L, \lambda K) = \lambda f(L, K)$。
• 遞增規模報酬 (Increasing Returns to Scale, IRS)：所有要素投入量增加 $\lambda$ 倍，總產出增加的倍數大於 $\lambda$。即 $f(\lambda L, \lambda K) > \lambda f(L, K)$。
• 遞減規模報酬 (Decreasing Returns to Scale, DRS)：所有要素投入量增加 $\lambda$ 倍，總產出增加的倍數小於 $\lambda$。即 $f(\lambda L, \lambda K) < \lambda f(L, K)$。
  其中 $\lambda > 1$。

我們逐一檢查三個生產函數：

(1) $Q = \min(2L, 2K)$
令生產要素同時投入 $\lambda$ 倍，即考慮 $f(\lambda L, \lambda K)$：
$f(\lambda L, \lambda K) = \min(2(\lambda L), 2(\lambda K))$
$f(\lambda L, \lambda K) = \min(\lambda (2L), \lambda (2K))$
由於 $\lambda > 0$，我們可以將 $\lambda$ 提出：
$f(\lambda L, \lambda K) = \lambda \min(2L, 2K)$
$f(\lambda L, \lambda K) = \lambda Q$
這符合固定規模報酬的定義 ($f(\lambda L, \lambda K) = \lambda f(L, K)$)。
因此，函數 (1) 具有固定規模報酬。

(2) $Q = L^{1/2}K^{1/2}$
這是一個柯布-道格拉斯 (Cobb-Douglas) 生產函數。
令生產要素同時投入 $\lambda$ 倍，即考慮 $f(\lambda L, \lambda K)$：

此題考驗獨佔廠商的利潤極大化問題，需要利用邊際收益 (MR) 等於邊際成本 (MC) 的條件來求解。

1. 求市場需求函數的逆函數 (P 為 Q 的函數)：
   市場需求函數為 $Q = 20 - P$。
   可寫成 $P = 20 - Q$。

2. 求總收益 (Total Revenue, TR)：
   $TR = P \times Q = (20 - Q) \times Q = 20Q - Q^2$。

3. 求邊際收益 (Marginal Revenue, MR)：
   邊際收益是總收益對產量的導數。
   $MR = \frac{dTR}{dQ} = \frac{d}{dQ}(20Q - Q^2) = 20 - 2Q$。

4. 求邊際成本 (Marginal Cost, MC)：
   成本函數為 $TC = 2Q + \frac{1}{2}Q^2$。
   邊際成本是總成本對產量的導數。
   $MC = \frac{dTC}{dQ} = \frac{d}{dQ}(2Q + \frac{1}{2}Q^2) = 2 + Q$。

此題考驗對差別取價（Price Discrimination）不同類型的理解。差別取價是指同一種產品以不同的價格出售給不同的消費者。

1. 第一級差別取價 (First-degree Price Discrimination)：
   廠商對每一單位產品收取消費者願意支付的最高價格，即完全捕捉消費者剩餘。這需要廠商完全了解每個消費者的支付意願。理論上，這能使廠商獲得最大的利潤。

2. 第二級差別取價 (Second-degree Price Discrimination)：
   廠商根據消費者購買的數量來設定不同的價格。例如，購買量越多，平均價格越低。這通常透過「分級定價」或「套裝銷售」來實現。常見的例子包括：

   • 大量購買折扣 (quantity discounts)。
   • 分時定價 (peak-load pricing)，例如尖峰時段電價較高，離峰時段較低。

核心觀念

本題考查：

1. 最佳回應（Best Response）
2. 單純策略 Nash 均衡
3. 混合策略 Nash 均衡

若一組策略下，任何一位參與者單方面改變策略都無法提高報酬，該組策略即為 Nash 均衡。

在 $2\times 2$ 賽局中：

• 單純策略均衡：找出雙方最佳回應的交會點。
• 混合策略均衡：令雙方對各自的兩種策略無差異。

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解題方法一：判斷單純策略 Nash 均衡

X 的最佳回應

• 當 Y 選 $L$ 時：

  X 選 $U$ 得 $6$，選 $D$ 得 $5$，因此最佳回應為 $U$。

• 當 Y 選 $R$ 時：

  X 選 $U$ 得 $3$，選 $D$ 得 $4$，因此最佳回應為 $D$。

Y 的最佳回應

• 當 X 選 $U$ 時：

  Y 選 $L$ 得 $4$，選 $R$ 得 $3$，因此最佳回應為 $L$。

• 當 X 選 $D$ 時：

  Y 選 $L$ 得 $1$，選 $R$ 得 $2$，因此最佳回應為 $R$。

因此：

• $(U,L)$：X 對 $L$ 的最佳回應是 $U$，Y 對 $U$ 的最佳回應是 $L$，所以是 Nash 均衡。
• $(D,R)$：X 對 $R$ 的最佳回應是 $D$，Y 對 $D$ 的最佳回應是 $R$，所以是 Nash 均衡。

另外兩格不是均衡：

• $(U,R)$：X 可改選 $D$，報酬由 $3$ 增加為 $4$。
• $(D,L)$：X 可改選 $U$，報酬由 $5$ 增加為 $6$。

所以共有 兩個單純策略 Nash 均衡：

$$(U,L)、\qquad (D,R)$$

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解題方法二：求混合策略 Nash 均衡

設：

• X 以機率 $p$ 選 $U$，以機率 $1-p$ 選 $D$。
• Y 以機率 $q$ 選 $L$，以機率 $1-q$ 選 $R$。

令 X 對 $U$、$D$ 無差異

X 選 $U$ 的期望報酬為：

$$EU_X(U)=6q+3(1-q)=3+3q$$

X 選 $D$ 的期望報酬為：

$$EU_X(D)=5q+4(1-q)=4+q$$

混合策略均衡中，X 必須對兩種策略無差異：

$$3+3q=4+q$$ $$2q=1$$ $$q=\frac{1}{2}$$

核心觀念

本題考中央銀行降低重貼現率所產生的貨幣政策效果。

重貼現率是中央銀行向商業銀行融通資金時所收取的利率。當中央銀行調降重貼現率，商業銀行向中央銀行借款的成本降低，因而較願意增加借款。商業銀行取得資金後，銀行體系的準備金增加，進而形成擴張性貨幣政策效果。

貨幣供給可表示為：

$$M=mB$$

其中：

• $M$：貨幣供給
• $m$：貨幣乘數
• $B$：貨幣基數

貨幣基數為：

$$B=C+R$$

其中 $C$ 為流通中的現金，$R$ 為銀行準備金。商業銀行向中央銀行借款增加時，銀行準備金 $R$ 上升，因此貨幣基數 $B$ 上升。

解題方法

本題可沿著以下因果鏈判斷：

$$\text{重貼現率下降} \Rightarrow \text{銀行借款成本下降} \Rightarrow \text{向央行借款增加} \Rightarrow \text{銀行準備金增加} \Rightarrow \text{貨幣基數增加} \Rightarrow \text{貨幣供給增加}$$

因此，在一般貨幣銀行學的標準假設下，調降重貼現率會使貨幣基數上升，並透過貨幣乘數機制使貨幣供給增加。

選項分析

(A) 貨幣供給上升。

此題考驗貨幣數量學說 (Quantity Theory of Money) 的觀點，特別是其在長期下的預測。貨幣數量學說的基本方程式為 $MV = PT$ (或 $MV = PY$)，其中：

• $M$：貨幣供給量 (Money Supply)
• $V$：貨幣流通速度 (Velocity of Money)
• $P$：物價水準 (Price Level)
• $T$ (或 $Y$)：交易量 (Transactions) 或 實質產出 (Real Output)

貨幣數量學說有兩種主要形式：

1. 交易方程式 (Equation of Exchange)： $MV = PT$
2. 劍橋方程式 (Cambridge Equation)： $M = kPY$ (其中 $k = 1/V$，代表人們願意持有的貨幣占名目所得的比例)

在傳統貨幣數量學說的觀點下，特別是古典學派的觀點（通常指長期），有幾個關鍵假設：

• 貨幣流通速度 V 是穩定的：人們的支付習慣和金融制度相對穩定，所以 V 不會隨 M 的變動而顯著改變。
• 實質產出 Y 是由生產要素（勞動、資本、技術）決定的，不受貨幣供給影響：在長期，經濟會達到其潛在產出水準，貨幣是中性的 (neutral)，只影響名目變數（如物價），不影響實質變數（如實質產出、實質工資）。

基於這些假設，我們來分析各選項：

核心觀念

本題考查固定匯率制度下，擴張性財政政策對經常帳與資本帳的影響。

國際收支可表示為：

$$\text{經常帳}+\text{資本帳}=0$$

其中：

• 經常帳主要包括商品與服務貿易、所得及移轉支付；進口增加通常使經常帳惡化。
• 資本帳記錄資本跨國流動；外國資金流入增加，代表資本帳改善。

解題方法

在固定匯率制度下，政府採取擴張性財政政策，例如增加政府支出或減稅，會使總需求上升，造成所得增加：

$$G\uparrow \Rightarrow Y\uparrow$$

所得增加會提高進口需求：

$$Y\uparrow \Rightarrow M\uparrow$$

由於出口在短期內不會同步增加，淨出口下降，故經常帳惡化：

$$NX=X-M\downarrow$$

因此：

$$CA\downarrow$$

另一方面，若採用標準的開放總體經濟模型，財政擴張會使利率上升，吸引外國資金流入：

$$i\uparrow \Rightarrow \text{資本流入}\uparrow$$

所以資本帳應改善：

$$KA\uparrow$$

此題考驗購買力平價理論 (Purchasing Power Parity, PPP) 和匯率預期的概念。

購買力平價理論的基本思想是，在開放經濟體系中，相同商品或一籃商品在不同國家之間的價格，在扣除匯率因素後應該是相同的。這意味著，長期的匯率變動應該反映兩國之間的通貨膨膨脹差異。

購買力平價 (PPP) 的相對形式可以表示為：
$\frac{E_{t+1}}{E_t} \approx \frac{1 + \pi_H}{1 + \pi_F}$
其中：

• $E_t$ 是在時間 $t$ 的名目匯率（例如，每單位外幣需要多少本國貨幣）。
• $E_{t+1}$ 是在時間 $t+1$ 的名目匯率。
• $\pi_H$ 是本國的通貨膨脹率。
• $\pi_F$ 是外國的通貨膨脹率。

更簡化的近似公式是：
$\%\Delta E \approx \pi_H - \pi_F$
其中 $\%\Delta E = \frac{E_{t+1} - E_t}{E_t}$ 是匯率變動的百分比。

題目給定的情況是：

• 美國的通貨膨脹率 ($\pi_{US}$) 長期以來一直比台灣高 ($\pi_{TW}$)。
  即 $\pi_{US} > \pi_{TW}$。

我們需要判斷美元對新台幣的匯率變動。假設匯率定義為：每單位美元需要多少新台幣。
$E_{TWD/USD}$
那麼，台灣是本國（H），美國是外國（F）。
$\%\Delta E_{TWD/USD} \approx \pi_{TW} - \pi_{US}$

此題考驗凱因斯模型中的乘數效應，特別是投資乘數和政府支出乘數。

模型設定：

• 消費函數 $C = C_0 + 0.8(Y-T)$。這裡的 $0.8$ 是邊際消費傾向 (MPC)。
• 淨定額稅 $T = T_0$。
• 投資函數 $I = I_0$ (自發性投資)。
• 政府支出 $G = G_0$ (自發性政府支出)。
• 簡單凱因斯模型假設：總需求 = 總產出，即 $Y = C + I + G$。

1. 求總支出 (AE) 函數：
   $AE = C + I + G$
   $AE = (C_0 + 0.8(Y-T_0)) + I_0 + G_0$
   $AE = C_0 + 0.8Y - 0.8T_0 + I_0 + G_0$

2. 求均衡所得 Y：
   在均衡點， $Y = AE$。
   $Y = C_0 + 0.8Y - 0.8T_0 + I_0 + G_0$
   $Y - 0.8Y = C_0 - 0.8T_0 + I_0 + G_0$
   $0.2Y = C_0 - 0.8T_0 + I_0 + G_0$
   $Y = \frac{1}{0.2} (C_0 - 0.8T_0 + I_0 + G_0)$
   $Y = 5 (C_0 - 0.8T_0 + I_0 + G_0)$

3. 計算乘數：

   • 政府支出乘數 (Government Spending Multiplier)： $\frac{\Delta Y}{\Delta G_0}$
     從 $Y = 5 (C_0 - 0.8T_0 + I_0 + G_0)$ 可知，當 $G_0$ 變動 1 單位時， $Y$ 變動 5 單位。
     政府支出乘數 $= 5$。
     一般公式：$\frac{1}{1-MPC} = \frac{1}{1-0.8} = \frac{1}{0.2} = 5$。

   • 投資乘數 (Investment Multiplier)： $\frac{\Delta Y}{\Delta I_0}$
     同樣可知，當 $I_0$ 變動 1 單位時， $Y$ 變動 5 單位。
     投資乘數 $= 5$。
     一般公式：$\frac{1}{1-MPC} = \frac{1}{1-0.8} = \frac{1}{0.2} = 5$。

   • 稅收乘數 (Tax Multiplier)： $\frac{\Delta Y}{\Delta T_0}$
     從 $Y = 5 (C_0 - 0.8T_0 + I_0 + G_0)$ 可知，當 $T_0$ 變動 1 單位時， $Y$ 變動 $-0.8 \times 5 = -4$ 單位。
     稅收乘數 $= -4$。
     一般公式：$\frac{-MPC}{1-MPC} = \frac{-0.8}{1-0.8} = \frac{-0.8}{0.2} = -4$。

現在來評估選項：
(A) 投資支出乘數為 1.25。
我們計算出的投資乘數是 5，不是 1.25。
$1.25$ 可能是 $1/(1+MPC)$ 或其他錯誤計算。
此敘述是錯誤的。

核心觀念

菲利浦曲線描述通貨膨脹率與失業率之間的關係：

• 短期菲利浦曲線（SRPC）：通貨膨脹率與失業率呈反向關係，政府可透過擴張或緊縮政策，使經濟在曲線上移動。
• 長期菲利浦曲線（LRPC）：為垂直線，失業率回到自然失業率 $u_n$，長期不存在通貨膨脹率與失業率的穩定取捨關係。

短期菲利浦曲線可表示為：

$$\pi=\pi^e-\alpha(u-u_n)+v,\qquad \alpha>0$$

其中 $\pi$ 為通貨膨脹率、$\pi^e$ 為預期通膨率、$u$ 為失業率、$v$ 為供給面衝擊。

解題方法

本題逐一檢查各選項是否符合：

1. 菲利浦曲線的縱軸與橫軸變數；
2. 短期與長期菲利浦曲線的政策意涵；
3. 貨幣貶值對總合需求、通貨膨脹與自然失業率的影響。

選項分析

(A) 錯誤。

短期菲利浦曲線討論的是「通貨膨脹率與失業率」的反向關係，而非名目利率與通貨膨脹率的正向關係。

名目利率與預期通膨率的正向關係，屬於費雪方程式：

$$i=r+\pi^e$$

其中 $i$ 為名目利率、$r$ 為實質利率、$\pi^e$ 為預期通膨率。這不是菲利浦曲線的內容，因此本選項錯誤。

(B) 正確。

核心觀念

本題考查沒有技術進步時，Solow 模型中儲蓄率、折舊率、人口成長率與長期每人產出的關係，以及黃金律資本存量。

令：

• $k=\dfrac{K}{L}$：每人資本
• $y=\dfrac{Y}{L}=f(k)$：每人產出
• $s$：儲蓄率
• $\delta$：資本折舊率
• $n$：人口成長率

沒有技術進步時，每人資本的動態方程式為：

$$\dot{k}=sf(k)-(n+\delta)k$$

在穩定狀態 $\dot{k}=0$ 時：

$$sf(k^*)=(n+\delta)k^*$$

此時每人資本與每人產出均為定值，因此：

$$\text{長期每人產出成長率}=0$$

不論儲蓄率、折舊率或人口成長率如何改變，只要沒有技術進步，長期每人產出成長率皆為零。

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解題方法

先判斷題目問的是「長期每人產出成長率」，而非每人產出的「水準」。

在沒有技術進步時：

• 儲蓄率改變會影響穩定狀態的資本存量與每人產出水準。
• 折舊率改變會影響穩定狀態的資本存量與每人產出水準。
• 人口成長率改變會影響穩定狀態的資本存量與每人產出水準。
• 但上述變數不會改變穩定狀態下每人產出的長期成長率，該成長率仍為 $0$。

再檢驗黃金律。黃金律下的每人消費為：

$$c=f(k)-(n+\delta)k$$

使每人消費最大化：

$$\frac{dc}{dk}=f'(k)-(n+\delta)=0$$

因此黃金律條件為：

$$f'(k_{GR})=n+\delta$$

由於生產函數具有遞減的邊際報酬，人口成長率 $n$ 下降時，右側的 $n+\delta$ 下降，必須提高 $k_{GR}$ 才能使邊際資本產量下降至新的條件。因此：

$$n\downarrow \quad\Rightarrow\quad k_{GR}\uparrow \quad\Rightarrow\quad y_{GR}=f(k_{GR})\uparrow$$

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選項分析

(A) 資本折舊率較低的國家，長期每人產出成長率較高。

核心觀念

本題考查兩期跨期選擇模型中，利率變動對消費與儲蓄的影響，以及跨期預算限制式的經濟意義。

設第一期收入為 $Y_1$、第二期收入為 $Y_2$，第一期消費為 $C_1$、第二期消費為 $C_2$，利率為 $r$。

若消費者可自由借貸，跨期預算限制式為：

$$C_1+\frac{C_2}{1+r} = Y_1+\frac{Y_2}{1+r}$$

亦可改寫為：

$$C_2=(1+r)(Y_1-C_1)+Y_2$$

其中：

$$S=Y_1-C_1$$

代表第一期儲蓄：

• $S>0$：淨貸出者或儲蓄者
• $S<0$：淨借入者

在 $(C_1,C_2)$ 平面上，跨期預算線斜率為：

$$-(1+r)$$

其絕對值代表放棄一單位第一期消費，可以換得的第二期消費數量，也就是兩期消費的相對價格。

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解題方法

本題屬於觀念判斷題，關鍵在於辨識「利率上升對儲蓄的影響是否必然為正」。

利率上升具有兩種效果：

1. 替代效果：第一期消費的機會成本提高，消費者傾向減少 $C_1$、增加儲蓄。
2. 所得效果：效果取決於消費者原本是借款者還是貸出者。
   • 原本是淨貸出者：利率上升使其利息收入增加，實質所得提高，可能增加當期消費。
   • 原本是淨借入者：利率上升使其借款成本提高，實質所得降低，通常減少當期消費。

因此，利率上升雖然有促進儲蓄的替代效果，但所得效果可能抵銷甚至超過替代效果，故儲蓄不一定上升。

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選項分析

(A) 利率上升將使當期儲蓄也上升。

錯誤。

利率上升的替代效果確實會提高儲蓄誘因，因為放棄第一期消費可獲得更多第二期消費。然而，對原本的淨貸出者而言，利率上升會增加利息所得，產生正的所得效果，使其可能增加第一期消費。

由於：

$$S=Y_1-C_1$$

核心觀念

本題考查三種投資理論：

1. 新古典投資理論：廠商比較資本的邊際產量與資本使用成本，實質利率上升會提高資本使用成本，使最適資本存量與投資需求下降。
2. 凱因斯投資理論：投資主要受資本邊際效率與利率影響，但短期內受預期、信心與不確定性支配，因此對利率反應較不敏感。
3. 投資加速原理：廠商的資本需求取決於產出水準，產出增加會提高所需資本存量，進而帶動投資增加。

新古典理論可表示為：

$$I=I(r)$$

其中 $r$ 為實質利率，且通常有：

$$\frac{dI}{dr}<0$$

若考慮資本使用成本，則：

$$uc \approx r+\delta$$

其中 $\delta$ 為折舊率。實質利率上升會提高 $uc$，降低廠商願意持有的資本數量。

解題方法

本題問「何者有誤」，可逐一核對各選項是否符合對應理論。判斷重點在於：

• 實質利率與投資的方向關係；
• 利率彈性是短期還是長期；
• 產出增加與投資的關係。

其中最容易混淆的是新古典投資理論的利率彈性。新古典理論通常強調資本使用成本對最適資本存量的影響，因此長期投資需求對利率較具彈性；但短期內受到調整成本、建廠時間及不可立即改變資本存量等因素限制，投資不會迅速大幅反應。

選項分析

(A) 正確

在新古典投資理論中，實質利率是資本使用成本的重要組成部分：

$$uc=r+\delta$$

當實質利率 $r$ 上升時，資本使用成本提高，廠商會降低最適資本存量。由於投資是增加資本存量的支出，因此投資需求下降：

核心觀念

本題考查價格僵固下的凱因斯模型（IS–LM 模型）中，各種外生變動對曲線的影響。

在價格水準 $P$ 固定時：

• IS 曲線：表示商品市場均衡
  $Y=C(Y-T)+I(r)+G$
  投資需求增加會使任一利率下的總支出增加，因此 IS 曲線右移。

• LM 曲線：表示貨幣市場均衡
  $\frac{M}{P}=L(Y,r)$
  在 $P$ 固定下，貨幣供給 $M$ 增加，使實質貨幣供給 $M/P$ 增加，因此 LM 曲線右移。

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解題方法

直接判斷各變數是否改變商品市場或貨幣市場的均衡條件：

1. 投資需求增加 $\Rightarrow$ 商品支出增加 $\Rightarrow$ IS 右移。
2. 投資需求本身不改變貨幣供給或貨幣需求函數 $\Rightarrow$ LM 不移動。
3. 貨幣供給增加，且價格固定 $\Rightarrow$ 實質貨幣供給增加 $\Rightarrow$ LM 右移。

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選項分析

(A) 投資需求上升在長期將使 IS 曲線右移。

正確。投資需求增加可表示為自主投資增加，商品市場均衡式變為：

$Y=C(Y-T)+I(r)+\Delta I+G$

核心觀念

本題考查沒有技術進步時，Solow 模型中儲蓄率、折舊率、人口成長率與長期每人產出的關係，以及黃金律資本存量。

令：

• $k=\dfrac{K}{L}$：每人資本
• $y=\dfrac{Y}{L}=f(k)$：每人產出
• $s$：儲蓄率
• $\delta$：資本折舊率
• $n$：人口成長率

沒有技術進步時，每人資本的動態方程式為：

$$\dot{k}=sf(k)-(n+\delta)k$$

在穩定狀態 $\dot{k}=0$ 時：

$$sf(k^*)=(n+\delta)k^*$$

此時每人資本與每人產出均為定值，因此：

$$\text{長期每人產出成長率}=0$$

不論儲蓄率、折舊率或人口成長率如何改變，只要沒有技術進步，長期每人產出成長率皆為零。

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解題方法

先判斷題目問的是「長期每人產出成長率」，而非每人產出的「水準」。

在沒有技術進步時：

• 儲蓄率改變會影響穩定狀態的資本存量與每人產出水準。
• 折舊率改變會影響穩定狀態的資本存量與每人產出水準。
• 人口成長率改變會影響穩定狀態的資本存量與每人產出水準。
• 但上述變數不會改變穩定狀態下每人產出的長期成長率，該成長率仍為 $0$。

再檢驗黃金律。黃金律下的每人消費為：

$$c=f(k)-(n+\delta)k$$

使每人消費最大化：

$$\frac{dc}{dk}=f'(k)-(n+\delta)=0$$

因此黃金律條件為：

$$f'(k_{GR})=n+\delta$$

由於生產函數具有遞減的邊際報酬，人口成長率 $n$ 下降時，右側的 $n+\delta$ 下降，必須提高 $k_{GR}$ 才能使邊際資本產量下降至新的條件。因此：

$$n\downarrow \quad\Rightarrow\quad k_{GR}\uparrow \quad\Rightarrow\quad y_{GR}=f(k_{GR})\uparrow$$

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選項分析

(A) 資本折舊率較低的國家，長期每人產出成長率較高。

核心觀念

本題考查兩期跨期選擇模型中，利率變動對消費與儲蓄的影響，以及跨期預算限制式的經濟意義。

設第一期收入為 $Y_1$、第二期收入為 $Y_2$，第一期消費為 $C_1$、第二期消費為 $C_2$，利率為 $r$。

若消費者可自由借貸，跨期預算限制式為：

$$C_1+\frac{C_2}{1+r} = Y_1+\frac{Y_2}{1+r}$$

亦可改寫為：

$$C_2=(1+r)(Y_1-C_1)+Y_2$$

其中：

$$S=Y_1-C_1$$

代表第一期儲蓄：

• $S>0$：淨貸出者或儲蓄者
• $S<0$：淨借入者

在 $(C_1,C_2)$ 平面上，跨期預算線斜率為：

$$-(1+r)$$

其絕對值代表放棄一單位第一期消費，可以換得的第二期消費數量，也就是兩期消費的相對價格。

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解題方法

本題屬於觀念判斷題，關鍵在於辨識「利率上升對儲蓄的影響是否必然為正」。

利率上升具有兩種效果：

1. 替代效果：第一期消費的機會成本提高，消費者傾向減少 $C_1$、增加儲蓄。
2. 所得效果：效果取決於消費者原本是借款者還是貸出者。
   • 原本是淨貸出者：利率上升使其利息收入增加，實質所得提高，可能增加當期消費。
   • 原本是淨借入者：利率上升使其借款成本提高，實質所得降低，通常減少當期消費。

因此，利率上升雖然有促進儲蓄的替代效果，但所得效果可能抵銷甚至超過替代效果，故儲蓄不一定上升。

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選項分析

(A) 利率上升將使當期儲蓄也上升。

錯誤。

利率上升的替代效果確實會提高儲蓄誘因，因為放棄第一期消費可獲得更多第二期消費。然而，對原本的淨貸出者而言，利率上升會增加利息所得，產生正的所得效果，使其可能增加第一期消費。

由於：

$$S=Y_1-C_1$$

核心觀念

本題考查價格僵固下的凱因斯模型（IS–LM 模型）中，各種外生變動對曲線的影響。

在價格水準 $P$ 固定時：

• IS 曲線：表示商品市場均衡
  $Y=C(Y-T)+I(r)+G$
  投資需求增加會使任一利率下的總支出增加，因此 IS 曲線右移。

• LM 曲線：表示貨幣市場均衡
  $\frac{M}{P}=L(Y,r)$
  在 $P$ 固定下，貨幣供給 $M$ 增加，使實質貨幣供給 $M/P$ 增加，因此 LM 曲線右移。

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解題方法

直接判斷各變數是否改變商品市場或貨幣市場的均衡條件：

1. 投資需求增加 $\Rightarrow$ 商品支出增加 $\Rightarrow$ IS 右移。
2. 投資需求本身不改變貨幣供給或貨幣需求函數 $\Rightarrow$ LM 不移動。
3. 貨幣供給增加，且價格固定 $\Rightarrow$ 實質貨幣供給增加 $\Rightarrow$ LM 右移。

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選項分析

(A) 投資需求上升在長期將使 IS 曲線右移。

正確。投資需求增加可表示為自主投資增加，商品市場均衡式變為：

$Y=C(Y-T)+I(r)+\Delta I+G$

此題考驗點彈性 (point elasticity) 的計算。

需求函數的反函數為 $P = 30 - 2Q$。
需求函數為 $Q = f(P)$。
我們可以將反函數轉換為需求函數：
$2Q = 30 - P$
$Q = 15 - \frac{1}{2}P$

點彈性公式為：$E_d = \frac{dQ}{dP} \times \frac{P}{Q}$。

首先，計算需求函數對價格的一階導數：
$\frac{dQ}{dP} = \frac{d}{dP}(15 - \frac{1}{2}P) = -\frac{1}{2}$。

題目給定價格彈性 $E_d = -0.5$。
將已知條件代入點彈性公式：
$-0.5 = (-\frac{1}{2}) \times \frac{P}{Q}$
$-0.5 = -0.5 \times \frac{P}{Q}$

此題考驗完全競爭市場中，從量稅對社會福利無謂損失的計算。

1. 找出市場均衡價格與數量（無稅時）：
   供給函數：$P_S = 10 + 2Q$
   需求函數：$P_D = 40 - 4Q$
   均衡時 $P_S = P_D$：
   $10 + 2Q = 40 - 4Q$
   $6Q = 30$
   $Q^* = 5$
   $P^* = 10 + 2(5) = 10 + 10 = 20$。
   均衡點為 $(Q^*, P^*) = (5, 20)$。

2. 課徵每單位 6 元從量稅後的影響：
   從量稅會使供給曲線向上移動。廠商在給定市場價格 $P$ 下，願意供給的數量，現在需要考慮到稅收。
   廠商的實際收益（扣除稅收後）為 $P - t$，其中 $t=6$ 是從量稅。
   因此，新的供給函數（考慮稅收）是：
   $P - t = 10 + 2Q$
   $P - 6 = 10 + 2Q$
   $P = 16 + 2Q$ (這是稅後價格，或稱供給者要求的價格)。
   或者，我們可以將稅收視為廠商在提供每一單位產品時，需要額外支付的成本。因此，對於相同的數量 $Q$，廠商現在要求的價格（即市場價格 $P$）要比原來高 6 元。
   這意味著，新的供給曲線 $P_S'$ 比原來的供給曲線 $P_S$ 高 6 元。
   $P_S'(Q) = P_S(Q) + t = (10 + 2Q) + 6 = 16 + 2Q$。

3. 找出課稅後的市場均衡價格與數量：
   新的供給函數：$P_S' = 16 + 2Q$
   需求函數：$P_D = 40 - 4Q$
   均衡時 $P_S' = P_D$：
   $16 + 2Q = 40 - 4Q$
   $6Q = 24$
   $Q_t = 4$
   $P_t = 16 + 2(4) = 16 + 8 = 24$。
   課稅後的均衡點為 $(Q_t, P_t) = (4, 24)$。

   注意：這裡的 $P_t = 24$ 是消費者支付的價格。
   生產者實際獲得的價格為 $P_p = P_t - t = 24 - 6 = 18$。

4. 計算無謂損失 (Deadweight Loss, DWL)：
   無謂損失是市場效率損失的度量，通常發生在市場未能達到社會最優（邊際效益等於邊際成本）時。
   在課稅後，交易量從 5 單位減少到 4 單位。這意味著一些原本可以進行的、對雙方都有利的交易未能發生。
   無謂損失的面積是一個三角形，其頂點是原均衡點 $(Q^*, P^*) = (5, 20)$。
   底邊是稅收 $t=6$。

此題考驗廠商的成本最小化問題，需要利用拉格朗日乘數法或邊際技術替代率等於要素價格比來求解。

1. 廠商目標： 成本最小化，在滿足產量約束 $Q = 200$ 的條件下。
   生產函數：$Q = L K$
   要素價格：$w = P_L = 1$ (勞動力價格)， $r = P_K = 2$ (資本價格)。
   成本函數：$TC = wL + rK = 1L + 2K$。

2. 成本最小化條件：
   邊際技術替代率 (Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS) 等於要素價格比。
   $MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$

   計算邊際產量：
   $MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = K$
   $MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = L$

   代入 MRTS 公式：
   $\frac{K}{L} = \frac{1}{2}$
   $2K = L$

核心觀念

本題考查兩種寡占模型：

1. Cournot 數量競爭：兩家廠商同時決定產量，各廠商將對手產量視為既定，選擇自身產量使利潤最大。
2. 聯合壟斷（合謀）：兩家廠商共同決定總產量，使產業總利潤最大；由於兩家成本結構相同，最適分工會使兩家產量相等。

基本條件為：

$$MR_i=MC_i$$

其中，廠商的邊際成本為：

$$MC_A=MC_B=2+Q_i$$

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（A）Cournot 模型均衡

市場反需求函數為：

$$P=20-Q_A-Q_B$$

廠商 A 的利潤為：

$$\pi_A=P Q_A-TC_A$$

代入成本函數：

$$\pi_A=(20-Q_A-Q_B)Q_A-\left(2Q_A+\frac{1}{2}Q_A^2\right)$$

整理得：

$$\pi_A=18Q_A-\frac{3}{2}Q_A^2-Q_AQ_B$$

廠商 A 對自身產量 $Q_A$ 微分：

$$\frac{\partial \pi_A}{\partial Q_A} =18-3Q_A-Q_B=0$$

因此，A 的反應函數為：

$$Q_A=6-\frac{1}{3}Q_B$$

同理，廠商 B 的利潤最大化條件為：

$$18-Q_A-3Q_B=0$$

因此，B 的反應函數為：

$$Q_B=6-\frac{1}{3}Q_A$$

兩家廠商成本結構與市場地位完全相同，均衡時有：

$$Q_A=Q_B=q$$

代入任一反應函數：

$$q=6-\frac{1}{3}q$$ $$\frac{4}{3}q=6$$ $$q=\frac{18}{4}=4.5$$

所以 Cournot 均衡產量為：

$$(Q_A,Q_B)=(4.5,4.5)$$

此時總產量為 $Q=9$，市場價格為：

$$P=20-9=11$$

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（B）聯合壟斷下的總利潤極大

兩家廠商聯合追求總利潤極大時，總利潤為：

$$\Pi=P(Q_A+Q_B)-TC_A-TC_B$$

令總產量為：

$$Q=Q_A+Q_B$$