109 年 國立暨南國際大學經濟學系碩士班《微積分》

本題為最佳化問題，考驗學生對微積分求極值方法的應用。我們需要建立總成本函數 C(x)，然後利用一階導數等於零求臨界點，並透過二階導數檢定其為最小值。

首先，我們定義變數與距離：

• S 為陸地上功率中繼站的位置。
• E 為海島上海洋生物實驗站的位置。
• 兩點在海岸線上的距離為 10,000 m。
• 實驗站 E 距離海岸線為 1200 m。
• P 為海岸線上的一點，距離 S 為 x (0 ≤ x ≤ 10,000)。

成本：

• 在陸地上鋪設纜線的成本為 $5/公尺。
• 在水下鋪設纜線的成本為 $13/公尺。

我們需要計算鋪設纜線的總長度，並乘以各自的單位成本。

1. 陸地上鋪設的纜線長度：從 S 到 P，長度為 $x$ 公尺。
   陸地成本 = $5 \times x$。

2. 水下鋪設的纜線長度：從 P 到 E。
   點 P 到 E 的直線距離，我們可以利用畢氏定理計算。
   點 P 到海岸線正下方點的水平距離為 $10,000 - x$ 公尺。
   海岸線正下方點到 E 的垂直距離為 $1200$ 公尺。
   所以，從 P 到 E 的水下纜線長度為 $\sqrt{(10,000 - x)^2 + 1200^2}$ 公尺。
   水下成本 = $13 \times \sqrt{(10,000 - x)^2 + 1200^2}$。

總成本函數 C(x) 為：
$C(x) = 5x + 13\sqrt{(10,000 - x)^2 + 1200^2}$

為了找到成本最低點，我們需要對 C(x) 求一階導數 $C'(x)$，並令 $C'(x) = 0$。

$C'(x) = \frac{d}{dx} \left( 5x + 13\left((10,000 - x)^2 + 1200^2\right)^{1/2} \right)$
$C'(x) = 5 + 13 \times \frac{1}{2} \left((10,000 - x)^2 + 1200^2\right)^{-1/2} \times \frac{d}{dx}\left((10,000 - x)^2 + 1200^2\right)$
$C'(x) = 5 + \frac{13}{2\sqrt{(10,000 - x)^2 + 1200^2}} \times \left( 2(10,000 - x) \times (-1) + 0 \right)$
$C'(x) = 5 - \frac{13(10,000 - x)}{\sqrt{(10,000 - x)^2 + 1200^2}}$

令 $C'(x) = 0$：
$5 - \frac{13(10,000 - x)}{\sqrt{(10,000 - x)^2 + 1200^2}} = 0$
$5 = \frac{13(10,000 - x)}{\sqrt{(10,000 - x)^2 + 1200^2}}$
$\frac{5}{13} = \frac{10,000 - x}{\sqrt{(10,000 - x)^2 + 1200^2}}$

為了簡化計算，令 $a = 10,000 - x$ 且 $b = 1200$。則上式變為：
$\frac{5}{13} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

本題考驗學生對基本積分技巧的掌握，特別是分部積分法。

核心觀念：
分部積分法 (Integration by Parts)：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

a. $\int \ln(6x) dx$

我們可以使用分部積分法。
令 $u = \ln(6x)$，則 $du = \frac{1}{6x} \cdot 6 \, dx = \frac{1}{x} \, dx$。
令 $dv = dx$，則 $v = x$。

套用分部積分公式：
$\int \ln(6x) dx = u v - \int v \, du$
$= \ln(6x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$= x \ln(6x) - \int 1 \, dx$
$= x \ln(6x) - x + C$

驗算：
對 $x \ln(6x) - x + C$ 求導：
$\frac{d}{dx}(x \ln(6x) - x + C) = \frac{d}{dx}(x \ln(6x)) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(C)$
$= (1 \cdot \ln(6x) + x \cdot \frac{1}{6x} \cdot 6) - 1 + 0$
$= \ln(6x) + 1 - 1$
$= \ln(6x)$
結果正確。

【答案】$x \ln(6x) - x + C$

b. $\int x^2 \ln(5x) dx$

同樣使用分部積分法。
令 $u = \ln(5x)$，則 $du = \frac{1}{5x} \cdot 5 \, dx = \frac{1}{x} \, dx$。
令 $dv = x^2 \, dx$，則 $v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$。

本題考驗學生對基本微分規則的應用，包括冪函數求導、連鎖律、對數函數求導以及商法則與積法則。

核心觀念：

1. 冪函數求導： $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
2. 常數倍法則： $\frac{d}{dx}(cf(x)) = c \frac{d}{dx}(f(x))$
3. 加減法則： $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm \frac{d}{dx}g(x)$
4. 連鎖律 (Chain Rule)： $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
5. 對數函數求導： $\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$
6. 對數性質： $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$, $\ln(a^n) = n \ln a$

a. $r(x) = \frac{2x^{2/3}}{7} - \frac{4x^{4/3}}{7} + \frac{x^{7/3}}{7} + \frac{7x^{1.3}}{7}$

首先，我們將常數 $1.3$ 寫成分數形式 $1.3 = \frac{13}{10}$。
$r(x) = \frac{2}{7}x^{2/3} - \frac{4}{7}x^{4/3} + \frac{1}{7}x^{7/3} + x^{13/10}$

現在，我們對每一項分別求導：
$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{7}x^{2/3}\right) = \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{3} x^{(2/3)-1} = \frac{4}{21} x^{-1/3}$
$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4}{7}x^{4/3}\right) = -\frac{4}{7} \cdot \frac{4}{3} x^{(4/3)-1} = -\frac{16}{21} x^{1/3}$
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{7}x^{7/3}\right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{3} x^{(7/3)-1} = \frac{1}{3} x^{4/3}$

本題為一個約束最佳化問題，目標是最大化矩形面積，同時滿足預算約束。

核心觀念：

1. 矩形面積公式： $A = lw$ (長 $\times$ 寬)
2. 成本計算： 根據邊長和單位成本計算總成本。
3. 約束條件： 總成本不得超過預算。
4. 最佳化： 利用微積分求函數的極大值。

步驟：

1. 定義變數：
   設矩形菜圃的長度為 $l$ (南北方向) 和寬度為 $w$ (東西方向)。
   面積 $A = lw$。

2. 設定成本函數：
   東西兩側的寬度為 $w$，單價為 $5/英尺。總成本為$2 \times w \times 5 = 10w$。 南北兩側的長度為$l$，單價為$3/英尺。總成本為 $2 \times l \times 3 = 6l$。
   總成本 $C = 10w + 6l$。

3. 建立約束條件：
   預算為 $150 美元。所以，總成本必須小於或等於$150：
   $10w + 6l \le 150$
   為了最大化面積，我們應該使用全部預算，所以等式成立：
   $10w + 6l = 150$
   可以簡化為 $5w + 3l = 75$。

4. 表達面積函數，使其只包含一個變數：
   從約束條件 $5w + 3l = 75$ 中，我們可以解出一個變數，代入面積公式。
   例如，解出 $l$：
   $3l = 75 - 5w$
   $l = 25 - \frac{5}{3}w$

   將 $l$ 代入面積公式 $A = lw$：
   $A(w) = w \left(25 - \frac{5}{3}w\right)$
   $A(w) = 25w - \frac{5}{3}w^2$

5. 求面積函數的最大值：
   我們需要對 $A(w)$ 求一階導數 $A'(w)$，並令其等於零，找到臨界點。

核心觀念

本題屬於微積分在經濟與商管領域中的經典應用題——多變數函數的條件極值問題（Constrained Optimization）。

1. 數學模型建立：

   • 目標函數（Objective Function）：極大化月銷售額函數 $z = f(x, y) = 30x^{3/4}y^{1/4}$（此為標準的 Cobb-Douglas 型態函數）。
   • 限制條件（Constraint）：總廣告預算限制為 $x + y = 40000$，且 $x \ge 0, y \ge 0$。

2. 拉格朗日乘數法（Lagrange Multiplier Method）：
   欲求解在限制條件 $g(x, y) = c$ 下極值化 $f(x, y)$，可構造拉格朗日函數：

   $$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(g(x, y) - c)$$

   由一階條件（First-Order Conditions, FOC）令各偏導數為零：

   $$\nabla L = \mathbf{0} \iff \begin{cases} L_x = f_x(x, y) - \lambda g_x(x, y) = 0 \\ L_y = f_y(x, y) - \lambda g_y(x, y) = 0 \\ L_\lambda = -(g(x, y) - c) = 0 \end{cases}$$

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解題方法

步驟一：設定最佳化問題與構造拉格朗日函數

目標為在預算限制下極大化銷售額：

$$\max_{x, y} \quad f(x, y) = 30x^{3/4}y^{1/4}$$ $$\text{subject to} \quad x + y = 40000 \quad (x > 0, y > 0)$$

建立拉格朗日函數 $L(x, y, \lambda)$：

$$L(x, y, \lambda) = 30x^{3/4}y^{1/4} - \lambda (x + y - 40000)$$

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步驟二：求一階必要條件（FOC）

分別對 $x$、$y$ 與 $\lambda$ 偏微分並令其為 $0$：

1. 對 $x$ 偏微分：

$$\frac{\partial L}{\partial x} = 30 \cdot \frac{3}{4} x^{-1/4} y^{1/4} - \lambda = \frac{45}{2} x^{-1/4} y^{1/4} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{45}{2} \left(\frac{y}{x}\right)^{1/4}$$

2. 對 $y$ 偏微分：

$$\frac{\partial L}{\partial y} = 30 \cdot \frac{1}{4} x^{3/4} y^{-3/4} - \lambda = \frac{15}{2} x^{3/4} y^{-3/4} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{15}{2} \left(\frac{x}{y}\right)^{3/4}$$

3. 對 $\lambda$ 偏微分（限制式）：

$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x + y - 40000) = 0 \implies x + y = 40000$$

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步驟三：聯立求解駐點

聯立兩式的 $\lambda$：

$$\frac{45}{2} \left(\frac{y}{x}\right)^{1/4} = \frac{15}{2} \left(\frac{x}{y}\right)^{3/4}$$