108 年 國立暨南國際大學經濟學系碩士班《微積分》

本題在考驗學生對微分運算規則，特別是乘積法則與連鎖法則的掌握程度，以及如何判斷微分恆等式是否成立。

我們分別檢驗選項 (a) 和 (b)。

對於選項 (a)：
我們需要計算等號右邊 $(fg' - f'g)'$ 的微分。
根據微分的減法規則和乘積法則：
$(fg' - f'g)' = (fg')' - (f'g)'$
$= (f'g' + fg'') - (f''g + f'g')$
$= f'g' + fg'' - f''g - f'g'$
$= fg'' - f''g$
這與等號左邊 $fg'' - f''g$ 完全相同。
因此，選項 (a) 是正確的。

本題考驗學生對速度與位移關係的理解，以及不定積分與定積分的應用。已知速度函數 $v(t)$，要求位移函數 $s(t)$。位移是速度的積分。

給定速度函數為 $v(t) = t(t^2+5)^4 + 4t$。
位移函數 $s(t)$ 為速度函數 $v(t)$ 對時間 $t$ 的積分：
$s(t) = \int v(t) dt = \int (t(t^2+5)^4 + 4t) dt$
$s(t) = \int t(t^2+5)^4 dt + \int 4t dt$

我們分別計算這兩個積分。

第一個積分 $\int t(t^2+5)^4 dt$：
令 $u = t^2+5$，則 $du = 2t dt$，所以 $t dt = \frac{1}{2} du$。
積分變為：
$\int u^4 \left(\frac{1}{2} du\right) = \frac{1}{2} \int u^4 du$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C_1$
$= \frac{1}{10} u^5 + C_1$
將 $u = t^2+5$ 代回：
$= \frac{1}{10} (t^2+5)^5 + C_1$

本題共有三個小題，分別考驗極限、不定積分（換元積分法）與定積分（分部積分法）的計算能力。

(a) 計算極限
$\lim_{x\to3} \frac{x^2-x-6}{\ln(3x-8)}$

首先，我們檢查當 $x \to 3$ 時，分子和分母的極限。
分子：$x^2-x-6 \to 3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$
分母：$\ln(3x-8) \to \ln(3(3)-8) = \ln(9-8) = \ln(1) = 0$

由於極限呈現 $\frac{0}{0}$ 的不定型，我們可以應用 L'Hôpital's Rule。

對分子求導：$\frac{d}{dx}(x^2-x-6) = 2x-1$
對分母求導：$\frac{d}{dx}(\ln(3x-8)) = \frac{1}{3x-8} \cdot 3 = \frac{3}{3x-8}$

現在計算微分後的極限：
$\lim_{x\to3} \frac{2x-1}{\frac{3}{3x-8}}$
$= \lim_{x\to3} \frac{(2x-1)(3x-8)}{3}$
將 $x=3$ 代入：
$= \frac{(2(3)-1)(3(3)-8)}{3}$
$= \frac{(6-1)(9-8)}{3}$
$= \frac{(5)(1)}{3}$
$= \frac{5}{3}$

【答案】$\frac{5}{3}$

(b) 計算不定積分
$\int 2x^2\sqrt{x^3+1} dx$

這個積分可以使用換元積分法來計算。
令 $u = x^3+1$。
對 $u$ 求微分：$du = 3x^2 dx$。
我們需要 $x^2 dx$，所以 $x^2 dx = \frac{1}{3} du$。

將這些代入積分式：
$\int 2 \cdot (\sqrt{x^3+1}) \cdot (x^2 dx)$
$= \int 2 \cdot \sqrt{u} \cdot \left(\frac{1}{3} du\right)$
$= \frac{2}{3} \int u^{1/2} du$

本題是一個典型的最佳化問題，結合了幾何概念和微積分的應用。目標是最大化一個開放式盒子的體積，給定原始紙板的尺寸。

設從紙板四個角切下的正方形的邊長為 $x$ 英寸。
原始紙板的長度為 8 英寸，寬度為 3 英寸。

當我們從每個角切下邊長為 $x$ 的正方形並向上折疊後，形成的盒子的尺寸如下：
盒子的長度：原始長度減去兩邊切去的長度，即 $8 - 2x$ 英寸。
盒子的寬度：原始寬度減去兩邊切去的寬度，即 $3 - 2x$ 英寸。
盒子的高度：就是切下的正方形的邊長，即 $x$ 英寸。

盒子的體積 $V$ 是長、寬、高的乘積：
$V(x) = (8 - 2x)(3 - 2x)(x)$

為了使盒子有意義，尺寸必須為正：
$x > 0$
$8 - 2x > 0 \implies 2x < 8 \implies x < 4$
$3 - 2x > 0 \implies 2x < 3 \implies x < \frac{3}{2}$

綜合以上條件，變數 $x$ 的有效範圍是 $0 < x < \frac{3}{2}$。

現在我們展開體積函數 $V(x)$：
$V(x) = (24 - 16x - 6x + 4x^2)x$
$V(x) = (24 - 22x + 4x^2)x$
$V(x) = 4x^3 - 22x^2 + 24x$

為了找到最大體積，我們需要找到 $V(x)$ 的臨界點。這可以通過計算 $V'(x)$ 並令其等於零來完成。
$V'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 22x^2 + 24x)$
$V'(x) = 12x^2 - 44x + 24$

令 $V'(x) = 0$：
$12x^2 - 44x + 24 = 0$
為了簡化，我們可以將整個方程式除以 4：
$3x^2 - 11x + 6 = 0$

我們可以使用二次公式來解這個方程式，其中 $a=3$, $b=-11$, $c=6$：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(3)(6)}}{2(3)}$
$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$
$x = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{6}$

本題要求找出函數 $g(x) = \frac{x}{1+x^2}$ 的相對極值，並使用第二導數測試。

首先，我們需要計算函數的一階導數 $g'(x)$。
使用除法定則：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
令 $u = x$，則 $u' = 1$。
令 $v = 1+x^2$，則 $v' = 2x$。

$g'(x) = \frac{(1)(1+x^2) - (x)(2x)}{(1+x^2)^2}$
$g'(x) = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2}$
$g'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$

為了找到相對極值，我們需要找到使 $g'(x) = 0$ 的臨界點。
令 $g'(x) = 0$:
$\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = 0$
由於分母 $(1+x^2)^2$ 恆為正（因為 $1+x^2 \ge 1$），所以只需要讓分子等於零：
$1-x^2 = 0$
$x^2 = 1$
$x = 1$ 或 $x = -1$。
這兩個是潛在的相對極值點。

接下來，我們使用第二導數測試。首先計算二階導數 $g''(x)$。
我們需要對 $g'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$ 應用除法定則。
令 $u = 1-x^2$，則 $u' = -2x$。
令 $v = (1+x^2)^2$，則 $v' = 2(1+x^2) \cdot (2x) = 4x(1+x^2)$。

$g''(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$g''(x) = \frac{(-2x)(1+x^2)^2 - (1-x^2)(4x(1+x^2))}{((1+x^2)^2)^2}$
$g''(x) = \frac{(-2x)(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^4}$

本題要求計算兩個函數的一階導數。

(a) 計算導數
$f(x) = \frac{3x^3+5x^2+2x-5}{x^2}$

在計算導數之前，我們可以先簡化函數 $f(x)$。將分子除以 $x^2$：
$f(x) = \frac{3x^3}{x^2} + \frac{5x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{5}{x^2}$
$f(x) = 3x + 5 + 2x^{-1} - 5x^{-2}$

現在對簡化後的函數求導數：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 5 + 2x^{-1} - 5x^{-2})$
根據冪次法則 $\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}$：
$f'(x) = 3(1)x^{1-1} + 0 + 2(-1)x^{-1-1} - 5(-2)x^{-2-1}$
$f'(x) = 3x^0 + 0 - 2x^{-2} + 10x^{-3}$
$f'(x) = 3 - 2x^{-2} + 10x^{-3}$